高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册6.2 函数的极值教案配套ppt课件

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知识点1　极值的概念　　 极值是函数的一种局部性质1.如图(1),在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都小于点x0处的函数值,称点x0为函数y=f(x)的　　　　　,其函数值f(x0)为函数的　　　　　. 
2.如图(2),在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都大于点x0处的函数值,称点x0为函数y=f(x)的　　　　　,其函数值f(x0)为函数的　　　　. 3.函数的极大值点与极小值点统称为极值点,极大值与极小值统称为极值. 极值点在区间的内部
名师点睛1.极值是一个局部概念.由定义知,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小.2.极大值与极小值无确定的大小关系.在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值,即极大值不一定比极小值大,极小值也不一定比极大值小.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)函数的极大值一定大于极小值.(　　)(2)函数y=f(x)一定有极大值和极小值.(　　)2.函数f(x)可以有多个极大值和极小值吗?
提示 可以,如函数f(x)=sin x,g(x)=cs x在R上有无数多个极大值和极小值.
知识点2　求函数y=f(x)极值点、极值的方法1.求出导数f'(x).2.解方程f'(x)=0,得出方程的所有实数根.3.对于方程f'(x)=0的每一个实数根x0,分析f'(x)在x0附近的符号(即f(x)的单调性),确定极值点和极值:从左到右,导函数f'(x)的符号变化.如果f'(x)的符号由正变负,此时x0是极大值点,f(x0)是极大值;如果由负变正,此时x0是极小值点,f(x0)是极小值,如果在f'(x)=0的根x=x0的左、右侧,f'(x)的符号不变,则f(x0)不是极值.名师点睛导数等于0的解不一定是极值点;反之,极值点一定是导数等于0的解,故须对f'(x)=0的解进行检验.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若函数y=f(x)在区间(a,x0)内单调递增,在区间(x0,b)内单调递减,则x0是函数y=f(x)的极大值点.(　　)(2)对于函数y=f(x)=x3,因为f'(0)=0,所以x=0是它的极值点.(　　)2.对于可导函数f(x),“f(x)在x=x0处的导数f'(x0)=0”是“f(x)在x=x0处取得极值”的什么条件?
提示 必要不充分条件.
探究点一　求函数的极值
角度1.求不含参数的函数的极值【例1】 求函数f(x)= +ln x的极值.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化如下表:
∴当x=1时f(x)有极小值,即f(1)=1,无极大值.
变式探究求函数f(x)= 的极值.
因此,x=e是函数的极大值点,极大值为f(e)= ,没有极小值.
规律方法　1.讨论函数的性质时,要树立定义域优先的原则.2.求可导函数f(x)的极值的步骤
变式训练1求下列函数的极值点和极值.(1)f(x)= x3-x2-3x+3;(2)f(x)=x2e-x.
解 (1)函数f(x)的定义域为R.f'(x)=x2-2x-3.令f'(x)=0,得x1=-1,x2=3,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
由上表可以看出,-1为函数f(x)的极大值点,极大值为f(-1)= ,3为函数f(x)的极小值点,极小值为f(3)=-6.
(2)函数f(x)的定义域为R.f'(x)=2xe-x-x2e-x=x(2-x)e-x.令f'(x)=0,得x=0或x=2.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
由上表可以看出,0为函数f(x)的极小值点,极小值为f(0)=0.2为函数f(x)的极大值点,极大值为f(2)=4e-2.
角度2.求含有参数的函数的极值【例2】 设函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1,其中a≥1.(1)求f(x)的单调区间;(2)讨论f(x)的极值.
解 由已知得f'(x)=6x[x-(a-1)],令f'(x)=0,解得x1=0,x2=a-1,(1)当a=1时,f'(x)=6x2≥0,f(x)在(-∞,+∞)内单调递增.当a>1时,f'(x)=6x[x-(a-1)],当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
从上表可知,函数f(x)在(-∞,0)内单调递增,在(0,a-1)内单调递减,在(a-1,+∞)内单调递增.综上,当a=1时,f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);当a>1时,f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(a-1,+∞),单调递减区间为(0,a-1).(2)由(1)知,当a=1时,函数f(x)没有极值.当a>1时,函数在x=0处取得极大值1,在x=a-1处取得极小值1-(a-1)3.
规律方法　讨论参数应从f'(x)=0的根所在的范围与大小关系入手进行.
变式训练2已知函数f(x)=x-aln x(a∈R).(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.
解 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1- .(1)当a=2时,f(x)=x-2ln x,f'(x)=1- (x>0),因而f(1)=1,f'(1)=-1.所以曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.①当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)内单调递增,函数f(x)无极值;②当a>0时,由f'(x)=0,解得x=a.又因为当x∈(0,a)时,f'(x)0时,随着x变化,f(x),f'(x)的变化情况如下表:
规律方法　已知函数的极值求参数时应注意两点(1)待定系数法:常根据极值点处导数为0和极值两个条件列出方程组,用待定系数法求解.(2)验证:因为导数值为0的解不一定就是极值点,故利用上述方程组解出的解必须验证.
变式训练3设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点.(1)试确定常数a和b的值;(2)判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由.
当x∈(0,1)时,f'(x)0,故f(x)在区间(1,+∞)内单调递增,①正确;当x∈(-∞,-1)时,xf'(x)0,所以f'(x)0,当00,当x∈(2,4)时,f'(x)