高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册7.2 实际问题中的最值问题课堂教学ppt课件

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基础落实·必备知识全过关
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知识点1　实际问题中导数的意义1.功与功率:在物理学中,通常称力在单位时间内做的功为功率,它的单位是瓦特.2.降雨强度:在气象学中,通常把单位时间内的降雨量称作降雨强度.3.边际成本:在经济学中,通常把生产成本y关于产量x的函数y=f(x)的导函数称为边际成本.边际成本f'(x0)指的是当产量为x0时,生产成本的增加速度,也就是当产量为x0时,每增加一个单位的产量,需要增加f'(x0)个单位的成本.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)已知物体运动的路程s与时间t的函数关系为s=f(t),则瞬时速度v=f'(t).(　　)(2)已知做的功W与时间t的函数关系W=W(t),则W'(t)的实际意义为t时刻单位时间内做的功.(　　)2.降雨强度是什么含义?
提示 单位时间内的降雨量.
知识点2　利用导数解决最优化问题1.最优化问题在实际问题中,经常会遇到解决一些如面积最小、体积最大、成本最低、时间最少等问题,这些问题通称为最优化问题.2.最优化问题的求解步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系,写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x).(2)求导函数f'(x),解方程f'(x)=0.(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小,最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.(4)依据实际问题的意义给出答案.
名师点睛解决最优化问题的一般步骤(1)认真阅读理解关于实际问题的材料.一般地,实际问题的材料都非常多、信息量较大、涉及的量也比较多,因此需要仔细地阅读题目,发现其中有用的信息,揭示其数学本质.(2)在理解题意的基础上,建立数学模型,把要解决的实际问题转化为数学问题,建立相应的函数关系式.(3)针对数学模型,设计解决方案,用导数解决函数问题,同时要注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域.(4)根据函数问题的答案去回答实际问题中的最优化问题.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)磁盘的最大存储量问题是最优化问题.(　　)(2)求某长方体容器的容积最大问题是最优化问题.(　　)(3)汽油的使用效率的提高问题是最优化问题.(　　)(4)制作一水箱的用料最省问题是最优化问题.(　　)
2.在实际问题中,如果在定义域内函数只有一个极值点,则函数在该点处取最值吗?你能列举几个关于利润的等量关系吗?
提示 根据函数的极值与单调性的关系可以判断,函数在该点处取最值,并且极小值点对应最小值,极大值点对应最大值.举例:利润=收入-成本,利润=每件产品的利润×销售件数.
探究点一　实际问题中导数意义的应用
【例1】 (1)一个质量m=5 kg的物体做直线运动,设运动距离s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t+ t2表示,并且物体的动能Ek= mv2(m为物体质量,v为物体运动速度),则物体开始运动后第7 s时的动能是(　　)A.160 JB.165 JC.170 JD.175 J
(2)在高台跳水运动中,t s时运动员相对于水面的高度(单位:m)是h(t)=4.9t2+6.5t+10.求运动员在t=1 s时的瞬时速度.
解 h'(t)=9.8t+6.5,∴h'(1)=9.8+6.5=16.3(m/s),∴运动员在t=1 s时的瞬时速度为16.3 m/s.
规律方法　在日常生活和科学领域中,有许多需要用导数概念来理解的量.如:加速度是速度关于时间的导数、速度是路程关于时间的导数、功率是功关于时间的导数等.
变式训练1(1)火车开出车站一段时间内,速度v(单位:m/s)与行驶时间t(单位:s)之间的关系是v(t)=0.4t+0.6t2,当加速度为2.8 m/s2时,火车开出去(　　)
解析 由题意可知,v'(t)=0.4+1.2t,令0.4+1.2t=2.8,可得t=2 s.
(2)设x(单位:km)表示从一条河流的某一处到其源头的距离,y(单位:km)表示这一点的海拔高度,y是x的函数,满足解析式 y=f(x),若函数y=f(x)在x=100处的导数f'(100)=-0.1.试解释它的实际意义.
解 f'(100)=-0.1表示从源头流到100 km处的海拔高度的瞬时变化率,如果保持这一速度,每经过1 km,该河流的海拔高度下降0.1 km.
探究点二　导数在几何中的应用
角度1.平面几何中的最值问题【例2】 如图所示,在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD,求这个矩形面积的最大值.
解 设点B的坐标为(x,0),且00,f(x)单调递增.所以当x=90时,函数f(x)取得最小值,即当汽车匀速行驶的速度是90千米/时时,从甲地到乙地耗油最少.故选C.
设耗油量为f(x),依题意得
2.[2023广西校联考模拟预测]果树的负载量,是影响果树产量和质量的重要因素.苹果树结果期的负载量y(单位:kg)与干周x(树干横截面周长,单位:cm)可用模型y=b0+b1x2-b2x3模拟,其中b0,b1,b2均是常数,则下列说法正确的是(　　)A.b2=0时,y=b0+b1x2-b2x3是偶函数B.此模型函数的图象是中心对称图形C.若b1,b2均是正数,则y有最大值D.苹果树负载量的最小值是b0
解析 因为y=b0+b1x2-b2x3的定义域为{x|x>0},不关于原点对称,故A不正确;此模型函数的图象也不可能是中心对称图形,故B不正确;
y'=2b1x-3b2x2=x(2b1-3b2x)=0,若b1>0,b2