【期中单元测试卷】（北师大版）2023-2024学年八年级数学上册 第1章 勾股定理（单元重点综合测试）

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第1章 勾股定理（单元重点综合测试）

一、单选题
1．下列各组数中，是勾股数的是（    ）
A．3，4，4 B．5，6，7 C．，， D．5，12，13
【答案】D
【分析】根据勾股数的定义逐项判断即可．
【解析】A、，不是勾股数，该选项不符合题意；
B、，不是勾股数，该选项不符合题意；
C、，，不是正整数，不是勾股数，该选项不符合题意；
D、，且5，12，13均为正整数，是勾股数，该选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查勾股数的定义（能够成为直角三角形三个边长的正整数叫做勾股数），牢记勾股数的定义是解题的关键．
2．直角三角形的两直角边长分别为3和4，则它的最长边的长度为（　　）
A．5 B．4 C．5或 D．5或4
【答案】A
【分析】根据勾股定理进行计算即可．
【解析】解：由题意得：斜边为：，
此时最长边为5．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
3．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用勾股定理求出，进而结合数轴可得答案．
【解析】解：根据题意可得：，
，
∴点A表示的数为，
故选C．
  
【点睛】此题主要考查了实数与数轴，勾股定理，正确求出长是解题关键．
4．如图，在中，，，，点是的中点，连接，则的长为（    ）

A． B． C．3 D．4
【答案】A
【分析】先证明，再利用勾股定理可得，从而可得答案．
【解析】解：∵，，，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
故选A
【点睛】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，熟记勾股定理与勾股定理的逆定理是解本题的关键．
5．如图，在边长为1的小正方形网格中，P为上任一点，的值为（　　）
  
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【分析】先根据勾股定理用，表示出，用，表示出，再把,代入进行计算即可．
【解析】解：∵与是直角三角形，，，
∴，
，
∴，
故选 D．
【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
6．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用两个以a和b为直角边三角形面积与一个直角边为c的等腰直角三角形面积和等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积推导勾股定理可判断A，
利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积与边长为c的小正方形面积和等于以a+b的和为边正方形面积推导勾股定理可判断B，
利用以a与（a+b）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b的小正方形面积和等于以c为边正方形面积推导勾股定理可判断C，
利用四个小图形面积和等于大正方形面积推导完全平方公式可判断D．
【解析】解: A、两个以a和b为直角边三角形面积与一个直角边为c的等腰直角三角形面积和等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积，故，整理得： ，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、以a与b为两直角边四个全等三角形面积与边长为c的小正方形面积和等于以a+b的和为边正方形面积，故，整理得： ，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、以a与（a+b）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b的小正方形面积和等于以c为边正方形面积，，整理得： ，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、四个小图形面积和等于大正方形面积， ，根据图形证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查利用面积推导勾股定理与完全平方公式，掌握利用面积推导勾股定理与完全平方公公式是关键．
7．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、1、3，则最大的正方形E的面积是（    ）
  
A．11 B．47 C．26 D．35
【答案】D
【分析】如图，根据勾股定理分别求出F、G的面积，再根据勾股定理计算出E的面积即可．
【解析】解：如图，
  
由勾股定理得，正方形F的面积正方形A的面积正方形B的面积，
同理，正方形G的面积正方形C的面积正方形D的面积 ，
∴正方形E的面积正方形F的面积正方形G的面积 ，
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．
8．如图，一艘轮船在处测的灯塔在北偏西15°的方向上，该轮船又从处向正东方向行驶20海里到达处，测的灯塔在北偏西60°的方向上，则轮船在处时与灯塔之间的距离（即的长）为（    ）

A．海里 B．海里
C．40海里 D．海里
【答案】D
【分析】过作于，解直角三角形求出和，即可解决问题．
【解析】解：过作于，如图所示：

在中，，海里，
∴（海里），（海里），
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴海里，
∴海里，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形-方向角问题，正确的作出辅助线是解题的关键．
9．如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝，高BC＝12cm，P为BC的中点，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬到点的最短距离为　　

A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm
【答案】B
【分析】把圆柱的侧面展开，连接，利用勾股定理即可得出的长，即蚂蚁从点爬到点的最短距离．
【解析】解：如图：展开后线段的长度是圆柱中半圆的周长，

圆柱底面直径、高，为的中点，
，

在中，，
蚂蚁从点爬到点的最短距离为，
故选：．
【点睛】本题考查的是平面展开最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
10．如图，已知，且，， ，则A，F两点间的距离是（    ）

A．14 B． C． D．10
【答案】D
【分析】过点F作FG⊥AB交AB的延长线于点G，根据题意求出AG、FG，根据勾股定理计算，得到答案．
【解析】解：过点F作FG⊥AB交AB的延长线于点G，
则AG=AB+CD+EF=8，FG=BC+DE=6，
由勾股定理得，AF==10，
故选D．

【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．

二、填空题
11．已知：中，，，．求的周长 ．
【答案】
【分析】利用勾股定理求出，即可得到的周长．
【解析】解：中，，，．
由勾股定理可得，，
∴的周长为，
故答案为：
【点睛】此题考查了勾股定理，熟知直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
12．在中，，，则 ．
【答案】18
【分析】根据勾股定理求得，代入式子即可求解．
【解析】解：如图所示，

∵在中，，，
∴，
故答案为：18．
【点睛】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
13．已知三角形ABC的三条边长a，b，c满足，则△ABC的面积为 ．
【答案】．
【分析】根据二次根式有意义条件可得，求出，利用非负数性质求出，利用勾股定理逆定理判定△ABC的形状，利用面积公式求即可．
【解析】解：∵都是二次根式，
∴
解得
∴
∴，，
∴，
∴
∵
∴△ABC为直角三角形，
S△ABC=．
故答案为．
【点睛】本题考查二次根式有意义条件，解不等式组，非负数性质，勾股定理逆定理，熟知二次根式有意义条件，非负数性质，勾股定理逆定理是解题关键．
14．的三边为a、b、c，若满足，则 ；若满足，则是 角；若满足，则是 角．
【答案】 钝 锐
【分析】根据勾股定理的逆定理：若三角形三边满足 ，则这个三角形是直角三角形，进行求解即可．
【解析】解：若，则∠B=90°；若，则∠B是钝角；若，则∠B是锐角，
故答案为：∠B，钝，锐．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形三边的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
15．如图，在正方形网格中，若每个小方格的边长都为1，则的面积为 ．

【答案】13
【分析】根据网格的特点和勾股定理求得,根据勾股定理的逆定理判定为直角三角形，进而根据直角三角形的面积公式求解．
【解析】，，,
，
为直角三角形，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了网格与勾股定理以及勾股定理的逆定理，掌握勾股定理是解题的关键．
16．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为 ．
  
【答案】64
【分析】根据勾股定理求解即可．
【解析】解：如图，字母A代表的正方形的面积，
故答案为：64．
  
【点睛】本题考查了勾股定理，正确理解题意、熟练掌握求解的方法是解题的关键．
17．如图，佳佳在玩耍时，用四个完全一样的小直角三角板按如图摆放，恰好放在一个大直角三角形内，大直角三角形的两条直角边分别为和，则图中四个小三角形的周长之和为 ．

【答案】
【分析】根据勾股定理和平移知识解答．
【解析】由勾股定理得，由平移的性质得到：图中四个小三角形的周长之和为大直角三角形的周长=．
故答案为：．
【点睛】考查了勾股定理，生活中的平移现象，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．
18．如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点落在直角边的延长线上的点处，折痕为，则的长为 ．
  
【答案】
【分析】勾股定理求出的长，折叠得到，利用即可得解．
【解析】解：∵，，，
∴，
∵翻折，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理和折叠问题．熟练掌握折叠的性质，是解题的关键．

三、解答题
19．如图，在Rt中，，，，于．

求：（1）斜边的长；
（2）高的长．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用勾股定理计算出的长即可；
（2）根据三角形的面积公式计算出的长即可．
【解析】解：（1）在中，，，，
；
（2），
，
解得．
故高的长为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，以及三角形的面积，解题的关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
20．如图，，，，垂足分别为，．
  
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）利用“”可证明；
（2）先利用全等三角形的性质得到，再利用勾股定理计算出，从而得到的长，然后计算即可．
【解析】（1）证明：，，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
在中，，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
21．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题．有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇(点P是的中点)，它高出水面1尺(尺)． 如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面()． 水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
  
【答案】水的深度PN为12尺，芦苇MN的长度为13尺
【分析】在中，根据勾股定理列出方程，求出的长，即可求解．
【解析】解：∵，点P是的中点，
∴．
∵，
∴．
在中，根据勾股定理，
．
∴．
解得，
∴．
答：水的深度为12尺，芦苇的长度为13尺．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
22．某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，若每平方米草皮需要元，问学校需要投入多少资金买草皮？
  
【答案】学校需要投入元买草皮
【分析】先利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理得出，最后利用三角形的面积得出答案．
【解析】解：连接，
  
，，，，
∴，
∴，
在中

又，

，
是直角三角形，
四边形的面积，
学校要投入资金为：元；
答：学校需要投入元买草皮．
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确得出是直角三角形是解题关键.
23．如图，，，，，把沿折叠，点折叠到点，的延长线与射线交于点．

（1）求的长；
（2）求的面积．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）首先由折叠的性质得出，进而利用直角三角形两锐角互余得出，进而利用30°所对的直角边是斜边的一半即可求解；
（2）首先根据勾股定理得出EC的长度，进而求出EB的长度，最后利用求解即可．
【解析】（1）∵把沿折叠，点折叠到点，
∴，
．
，
．
，
；
（2），
．
，
，
．
【点睛】本题主要考查折叠与勾股定理，掌握折叠的性质及勾股定理的内容是关键．
24．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图2中，画一个三角形，使它的三边长分别为；
（3）在图3中，画一个钝角三角形，使它的面积为4．

【答案】（1）见解析；（2）见解析（3）见解析
【分析】（1）画一个三边分别为3,4,5的直角三角形即可；
（2）根据网格的特点以及勾股定理，分别找到边长分别为的线段，通过平移的方法将三条线段首位相连即可；
（3）根据网格的特点画一个底为2高为4的钝角三角形即可；
【解析】（1）如图所示，

，
则即为所求三角形；
（2）如图所示，

，
则即为所求三角形；
（3）如图所示，


则即为所求三角形；
【点睛】本题考查了网格作图，勾股定理，根据勾股定理找到符合题意的线段是解题的关键．
25．一架云梯长，如图所示斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙．
  
(1)这个梯子的顶端A距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？
【答案】(1)这个梯子的顶端A距地面
(2)梯子的底部在水平方向滑动了

【分析】（1）根据题意得出，，利用勾股定理求解即可；
（2）由题意得，，再由勾股定理得出，即可求解．
【解析】（1）在中，，，
∴．
答：这个梯子的顶端A距地面 ．
（2）在中，，，
∴，
∴．
答：如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底部在水平方向滑动了．
【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练掌握运用勾股定理是解题关键．
26．观察、思考与验证．
（1）如图1是其中一条完全平方公式的几何解释，请你写出这个公式__________．

（2）如图2所示，，，且，，在同一直线上．则______．

（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程．
【答案】（1）；（2）90；（3）证明见解析
【分析】（1）用面积分割法证明：大正方形的面积等于小正方形和两个长方形的面积之和，从而推出平方和公式；
（2）利用全等三角形对应角相等，直角三角形的两个锐角互余，推出直角；
（3）用面积分割法法证明勾股定理：梯形ABDE的面积=三角形ABC的面积+三角形 CDE的面积+三角形ACE的面积．
【解析】（1）这个公式是完全平方公式：；理由如下：
∵大正方形的边长为，
∴大正方形的面积，
又∵大正方形的面积＝两个小正方形的面积＋两个矩形的面积
，
∴．
故答案为：．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）∵，
∴，
∴，即四边形是梯形，
∴四边形的面积，
整理得：．
【点睛】本题考查了勾股定理和用面积法证明代数恒等式，用面积法证明代数恒等式是常用的代数式变形，采用了数形结合的方式，直观易懂．
27．如图①在中，，，点和点均在边上，且．
（1）如图②把绕点顺时针旋转90°至，可使与重合，连接，求证：
（2）试猜想、、应满足的数量关系，并写出推理过程．

【答案】（1）见详解；（2）DE2＝CE2＋BD2，理由见详解
【分析】（1）由旋转可知，△ABD≌△ACG，则AD＝AG，可求∠EAG＝45°，则可证明△DAE≌△GAE（SAS）；
（2）△DAE≌△GAE，则有BD＝EG，再由旋转，BD＝CG，∠ACG＝∠B，可得∠ECG＝90°，在Rt△CEG中，EG2＝EC2＋CG2，可得DE2＝CE2＋BD2．
【解析】解：（1）由旋转可知，△ABD≌△ACG，
∴AD＝AG，∠CAG=∠BAD，
∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，
∴∠EAG＝∠CAE+∠CAG=∠CAE+∠BAD=90°-45°=45°，
在△DAE和△GAE中，
，
∴△DAE≌△GAE（SAS）；
（2）由△DAE≌△GAE，
∴BD＝EG，
由旋转，BD＝CG，∠ACG＝∠B=45°，
∴∠ECG＝∠ACG+∠ACB=90°，
在Rt△CEG中，EG2＝EC2＋CG2，
∴DE2＝CE2＋BD2．
【点睛】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质、三角形全等的判定与性质，熟练应用勾股定理是解题的关键．
28．如图①已知和中，，，，按照图①的位置摆放，直角顶点重合．

（1）写出与的关系；
（2）如图②，点、、在同一直线上时，若，，求长为________．
（3）如图③，若，，，求的长．
【答案】（1），；（2）；（3）9
【分析】（1）如图①，延长AD交BE于点G，设DG与BC的交点为点F，通过证明即可证得，；
（2）如图②中，设交于．在中，由，，推出，由，推出，在中，由，，，根据即可解决问题；
（3）如图③中，连接，首先证明推出，再证明，利用勾股定理求出线段即可解决问题．
【解析】解：（1），，理由如下：
如图①，延长AD交BE于点G，设DG与BC的交点为点F，

∵，
∴，
，
在和中，

（SAS），
，，
又∵，

，
，
和的关系是，；
（2）解：如图②中，设交于点．

由（1）可知，
，，
，
，
，，
，
，
，
，，，
，
故答案为：；
（3）解：如图③中，连接，

，
∴，
，
∴在和中，

（SAS），
，
，，
，，
又，
，
又，，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．