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数学选择性必修 第二册2.2 导数的几何意义多媒体教学ppt课件
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这是一份数学选择性必修 第二册2.2 导数的几何意义多媒体教学ppt课件，共38页。PPT课件主要包含了目录索引，探究点一导数的概念，本节要点归纳等内容，欢迎下载使用。
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
知识点1 导数的概念1.设函数y=f(x),当自变量x从x0变到x1时,函数值y从f(x0)变到f(x1),函数值y关于x的平均变化率为 = . 平均变化率的极限 2.当x1趋于x0,即Δx趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数y=f(x)在点x0的 .在数学中,称瞬时变化率为函数y=f(x)在点x0处的 ,通常用符号f'(x0)表示,记作f'(x0)= = .
名师点睛对于导数的概念,注意以下几点:(1)函数应在点x0的附近有定义,否则导数不存在;(2)导数是一个局部概念,它只与函数y=f(x)在x=x0及其附近的函数值有关,与Δx无关.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数值与Δx的正、负无关.( )(2)函数在点x0处的导数f'(x0)是一个常数.( )2.利用导数定义求函数f(x)=3x-2在x=5处的导数值.
知识点2 导数的几何意义1.割线:设函数y=f(x)的图象是一条光滑的曲线,且函数y=f(x)在区间[x0,x0+Δx]的平均变化率为 ,如图(1),它是经过A(x0,f(x0))和B(x0+Δx,f(x0+Δx))两点的直线的斜率.这条直线称为曲线y=f(x)在点A处的 .
2.切线:如图(2),设函数y=f(x)的图象是一条光滑的曲线,从图象上可以看出:当Δx取不同的值时,可以得到不同的割线;当Δx趋于0时,点B将沿着曲线y=f(x)趋于点A,割线AB将绕点A转动趋于直线l.称直线l为曲线y=f(x)在点A处的切线,或称直线l和曲线y=f(x)在点A处相切.该切线的斜率就是函数y=f(x)在x0处的导数f'(x0).
名师点睛1.直线倾斜角 与其斜率k之间的关系是k=tan θ.2.利用导数的几何意义求曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程的步骤:(1)求函数f(x)在x0处的导数,即切线的斜率;(2)根据直线方程的点斜式可得切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).3.运用导数的几何意义解决切线问题时,一定要注意所给的点是否恰好在曲线上.若点在曲线上,则该点的导数值就是该点处的切线的斜率.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数值就是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率.( )(2)直线与曲线相切,则直线与已知的曲线只有一个公共点.( )
2.函数y=f(x)的图象如图所示,下列不等关系正确的是( ) A.0
角度1.求函数在某点处的导数【例1】 求函数y=f(x)=x+ 在x=1处的导数.
规律方法 求一个函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤如下:(1)求函数值的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
变式训练1y=f(x)=x2在x=1处的导数为( )A.2xB.2C.2+ΔxD.1
解析 当x从1变到1+Δx时,函数值从1变到(1+Δx)2,函数值y关于x的平均变化率为当x趋于1,即Δx趋于0时,平均变化率趋于2,所以f'(1)=2.
角度2.对导数定义式的理解和应用【例2】 设函数f(x)在x0处可导,则 等于( )A.f'(x0)B.f'(-x0)C.-f'(x0)D.-f'(-x0)
规律方法 导数定义式的变形应用在导数的定义式中,自变量的增量Δx可以有多种表达形式,但不论采用哪种形式,Δy中自变量的增量Δx都必须用相应的形式,如将Δx变为mΔx,则Δy=f(x0+mΔx)-f(x0),只有这样,才有
变式训练2[2023河南南阳中学高三阶段练习]设函数f(x)满足A.-1B.1C.-2D.2
探究点二 导数几何意义的应用
角度1.曲线在某点处的切线方程【例3】 求曲线y=f(x)= 在点M(3, )处的切线方程.
规律方法 求曲线在某点处的切线方程的步骤
变式训练3曲线y=f(x)=x2+1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是 .
令Δx趋于0,可知y=f(x)=x2+1在x=2处的导数为f'(2)=4.于是,函数y=f(x)=x2+1在点(2,5)处的切线斜率为4,因此函数y=f(x)=x2+1在点P(2,5)处的切线方程为y-5=4(x-2),即y=4x-3.所以切线与y轴交点的纵坐标是-3.
角度2.曲线过某点的切线方程【例4】 求抛物线y=f(x)= x2过点(4, )的切线方程.
规律方法 1.首先要理解过某点的含义,切线过某点,这点不一定是切点.2.过点(x1,y1)的曲线y=f(x)的切线方程的求法步骤(1)设切点(x0,f(x0)).(3)解方程得k=f'(x0),x0,f(x0),从而写出切线方程.3.本例考查了切线的含义及切线方程的求法.体现了直观想象和数学运算的数学核心素养.
变式训练4求过点(-1,0)与曲线y=x2+x+1相切的直线方程.
当x0=0时,切线斜率k=1,过点(-1,0)的切线方程为y-0=x+1,即x-y+1=0.当x0=-2时,切线斜率k=-3,过点(-1,0)的切线方程为y-0=-3(x+1),即3x+y+3=0.故所求切线方程为x-y+1=0或3x+y+3=0.
探究点三 利用函数的几何意义判断函数图象
【例5】 已知函数f(x)在R上可导,其部分图象如图所示,设 =a,则下列不等式正确的是( )A.f'(1)
变式训练5若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是( )
解析 依题意,y=f'(x)在[a,b]上单调递增,则在函数f(x)的图象上,各点的切线的斜率随着x的增大而增大,观察四个选项的图象,只有A满足.
1.知识清单:(1)导数的概念.(2)导数几何意义的应用.(3)利用导数几何意义求曲线的切线方程.2.方法归纳:数形结合.3.常见误区:求切线方程时f(x0),f'(x0)混淆.
3.已知y=f(x)的图象如图所示,则f'(xA)与f'(xB)的大小关系是( )A.f'(xA)>f'(xB)B.f'(xA)
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
知识点1 导数的概念1.设函数y=f(x),当自变量x从x0变到x1时,函数值y从f(x0)变到f(x1),函数值y关于x的平均变化率为 = . 平均变化率的极限 2.当x1趋于x0,即Δx趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数y=f(x)在点x0的 .在数学中,称瞬时变化率为函数y=f(x)在点x0处的 ,通常用符号f'(x0)表示,记作f'(x0)= = .
名师点睛对于导数的概念,注意以下几点:(1)函数应在点x0的附近有定义,否则导数不存在;(2)导数是一个局部概念,它只与函数y=f(x)在x=x0及其附近的函数值有关,与Δx无关.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数值与Δx的正、负无关.( )(2)函数在点x0处的导数f'(x0)是一个常数.( )2.利用导数定义求函数f(x)=3x-2在x=5处的导数值.
知识点2 导数的几何意义1.割线:设函数y=f(x)的图象是一条光滑的曲线,且函数y=f(x)在区间[x0,x0+Δx]的平均变化率为 ,如图(1),它是经过A(x0,f(x0))和B(x0+Δx,f(x0+Δx))两点的直线的斜率.这条直线称为曲线y=f(x)在点A处的 .
2.切线:如图(2),设函数y=f(x)的图象是一条光滑的曲线,从图象上可以看出:当Δx取不同的值时,可以得到不同的割线;当Δx趋于0时,点B将沿着曲线y=f(x)趋于点A,割线AB将绕点A转动趋于直线l.称直线l为曲线y=f(x)在点A处的切线,或称直线l和曲线y=f(x)在点A处相切.该切线的斜率就是函数y=f(x)在x0处的导数f'(x0).
名师点睛1.直线倾斜角 与其斜率k之间的关系是k=tan θ.2.利用导数的几何意义求曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程的步骤:(1)求函数f(x)在x0处的导数,即切线的斜率;(2)根据直线方程的点斜式可得切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).3.运用导数的几何意义解决切线问题时,一定要注意所给的点是否恰好在曲线上.若点在曲线上,则该点的导数值就是该点处的切线的斜率.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数值就是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率.( )(2)直线与曲线相切,则直线与已知的曲线只有一个公共点.( )
2.函数y=f(x)的图象如图所示,下列不等关系正确的是( ) A.0
角度1.求函数在某点处的导数【例1】 求函数y=f(x)=x+ 在x=1处的导数.
规律方法 求一个函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤如下:(1)求函数值的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
变式训练1y=f(x)=x2在x=1处的导数为( )A.2xB.2C.2+ΔxD.1
解析 当x从1变到1+Δx时,函数值从1变到(1+Δx)2,函数值y关于x的平均变化率为当x趋于1,即Δx趋于0时,平均变化率趋于2,所以f'(1)=2.
角度2.对导数定义式的理解和应用【例2】 设函数f(x)在x0处可导,则 等于( )A.f'(x0)B.f'(-x0)C.-f'(x0)D.-f'(-x0)
规律方法 导数定义式的变形应用在导数的定义式中,自变量的增量Δx可以有多种表达形式,但不论采用哪种形式,Δy中自变量的增量Δx都必须用相应的形式,如将Δx变为mΔx,则Δy=f(x0+mΔx)-f(x0),只有这样,才有
变式训练2[2023河南南阳中学高三阶段练习]设函数f(x)满足A.-1B.1C.-2D.2
探究点二 导数几何意义的应用
角度1.曲线在某点处的切线方程【例3】 求曲线y=f(x)= 在点M(3, )处的切线方程.
规律方法 求曲线在某点处的切线方程的步骤
变式训练3曲线y=f(x)=x2+1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是 .
令Δx趋于0,可知y=f(x)=x2+1在x=2处的导数为f'(2)=4.于是,函数y=f(x)=x2+1在点(2,5)处的切线斜率为4,因此函数y=f(x)=x2+1在点P(2,5)处的切线方程为y-5=4(x-2),即y=4x-3.所以切线与y轴交点的纵坐标是-3.
角度2.曲线过某点的切线方程【例4】 求抛物线y=f(x)= x2过点(4, )的切线方程.
规律方法 1.首先要理解过某点的含义,切线过某点,这点不一定是切点.2.过点(x1,y1)的曲线y=f(x)的切线方程的求法步骤(1)设切点(x0,f(x0)).(3)解方程得k=f'(x0),x0,f(x0),从而写出切线方程.3.本例考查了切线的含义及切线方程的求法.体现了直观想象和数学运算的数学核心素养.
变式训练4求过点(-1,0)与曲线y=x2+x+1相切的直线方程.
当x0=0时,切线斜率k=1,过点(-1,0)的切线方程为y-0=x+1,即x-y+1=0.当x0=-2时,切线斜率k=-3,过点(-1,0)的切线方程为y-0=-3(x+1),即3x+y+3=0.故所求切线方程为x-y+1=0或3x+y+3=0.
探究点三 利用函数的几何意义判断函数图象
【例5】 已知函数f(x)在R上可导,其部分图象如图所示,设 =a,则下列不等式正确的是( )A.f'(1)
变式训练5若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是( )
解析 依题意,y=f'(x)在[a,b]上单调递增,则在函数f(x)的图象上,各点的切线的斜率随着x的增大而增大,观察四个选项的图象,只有A满足.
1.知识清单:(1)导数的概念.(2)导数几何意义的应用.(3)利用导数几何意义求曲线的切线方程.2.方法归纳:数形结合.3.常见误区:求切线方程时f(x0),f'(x0)混淆.
3.已知y=f(x)的图象如图所示,则f'(xA)与f'(xB)的大小关系是( )A.f'(xA)>f'(xB)B.f'(xA)
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