数学选择性必修 第一册2.2 圆的一般方程课文内容课件ppt

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基础落实·必备知识全过关
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知识点1　圆的一般方程
名师点睛1.当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点 ;当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形.2.二元二次方程要想表示圆,需x2和y2的系数相同且不为0,没有xy这样的二次项.3.几个常见圆的一般方程(1)过原点的圆的方程:x2+y2+Dx+Ey=0(D,E不全为0);(2)圆心在y轴上的圆的方程:x2+y2+Ey+F=0(E2-4F>0);(3)圆心在x轴上的圆的方程:x2+y2+Dx+F=0(D2-4F>0);(4)圆心在x轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Dx=0(D≠0);(5)圆心在y轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Ey=0(E≠0).
过关自诊1.[人教B版教材习题]写出下列圆的圆心坐标和半径:(1)x2+y2-6x=0;(2)2x2+2y2-4x+8y+5=0.
2.[人教B版教材习题]已知a,b为实数,判断x2+y2+2ax-b2=0是否是圆的方程,并说明理由.
提示 原方程可化为(x+a)2+y2=a2+b2,当a=b=0时,x2+y2=0,不是圆的方程,它表示原点;当a,b不同时为零时,方程表示圆心为(-a,0),半径为 的圆.
3.[人教B版教材习题]已知圆x2+y2+2x-ay-4=0的半径为3,求实数a的值.
知识点2　由圆的一般方程判断点与圆的位置关系及与圆有关的轨迹问题1.已知点M(x0,y0)和圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0). 　　　　　　　　位置关系与符号的对应和标准方程的一致2.点M的坐标(x,y)满足的　　　 　　称为点M的轨迹方程.求符合某种条件的动点M的轨迹方程,实质上就是利用题设中的几何条件,通过“坐标化”将其转化为关于变量x,y之间的方程. 


过关自诊1.[人教B版教材习题]判断点A(0,0),B(-1,5),C(1,-2)与圆x2+y2+2x-4y-4=0的位置关系.
提示 将A(0,0)代入圆的方程得-4<0,∴A在圆内;将B(-1,5)代入圆的方程,得1+25-2-20-4=0,∴B在圆上;将C(1,-2)代入圆的方程,得1+4+2+8-4>0,∴C在圆外.
2.[人教B版教材习题]已知坐标原点不在圆x2+y2-ay+a-1=0的内部,求实数a的取值范围.
提示 ∵(0,0)不在圆的内部,∴将(0,0)代入圆的方程,得a-1≥0,∴a≥1.
探究点一　　圆的一般方程初步理解
【例1】 若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求实数m的取值范围,并写出圆心坐标和半径.
规律方法　形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判定其是否表示圆时可有如下两种方法:(1)由圆的一般方程的定义,若D2+E2-4F>0成立,则表示圆,否则不表示圆.(2)将方程配方后,根据圆的标准方程的特征求解.应用这两种方法时,要注意所给方程是不是x2+y2+Dx+Ey+F=0这种标准形式,若不是,则要化为这种形式再求解.
变式训练1(1)若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆,则a的值为(　　)A.1或-2B.2或-1C.-1D.2
解析 因为方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0中二次项系数不一定为1,因此若它表示圆,需要二次项的系数相等且不等于0,且转化为一般式后满足
(2)当圆C:x2+y2-4x-2my+2m=0的面积最小时,m的值是(　　)A.4B.3C.2D.1
解析 把圆C的方程化为标准方程,得(x-2)2+(y-m)2=m2-2m+4,设圆C的半径为r,则有r2=m2-2m+4=(m-1)2+3≥3,所以m=1时,r2取得最小值,从而圆C的面积S=πr2在m=1时取得最小值.故选D.
探究点二　　求圆的一般方程
【例2】 已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1).(1)求△ABC的外接圆的一般方程;(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上,求a的值.
解 (1)设△ABC外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由题意,得(2)由(1)知,△ABC的外接圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上,∴a2+22-8a-2×2+12=0,即a2-8a+12=0,解得a=2或a=6.
变式探究1若例2中将“点C(3,-1)”改为“圆C过A,B两点且圆C关于直线y=-x对称”,其他条件不变,求圆C的方程.
变式探究2将例2改为“已知圆Q过A(2,2),B(5,3),C(3,-1)三点,点M,N在圆Q上”,试求△QMN面积的最大值.
规律方法　应用待定系数法求圆的方程时应注意:(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程,一般采用圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,再用待定系数法求出a,b,r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),再用待定系数法求出常数D,E,F.
变式训练2圆心在直线y=x上,且过点A(-1,1),B(3,-1)的圆的一般方程是　　　　　　　　　. 
x2+y2-4x-4y-2=0
探究点三　　求动点的轨迹方程
【例3】 已知点A(2,0)是圆x2+y2=4上的定点,点B(1,1)是圆内一点,P,Q为圆上的动点.(1)求线段AP的中点M的轨迹方程;(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点N的轨迹方程.
解 (1)设线段AP的中点为M(x,y),则点P的坐标为(2x-2,2y).∵点P在圆x2+y2=4上,∴(2x-2)2+(2y)2=4,整理得(x-1)2+y2=1.故线段AP的中点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.(2)设线段PQ的中点为N(x,y),在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.设O为坐标原点,连接ON,∵|OP|=|OQ|,N为PQ的中点,∴ON⊥PQ,∴|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,∴x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4,故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.
变式探究1在本例条件不变的情况下,求过点B的弦的中点T的轨迹方程.
解 设T(x,y),因为点T是过点B的弦的中点,所以OT⊥BT.当斜率存在时,有kOT·kBT=-1.即 =-1,整理得x2+y2-x-y=0.当x=0或1时,点(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)也都在圆上.故所求轨迹方程为x2+y2-x-y=0.
变式探究2本例条件不变,求BP的中点E的轨迹方程.
规律方法　求轨迹方程的3种常用方法
[注意]求出轨迹方程后,要考虑轨迹上应去掉的点及轨迹不存在的情形.
变式训练3已知线段AB的中点C的坐标是(4,3),端点A在圆x2+y2+2x-3=0上运动,求线段AB的端点B的轨迹方程.
解 设点B的坐标是(x,y),点A的坐标是(x0,y0),由于点C的坐标是(4,3)且点C是线段AB的中点,所以 ,于是有x0=8-x,y0=6-y.因为点A在圆x2+y2+2x-3=0上运动,所以点A的坐标满足方程x2+y2+2x-3=0,即(x+1)2+y2=4,把x0=8-x,y0=6-y代入上式,得(8-x+1)2+(6-y)2=4,整理,得(x-9)2+(y-6)2=4.所以点B的轨迹方程为(x-9)2+(y-6)2=4.
1.知识清单:(1)圆的一般方程.(2)求动点的轨迹方程.2.方法归纳:待定系数法、直接法、定义法、代入法.3.常见误区:忽视用圆的一般方程表示圆的条件.
1.若方程x2+y2+2a=0表示圆,则实数a的取值范围为(　　)A.(-∞,0)B.{0}C.(-∞,0]D.(0,+∞)
解析 因为方程x2+y2+2a=0表示圆,所以D2+E2-4F>0,即-8a>0,所以a<0,即实数a的取值范围是(-∞,0).
2.(多选题)圆x2+y2-4x-1=0(　　)A.关于点(2,0)中心对称B.关于直线y=0对称C.关于直线x+3y-2=0对称D.关于直线x-y+2=0对称
解析 x2+y2-4x-1=0⇒(x-2)2+y2=5,即圆心的坐标为(2,0).圆是关于圆心对称的中心对称图形,而点(2,0)是圆心,故A正确;圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形,直线y=0与直线x+3y-2=0均过圆心,故B,C正确;而直线x-y+2=0不过圆心,故D不正确.
3.若点M(3,0)是圆x2+y2-8x-4y+10=0内一点,则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是(　　)A.x+y-3=0B.x-y-3=0C.2x-y-6=0D.2x+y-6=0
4.已知△ABC的顶点A(0,0),B(4,0),且AC边上的中线BD的长为3,则顶点C的轨迹方程是　　　　　　　　　　. 
(x-8)2+y2=36(y≠0)
5.已知圆C:x2+y2+2x+ay-3=0(a为实数)上任意一点关于直线l:x-y+2=0的对称点都在圆C上,则实数a的值为　　　　.