精品解析：广东省深圳市坪山区同心外国语学校2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试卷

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2022—2023学年广东省深圳市坪山区同心外国语学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题
1. 2022年5月17日，工业和信息化部负责人在“2022世界电信和信息社会日”大会上宣布，我国目前已建成5G基站近160万个，成为全球首个基于独立组网模式规模建设5G网络的国家．将数据160万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解答：解：160万=1600000=，
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2. 下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图．
【详解】解：A、圆锥体的俯视图是圆，故此选项不合题意；
B、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项符合题意；
C、球的俯视图是圆，故此选项不合题意；
D、圆柱体的俯视图是圆，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
3. 如图，直线ABCDEF，若AC=3，CE=4，则的值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由平行线分线段成比例直接得到答案．
详解】解：∵ABCDEF
∴
∵AC=3，CE=4
∴，
故选C．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，解题的关键在于能够熟练掌握平行线分线段成比例．
4. 关于方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况．
【详解】解：∵方程中的，，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，用判别式来判断，若，则有两个不相等的实数根；，则有两个相等的实数根；，则无实数根．
5. 下列说法正确的是（　　）
A. 对角线互相垂直的四边形是菱形
B. 矩形的对角线互相垂直
C. 对角线相等的菱形是正方形
D. 一组对边平行的四边形是平行四边形
【答案】C
【解析】
【分析】利用菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定和矩形的性质依次判断可求解．
【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故A选项不符合题意；
B、矩形的对角线相等，故B选项不符合题意；
C、对角线相等的菱形是正方形，故C选项符合题意；
D、两组对边平行的四边形是平行四边形，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，菱形的判定，平行四边形的判定，掌握这些判定和性质是本题的关键．
6. 点在反比例函数的图象上，则在此图象上的是点（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据点在反比例函数的图象上，求出k，再根据判断即可．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴只有才符合要求，
∴只有C符合要求：．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．
7. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】A选项可以根据一次函数与y轴交点判断，其他选项根据图象判断a的符号，看一次函数和反比例函数判断出a的符号是否一致；
【详解】一次函数与y轴交点为（0，1），A选项中一次函数与y轴交于负半轴，故错误；
B选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者一致，故B选项正确；
C选项中，根据一次函数y随x增大而增大可判断a>0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者矛盾，故C选项错误；
D选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过二、四象限，则-a<0，即a>0，两者矛盾，故D选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数图象共存问题，解决此类题目要熟练掌握一次函数、反比例函数图象与系数的关系．
8. 我国古代数学著作《九章算术》中有“井深几何”问题如下：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径五寸，问井深几何？”它的题意可以由如图获得，则井深为多少尺．（1尺=10寸）（ ）

A. 40 B. 45 C. 50 D. 55
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可知，根据相似三角形的性质可求，进一步得到井深．
【详解】解：依题意有，
∴，
即，
解得，
∴（尺）．
故选：B．
【点睛】考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是得到．
9. 如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作的∠BAD平分线交BC于点E，若AE=8，AB=5，则BF的长为（ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据尺规作图可得四边形ABEF为菱形，故可根据勾股定理即可求解.
【详解】连接EF，设AE、BF交于O点，
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠FAE，
又AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB,
∴∠AEB=∠BAE，
∴AB=BE，
故AF=BE，又AF∥BE，
∴四边形ABEF是菱形，
故AE⊥BF，
∵AE=8，AB=5
∴BF=2BO=
故选C

【点睛】此题主要考查菱形的判定与性质，解题的关键是熟知特殊平行四边形的判定与性质及勾股定理的应用.
10. 如图，在正方形中，对角线，相交于点O，点E在边上，且，连接交于点G，过点D作，连接并延长，交于点P，过点O作分别交，于点N，H，交的延长线于点Q，现给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）个．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】①由“”可证，可得，由等腰三角形的性质可求；④由外角的性质可求；②由“”可证，可得；③通过证明，可得，进而可得结论．
【详解】解：∵四边形是正方形，

∴，，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确；
如图，过点O作于K，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，故④正确；
∵，，，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，，
∴，故③错误．
综上，正确的是①②④．
故选：C．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
二、填空题
11. 已知，则的值为_____．
【答案】1
【解析】
【分析】由比例的性质，设，则，，，然后代入计算，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，设，
∴，，，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质进行解题．
12. 在一个不透明的口袋中装有红、黄两种颜色的球，他们形状大小完全相同，其中5个红球，若干个黄球，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，重复以上过程，经过多次实验发现摸到红球的频率稳定在0.2附近，据此估计袋中黄球的个数约为 ___个．
【答案】20
【解析】
【分析】设袋中黄球的个数有个，根据摸到红球的频率稳定在0.2附近，列出方程即可解决问题．
【详解】设袋中黄球的个数有个，根据题意，得：
，
解得，
经检验是原方程的解，
估计袋中黄球的个数约为个．
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，概率公式的简单运用，理解用频率估计概率是解题的关键．
13. 在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树的高度．如图，数学小组发现大树离教学楼有5m，高1.4m的竹竿在水平地面的影子长1m，此时大树的影子有一部分映在地面上，还有一部分映在教学楼的墙上，墙上的影子离为2m，那么这棵大树高___________m．

【答案】9
【解析】
【分析】根据同一时刻影长与物高成比例，先求出CE，再求AB即可．
【详解】解：延长AD交BC延长线于E，
根据同一时刻影长与物高成比例可得CE：CD=1：1.4，
∵CD=2m，
∴CE=m，
∴BE=BC+CE=5+=m，
∴BE：AB=1:1.4，
∴AB=9m．
故答案为：9．

【点睛】本题考查平行投影问题，掌握平行摄影的原理是同一时刻影长与物高成比例是解题关键．
14. 对实数a，b定义新运算“*”如下：，如，，若的两根为，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用因式分解法求出一元二次方程的解，判断两根的大小，原式利用题中的新定义计算即可求出值．
【详解】解：，
，
解得：，，
∵，
∴根据题中的新定义得：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了解一元二次方程根，实数的大小比较，弄清题中的新定义是解本题的关键．
15. 如图，矩形硬纸片的顶点A在y轴的正半轴上滑动，顶点B在x轴的正半轴上滑动，，．当最大时，点D的坐标是__________．

【答案】
【解析】
【分析】取的中点M，连接，，，则，故当时，取得最大值，所以当O、M、D三点共线时，最大，过点D作轴于点F，证明，可得，所以，然后利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：如图，取的中点M，连接，，，

则，
故当时，取得最大值，
所以当O、M、D三点共线时，最大，过点D作轴于点F，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵M为AB的中点，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质、坐标与图形性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
三、解答题
16. 解方程：
（1）
（2）．
【答案】（1）x1=-3，x2=1；（2）x1=1，x2=
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）移项后，利用因式分解法求解即可．
【详解】解：（1）∵x2+2x-3=0，
∴（x+3）（x-1）=0，
则x+3=0或x-1=0，
解得x1=-3，x2=1；
（2）∵3x（x-1）=2（1-x），
∴3x（x-1）=-2（x-1），
∴3x（x-1）+2（x-1）=0，
则（x-1）（3x+2）=0，
∴x-1=0或3x+2=0，
解得x1=1，x2=．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
17. 已知三个顶点的坐标分别为，，．

（1）画出关于原点对称的；
（2）以点O为位似中心，将放大为原来的2倍得到，请在已有网格中画出，并直接写出点的坐标__________．
【答案】（1）详见解析
（2）图见解析，
【解析】
【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标找出、、的坐标，然后顺次连接、、即可；
（2）把A、B、C的横纵坐标都乘以得到、、的坐标，然后顺次连接、、即可．
【小问1详解】
解：如图，为所作；
【小问2详解】
如图，为所作，点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．也考查了关于原点的中心对称变换．
18. 电子政务、数字经济、智慧社会……一场数字革命正在神州大地激荡．在第二届数字中国建设峰会召开之际，某校举行了第二届“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛，将该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后，绘制成如下统计图表（不完整）：
“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛成绩频数分布统计表
组别
成绩（分）
人数


10





16


4

请观察上面的图表，解答下列问题：
（1）统计表中__________；统计图中__________，组的圆心角是__________度．
（2）组的4名学生中，有2名男生和2名女生．从组随机抽取2名学生参加体验活动，请你画出树状图或用列表法求恰好1名男生和1名女生被抽取参加体验活动的概率．
【答案】（1）20，32，28.8；（2）
【解析】
【分析】（1）由A组的人数除以所占百分比求出该校八年级参加竞赛的学生人数，即可解决问题；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，恰好1名男生和1名女生被抽取参加5G体验活动的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：（1）该校八年级参加竞赛学生人数为：10÷20%=50（人），
∴m=50-10-16-4=20，n%=16÷50×100%=32%，D组圆心角为：360°×=28.8°，
∴n=32，
故答案为：20，32，28.8；
（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，恰好1名男生和1名女生被抽取参加5G体验活动的结果有8种，
∴恰好1名男生和1名女生被抽取参加5G体验活动的概率为．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了频数分布统计表和扇形统计图．
19. 今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2020年，2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的出厂价调整为162元/件．
（1）这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率．
（2）2021年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了尽快减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低3元，每天可多售出6个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
【答案】（1）平均下降率为10%
（2）单价应降低15元
【解析】
【分析】（1）设平均下降率为，利用2021年该类电脑显卡的出厂价年该类电脑显卡的出厂价×（1下降率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）设单价应降低元，则每个的销售利润为元，每天可售出个，利用每天销售该电脑显卡获得的利润每个的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值即可得出结论．
【小问1详解】
解；设平均下降率为，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：平均下降率为10%；
【小问2详解】
解：设单价应降低元，则每个的销售利润为元，每天可售出个，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
∵为了减少库存，
∴，
答：单价应降低15元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20. 如图，已知的对角线AC、BD交于点O，且∠1=∠2．

（1）求证：是菱形．
（2）F为AD上一点，连接BF交AC于E，且AE=AF，若AF=3，AB=5，求BD的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形来证明即可求出答案；
（2）根据三角形中等边对等角找出菱形中对角线的长，再根据菱形的性质得到对角线相互垂直找出直角三角形，最后利用勾股定理即可求出答案．
【小问1详解】
证明：∵四边形 是平行四边形 ，
∴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴，且四边形是平行四边形 ，
故是菱形．
【小问2详解】
解：∵是菱形， ，
∴ ，，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
∴．
故．
【点睛】本题主要考查菱形的判断和性质．在平行四边形中根据角和边的关系证明平行四边形是菱形，再根据菱形的性质找出直角三角形，最后解直角三角形即可求出答案，理解和掌握菱形的判断、性质、勾股定理是解题的关键．
21. 如图，直线与双曲线交于两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且．

（1）求的值并直接写出点的坐标；
（2）点是轴上的动点，连接，求的最小值；
（3）是轴上的点，是平面内一点，是否存在点，使得为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）
（3）存在，点P的坐标为或或或
【解析】
【分析】（1）将点A的坐标为代入直线中，可求得，即可求得，解方程组，即可求出点B的坐标；
（2）如图1，作轴于点E，轴于点F，则，，利用相似三角形性质即可求得，作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点G，则即为的最小值，运用勾股定理即可求得答案；
（3）分两种情况：当点P在x的正半轴上时，当点P在x的负轴上时，如图2，设点的坐标为，过点B作轴于点E，通过，建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：将点A的坐标为代入直线中，
得，
解得：，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为，
由，得或，
∴点B的坐标为；
【小问2详解】
如图1，作轴于点E，轴于点F，

∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点G，
则即为的最小值，
∵，，
∴，
∴；
【小问3详解】
存在．理由如下：
当点P在x的正半轴上时，如图2，设点的坐标为，

过点B作轴于点E，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
当点P在x的负轴上时，如图2，设点的坐标为，
过点A作轴于点H，
同理证得点的坐标为，
当四边形或是矩形四边形时，，
∴点P的坐标为或，
综上所述，点P的坐标为或或或．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数综合题，考查了待定系数法，轴对称性质，最短问题，矩形性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题．
22. 如图，已知：在矩形中，，，点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；与点P同时，点Q从D点出发，沿方向匀速运动，速度为；过点Q作，交DC于点E，设运动时间为，，解答下列问题：

（1）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（2）设五边形的面积为y，求y与t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，的值为或时，是直角三角形
【解析】
【分析】（1）根据角平分线性质，得，运用勾股定理建立方程求解即可；
（2）根据，可得，分别用含的代数式表示出，，，再利用，即可解决问题；
（3）分三种情况讨论：①当时，先证明，根据相似三角形性质建立方程求解即可；②当时，过点P作线段于点I，根据，建立方程求解；③当，不满足题意．
【小问1详解】
解：如图1，当平分，有，

∵矩形ABCD中，，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由题意知：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，，
∵，
∴，
∴当秒时，PQ平分；
【小问2详解】
解：如图2，当P、Q运动时间为ts时，，，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴y与t的函数关系式为：；
【小问3详解】
解：①当，如图3，

∵，，
∴，
∵，
∴，
当运动时间为t s时，
∵，
由（2）可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴；
②当时，如图4，过点P作线段于点I，

∵，，
∴，
∵，
∴，
当运动时间为t s时，
∵，
由（2）可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴；
③当，不满足题意，
综上所述，的值为或时，是直角三角形．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，图形面积的计算，二次函数解析式，直角三角形性质，勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握相似三角形的判定和性质等相关知识，运用方程思想和分类讨论思想思考问题是解题关键．