新教材2023_2024学年高中数学第一章数列本章总结提升课件北师大版选择性必修第二册

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第1章本章总结提升知识网络·整合构建专题突破·素养提升目录索引 知识网络·整合构建专题突破·素养提升专题一　方程思想求解数列问题1.数列通项是数列问题的“牛鼻子”,在已确定数列是等差(比)数列的情况,通常围绕等差(比)数列的首项和公差(比)列方程(组).2.重点提升数学运算素养.【例1】 等差数列{an}的各项为正整数,a1=3,前n项和为Sn,在等比数列{bn}中,b1=1,且b2S2=64, 是公比为64的等比数列,求数列{an},{bn}的通项 公式.规律方法　在等比数列和等差数列中,通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量,即a1,an,n,q(d),Sn,其中首项a1和公比q(公差d)为基本量,“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1,an,n,q(d),Sn的方程组,通过方程的思想解出需要的量.变式训练1已知各项均不相等的等差数列{an}的前4项和为10,且a1,a2,a4是等比数列{bn}的前3项.(1)求an,bn;(2)设cn=bn+ ,求{cn}的前n项和Sn.专题二　转化与化归思想求解数列问题角度1.求数列的通项公式1.在求数列通项公式时如果不知道数列是等差(比)数列,通常先对数列进行判断,必要时可构造一个新的数列是等差(比)数列,然后借助等差(比)数列的性质进行求解.2.重点提升逻辑推理素养和数学运算素养.【例2】 已知在数列{an}中,a1=3,且满足an+1=3an+2×3n+1.(1)证明:数列 为等差数列,并求出数列{an}的通项公式;(2)若不等式λan>4n2-8n+3对∀n∈N+恒成立,求λ的取值范围.规律方法　由递推公式求通项公式,要求掌握的方法有两种:一种求法是先找出数列的前几项,通过观察、归纳得出,然后证明;另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列,再采用公式求出.变式训练2已知数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=(n+2)an-2.(1)求数列{an}的通项公式;(1)解 当n=1时,2S1=(1+2)a1-2,解得a1=2.当n≥2时,2Sn=(n+2)an-2,①2Sn-1=(n-1+2)an-1-2=(n+1)an-1-2,②由①-②,得2an=(n+2)an-(n+1)an-1,即nan=(n+1)an-1.角度2.数列求和1.数列求和的主要方法有裂项相消法、错位相减法、分组求和法等.2.数列求和的方法主要提升逻辑推理和数学运算的核心素养.方法1　分组求和与并项求和【例3】 [2023广西柳州模拟预测]已知数列{an}满足a1=1, an+1=2an+1(n∈N+).(1)证明{an+1}是等比数列,并求{an}的通项公式;(2)求数列{an+n+1}的前n项和Sn.解 (1)由题意可得a1+1=2≠0,所以{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列,则an+1=2n,即an=2n-1,因此{an}的通项公式为an=2n-1.(2)由(1)知an=2n-1,令bn=an+n+1,则bn=2n+n,所以Sn=b1+b2+…+bn=(21+1)+(22+2)+…+(2n+n)=(21+22+…+2n)+(1+2+…+n)规律方法　某些数列通过适当分组,可得出两个或几个等差数列或等比数列,进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和,从而得出原数列的和.有些数列相邻两项的和是同一个常数或构成等差数列,这些数列的求和通常用并项法,但要注意对n分奇偶数讨论.变式训练3(1)数列{(-1)nn}的前n项和为Sn,则S2 020等于(　　)A.1 010 B.-1 010C.2 020 D.-2 020A 解析 S2 020=(-1+2)+(-3+4)+…+(-2 019+2 020)=1 010. (2)已知数列1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n-1,….①求其通项公式an;②求这个数列的前n项和Sn.解 ①an=1+2+22+…+2n-1= =2n-1.故这个数列的通项公式为an=2n-1.②Sn=a1+a2+a3+…+an=(21-1)+(22-1)+(23-1)+…+(2n-1)=(2+22+23+…+2n)-n= -n=2n+1-n-2.方法2　裂项相消法求和【例4】 已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn;(2)令bn= (n∈N+),求数列{bn}的前n项和Tn.解 (1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,∵a3=7,a5+a7=26,∴a1+2d=7,2a1+10d=26,解得a1=3,d=2.又an=a1+(n-1)d,Sn=∴an=2n+1,Sn=n(n+2).规律方法　1.若数列{an}的通项公式能转化为f(n+1)-f(n)的形式,常采用裂项相消法求和.2.当使用裂项相消法求和时,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项.3.常见的裂项相消法技巧有: 方法3　错位相减法求和【例5】 已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比数列.(1)求{an}的通项公式;(2)记bn= 的前n项和为Tn,求Tn.分析(1)列方程组求出等差数列{an}的首项和公差;(2)利用错位相减法求Tn.解 (1)设等差数列{an}的公差为d,∵2a1,a2,a3+1成等比数列,∴ =2a1·(a3+1),∴(a1+d)2=2a1(a1+2d+1).解得a1=1,d=3或a1=8,d=-4(舍去),∴an=a1+(n-1)d=1+3(n-1)=3n-2.规律方法　一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,就可采用错位相减法.当写“Sn”与“qSn”的表达式时,应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.变式训练5[2023云南师大附中高三阶段练习]已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足an·bn=log2an,求数列{bn}的前n项和Tn.解 (1)因为Sn=2an-1,所以Sn-1=2an-1-1(n≥2,n∈N+),所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2,n∈N+),所以an=2an-1(n≥2,n∈N+),当n=1时,a1=S1=2a1-1,a1=1,所以数列{an}是首项a1=1,公比为2的等比数列,所以an=2n-1.专题三　函数思想求解数列问题【例6】 在等差数列{an}中,3a8=5a13,a1>0.若Sn为{an}的前n项和,则S1,S2,…,Sn中有没有最大值?请说明理由.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1,求Tn.规律方法　1.数列是一种特殊的函数,在求解数列问题时,若涉及参数取值范围、最值问题或增减性时,均可考虑采用函数的性质及研究方法指导解题.值得注意的是数列定义域是正整数集或{1,2,3,…,n},这一特殊性对问题结果可能造成影响.2.以函数为载体给出数列,只需代入函数式即可转化为数列问题.变式训练6设y=f(x)是一次函数,f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比数列,则f(2)+f(4)+…+f(2n)=　　　　　. 2n2+3n　 解析 设f(x)=kx+b(k≠0),又f(0)=1,则b=1,所以f(x)=kx+1(k≠0).又[f(4)]2=f(1)f(13),所以(4k+1)2=(k+1)(13k+1),解得k=2.所以f(x)=2x+1,则f(2n)=4n+1.所以{f(2n)}是公差为4的等差数列.所以f(2)+f(4)+…+f(2n)= =2n2+3n.