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新高考物理一轮复习刷题练习第87讲 电磁感应中的单杆模型（含解析）
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这是一份新高考物理一轮复习刷题练习第87讲 电磁感应中的单杆模型（含解析），共22页。
第87讲 电磁感应中的单杆模型
1．（2022•上海）宽L＝0.75m的导轨固定，导轨间存在着垂直于纸面且磁感应强度B＝0.4T的匀强磁场。虚线框Ⅰ、Ⅱ中有定值电阻R0和最大阻值为20Ω的滑动变阻器R。一根与导轨等宽的金属杆以恒定速率向右运动，图甲和图乙分别为变阻器全部接入和一半接入时沿abcda方向电势变化的图像。求：
（1）匀强磁场的方向；
（2）分析并说明定值电阻R0在Ⅰ还是Ⅱ中，并且R0大小为多少：
（3）金属杆运动时的速率；
（4）滑动变阻器阻值为多少时变阻器的功率最大？并求出该最大功率Pm。
【解答】解：（1）a点电势比d点电势高，说明导体棒上端为电源正极，导体棒切割磁感线产生感应电流向上，根据右手定则判断得出匀强磁场的方向垂直纸面向里
（2）滑动变阻器从全部接入到一半接入电路，回路里电流变大，定值电阻R0上电压变大，图甲的Ucd小于图乙的Ucd，可以推理得定值电阻在Ⅰ内，滑动变阻器在Ⅱ
根据欧姆定律得：甲图中回路电流I甲，乙图中回路电流I乙0.1A
甲图中定值电阻R0上电压φ0﹣1.2＝0.06R
乙图中定值电阻R0上电压φ0﹣1.0＝0.1R
联立解得：R＝5Ω，φ0＝1.5V
（3）金属杆产生的感应电动势E＝BLv，E＝φ0
联立解得v5m/s
（4）根据甲乙两图可知导体棒电阻不计，由闭合电路欧姆定律得I
滑动变阻器上的功率p＝I2R，当R＝5Ω时，滑动变阻器有最大功率Pm＝0.1125W
答：（1）匀强磁场的方向垂直纸面向里
（2）定值电阻R0在Ⅰ中，定值电阻R0＝5Ω
（3）金属杆运动时的速率为5m/s
（4）滑动变阻器阻值为5Ω时变阻器的功率最大，最大功率为0.1125W
一.知识回顾
1.力学对象和电学对象的相互关系
2.能量转化及焦耳热的求法
(1)能量转化
(2)求解焦耳热Q的三种方法(纯电阻电路)
3.单杆模型
初态
v0≠0
v0＝0
示意图
质量为m、电阻不计的单杆ab以一定初速度v0在光滑水平轨道上滑动，两平行导轨间距为l
轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为l
轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为l，拉力F恒定
轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为l，拉力F恒定
运动分析
导体杆做加速度越来越小的减速运动，最终杆静止
当E感＝E时，v最大，且vm＝，最后以vm匀速运动
当a＝0时，v最大，vm＝，杆开始匀速运动
Δt时间内流入电容器的电荷量Δq＝CΔU＝CBlΔv
电流I＝＝CBl＝CBla
安培力F安＝IlB＝CB2l2a
F－F安＝ma，a＝，
所以杆以恒定的加速度匀加速运动
能量分析
动能转化为内能，mv＝Q
电能转化为动能和内能，E电＝mv＋Q
外力做功转化为动能和内能，WF＝mv＋Q
外力做功转化为电能和动能，WF＝E电＋mv2
二.例题精析
题型一：单杆+电阻模型之动态分析
（多选）例1．如图所示，MN和PQ是两根互相平行、竖直放置的足够长的光滑金属导轨，电阻不计，匀强磁场垂直导轨平面向里。具有一定质量和电阻的金属杆ab垂直导轨放置，与导轨接触良好。开始时，断开开关S，让金属杆ab由静止开始沿导轨下落，经过一段时间后，闭合开关S。从闭合开关S开始计时，取竖直向下为正方向，金属杆的速度v、加速度a、安培力F及电流表示数i随时间t变化的图象可能是图中的（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：闭合开关时，金属棒受到向下的重力以及向上的安培力，若重力与安培力相等，即mg＝BIL，金属杆做匀速直线运动。速度不变，则动能、安培力、感应电流都不变，加速度为零。
若安培力小于重力，则加速度的方向向下，做加速运动，加速运动的过程中，安培力增大，则加速度减小，做加速度逐渐减小的加速运动，当重力与安培力相等时，做匀速直线运动，则a﹣t图象是斜率逐渐减小的曲线，v﹣t图象是一条斜率减小的曲线。安培力为
F安，图线先是一条斜率逐渐减小的曲线，之后恒定不变，因为I，所以I﹣t图象先是一条斜率逐渐减小的的曲线，当金属杆匀速时，电流恒定不变，但t＝0时金属杆有速度，所以t＝0时电流不等于零。
若安培力大于重力，则加速度的方向向上，做减速运动，减速运动的过程中，安培力减小，做加速度逐渐减小的减速运动，当重力与安培力相等时，做匀速直线运动。安培力为F安，所以F﹣t图象是斜率逐渐减小的曲线，当匀速运动时，安培力不再减小，此时安培力等于重力，故AD错误，BC正确。
故选：BC。
题型二：单杆+电阻模型之通过动量定理求位移和电荷量
例2．如图所示，间距为L＝1m的光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨足够长且电阻不计，左端接有阻值R＝2Ω的定值电阻。质量为m＝1kg的金属棒放在导轨上。整个装置处在垂直于导轨平面向下的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为1T。现对金属棒施加个平行导轨向右的水平拉力，使金属棒从静止开始运动，金属棒运动过程中始终与两导轨垂直并接触良好，金属棒接入电路的电阻为r＝2Ω。求：
（1）若施加的拉力大小恒为1N，金属棒运动的最大速度为多少；当速度为最大速度一半时，金属棒的加速度多大？
（2）若水平拉力的功率恒定为1W，则施加拉力后的4s内（此时金属棒已做匀速运动），电阻R上产生的焦耳热多大？
【解答】解：（1）金属棒切割磁感线时产生感应电动势，产生感应电流，当金属棒速度达到最大时，拉力等于安培力，
根据平衡条件可得：F＝F安＝BIL
其中：I
解得：v＝4m/s
当金属棒速度为v′2m/s时，
根据牛顿第二定律可得：Fma
代入数据解得：a＝0.5m/s2；
（2）由于拉力的功率恒定，因此速度增大，拉力减小，当拉力减小到等于安培力时，金属棒做匀速直线运动，设此时的速度大小为v1，
则有：F1
代入数据解得：v1＝2m/s
设电阻R上产生的焦耳热为Q，根据能量守恒有：
Pt＝2Qmv12
解得：Q＝1J。
答：（1）若施加的拉力大小恒为1N，金属棒运动的最大速度为4m/s；当速度为最大速度一半时，金属棒的加速度0.5m/s2；
（2）若水平拉力的功率恒定为1W，则施加拉力后的4s内（此时金属棒已做匀速运动），电阻R上产生的焦耳热为1J。
题型三：单杆+电容模型之充电过程分析
（多选）例3．如图所示，宽为L的水平光滑金属轨道上放置一根质量为m的导体棒MN，轨道左端通过一个单刀双掷开关与一个电容器和一个阻值为R的电阻连接，匀强磁场的方向与轨道平面垂直，磁感应强度大小为B，电容器的电容为C，金属轨道和导体棒的电阻不计。现将开关拨向“1”，导体棒MN在水平向右的恒力F作用下由静止开始运动，经时间t0后，将开关S拨向“2”，再经时间t，导体棒MN恰好开始匀速向右运动。下列说法正确的是（ ）
A．开关拨向“1”时，金属棒做加速度逐渐减小的加速运动
B．t0时刻电容器所带的电荷量为
C．开关拨向“2”后，导体棒匀速运动的速率为
D．开关拨向“2”后t时间内，导体棒通过的位移为（t）
【解答】解：A、开关拨向“1”时，在极短时间△t内流过金属棒的电荷量为△Q，则电路中的瞬时电流为 I
电容器的电压 U＝BLv，电荷量 Q＝CU，则△Q＝C△U＝CBL△v
可得 I＝CBLCBLa
对金属棒，由牛顿第二定律得 F﹣BIL＝ma
联立得金属棒的瞬时加速度为 a
则知金属棒的加速度不变，做匀加速直线运动，故A错误。
B、t0时刻电容器所带的电压 U＝BLat0，电荷量 Q＝CU，则得 Q，故B正确。
C、开关拨向“2”后，导体棒匀速运动时，有 F，则得v，故C正确。
D、开关拨向“2”后t时间内，根据牛顿第二定律得：Fma＝m
则得 F△tm△v
两边求和得：（F△t）＝∑m△v
而∑v△t＝x，∑△v＝v
联立解得位移 x（t）。故D正确。
故选：BCD。
题型四：单杆+电容模型之放电过程分析
例4．如图所示，水平面内有一平行金属导轨，导轨光滑且电阻不计，阻值为R的导体棒垂直于导轨放置，且与导轨接触良好．导轨所在空间存在匀强磁场，匀强磁场与导轨平面垂直，t＝0时，将开关S由1掷向2，分别用q、i、v和a表示电容器所带的电荷量、棒中的电流、棒的速度大小和加速度大小，则图所示的图象中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：首先分析导体棒的运动情况：开关S由1掷到2，电容器放电，在电路中产生放电电流。导体棒通有电流后会受到向右的安培力作用，向右加速运动。导体棒将切割磁感线，产生感应电动势，此感应电动势将电容器的电压抵消一些，随着速度增大，感应电动势增大，则回路中的电流减小，导体棒所受的安培力减小，加速度减小。因导轨光滑，所以在有电流通过棒的过程中，棒是一直加速运动（变加速）。当感应电动势等于电容器的电压时，电路中无电流，导体棒不受安培力，做匀速运动。
A、当棒匀速运动后，棒因切割磁感线有电动势，所以电容器两端的电压能稳定在某个不为0的数值，则由Q＝CU知，电容器的电量应稳定在某个不为0的数值，不会减少到0．这时电容器的电压等于棒的电动势数值，棒中无电流，故A错误。
B、由于通过棒的电流是按指数递减的，最后电流减至零。故B错误。
C、导体棒先做加速度减小的变加速运动。由于电容器放电产生电流使得导体棒受安培力运动，当感应电动势等于电容器的电压时，电路中无电流，导体棒不受安培力时，导体棒做匀速运动。故v﹣t图象是曲线后应是直线。故C错误。
D、根据上面分析可知，杆的加速度逐渐减小直到为零，故D正确。
故选：D。
题型五：单杆+电源模型
例5．（2020•上海）如图所示，足够长的光滑金属导轨L＝0.5m，电阻不计。左端接一个电动势为3V的电源，整个装置处于匀强磁场中。现闭合电键S，质量0.1kg的金属棒ab由静止开始运动，回路的电流逐渐减小，稳定后电源电动势为E，回路的电流为0，从闭合电键到逐渐稳定的过程中，电源提供的能量Es＝10J，电源、导体棒产生的焦耳热分别是Q1＝0.5J，Q2＝4.5J。
（1）求内阻r和电阻R的阻值之比；
（2）求导体棒稳定时的速度和匀强磁场磁感应强度；
（3）分析电键闭合后导体棒的运动情况和能量的转化关系。
【解答】解：（1）由焦耳定律得：Q＝I2Rt，r与R的电流始终相等，则
（2）由能量守恒定律得：
导体棒的动能 Ek＝Es﹣Q1﹣Q2＝10J﹣0.5J﹣4.5J＝5J
由Ek得导体棒稳定时运动的速度为：v＝10m/s
由E＝Blv得：B＝0.6T
（3）导体棒中电流由a指向b，根据左手定则知：安培力方向总与导体棒的运动方向相同，故速度一直增大。
由牛顿第二定律得：FA＝ma
又 EA＝Blv，I
联立得 a
当速度逐渐增大时，加速度逐渐减小，所以速度增加得越来越慢。
当加速度减小到零，即E＝BLv，v＝10m/s时，速度不再增大，此后做匀速直线运动。
在运动过程中电源将其他形式的能转化为电能10J，其中电流流过R和r时分别将4.5J和0.5J的电能转化为内能，流过导体棒的电流受安培力，安培力对导体棒做正功，将5J的电能转化为导体棒的动能。
答：（1）内阻r和电阻R的阻值之比是1：9；
（2）导体棒稳定时的速度是10m/s，匀强磁场磁感应强度是0.6T；
（3）电键闭合后先做加速度逐渐减小的变加速运动，最后做匀速直线运动。在运动过程中电源将其他形式的能转化为电能10J，其中电流流过R和r时分别将4.5J和0.5J的电能转化为内能，流过导体棒的电流受安培力，安培力对导体棒做正功，将5J的电能转化为导体棒的动能。
三.举一反三，巩固练习
1. （多选）如图，阻值不计的平行光滑金属导轨与水平面夹角为θ，导轨间距为d，下端接一阻值为R的定值电阻，磁感应强度大小为B的匀强磁场垂直于导轨平面向上。质量为m的金属杆MN由静止开始沿导轨运动距离L时，速度恰好达到最大。已知MN接入电路的电阻为r，MN始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g，则在此过程中（ ）
A．通过定值电阻的电荷量为
B．金属杆中的电流由N流向M
C．金属杆运动的最大速度为
D．金属杆与定值电阻产生的热量之比为R：r
【解答】解：A、由公式得：q＝I•Δt、由法拉第电磁感应定律得：E，根据闭合电路欧姆定律得：，联立解得通过定值电阻的电荷量为：，故A错误；
B、由右手定则可知，金属杆中的电流由N流向M，故B正确；
C、金属杆运动的速度达到最大时，根据力的平衡条件得：mgsinθ＝BId，根据闭合电路欧姆定律得：，联立解得金属杆运动的最大速度为：，故C正确；
D、流过金属杆与电阻R的电流相同，根据焦耳定律Q＝I2Rt，所以金属杆与电阻R产生的热量之比为r：R，故D错误。
故选：BC。
2. （多选）间距为d的金属导轨竖直平行放置，空间有垂直于导轨所在平面向外、大小为B的匀强磁场。在导轨上端接一电容为C的电容器，一质量为M的金属棒与导轨始终保持良好接触，距地面高度为H由静止开始释放金属棒。（重力加速度为g，一切摩擦及电阻均不计）在金属棒下滑至地面的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．金属棒做变加速运动
B．金属棒做匀加速运动，加速度为
C．金属棒运动到地面的过程中，机械能守恒
D．金属棒运动到地面时，电容器储存的电势能为
【解答】解：AB、设金属棒的速度大小为v时，经历的时间为t，通过金属棒的电流为i，产生的电动势为：e＝Bdv
金属棒受到的安培力方向沿导轨向上，大小为：F＝Bdi
设在时间间隔（t，t+Δt ）内流经金属棒的电荷量为ΔQ，则ΔQ＝CΔU＝C•Δe
按电流的定义有：i，ΔQ也是平行板电容器极板在时间间隔Δt内增加的电荷量，
在Δt内金属棒的速度变化量为Δv，由加速度的定义有：a
金属棒在时刻t的加速度方向向下，设其大小为a，根据牛顿第二定律有：mg﹣F＝ma
联立上此式可得：a
则知加速度a为定值，金属棒做匀加速运动，且加速度为，故A错误、B正确；
C、金属棒运动到地面的过程中，安培力做负功，机械能不守恒，故C错误；
D、金属棒运动到地面时，金属棒的动能：EK
金属棒的重力势能转化为金属棒的动能与电容器中的电势能，所以金属棒运动到地面时，电容器储存的电势能：
EP＝mgh﹣EK，故D正确；
故选：BD。
3. （多选）如图所示，光滑平行金属导轨间距d＝1m，竖直四分之一圆弧部分与水平部分平滑连接，圆弧半径R＝1.8m，导轨右端接有阻值R0＝6Ω的定值电阻，导轨水平部分区域有垂直导轨向上的匀强磁场，磁感应强度大小B＝3T，磁场区域长L＝2m，导体棒ab从圆弧导轨顶部无初速度释放，导体棒ab质量m＝0.5kg，接入回路部分电阻r＝3Ω，导体棒与导轨始终接触良好，不计其他电阻，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒克服安培力做功功率的最大值为18W
B．导体棒两端最大电势差为12V
C．整个过程通过导体棒电荷量为C
D．电阻R0上产生的最大热量为J
【解答】解：A、设导体棒滑到圆弧底端时速度大小为v0，由机械能守恒定律得：mgR，可得v0＝6m/s
导体棒刚进磁场时，产生的感应电动势为E＝Bdv0＝3×1×6V＝18V，感应电流为IA＝2A，导体棒受到的安培力为F＝BId＝3×2×1N＝6N，导体棒克服安培力做功功率为P＝Fv0＝6×6W＝36W，由于导体棒进入磁场后做减速运动，刚进磁场时切割速度最大，产生的感应电动势和感应电流最大，导体棒受到的安培力最大，导体棒克服安培力做功功率最大，所以导体棒克服安培力做功功率的最大值为36W，故A错误；
B、导体棒进入磁场时导体棒两端电势差最大，且最大电势差为UE18V＝12V，故B正确；
C、假设导体棒没有滑出磁场中，在磁场中运动距离为x时速度为零，取向右为正方向，由动量定理得：﹣Bd•t＝0﹣mv0，又，联立解得x＝3m，因x＞L，所以导体棒将滑出磁场，整个过程通过导体棒电荷量为qt，解得qC，故C错误；
D、设导体棒离开磁场时的速度大小为v，取向右为正方向，由动量定理得：﹣Bd•t＝mv﹣mv0，结合qtC，解得v＝2m/s，故回路中产生的最大热量为Q＝mgR，电阻R上产生的最大热量为QR0Q，联立解得QR0J，故D正确。
故选：BD。
4. （多选）如图所示，宽为L的足够长U形光滑导轨放置在绝缘水平面上，整个导轨处于竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，将一质量为m、有效电阻为R、长度略大于L的导体棒垂直于导轨放置。某时刻给导体棒一沿导轨向右、大小为v0的水平速度，不计导轨电阻，棒在运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，则下列说法正确的是（ ）
A．导体棒中感应电流方向为由a到b
B．导体棒中的最大发热量为
C．导体棒的加速度逐渐减小到0
D．通过导体棒的电荷量最大值为
【解答】解：A、由右手定则可知，导体棒中的感应电流由b到a，故A错误；
B、导体棒做减速运动，最终导体棒的速度变为零，由能量守恒定律得：Q，故B正确；
C、导体棒切割磁感线产生的感应电动势E＝BLv，感应电流I，导体棒受到的安培力F＝BIL，由牛顿第二定律得：ma，解得：a，导体棒做减速运动直到速度为0，则导体棒的加速度逐渐减小到0，故C正确；
D、对导体棒，由动量定理得：﹣BLt＝0﹣mv0，其中t＝q，解得：q，故D错误。
故选：BC。
5. （多选）如图甲所示，两固定平行且光滑的金属轨道MN、PQ与水平面的夹角θ＝37°，M、P之间接电阻箱，电阻箱的阻值范围为0～9.9Ω，导轨所在空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度大小为B＝0.5T，质量为m的金属杆ab水平放置在轨道上，其接入电路的电阻值为r.现从静止释放杆ab，测得最大速度为vm，改变电阻箱的阻值R，得到vm与R的关系如图乙所示。已知轨道间距为L＝2m，重力加速度g＝10m/s2，轨道足够长且电阻不计（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8），则（ ）
A．金属杆的质量m＝0.5kg
B．金属杆接入电路的电阻r＝2Ω
C．当R＝2Ω时，杆ab匀速下滑过程中R两端的电压为4V
D．当R＝1Ω时，若杆ab用时2.2s达到最大速度，则此过程中下滑的高度为6m
【解答】解：AB、当金属杆ab匀速运动时速度最大，杆ab运动的最大速度为vm，杆ab切割磁感线产生的感应电动势为：E＝BLvm，由闭合电路的欧姆定律得：I
杆ab达到最大速度时受到平衡，满足：mgsinθ﹣BIL＝0，联立解得：vmRr
由vm﹣R图象可知图象的斜率为：km/（s•Ω）＝2m/（s•Ω），纵截距为：v0r＝4m/s，联立解得：mkg，r＝2Ω，故A错误，B正确；
C、当R＝2Ω时，金属杆ab匀速下滑时，有：mgsinθ﹣BIL＝0，代入数据解得：I＝2A，所以R两端电压为：U＝IR＝2×2V＝4V，故C正确；
D、当R＝1Ω时，若杆ab用时2.2s达到最大速度，则此过程中下滑的高度为h。由图知R＝1Ω时，vm＝6m/s
取沿导轨向下为正方向，由动量定理得：mgsinθ•t﹣BL•t＝mvm﹣0
其中t，又t，联立解得h＝4.32m，故D错误。
故选：BC。
6. （多选）如图所示，有一边长开小口且边长为L的正三角形的导体，有一导体直杆长为L，单位长度电阻均为R，正三角形水平放置且固定，内部分布垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，杆平行于正三角形放置，以速度大小为v向右匀速运动，杆与三角形始终有两个点接触良好，从左侧与三角形接触点开始运动，则（ ）
A．当杆的有效长度为L时，杆产生的电动势为BLv
B．当杆的有效长度为L时，杆产生的电动势为BLv
C．当杆的有效长度为L时，杆受到的安培力大小为F
D．当杆的有效长度为L时，杆受到的安培力大小为F
【解答】解：AC、三角形导体边长为L，杆平行于导体向右匀速运动过程中，当杆运动到三角形中间时有效长度最大，此时有效长度为L＜L，故AC错误；
BD、当杆的有效长度为L时，杆产生的电动势为
ELBv；
由于单位长度电阻均为R，电路中总电阻是
R'＝（LLL）R
杆中感应电流为
I
所以杆受的安培力大小
FBIL，
故BD正确；
故选：BD。
7. （多选）如图所示，光滑平行的金属导轨由半径为r的四分之一圆弧金属轨道MN和M'N'与足够长的水平金属轨道NP和N'P'连接组成，轨道间距为L，电阻不计；电阻为R，质量为m，长度为L的金属棒cd锁定在水平轨道上距离NN'足够远的位置，整个装置处于磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中．现在外力作用下，使电阻为R、质量为m，长度为L的金属棒ab从轨道最高端MM'位置开始，以大小为v0的速度沿圆弧轨道做匀速圆周运动，金属棒ab始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．ab刚运动到NN'位置时，cd受到的安培力大小为，方向水平向左
B．ab从MM'运动到NN'位置的过程中，回路中产生的焦耳热为
C．若ab运动到NN'位置时撤去外力，则ab能够运动的距离为
D．若ab运动到NN'位置撤去外力的同时解除cd棒的锁定，则从ab开始运动到最后达到稳定状态的整个过程中回路产生的焦耳热为
【解答】解：A、金属棒ab刚运动到NN'位置时，速度大小为v0，感应电动势为BLv0，回路中的电流为，可求cd棒受到的安培力大小为，根据左手定则可判断方向水平向左，故A正确．
B、金属棒ab从MM'运动到NN'的过程中，做匀速圆周运动，设ab棒运动到某位置时与圆心连线跟水平方向的夹角为θ，运动时间为t，有，产生的电动势的表达式为，根据正弦式交变电流知识，可求电动势的有效值为；回路中电流的有效值为；金属棒ab的运动时间为；根据焦耳定律，回路中产生的焦耳热为，代入数据联立各式解得，故B错误．
C、从撤去外力到ab棒停止运动，设ab棒运动的距离为x，回路中的平均电流为，运动时间为t，根据动量定理有；其中，两式联立解得，故C错误．
D、根据右手定则和左手定则可以判断，撤去外力同时解除cd棒的锁定后，ab棒和cd棒受到的安培力大小相等，方向相反，二者组成的系统动量守恒；设稳定时ab棒和cd棒的共同速度为v，则有mv0＝2mv；根据能量守恒可求这个过程产生的焦耳热为，联立解得；可求整个过程中产生的焦耳热为，故D正确．
故选：AD。
8. （多选）如图所示，光滑平行导轨水平固定，间距为l，其所在空间存在方向竖直向上，磁感应强度大小为B的匀强磁场，导轨左侧接有阻值为R的定值电阻，一导体棒垂直导轨放置，导体棒的有效电阻为r、质量为m。导轨电阻忽略不计，导体棒运动中始终与导轨垂直且接触良好。现使导体棒获得一水平向右的速度，在导体棒向右运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．流过电阻R的电流方向为a→R→b
B．导体棒的最大加速度为
C．通过电阻R的电荷量为
D．全过程电阻R的发热量为mv02
【解答】解：A、根据右手定则，流过定值电阻的电流方向为b→R→a，故A错误；
B、导体棒的最大速度为v0，因此最大感应电动势为E＝Blv0，回路电流，安培力F＝BIl，加速度，因此最大加速度，故B正确；
C、根据动量定理有：﹣BIt＝0﹣mv0，根据电荷量的计算公式可得：qt，解得：，故C正确；
D、导体棒在安培力作用下减速运动，最终静止，导体棒动能减少，导体棒的电阻r和定值电阻R串联，全过程电阻R的发热量为QR，故D错误。
故选：BC。
9. 两根足够长平行金属导轨MN、PQ固定在倾角θ＝37°的光滑绝缘斜面上，顶部接有一阻值R＝3Ω的定值电阻，下端开口，轨道间距L＝1m。整个装置处于磁感应强度为B＝2T的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向上。质量m＝1kg的金属棒ab，沿导轨运动时始终垂直于导轨，且与导轨接触良好。金属棒ab从静止开始运动下降的竖直高度为h＝6m时，速度已经达到最大速度。金属棒ab在导轨之间的电阻R0＝1Ω，电路中其余电阻不计。sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，取g＝10m/s2。求：
（1）求金属棒ab达到的最大速度vm的大小；
（2）金属棒ab沿导轨向下运动速度最大后，导体棒ab两端的电势差Uab；
（3）从金属棒ab开始运动至达到最大速度过程中，电阻R上产生的热量QR。
【解答】解：（1）金属棒由静止释放后，在重力、轨道支持力和安培力作用下沿斜面向下做变加速运动，加速度不断减小，当加速度为零时达到最大速度vm后保持匀速运动。
由平衡条件有：mgsinθ＝F安…①
又安培力大小为：F安＝BIL…②
感应电流为：I③
感应电动势为：E＝BLvm…④
联立①②③④解得：vm＝6m/s…⑤
（2）由①②解得：I＝3A…⑥
由右手定则可知，导体棒ab上a端的电势高于b端电势，则Uab＝IR＝3×3V＝9V…⑦
（3）从金属棒ab开始运动至达到最大速度过程中，由能量守恒定律得：
mghQ总…⑧
电阻R上产生的热量QRQ总…⑨
联立⑧⑨解得：QR＝31.5J
答：（1）金属棒ab达到的最大速度vm的大小为6m/s；
（2）金属棒ab沿导轨向下运动速度最大后，导体棒ab两端的电势差Uab为9V。
（3）从金属棒ab开始运动至达到最大速度过程中，电阻R上产生的热量QR为31.5J。
10. 为了提高城市摩天大楼中电梯的运行效率并缩短候梯时间，人们设计了一种电磁驱动的无绳电梯，如图甲。图乙所示为电磁驱动的简化模型：光滑的平行长直金属导轨置于竖直面内，间距L＝1m。导轨下端接有阻值R＝1Ω的电阻，质量m＝0.1kg的导体棒（相当于电梯车厢）垂直跨接在导轨上，导轨和导体棒的电阻均不计，且接触良好。在导轨平面上存在磁感应强度大小B＝0.5T，方向垂直纸面向里的匀强磁场，导体棒始终处于磁场区域内，g取10m/s2。t＝0时刻，磁场以速度v1＝10m/s速度匀速向上移动的同时静止释放该导体棒。
（1）求t＝0时刻导体棒的加速度大小；
（2）若导体棒随之运动并很快达到一个恒定速度，求该恒定速度的大小。
【解答】解：（1）在t＝0时刻，磁场匀速向上移动，导体棒相对磁场向下的速度大小为v1＝10m/s；
根据法拉第电磁感应定律可得：E1＝BLv1＝0.5×1×10V＝5V
回路中的电流为：I1A＝5A
导体棒受到向上的安培力为：FA＝BI1L
代入数据解得：FA＝2.5N
由牛顿第二定律可得：FA﹣mg＝ma
代入数据解得：a＝15m/s2，导体棒向上做加速运动；
（2）若导体棒随之运动并很快达到一个恒定速度，设该恒定速度的大小为v2，此时导体棒受力平衡，根据平衡条件结合安培力的计算公式可得：
BI2L＝mg
其中：I2
联立解得：v2＝6m/s。
答：（1）t＝0时刻导体棒的加速度大小为15m/s2；
（2）若导体棒随之运动并很快达到一个恒定速度，该恒定速度的大小为6m/s。
第87讲 电磁感应中的单杆模型
1．（2022•上海）宽L＝0.75m的导轨固定，导轨间存在着垂直于纸面且磁感应强度B＝0.4T的匀强磁场。虚线框Ⅰ、Ⅱ中有定值电阻R0和最大阻值为20Ω的滑动变阻器R。一根与导轨等宽的金属杆以恒定速率向右运动，图甲和图乙分别为变阻器全部接入和一半接入时沿abcda方向电势变化的图像。求：
（1）匀强磁场的方向；
（2）分析并说明定值电阻R0在Ⅰ还是Ⅱ中，并且R0大小为多少：
（3）金属杆运动时的速率；
（4）滑动变阻器阻值为多少时变阻器的功率最大？并求出该最大功率Pm。
【解答】解：（1）a点电势比d点电势高，说明导体棒上端为电源正极，导体棒切割磁感线产生感应电流向上，根据右手定则判断得出匀强磁场的方向垂直纸面向里
（2）滑动变阻器从全部接入到一半接入电路，回路里电流变大，定值电阻R0上电压变大，图甲的Ucd小于图乙的Ucd，可以推理得定值电阻在Ⅰ内，滑动变阻器在Ⅱ
根据欧姆定律得：甲图中回路电流I甲，乙图中回路电流I乙0.1A
甲图中定值电阻R0上电压φ0﹣1.2＝0.06R
乙图中定值电阻R0上电压φ0﹣1.0＝0.1R
联立解得：R＝5Ω，φ0＝1.5V
（3）金属杆产生的感应电动势E＝BLv，E＝φ0
联立解得v5m/s
（4）根据甲乙两图可知导体棒电阻不计，由闭合电路欧姆定律得I
滑动变阻器上的功率p＝I2R，当R＝5Ω时，滑动变阻器有最大功率Pm＝0.1125W
答：（1）匀强磁场的方向垂直纸面向里
（2）定值电阻R0在Ⅰ中，定值电阻R0＝5Ω
（3）金属杆运动时的速率为5m/s
（4）滑动变阻器阻值为5Ω时变阻器的功率最大，最大功率为0.1125W
一.知识回顾
1.力学对象和电学对象的相互关系
2.能量转化及焦耳热的求法
(1)能量转化
(2)求解焦耳热Q的三种方法(纯电阻电路)
3.单杆模型
初态
v0≠0
v0＝0
示意图
质量为m、电阻不计的单杆ab以一定初速度v0在光滑水平轨道上滑动，两平行导轨间距为l
轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为l
轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为l，拉力F恒定
轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为l，拉力F恒定
运动分析
导体杆做加速度越来越小的减速运动，最终杆静止
当E感＝E时，v最大，且vm＝，最后以vm匀速运动
当a＝0时，v最大，vm＝，杆开始匀速运动
Δt时间内流入电容器的电荷量Δq＝CΔU＝CBlΔv
电流I＝＝CBl＝CBla
安培力F安＝IlB＝CB2l2a
F－F安＝ma，a＝，
所以杆以恒定的加速度匀加速运动
能量分析
动能转化为内能，mv＝Q
电能转化为动能和内能，E电＝mv＋Q
外力做功转化为动能和内能，WF＝mv＋Q
外力做功转化为电能和动能，WF＝E电＋mv2
二.例题精析
题型一：单杆+电阻模型之动态分析
（多选）例1．如图所示，MN和PQ是两根互相平行、竖直放置的足够长的光滑金属导轨，电阻不计，匀强磁场垂直导轨平面向里。具有一定质量和电阻的金属杆ab垂直导轨放置，与导轨接触良好。开始时，断开开关S，让金属杆ab由静止开始沿导轨下落，经过一段时间后，闭合开关S。从闭合开关S开始计时，取竖直向下为正方向，金属杆的速度v、加速度a、安培力F及电流表示数i随时间t变化的图象可能是图中的（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：闭合开关时，金属棒受到向下的重力以及向上的安培力，若重力与安培力相等，即mg＝BIL，金属杆做匀速直线运动。速度不变，则动能、安培力、感应电流都不变，加速度为零。
若安培力小于重力，则加速度的方向向下，做加速运动，加速运动的过程中，安培力增大，则加速度减小，做加速度逐渐减小的加速运动，当重力与安培力相等时，做匀速直线运动，则a﹣t图象是斜率逐渐减小的曲线，v﹣t图象是一条斜率减小的曲线。安培力为
F安，图线先是一条斜率逐渐减小的曲线，之后恒定不变，因为I，所以I﹣t图象先是一条斜率逐渐减小的的曲线，当金属杆匀速时，电流恒定不变，但t＝0时金属杆有速度，所以t＝0时电流不等于零。
若安培力大于重力，则加速度的方向向上，做减速运动，减速运动的过程中，安培力减小，做加速度逐渐减小的减速运动，当重力与安培力相等时，做匀速直线运动。安培力为F安，所以F﹣t图象是斜率逐渐减小的曲线，当匀速运动时，安培力不再减小，此时安培力等于重力，故AD错误，BC正确。
故选：BC。
题型二：单杆+电阻模型之通过动量定理求位移和电荷量
例2．如图所示，间距为L＝1m的光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨足够长且电阻不计，左端接有阻值R＝2Ω的定值电阻。质量为m＝1kg的金属棒放在导轨上。整个装置处在垂直于导轨平面向下的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为1T。现对金属棒施加个平行导轨向右的水平拉力，使金属棒从静止开始运动，金属棒运动过程中始终与两导轨垂直并接触良好，金属棒接入电路的电阻为r＝2Ω。求：
（1）若施加的拉力大小恒为1N，金属棒运动的最大速度为多少；当速度为最大速度一半时，金属棒的加速度多大？
（2）若水平拉力的功率恒定为1W，则施加拉力后的4s内（此时金属棒已做匀速运动），电阻R上产生的焦耳热多大？
【解答】解：（1）金属棒切割磁感线时产生感应电动势，产生感应电流，当金属棒速度达到最大时，拉力等于安培力，
根据平衡条件可得：F＝F安＝BIL
其中：I
解得：v＝4m/s
当金属棒速度为v′2m/s时，
根据牛顿第二定律可得：Fma
代入数据解得：a＝0.5m/s2；
（2）由于拉力的功率恒定，因此速度增大，拉力减小，当拉力减小到等于安培力时，金属棒做匀速直线运动，设此时的速度大小为v1，
则有：F1
代入数据解得：v1＝2m/s
设电阻R上产生的焦耳热为Q，根据能量守恒有：
Pt＝2Qmv12
解得：Q＝1J。
答：（1）若施加的拉力大小恒为1N，金属棒运动的最大速度为4m/s；当速度为最大速度一半时，金属棒的加速度0.5m/s2；
（2）若水平拉力的功率恒定为1W，则施加拉力后的4s内（此时金属棒已做匀速运动），电阻R上产生的焦耳热为1J。
题型三：单杆+电容模型之充电过程分析
（多选）例3．如图所示，宽为L的水平光滑金属轨道上放置一根质量为m的导体棒MN，轨道左端通过一个单刀双掷开关与一个电容器和一个阻值为R的电阻连接，匀强磁场的方向与轨道平面垂直，磁感应强度大小为B，电容器的电容为C，金属轨道和导体棒的电阻不计。现将开关拨向“1”，导体棒MN在水平向右的恒力F作用下由静止开始运动，经时间t0后，将开关S拨向“2”，再经时间t，导体棒MN恰好开始匀速向右运动。下列说法正确的是（ ）
A．开关拨向“1”时，金属棒做加速度逐渐减小的加速运动
B．t0时刻电容器所带的电荷量为
C．开关拨向“2”后，导体棒匀速运动的速率为
D．开关拨向“2”后t时间内，导体棒通过的位移为（t）
【解答】解：A、开关拨向“1”时，在极短时间△t内流过金属棒的电荷量为△Q，则电路中的瞬时电流为 I
电容器的电压 U＝BLv，电荷量 Q＝CU，则△Q＝C△U＝CBL△v
可得 I＝CBLCBLa
对金属棒，由牛顿第二定律得 F﹣BIL＝ma
联立得金属棒的瞬时加速度为 a
则知金属棒的加速度不变，做匀加速直线运动，故A错误。
B、t0时刻电容器所带的电压 U＝BLat0，电荷量 Q＝CU，则得 Q，故B正确。
C、开关拨向“2”后，导体棒匀速运动时，有 F，则得v，故C正确。
D、开关拨向“2”后t时间内，根据牛顿第二定律得：Fma＝m
则得 F△tm△v
两边求和得：（F△t）＝∑m△v
而∑v△t＝x，∑△v＝v
联立解得位移 x（t）。故D正确。
故选：BCD。
题型四：单杆+电容模型之放电过程分析
例4．如图所示，水平面内有一平行金属导轨，导轨光滑且电阻不计，阻值为R的导体棒垂直于导轨放置，且与导轨接触良好．导轨所在空间存在匀强磁场，匀强磁场与导轨平面垂直，t＝0时，将开关S由1掷向2，分别用q、i、v和a表示电容器所带的电荷量、棒中的电流、棒的速度大小和加速度大小，则图所示的图象中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：首先分析导体棒的运动情况：开关S由1掷到2，电容器放电，在电路中产生放电电流。导体棒通有电流后会受到向右的安培力作用，向右加速运动。导体棒将切割磁感线，产生感应电动势，此感应电动势将电容器的电压抵消一些，随着速度增大，感应电动势增大，则回路中的电流减小，导体棒所受的安培力减小，加速度减小。因导轨光滑，所以在有电流通过棒的过程中，棒是一直加速运动（变加速）。当感应电动势等于电容器的电压时，电路中无电流，导体棒不受安培力，做匀速运动。
A、当棒匀速运动后，棒因切割磁感线有电动势，所以电容器两端的电压能稳定在某个不为0的数值，则由Q＝CU知，电容器的电量应稳定在某个不为0的数值，不会减少到0．这时电容器的电压等于棒的电动势数值，棒中无电流，故A错误。
B、由于通过棒的电流是按指数递减的，最后电流减至零。故B错误。
C、导体棒先做加速度减小的变加速运动。由于电容器放电产生电流使得导体棒受安培力运动，当感应电动势等于电容器的电压时，电路中无电流，导体棒不受安培力时，导体棒做匀速运动。故v﹣t图象是曲线后应是直线。故C错误。
D、根据上面分析可知，杆的加速度逐渐减小直到为零，故D正确。
故选：D。
题型五：单杆+电源模型
例5．（2020•上海）如图所示，足够长的光滑金属导轨L＝0.5m，电阻不计。左端接一个电动势为3V的电源，整个装置处于匀强磁场中。现闭合电键S，质量0.1kg的金属棒ab由静止开始运动，回路的电流逐渐减小，稳定后电源电动势为E，回路的电流为0，从闭合电键到逐渐稳定的过程中，电源提供的能量Es＝10J，电源、导体棒产生的焦耳热分别是Q1＝0.5J，Q2＝4.5J。
（1）求内阻r和电阻R的阻值之比；
（2）求导体棒稳定时的速度和匀强磁场磁感应强度；
（3）分析电键闭合后导体棒的运动情况和能量的转化关系。
【解答】解：（1）由焦耳定律得：Q＝I2Rt，r与R的电流始终相等，则
（2）由能量守恒定律得：
导体棒的动能 Ek＝Es﹣Q1﹣Q2＝10J﹣0.5J﹣4.5J＝5J
由Ek得导体棒稳定时运动的速度为：v＝10m/s
由E＝Blv得：B＝0.6T
（3）导体棒中电流由a指向b，根据左手定则知：安培力方向总与导体棒的运动方向相同，故速度一直增大。
由牛顿第二定律得：FA＝ma
又 EA＝Blv，I
联立得 a
当速度逐渐增大时，加速度逐渐减小，所以速度增加得越来越慢。
当加速度减小到零，即E＝BLv，v＝10m/s时，速度不再增大，此后做匀速直线运动。
在运动过程中电源将其他形式的能转化为电能10J，其中电流流过R和r时分别将4.5J和0.5J的电能转化为内能，流过导体棒的电流受安培力，安培力对导体棒做正功，将5J的电能转化为导体棒的动能。
答：（1）内阻r和电阻R的阻值之比是1：9；
（2）导体棒稳定时的速度是10m/s，匀强磁场磁感应强度是0.6T；
（3）电键闭合后先做加速度逐渐减小的变加速运动，最后做匀速直线运动。在运动过程中电源将其他形式的能转化为电能10J，其中电流流过R和r时分别将4.5J和0.5J的电能转化为内能，流过导体棒的电流受安培力，安培力对导体棒做正功，将5J的电能转化为导体棒的动能。
三.举一反三，巩固练习
1. （多选）如图，阻值不计的平行光滑金属导轨与水平面夹角为θ，导轨间距为d，下端接一阻值为R的定值电阻，磁感应强度大小为B的匀强磁场垂直于导轨平面向上。质量为m的金属杆MN由静止开始沿导轨运动距离L时，速度恰好达到最大。已知MN接入电路的电阻为r，MN始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g，则在此过程中（ ）
A．通过定值电阻的电荷量为
B．金属杆中的电流由N流向M
C．金属杆运动的最大速度为
D．金属杆与定值电阻产生的热量之比为R：r
【解答】解：A、由公式得：q＝I•Δt、由法拉第电磁感应定律得：E，根据闭合电路欧姆定律得：，联立解得通过定值电阻的电荷量为：，故A错误；
B、由右手定则可知，金属杆中的电流由N流向M，故B正确；
C、金属杆运动的速度达到最大时，根据力的平衡条件得：mgsinθ＝BId，根据闭合电路欧姆定律得：，联立解得金属杆运动的最大速度为：，故C正确；
D、流过金属杆与电阻R的电流相同，根据焦耳定律Q＝I2Rt，所以金属杆与电阻R产生的热量之比为r：R，故D错误。
故选：BC。
2. （多选）间距为d的金属导轨竖直平行放置，空间有垂直于导轨所在平面向外、大小为B的匀强磁场。在导轨上端接一电容为C的电容器，一质量为M的金属棒与导轨始终保持良好接触，距地面高度为H由静止开始释放金属棒。（重力加速度为g，一切摩擦及电阻均不计）在金属棒下滑至地面的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．金属棒做变加速运动
B．金属棒做匀加速运动，加速度为
C．金属棒运动到地面的过程中，机械能守恒
D．金属棒运动到地面时，电容器储存的电势能为
【解答】解：AB、设金属棒的速度大小为v时，经历的时间为t，通过金属棒的电流为i，产生的电动势为：e＝Bdv
金属棒受到的安培力方向沿导轨向上，大小为：F＝Bdi
设在时间间隔（t，t+Δt ）内流经金属棒的电荷量为ΔQ，则ΔQ＝CΔU＝C•Δe
按电流的定义有：i，ΔQ也是平行板电容器极板在时间间隔Δt内增加的电荷量，
在Δt内金属棒的速度变化量为Δv，由加速度的定义有：a
金属棒在时刻t的加速度方向向下，设其大小为a，根据牛顿第二定律有：mg﹣F＝ma
联立上此式可得：a
则知加速度a为定值，金属棒做匀加速运动，且加速度为，故A错误、B正确；
C、金属棒运动到地面的过程中，安培力做负功，机械能不守恒，故C错误；
D、金属棒运动到地面时，金属棒的动能：EK
金属棒的重力势能转化为金属棒的动能与电容器中的电势能，所以金属棒运动到地面时，电容器储存的电势能：
EP＝mgh﹣EK，故D正确；
故选：BD。
3. （多选）如图所示，光滑平行金属导轨间距d＝1m，竖直四分之一圆弧部分与水平部分平滑连接，圆弧半径R＝1.8m，导轨右端接有阻值R0＝6Ω的定值电阻，导轨水平部分区域有垂直导轨向上的匀强磁场，磁感应强度大小B＝3T，磁场区域长L＝2m，导体棒ab从圆弧导轨顶部无初速度释放，导体棒ab质量m＝0.5kg，接入回路部分电阻r＝3Ω，导体棒与导轨始终接触良好，不计其他电阻，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒克服安培力做功功率的最大值为18W
B．导体棒两端最大电势差为12V
C．整个过程通过导体棒电荷量为C
D．电阻R0上产生的最大热量为J
【解答】解：A、设导体棒滑到圆弧底端时速度大小为v0，由机械能守恒定律得：mgR，可得v0＝6m/s
导体棒刚进磁场时，产生的感应电动势为E＝Bdv0＝3×1×6V＝18V，感应电流为IA＝2A，导体棒受到的安培力为F＝BId＝3×2×1N＝6N，导体棒克服安培力做功功率为P＝Fv0＝6×6W＝36W，由于导体棒进入磁场后做减速运动，刚进磁场时切割速度最大，产生的感应电动势和感应电流最大，导体棒受到的安培力最大，导体棒克服安培力做功功率最大，所以导体棒克服安培力做功功率的最大值为36W，故A错误；
B、导体棒进入磁场时导体棒两端电势差最大，且最大电势差为UE18V＝12V，故B正确；
C、假设导体棒没有滑出磁场中，在磁场中运动距离为x时速度为零，取向右为正方向，由动量定理得：﹣Bd•t＝0﹣mv0，又，联立解得x＝3m，因x＞L，所以导体棒将滑出磁场，整个过程通过导体棒电荷量为qt，解得qC，故C错误；
D、设导体棒离开磁场时的速度大小为v，取向右为正方向，由动量定理得：﹣Bd•t＝mv﹣mv0，结合qtC，解得v＝2m/s，故回路中产生的最大热量为Q＝mgR，电阻R上产生的最大热量为QR0Q，联立解得QR0J，故D正确。
故选：BD。
4. （多选）如图所示，宽为L的足够长U形光滑导轨放置在绝缘水平面上，整个导轨处于竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，将一质量为m、有效电阻为R、长度略大于L的导体棒垂直于导轨放置。某时刻给导体棒一沿导轨向右、大小为v0的水平速度，不计导轨电阻，棒在运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，则下列说法正确的是（ ）
A．导体棒中感应电流方向为由a到b
B．导体棒中的最大发热量为
C．导体棒的加速度逐渐减小到0
D．通过导体棒的电荷量最大值为
【解答】解：A、由右手定则可知，导体棒中的感应电流由b到a，故A错误；
B、导体棒做减速运动，最终导体棒的速度变为零，由能量守恒定律得：Q，故B正确；
C、导体棒切割磁感线产生的感应电动势E＝BLv，感应电流I，导体棒受到的安培力F＝BIL，由牛顿第二定律得：ma，解得：a，导体棒做减速运动直到速度为0，则导体棒的加速度逐渐减小到0，故C正确；
D、对导体棒，由动量定理得：﹣BLt＝0﹣mv0，其中t＝q，解得：q，故D错误。
故选：BC。
5. （多选）如图甲所示，两固定平行且光滑的金属轨道MN、PQ与水平面的夹角θ＝37°，M、P之间接电阻箱，电阻箱的阻值范围为0～9.9Ω，导轨所在空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度大小为B＝0.5T，质量为m的金属杆ab水平放置在轨道上，其接入电路的电阻值为r.现从静止释放杆ab，测得最大速度为vm，改变电阻箱的阻值R，得到vm与R的关系如图乙所示。已知轨道间距为L＝2m，重力加速度g＝10m/s2，轨道足够长且电阻不计（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8），则（ ）
A．金属杆的质量m＝0.5kg
B．金属杆接入电路的电阻r＝2Ω
C．当R＝2Ω时，杆ab匀速下滑过程中R两端的电压为4V
D．当R＝1Ω时，若杆ab用时2.2s达到最大速度，则此过程中下滑的高度为6m
【解答】解：AB、当金属杆ab匀速运动时速度最大，杆ab运动的最大速度为vm，杆ab切割磁感线产生的感应电动势为：E＝BLvm，由闭合电路的欧姆定律得：I
杆ab达到最大速度时受到平衡，满足：mgsinθ﹣BIL＝0，联立解得：vmRr
由vm﹣R图象可知图象的斜率为：km/（s•Ω）＝2m/（s•Ω），纵截距为：v0r＝4m/s，联立解得：mkg，r＝2Ω，故A错误，B正确；
C、当R＝2Ω时，金属杆ab匀速下滑时，有：mgsinθ﹣BIL＝0，代入数据解得：I＝2A，所以R两端电压为：U＝IR＝2×2V＝4V，故C正确；
D、当R＝1Ω时，若杆ab用时2.2s达到最大速度，则此过程中下滑的高度为h。由图知R＝1Ω时，vm＝6m/s
取沿导轨向下为正方向，由动量定理得：mgsinθ•t﹣BL•t＝mvm﹣0
其中t，又t，联立解得h＝4.32m，故D错误。
故选：BC。
6. （多选）如图所示，有一边长开小口且边长为L的正三角形的导体，有一导体直杆长为L，单位长度电阻均为R，正三角形水平放置且固定，内部分布垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，杆平行于正三角形放置，以速度大小为v向右匀速运动，杆与三角形始终有两个点接触良好，从左侧与三角形接触点开始运动，则（ ）
A．当杆的有效长度为L时，杆产生的电动势为BLv
B．当杆的有效长度为L时，杆产生的电动势为BLv
C．当杆的有效长度为L时，杆受到的安培力大小为F
D．当杆的有效长度为L时，杆受到的安培力大小为F
【解答】解：AC、三角形导体边长为L，杆平行于导体向右匀速运动过程中，当杆运动到三角形中间时有效长度最大，此时有效长度为L＜L，故AC错误；
BD、当杆的有效长度为L时，杆产生的电动势为
ELBv；
由于单位长度电阻均为R，电路中总电阻是
R'＝（LLL）R
杆中感应电流为
I
所以杆受的安培力大小
FBIL，
故BD正确；
故选：BD。
7. （多选）如图所示，光滑平行的金属导轨由半径为r的四分之一圆弧金属轨道MN和M'N'与足够长的水平金属轨道NP和N'P'连接组成，轨道间距为L，电阻不计；电阻为R，质量为m，长度为L的金属棒cd锁定在水平轨道上距离NN'足够远的位置，整个装置处于磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中．现在外力作用下，使电阻为R、质量为m，长度为L的金属棒ab从轨道最高端MM'位置开始，以大小为v0的速度沿圆弧轨道做匀速圆周运动，金属棒ab始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．ab刚运动到NN'位置时，cd受到的安培力大小为，方向水平向左
B．ab从MM'运动到NN'位置的过程中，回路中产生的焦耳热为
C．若ab运动到NN'位置时撤去外力，则ab能够运动的距离为
D．若ab运动到NN'位置撤去外力的同时解除cd棒的锁定，则从ab开始运动到最后达到稳定状态的整个过程中回路产生的焦耳热为
【解答】解：A、金属棒ab刚运动到NN'位置时，速度大小为v0，感应电动势为BLv0，回路中的电流为，可求cd棒受到的安培力大小为，根据左手定则可判断方向水平向左，故A正确．
B、金属棒ab从MM'运动到NN'的过程中，做匀速圆周运动，设ab棒运动到某位置时与圆心连线跟水平方向的夹角为θ，运动时间为t，有，产生的电动势的表达式为，根据正弦式交变电流知识，可求电动势的有效值为；回路中电流的有效值为；金属棒ab的运动时间为；根据焦耳定律，回路中产生的焦耳热为，代入数据联立各式解得，故B错误．
C、从撤去外力到ab棒停止运动，设ab棒运动的距离为x，回路中的平均电流为，运动时间为t，根据动量定理有；其中，两式联立解得，故C错误．
D、根据右手定则和左手定则可以判断，撤去外力同时解除cd棒的锁定后，ab棒和cd棒受到的安培力大小相等，方向相反，二者组成的系统动量守恒；设稳定时ab棒和cd棒的共同速度为v，则有mv0＝2mv；根据能量守恒可求这个过程产生的焦耳热为，联立解得；可求整个过程中产生的焦耳热为，故D正确．
故选：AD。
8. （多选）如图所示，光滑平行导轨水平固定，间距为l，其所在空间存在方向竖直向上，磁感应强度大小为B的匀强磁场，导轨左侧接有阻值为R的定值电阻，一导体棒垂直导轨放置，导体棒的有效电阻为r、质量为m。导轨电阻忽略不计，导体棒运动中始终与导轨垂直且接触良好。现使导体棒获得一水平向右的速度，在导体棒向右运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．流过电阻R的电流方向为a→R→b
B．导体棒的最大加速度为
C．通过电阻R的电荷量为
D．全过程电阻R的发热量为mv02
【解答】解：A、根据右手定则，流过定值电阻的电流方向为b→R→a，故A错误；
B、导体棒的最大速度为v0，因此最大感应电动势为E＝Blv0，回路电流，安培力F＝BIl，加速度，因此最大加速度，故B正确；
C、根据动量定理有：﹣BIt＝0﹣mv0，根据电荷量的计算公式可得：qt，解得：，故C正确；
D、导体棒在安培力作用下减速运动，最终静止，导体棒动能减少，导体棒的电阻r和定值电阻R串联，全过程电阻R的发热量为QR，故D错误。
故选：BC。
9. 两根足够长平行金属导轨MN、PQ固定在倾角θ＝37°的光滑绝缘斜面上，顶部接有一阻值R＝3Ω的定值电阻，下端开口，轨道间距L＝1m。整个装置处于磁感应强度为B＝2T的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向上。质量m＝1kg的金属棒ab，沿导轨运动时始终垂直于导轨，且与导轨接触良好。金属棒ab从静止开始运动下降的竖直高度为h＝6m时，速度已经达到最大速度。金属棒ab在导轨之间的电阻R0＝1Ω，电路中其余电阻不计。sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，取g＝10m/s2。求：
（1）求金属棒ab达到的最大速度vm的大小；
（2）金属棒ab沿导轨向下运动速度最大后，导体棒ab两端的电势差Uab；
（3）从金属棒ab开始运动至达到最大速度过程中，电阻R上产生的热量QR。
【解答】解：（1）金属棒由静止释放后，在重力、轨道支持力和安培力作用下沿斜面向下做变加速运动，加速度不断减小，当加速度为零时达到最大速度vm后保持匀速运动。
由平衡条件有：mgsinθ＝F安…①
又安培力大小为：F安＝BIL…②
感应电流为：I③
感应电动势为：E＝BLvm…④
联立①②③④解得：vm＝6m/s…⑤
（2）由①②解得：I＝3A…⑥
由右手定则可知，导体棒ab上a端的电势高于b端电势，则Uab＝IR＝3×3V＝9V…⑦
（3）从金属棒ab开始运动至达到最大速度过程中，由能量守恒定律得：
mghQ总…⑧
电阻R上产生的热量QRQ总…⑨
联立⑧⑨解得：QR＝31.5J
答：（1）金属棒ab达到的最大速度vm的大小为6m/s；
（2）金属棒ab沿导轨向下运动速度最大后，导体棒ab两端的电势差Uab为9V。
（3）从金属棒ab开始运动至达到最大速度过程中，电阻R上产生的热量QR为31.5J。
10. 为了提高城市摩天大楼中电梯的运行效率并缩短候梯时间，人们设计了一种电磁驱动的无绳电梯，如图甲。图乙所示为电磁驱动的简化模型：光滑的平行长直金属导轨置于竖直面内，间距L＝1m。导轨下端接有阻值R＝1Ω的电阻，质量m＝0.1kg的导体棒（相当于电梯车厢）垂直跨接在导轨上，导轨和导体棒的电阻均不计，且接触良好。在导轨平面上存在磁感应强度大小B＝0.5T，方向垂直纸面向里的匀强磁场，导体棒始终处于磁场区域内，g取10m/s2。t＝0时刻，磁场以速度v1＝10m/s速度匀速向上移动的同时静止释放该导体棒。
（1）求t＝0时刻导体棒的加速度大小；
（2）若导体棒随之运动并很快达到一个恒定速度，求该恒定速度的大小。
【解答】解：（1）在t＝0时刻，磁场匀速向上移动，导体棒相对磁场向下的速度大小为v1＝10m/s；
根据法拉第电磁感应定律可得：E1＝BLv1＝0.5×1×10V＝5V
回路中的电流为：I1A＝5A
导体棒受到向上的安培力为：FA＝BI1L
代入数据解得：FA＝2.5N
由牛顿第二定律可得：FA﹣mg＝ma
代入数据解得：a＝15m/s2，导体棒向上做加速运动；
（2）若导体棒随之运动并很快达到一个恒定速度，设该恒定速度的大小为v2，此时导体棒受力平衡，根据平衡条件结合安培力的计算公式可得：
BI2L＝mg
其中：I2
联立解得：v2＝6m/s。
答：（1）t＝0时刻导体棒的加速度大小为15m/s2；
（2）若导体棒随之运动并很快达到一个恒定速度，该恒定速度的大小为6m/s。
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