江苏省徐州市鼓楼区树人初级中学2022-2023学年八年级上学期第一次调研数学试卷+

这是一份江苏省徐州市鼓楼区树人初级中学2022-2023学年八年级上学期第一次调研数学试卷+，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省徐州市鼓楼区树人中学八年级第一学期第一次调研数学试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应的位置）
1．下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，AC和BD相交于O点，若OA＝OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（　　）

A．AB＝DC B．OB＝OC C．∠C＝∠D D．∠AOB＝∠DOC
3．玻璃三角板摔成三块如图，现在到玻璃店在配一块同样大小的三角板，最省事的方法（　　）

A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②③去
4．如图，若△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，BB'交MN于点O，则下列说法中，不一定正确的是（　　）

A．AC＝A'C' B．AB∥B'C' C．AA'⊥MN D．BO＝B'O
5．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（　　）

A．8 B．11 C．16 D．17
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（　　）

A．BC B．CE C．AD D．AC
7．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（　　）

A．60° B．65° C．75° D．80°
8．如图，直线a、b相交于点O，∠1＝50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分。不需写出解答过程，请将答案直接写答题卡相应的位置）
9．已知，如图，∠D＝∠A，EF∥BC，添加一个条件：　 　，使得△ABC≌△DEF．

10．如图，AD、BC表示两根长度相同的木条，若O是AD、BC的中点，经测量AB＝9cm，则容器的内径CD为 　 　cm．

11．如图，在3×3的正方形网格中，∠1+∠2＝　 　度．

12．等腰三角形的一个外角为100°，则这个等腰三角形的顶角的度数为　 　．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若DC＝2，则点D到AB的距离 　 　．

14．已知等腰△ABC的三边为a，b，c且（a﹣2）2+|b﹣4|＝0，则它的周长为 　 　．
15．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为　 　cm．

16．如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是30cm2，AB＝18cm，BC＝12cm，则DE＝　 　cm．

17．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠BAC等于82°，则∠OBC＝　 　°．

18．如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于点E，∠B+∠D＝180°，AD＝4，AE＝6，则AB＝　 　．

三、解答题（本大题共有7道题，合计76分，请将答案写在答题卡相应的位置）
19．尺规作图：请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）．

20．已知，如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D，BC＝BD，求证：△ABD≌△EBC．

21．如图，在△ABE和△DCF中，B、E、C、F共线，AB∥CD，AB＝CD，BF＝CE，求证：AE＝DF．

22．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，求证：BE＝CF．

23．如图，一块四边形的纸板剪去△DEC，得到四边形ABCE，测得∠BAE＝∠BCE＝90°，BC＝CE，AB＝DE．
（1）能否在四边形纸板上只剪一刀，使剪下的三角形与△DEC全等？请说明理由；
（2）求∠D的度数．

24．（1）如图1，已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则图中共有 　 　个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是 　 　，△AEF的周长是 　 　．
（2）如图2，若将（1）中“△ABC中，AB＝AC”改为“AB≠AC”其余条件不变，则EF与BE、CF之间的数量关系？证明你的结论．
（3）已知：如图3，D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间又有何数量关系 　 　．

25．点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s．
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；
（2）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．



参考答案
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应的位置）
1．下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．如图，AC和BD相交于O点，若OA＝OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（　　）

A．AB＝DC B．OB＝OC C．∠C＝∠D D．∠AOB＝∠DOC
【分析】添加AB＝DC，不能根据SAS证两三角形全等；根据条件OA＝OD和∠AOB＝∠DOC，不能证两三角形全等；添加∠AOB＝∠DOC，不能证两三角形全等；根据以上结论推出即可．
解：A、AB＝DC，不能根据SAS证两三角形全等，故本选项错误；
B、∵在△AOB和△DOC中
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），故本选项正确；
C、两三角形相等的条件只有OA＝OD和∠AOB＝∠DOC，不能证两三角形全等，故本选项错误；
D、根据∠AOB＝∠DOC和OA＝OD，不能证两三角形全等，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了对全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS．
3．玻璃三角板摔成三块如图，现在到玻璃店在配一块同样大小的三角板，最省事的方法（　　）

A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②③去
【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可．
解：带③去符合“角边角”可以配一块同样大小的三角板．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
4．如图，若△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，BB'交MN于点O，则下列说法中，不一定正确的是（　　）

A．AC＝A'C' B．AB∥B'C' C．AA'⊥MN D．BO＝B'O
【分析】根据轴对称的性质，一一判断即可．
解：∵△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，
∴AC＝A′C′，AA′⊥MN，BO＝OB′，
故选项A，C，D正确，
故选：B．
【点评】本题考查轴对称的性质，解题的关键是理解轴对称的性质，属于中考常考题型．
5．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（　　）

A．8 B．11 C．16 D．17
【分析】根据线段垂直平分线的性质得AE＝BE，然后利用等线段代换即可得到△ACE的周长＝AC+BC，再把BC＝6，AC＝5代入计算即可．
解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴△ACE的周长＝AC+CE+AE
＝AC+CE+BE
＝AC+BC
＝5+6
＝11．
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（　　）

A．BC B．CE C．AD D．AC
【分析】如图连接PC，只要证明PB＝PC，即可推出PB+PE＝PC+PE，由PE+PC≥CE，推出P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度．
解：如图连接PC，

∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴PB＝PC，
∴PB+PE＝PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，
故选：B．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（　　）

A．60° B．65° C．75° D．80°
【分析】根据OC＝CD＝DE，可得∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE＝3∠ODC＝75°，即可求出∠ODC的度数，进而求出∠CDE的度数．
解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，
∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，
∴∠ODC＝25°，
∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，
∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．
8．如图，直线a、b相交于点O，∠1＝50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据△OAB为等腰三角形，分三种情况讨论：①当OB＝AB时，②当OA＝AB时，③当OA＝OB时，分别求得符合的点B，即可得解．
解：要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论：
①当OB＝AB时，作线段OA的垂直平分线，与直线b的交点为B，此时有1个；
②当OA＝AB时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有1个；
③当OA＝OB时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有2个，
1+1+2＝4，
故选：D．
【点评】本题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；分类讨论是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分。不需写出解答过程，请将答案直接写答题卡相应的位置）
9．已知，如图，∠D＝∠A，EF∥BC，添加一个条件：　AC＝DF（AB＝DE或BC＝EF）　，使得△ABC≌△DEF．

【分析】根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一．
解：∵EF∥BC，
∴∠ACB＝∠DFE，
又∵∠D＝∠A，
∴添加条件AC＝DF，可以使得△ABC≌△DEF（ASA），
添加条件AB＝DE，可以使得△ABC≌△DEF（AAS），
添加条件BC＝EF，可以使得△ABC≌△DEF（AAS），
故答案为：AC＝DF（AB＝DE或BC＝EF）．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答．
10．如图，AD、BC表示两根长度相同的木条，若O是AD、BC的中点，经测量AB＝9cm，则容器的内径CD为 　9　cm．

【分析】根据“AD，BC表示两根长度相同的木条，若O是AD，BC的中点”，及对顶角相等，容易判断两个三角形全等，得AC＝DB．
解：由题意知：OA＝OD，∠AOB＝∠DOC，OB＝OC，
在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴CD＝AB＝9cm．
故答案为：9．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的应用；解答的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．关键是要先证明△AOB≌△DOC，然后利用全等的性质求解．
11．如图，在3×3的正方形网格中，∠1+∠2＝　90　度．

【分析】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
解：如图所示，∵AB＝BE，BC＝BD，∠ABC＝∠EBD＝90°，
∴△ABC≌△EBD（SAS），
∴∠ACB＝∠1，
∵∠ACB+∠2＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
故答案为：90．

【点评】本题考查全等图形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
12．等腰三角形的一个外角为100°，则这个等腰三角形的顶角的度数为　80°或20°　．
【分析】因为题中没有指明该外角是顶角的外角还是底角的外角，所以应该分两种情况进行分析．
解：当100°的角是顶角的外角时，顶角的度数为180°﹣100°＝80°；
当100°的角是底角的外角时，底角的度数为180°﹣100°＝80°，所以顶角的度数为180°﹣2×80°＝20°；
故顶角的度数为80°或20°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角性质等知识；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若DC＝2，则点D到AB的距离 　2　．

【分析】根据角平分线的性质即可求解．
解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，

∵AD平分∠BAC交BC于点D，AC⊥BC，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝2，
即点D到AB的距离为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解题的关键．
14．已知等腰△ABC的三边为a，b，c且（a﹣2）2+|b﹣4|＝0，则它的周长为 　10　．
【分析】根据非负数的意义列出关于a、b的方程并求出a、b的值，再根据a是腰长和底边长两种情况讨论求解．
解：∵（a﹣2）2+|b﹣4|＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣4＝0，
解得a＝2，b＝4，
若2是腰长，则三角形的三边长为：2、2、4，
不能组成三角形；
（2）若2是底边长，则三角形的三边长为：2、4、4，
能组成角形，
周长为2+4+4＝10．
故它的周长为10
故答案为：10．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．根据题意列出方程是正确解答本题的关键．
15．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为　20　cm．

【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答．
解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由题意得：AD＝EC＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20（cm），
答：两堵木墙之间的距离为20cm．
故答案为：20．

【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
16．如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是30cm2，AB＝18cm，BC＝12cm，则DE＝　2　cm．

【分析】过点D，作DF⊥BC，垂足为点F，根据BD是∠ABC的角平分线，得DE＝DF，根据等高的三角形的面积之比等于其底边长之比，得△BDC与△BDA的面积之比，再求出△BDA的面积，进而求出DE．
解：如图，过点D，作DF⊥BC，垂足为点F
∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF
∵△ABC的面积是30cm2，AB＝18cm，BC＝12cm，
∴S△ABC＝•DE•AB+•DF•BC，即×18×DE+×12×DE＝30，
∴DE＝2（cm）．
故填2．

【点评】本题考查了角平分线的性质；解题中利用了“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”、等高的三角形的面积之比等于其底边长之比，三角形的面积计算公式等知识．
17．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠BAC等于82°，则∠OBC＝　8　°．

【分析】连接OA，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，根据三角形内角和定理计算即可．
解：连接OA，
∵∠BAC＝82°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣82°＝98°，
∵AB、AC的垂直平分线交于点O，
∴OB＝OA，OC＝OA，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，
∴∠OBC+∠OCB＝98°﹣（∠OBA+∠OCA）＝16°，
∴∠OBC＝8°，
故答案为：8．

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．
18．如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于点E，∠B+∠D＝180°，AD＝4，AE＝6，则AB＝　8　．

【分析】作CF⊥AD交AD的延长线于点F，由AC平分∠DAB，CE⊥AB于点E，得CF＝CE，由∠FDC+∠ADC＝180°，∠B+∠ADC＝180°，得∠FDC＝∠B，可证明△FAC≌△EAC，得AF＝AE＝6，则DF＝AF﹣AD＝2，再证明△CDF≌△CBE，得DF＝BE＝2，则AB＝AE+BE＝8，于是得到问题的答案．
解：作CF⊥AD交AD的延长线于点F，
∵AC平分∠DAB，CE⊥AB于点E，
∴∠FAC＝∠EAC，CF＝CE，∠F＝∠AEC＝∠BEC＝90°，
∵∠FDC+∠ADC＝180°，∠B+∠ADC＝180°，
∴∠FDC＝∠B，
在△FAC和△EAC中，
，
∴△FAC≌△EAC（AAS），
∴AF＝AE＝6，
∵AD＝4，
∴DF＝AF﹣AD＝6﹣4＝2，
在△CDF和△CBE中，
，
∴△CDF≌△CBE（AAS），
∴DF＝BE＝2，
∴AB＝AE+BE＝6+2＝8，
故答案为：8．

【点评】此题重点考查角平分线的性质、同角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共有7道题，合计76分，请将答案写在答题卡相应的位置）
19．尺规作图：请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）．

【分析】作∠AOB的交平分线和线段MN的垂直平分线的交点即为所求．
解：如图：点P即为所求．


【点评】本题考查了复杂作图，掌握角平分线的性质和线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
20．已知，如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D，BC＝BD，求证：△ABD≌△EBC．

【分析】根据∠1＝∠2，可得∠ABD＝∠EBC，然后结合∠C＝∠D，BC＝BD，利用ASA可证明△ABD≌△EBC．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠EBD＝∠2+∠EBD，
∴∠ABD＝∠EBC，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC（ASA）．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
21．如图，在△ABE和△DCF中，B、E、C、F共线，AB∥CD，AB＝CD，BF＝CE，求证：AE＝DF．

【分析】根据平行线性质求出∠B＝∠C，求出BE＝CF，由“SAS”可证△ABE≌△DCF，可得AE＝DF．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
∵BF＝CE，
∴BF﹣EF＝CE﹣EF，
即BE＝CF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴AE＝DF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，求证：BE＝CF．

【分析】欲证明BE＝CF，只要证明Rt△BDE≌Rt△CDF即可；
【解答】证明：∵AB＝AC，AD为∠BAC的平分线
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE＝DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴BE＝CF．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是证明Rt△BDE≌Rt△CDF．
23．如图，一块四边形的纸板剪去△DEC，得到四边形ABCE，测得∠BAE＝∠BCE＝90°，BC＝CE，AB＝DE．
（1）能否在四边形纸板上只剪一刀，使剪下的三角形与△DEC全等？请说明理由；
（2）求∠D的度数．

【分析】（1）证明△ABC≌△DEC（SAS）即可；
（2）由全等三角形的性质得出AC＝DC，∠ACB＝∠DCE，得出∠ACD＝∠BCE＝90°，证出△ACD是等腰直角三角形，即可得出答案．
解：（1）能，沿AC剪下一刀，△ABC≌△DEC；理由如下：
连接AC，如图所示：
∵∠BAE＝∠BCE＝90°，
∴∠ABC+∠AEC＝180°，
∵∠AEC+∠DEC＝180°，
∴∠DEC＝∠B，
在△ABC和△DEC中，，
∴△ABC≌△DEC（SAS）．
（2）∵△ABC≌△DEC，
∴AC＝DC，∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE＝90°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠D＝∠DAC＝45°．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
24．（1）如图1，已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则图中共有 　5　个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是 　BE+CF＝EF　，△AEF的周长是 　20　．
（2）如图2，若将（1）中“△ABC中，AB＝AC”改为“AB≠AC”其余条件不变，则EF与BE、CF之间的数量关系？证明你的结论．
（3）已知：如图3，D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间又有何数量关系 　BE﹣CF＝EF　．

【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，然后求出∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，再根据等角对等边可得BE＝DE，CF＝DF，然后解答即可；
（2）根据角平分线的定义可得∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，然后求出∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，再根据等角对等边可得BE＝DE，CF＝DF，然后解答即可；
（3）由（2）知BE＝ED，CF＝DF，然后利用等量代换即可证明BE、CF、EF有怎样的数量关系．
解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴DB＝DC
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，
∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，
∴BE＝DE，CF＝DF，AE＝AF，
∴等腰三角形有△ABC，△AEF，△DEB，△DFC，△BDC共5个，
∴BE+CF＝DE+DF＝EF，
即BE+CF＝EF，
△AEF的周长＝AE+EF+AF＝AE+BE+AF+FC＝AB+AC＝20．
故答案为：5；BE+CF＝EF；20；
（2）BE+CF＝EF，理由如下：
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，
∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，
∴BE＝DE，CF＝DF，
∴BE+CF＝DE+DF＝EF，即BE+CF＝EF．
（3）由（1）知BE＝ED，
∵EF∥BC，
∴∠EDC＝∠DCG＝∠ACD，
∴CF＝DF，
又∵ED﹣DF＝EF，
∴BE﹣CF＝EF．
故答案为：BE﹣CF＝EF．
【点评】本题是三角形综合题，考查的是等腰三角形的性质和判断，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
25．点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s．
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；
（2）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．

【分析】（1）先证明△ABQ≌△CAP，从而得到∠BAQ＝∠ACP，然后利用三角形的外角的性质求解即可；
（2）先证明△ACQ≌△CBP，从而得到∠CAQ＝∠BCP然后依据∠CAM+∠ACM＝∠BCP+∠ACM求解即可．
解：（1）∠CMQ＝60°不变．
∵△ABC为等边三角形，
∴CA＝AB，∠CAP＝∠ABQ＝60°．
∵AP＝BQ，
∴△CAP≌△ABQ．
∴∠ACP＝∠BAQ．
∴∠CMQ＝∠ACM+∠MAC＝∠BAQ+∠MAC＝60°．
（2）∠CMQ＝120°不变
∵△ABC为等边三角形，
∴CA＝AB＝BC，∠ACB＝∠ABC＝60°．
∴∠ACQ＝∠CBP＝120°．
∵AP＝BQ，
∴CQ＝BP．
∴△ACQ≌△CBP．
∴∠CAQ＝∠BCP．
∴∠CMQ＝∠CAM+∠ACM＝∠BCP+∠ACM＝180°﹣60°＝120°．
【点评】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．