【期中单元测试卷】（北师大版）2023-2024学年九年级数学上册 第1章 特殊平行四边形（单元重点综合测试）

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第1章 特殊平行四边形（单元重点综合测试）

一、单选题
1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（    ）
A．四个角都是直角 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线相等
【答案】C
【分析】对于四边形的性质我们从：①边；②角；③对角线三个方面去理解，因此，只需要根据正方形、矩形的这三个方面性质的不同，即可解答．
【解析】解：根据正方形和矩形的性质对比分析：
①边：有对边与邻边：正方形与矩形对边性质相同，没有区别；邻边性质不同，正方形邻边相等，矩形邻边不相等；
②角：正方形与矩形内角性质相同，对角相等、邻角互补、四个角都是直角；
③对角线：正方形与矩形对角线都相等且互相平分，但正方形对角线相互垂直，而矩形对角线不具有这个特征；
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形和矩形的性质，解决本题的关键是熟记正方形和矩形的性质．
2．如图，在菱形中，对角线、相交于点，下列结论中不一定成立的是(    )

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据菱形的性质即可一一判断
【解析】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
故A、B、C正确，
故选D
【点睛】本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
3．矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AC＝8，则△ABO的周长为（　　）

A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】A
【分析】由矩形的性质得出OA=OB，再证明△AOB是等边三角形，得出AB=OA=OB=4，即可求出△ABO的周长．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝AC＝4，OB＝BD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝4，
∴△ABO的周长＝OA+OB+AB＝12；
故选A．
【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
4．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，则下列三种说法：

（1）如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形   
（2）如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
（3）如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是正方形 ．其中正确的有 （    ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
【解析】解：因为DE∥CA，DF∥BA，所以四边形AEDF是平行四边形，如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形，所以（1）正确；
如果AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠DAC,又DE∥CA，所以∠ADE=∠DAC,所以∠ADE=∠BAD，所以AE=ED,所以四边形AEDF是菱形，因此（2）正确；
如果AD⊥BC且AB=AC，根据三线合一可得AD平分∠BAC，所以四边形AEDF是菱形，所以（3）错误；所以正确的有2个，
故选B．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质；矩形的判定；菱形的判定；正方形的判定．
5．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是(   )

A．5cm B．6cm C．cm D．cm；
【答案】D
【分析】首先利用菱形的性质结合勾股定理得出BC的长，再利用三角形面积求出答案
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6cm，BD=8cm，
∴AO=CO=3cm，BO=DO=4cm，∠BOC=90°，
∴BC==5（cm），
∵S△ABC=AE×BC=BO×AC
故5AE=24，
解得：AE=（cm）.
故选D．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确得利用三角形面积求出AE的长是解题关键．
6．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，则△DCE的面积为（　　）

A． B． C．2 D．1
【答案】B
【分析】由EF垂直平分AC可得AE=CE，设CE＝x，则ED＝AD﹣AE＝4﹣x，在Rt△CDE中，利用勾股定理求出x的长，继而根据三角形的面积公式进行求解即可.
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，∠D=90°，
∵EO是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
设CE＝x，则ED＝AD﹣AE＝4﹣x，
在Rt△CDE中，CE2＝CD2+ED2，
即x2＝22+(4﹣x)2，
解得：x＝，
即CE的长为，
DE＝4﹣＝，
所以△DCE的面积＝××2＝，
故选B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
7．如图，以正方形的对角线为一边作菱形，则（  ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据四边形是正方形，是对角线，得，根据菱形的性质，则，，即可．
【解析】∵四边形是正方形，是对角线，
∴，
∵四边形是菱形，是对角线，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查正方形和菱形的知识，解题的关键是掌握正方形的性质，菱形的性质．
8．将矩形纸片 ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形 AECF．若AB=4，则菱形AECF边长为（ ）

A．2.6 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】根据菱形AECF，设BE为x，则AE为4-x，CE为4-x，得∠FCO=∠ECO，可通过折叠的性质得到ECO=∠ECB，可知，结合直角三角形勾股定理求得BE的长．
【解析】四边形AECF是菱形，AB=4，
设BE为x，则AE为4-x，CE为4-x，

，即为菱形的边长．
故选:D．
【点睛】此题主要考查了矩形的折叠问题等知识，涉及菱形的性质和直角三角形，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
9．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（　　）．

A．逐渐增加 B．逐渐减小
C．保持不变且与EF的长度相等 D．保持不变且与AB的长度相等
【答案】D
【分析】证明△ABE≌△DBF（AAS），可得AE＝DF；结合图形可知：AE+CF＝AB，AB是一定值，从而完成求解．
【解析】连接BD

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD，
∵∠A＝60°
∴△ABD是等边三角形
∴AB＝BD，∠ABD＝60°
∵DC∥AB
∴∠CDB＝∠ABD＝60°
∴∠A＝∠CDB
∵∠EBF＝60°
∴∠ABE+∠EBD＝∠EBD+∠DBF
∴∠ABE＝∠DBF
∵
∴△ABE≌△DBF（AAS）
∴AE＝DF
∴AE+CF＝DF+CF＝CD＝AB
故选：D．
【点睛】本题考察了菱形、等边三角形、全等三角形的知识；求解的关键是熟练掌握菱形、等边三角形、全等三角形的性质，从而完成求解．
10．如图，在正方形中，是对角线上一点，且满足．连接并延长交于点，连接，过点作于点，延长交于点．在下列结论中：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ）个

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先判断出∠DAE＝∠ABH，再判断△ADE≌△CDE得出∠DAE＝∠DCE＝22.5°，∠ABH＝∠DCF，再判断出△ABH≌△DCF从而得到①正确，根据三角形的外角求出∠AEF＝45°，得出②正确；结合①②可得DF＝DE，根据AH＝DF即可得③正确；连接HE，判断出S△EFH≠S△EFD得出④错误．
【解析】解：∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABE＝∠ADE＝∠CDE＝45°，AB＝BC，
∵BE＝BC，
∴AB＝BE，
∵BG⊥AE，
∴BH是线段AE的垂直平分线，∠ABH＝∠DBH＝22.5°，
在Rt△ABH中，∠AHB＝90°﹣∠ABH＝67.5°，
∵∠AGH＝90°，
∴∠DAE＝∠ABH＝22.5°，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DAE＝∠DCE＝22.5°，
∴∠ABH＝∠DCF，
在△ABH和△DCF中，
，
∴△ABH≌△DCF（ASA），
∴AH＝DF，∠CFD＝∠AHB＝67.5°，
∵∠CFD＝∠EAF+∠AEF，
∴67.5°＝22.5°+∠AEF，
∴∠AEF＝45°，故①②正确；
∵∠FDE＝45°，∠DFE＝∠FAE+∠AEF＝22.5°+45°＝67.5°，
∴∠DEF＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴DF＝DE，
∵AH＝DF，
∴AH＝DE，故③正确；
如图，连接HE，

∵BH是AE垂直平分线，
∴AG＝EG，
∴S△AGH＝S△HEG，
∵AH＝HE，
∴∠AHG＝∠EHG＝67.5°，
∴∠DHE＝45°，
∵∠ADE＝45°，
∴∠DEH＝90°，∠DHE＝∠HDE＝45°，
∴EH＝ED，
∴△DEH是等腰直角三角形，
∵EF不垂直DH，
∴FH≠FD，
∴S△EFH≠S△EFD，
∴S四边形EFHG＝S△HEG+S△EFH＝S△AHG+S△EFH≠S△DEF+S△AGH，故④错误，
∴正确的是①②③．
故选：C
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出△ADE≌△CDE，难点是作出辅助线．

二、填空题
11．如图，菱形的周长是，的长是 ．
  
【答案】2
【分析】根据菱形的四条边都相等即可得到答案．
【解析】解：∵菱形的周长是，
∴，
故答案为：2
【点睛】此题考查了菱形的性质，熟知菱形的四条边都相等是解题的关键．
12．如图，菱形的两条对角线，交于点，若，，则菱形的面积为 ．
  
【答案】
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半进行求解即可．
【解析】解：∵菱形的两条对角线，交于点，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，熟知菱形面积计算公式是解题的关键．
13．小明在学习完四边形后，整理成如图所示的知识结构图，发现通过添加边、角或对角线等元素的特殊条件，就能得到特殊的四边形．写出条件①中你认为合适的边、角或对角线的条件是 ．（写出一个即可）
  
【答案】对角线互相垂直（答案不唯一）
【分析】根据正方形的判定方法可得答案．
【解析】解：∵对角线互相垂直的矩形是正方形，有一组邻边相等的矩形是正方形，
∴添加：对角线互相垂直或有一组邻边相等；
故答案为：对角线互相垂直（答案不唯一）．
【点睛】本题考查的是正方形的判定，熟记对角线互相垂直的矩形是正方形，有一组邻边相等的矩形是正方形是解本题的关键．
14．如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形是 形；如果直尺的宽度是，两把直尺所夹的锐角为，那么这个四边形的周长为 ．

【答案】 菱 12
【分析】先证四边形是平行四边形，再证，则平行四边形是菱形，得，然后由等腰直角三角形的性质求出的长，即可解决问题．
【解析】解：如图，过点作于，于．

两直尺的宽度相等为，
．
，，
四边形是平行四边形，
又平行四边形的面积，
，
平行四边形为菱形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
菱形的周长，
故答案为：菱，．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
15．如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC，AE交CD于点F，则∠E=

【答案】22.5 °
【分析】由于正方形的对角线平分一组对角，那么∠ACB=45°，即∠ACE=135°，在等腰△CAE中，已知了顶角的度数，即可由三角形内角和定理求得∠E的度数．
【解析】解：正方形对角线平分直角，故∠ACD=45°，
已知DC⊥CE，则∠ACE=∠135°，
又∵CE=AC，
∴∠E==22.5°．
故答案为：22.5°．
【点睛】此题主要考查等腰三角形两底角相等的应用，以及正方形中边角性质的应用．
16．如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为1的正方形，顶点分别在轴的正半轴上．点Q在对角线上，且，连接并延长交边于点P，则点P的坐标为 ．

【答案】
【分析】首先根据正方形的性质得到对角线，结合题意推出，并由正方形的性质推出∠BPQ＝∠BQP，得到，从而得到，即可得出结论．
【解析】解：∵四边形OABC是边长为1的正方形，
∴根据勾股定理，得对角线，
∵OQ＝OC，
∴，∠OCQ＝∠OQC，
∵OC//AB，
∴∠OCQ＝∠BPQ，
∵∠OQC＝∠BQP（对顶角相等），
∴∠BPQ＝∠BQP，
∴，
∴，
又 ∵OA＝1，
∴点P的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质以及坐标与图形，理解正方形的基本性质，以及平面直角坐标系中点的基本特征是解题关键．
17．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点P为边AB上任意一点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，则PE+PF= ．

【答案】
【分析】连接OP．由勾股定理得出AC=10，可求得OA=OB=5，由矩形的性质得出S矩形ABCD=AB•BC=48，S△AOB=S矩形ABCD=12，OA=OB=5，由S△AOB=S△AOP+S△BOP=OA•PE+OB•PF=OA（PE+PF）=×5×（PE+PF）=12求得答案．
【解析】解：连接OP，如图：

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OB，AC==10，
∴S矩形ABCD=AB•BC=48，S△AOB=S矩形ABCD=12，OA=OB=5，
∴S△AOB=S△AOP+S△BOP=OA•PE+OB•PF=OA（PE+PF）=×5×（PE+PF）=12，
∴PE+PF=；
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
18．已知如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是AD、BC上一点，将四边形ABFE沿着EF折叠，点B恰好与点D重合，点A与点A'重合，∠A'DC的角平分线交EF于点O，若AE＝5，BF＝13，则OD＝ ．

【答案】
【分析】连接，，根据折叠的性质求得,根据矩形的性质可得，进而可得，，证明，四边形是平行四边形，中勾股定理即可求得的长．
【解析】如图，连接，

四边形是矩形
,
将四边形ABFE沿着EF折叠，点B恰好与点D重合，点A与点A'重合，
,，




在中，

在与中，


,
是的角平分线


又
,


又

四边形是平行四边形

在中，


故答案为：
【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，等边对等角，勾股定理，平行四边形的性质与判定，根据折叠的性质证明四边形是平行四边形是解题的关键．

三、解答题
19．如图，已知在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝2，点E，F分别在边CD，AB上，且DE＝BF．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若□AFCE是菱形，求菱形AFCE的边长．

【答案】（1）解题过程见解析；（2）
【分析】（1）根据矩形的性质和DE＝BF可得EC=AF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结果；
（2）根据□AFCE是菱形可得四边相等，根据勾股定理可得出结果；
【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，AB∥DC，
又∵DE＝BF，
∴EC=AF，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）∵□AFCE是菱形，
∴AF=FC=CE=AE，设菱形的边长为x，
∵AB＝6，BC＝2，
∴，
在Rt△CBF中，
，
即，
整理得：，
∴．
故菱形的边长为．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定及菱形的性质知识点，准确应用性质是解题的关键．
20．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别与AD、BC相交于点M、N，与BD相交于点O，连结BM，DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若MD＝2AM，BD＝8，求矩形ABCD的周长．

【答案】（1）见解析   （2）
【分析】（1）由“ASA”可证△DMO≌△BNO，可得OM=ON，由菱形的判定可证平行四边形BMDN是菱形；
（2）设AM长为x，则MB=DM=2x，AD=3x，由勾股定理可求AB=x，由勾股定理可求x的值，即可求解．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，
∵在△DMO和△BNO中，
∴△DMO≌△BNO（ASA），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BMDN是菱形；
（2）∵四边形BMDN是菱形，
∴MB＝MD，
设AM长为x，则MB＝DM＝2x，AD＝3x，
在Rt△AMB中，BM2＝AM2+AB2，
即AB＝x，
∵BD2＝AB2+AD2，
∴64＝3x2+9x2，
∴x＝，
∴AD＝3x＝4，AB＝x＝4，
∴矩形ABCD的周长＝2×（4+4）＝8+8，
答：矩形ABCD的周长为8+8．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
21．如图，正方形ABCD边长为8，E，F分别是BC，CD上的点，且AE⊥BF．

（1）求证：AE＝BF；
（2）若AF＝10，求AE的长．
【答案】（1）见详解；（2）
【分析】（1）由正方形的性质可得∠ABC=90°=∠C，AB=BC，由余角的性质可得∠BAE=∠CBF，可证△ABE≌△BCF，可得AE=BF；
（2）由勾股定理可求DF=6，可得FC=2，由勾股定理可求AE=BF=．
【解析】证明；（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°=∠C，AB=BC，
∴∠ABF+∠CBF=90°，
∵AE⊥BF，
∴∠ABF+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE=BF；
（2）∵AF=10，AD=8，
∴DF=，
∴CF=8-6=2，
∴BF=，
∴AE=．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明△ABE≌△BCF是本题的关键．
22．如图，正方形中，是对角线上一个动点，连结，过作，，
，分别为垂足．

（1）求证：；
（2）①写出、、三条线段满足的等量关系，并证明；②求当，时，的长
【答案】（1）见解析；（2）①GE2＋GF2＝AG2，证明见解析；②的长为或．
【分析】（1）根据正方形的性质得出△DGE和△BGF是等腰直角三角形，可得GE＝DG，GF＝BG，结合AB＝BD即可得出结论；
（2）①连接CG，由SAS证明△ABG≌△CBG，得出AG＝CG，证出四边形EGFC是矩形，得出CE＝GF，由勾股定理即可得出GE2＋GF2＝AG2；
②设GE＝CF＝x，则GF＝BF＝6−x，由①中结论得出方程求出CF＝1或CF＝5，再分情况讨论，由勾股定理求出BG即可．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ABD＝∠CDB＝∠CBD＝45°，AB＝BC＝CD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB＝BD，
∵GE⊥CD，GF⊥BC，
∴△DGE和△BGF是等腰直角三角形，
∴GE＝DG，GF＝BG，
∴GE＋GF＝（DG＋BG）＝BD，
∴GE＋GF＝AB；
（2）①GE2＋GF2＝AG2，
证明：连接CG，如图所示：

在△ABG和△CBG中，，
∴△ABG≌△CBG（SAS），
∴AG＝CG，
∵GE⊥CD，GF⊥BC，∠BCD＝90°，
∴四边形EGFC是矩形，
∴CE＝GF，
∵GE2＋CE2＝CG2，
∴GE2＋GF2＝AG2；
②设GE＝CF＝x，则GF＝BF＝6−x，
∵GE2＋GF2＝AG2，
∴，
解得：x＝1或x＝5，
当x＝1时，则BF＝GF＝5，
∴BG＝，
当x＝5时，则BF＝GF＝1，
∴BG＝，
综上，的长为或．
【点睛】本题是一道四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理及解一元二次方程等知识，通过作辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
23．已知，如图1，四边形ABCD是一张菱形纸片，其中∠A=45°，把点A与点C分别折向点D，折痕分别为EG和FH，两条折痕的延长线交于点O．
（1）请在图2中将图形补充完整．
（2）求∠EOF的度数．
（3）判断四边形DGOH也是菱形吗？请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）45°；（3）是菱形，理由见解析
【分析】（1）依照题意画出图形；
（2）由菱形的性质可得AD=CD，∠A=∠C=45°，∠ADC=135°，由折叠的性质可得AE=DE=AD，GE⊥AD，∠A=∠GDA=45°，DF=FC=CD，HF⊥CD，∠C=∠CDH=45°，由四边形的内角和定理可求解；
（3）由题意可证GE∥DH，GD∥HF，可证四边形DGOH是平行四边形，由“ASA”可证△DEG≌△DFH，可得DG=DH，即可证四边形DGOH是菱形．
【解析】（1）补全图形如图所示：

（2）∵四边形ABCD是菱形，∠A=45°，
∴AD=CD，∠A=∠C=45°，∠ADC=135°，
∵把△AEG翻折，使得点A与点D重合，折痕为EG；
把△CFH翻折，使得点C与点D重合，折痕为FH，
∴AE=DE=AD，GE⊥AD，∠A=∠GDA=45°，
DF=FC=CD，HF⊥CD，∠C=∠CDH=45°，
∵∠EOF+∠OED+∠OFD+∠ADC=360°，
∴∠EOF=360°-90°-90°-135°=45°；
（3）∵∠ADC=135°，∠ADG=∠CDH=45°，
∴∠GDC=∠ADH=90°，且GE⊥AD，HF⊥CD，
∴GE∥DH，GD∥HF，
∴四边形DGOH是平行四边形，
∵AE=DE=AD，DF=FC=CD，AD=CD，
∴DE=DF，且∠ADG=∠CDH=45°，∠DEG=∠DFH=90°，
∴△DEG≌△DFH（ASA），
∴DG=DH，
∴四边形DGOH是菱形．
【点睛】本题考查了翻折变换，菱形的判定和性质，全等三角形的性质，灵活运用折叠的性质是本题的关键．
24．如图，在中，，E，F分别为，的中点，作于点G，的延长线交的延长线于点H．

（1）求证：四边形是菱形．
（2）当时，
①求的长．
②如图2，交于点P，记的面积为，的面积为，则的值为________．
【答案】（1）见解析；（2）①12；②
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD=BC，再根据中点的定义得到AF=BE，可得四边形ABCD是平行四边形，结合AB=AF，可得结论；
（2）①连接AE交BF于点O，由菱形性质可得∠AOB=90°，从而求出菱形ABEF的面积，可得四边形ABCD的面积，根据CG⊥AB可得CG，从而求出AG，证明△AFG≌△DFH，得到AG=DH，在△GCH中利用勾股定理求出GH即可；
②过F作FK⊥AB交BA延长线于K，求出FK，从而得到△BGF和△BGC的面积，从而分别得出S1和S2，可得S1-S2．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵E、F分别为BC、AD中点，
∴AF=AD，BE=BC，
∴AF=BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AD=2AB，AD=2AF，
∴AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）①连接AE交BF于点O，
∵四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OB=OF=BE=4，OA=OE=AE，
∴∠AOB=90°，
在Rt△AOB中，OA==3,
∴AE=2OA=6，
∴S菱形ABEF=AE·BF=×6×8=24，
∵E、F分别是BC、AD中点，
∴BE=EC，AF=FD，
∵AD∥BC，
∴四边形ABEF，四边形EFDC都是平行四边形，且底和高相等，
∴S四边形ABEF=S四边形EFDC=24，
∴S四边形ABCD=S四边形ABEF+S四边形EFDC=48，
∵CG⊥AB，
∴S四边形ABEF=AB·CG=5CG=48，∠BGC=90°，
∴CG=，
∵AD=BC=2AB=10，
∴BG=，
∴AG=AB-BG=5-=，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=5，AB∥CD，
∴∠A=∠FDH，∠GCH=∠BGC=90°，
∵F是AD中点，
∴AF=DF，
在△AFG和△DFH中，
，
∴△AFG≌△DFH（ASA），
∴AG=DH=，
∴CH=CD+DH=5+=，
在Rt△GCH中，GH==12；

②过F作FK⊥AB交BA延长线于K，
∴S四边形ABEF=AB·FK=5FK=24，
∴FK=，
∴S△BGF=BG·FK==，
S△BGC=BG·CG==，
∵S2=S△BGC-S△BGP=-S△BGP，
S1=S△BGF-S△BGP=-S△BGP，
∴S2-S1=-=．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，重点考查了几何图形的推理论证能力，同时也要结合已知条件作出辅助线，扩大运用范围．
25．如图1，在正方形ABCD中，点E在边CD上（不与点C，D重合），AE交对角线BD于点G，GF⊥AE交BC于点F．

（1）求证：AG＝FG
（2）若AB＝10，BF＝4，求BG的长
（3）如图2，连接AF，EF，若AF＝AE，求正方形ABCD与△CEF的面积之比
【答案】（1）证明见解析；（2）7；（3）3＋2
【分析】（1）由“SAS”可证△ABG≌△CBG，可得AG＝CG，∠BAG＝∠BCG，由四边形内角和定理可证∠BCG＝∠GFC，可得GC＝GF＝AG；
（2）过点G作GH⊥BC于H，利用勾股定理可求GH的长，即可求解；
（3）在AB上截取BF＝BN，连接NF，由“HL”可证Rt△ABF≌Rt△ADE，可得∠BAF＝∠DAE＝22.5°，BF＝DE，可得FC＝BF，即可求解．
【解析】解：（1）证明：连接GC，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，
又∵BG＝BG，
∴△ABG≌△CBG（SAS），
∴AG＝CG，∠BAG＝∠BCG，
∵∠ABC＋∠BAG＋∠AGF＋∠BFG＝360°，且∠ABC＝∠AGF＝90°，
∴∠BAG＋∠BFG＝180°，
∴∠BCG＋∠BFG＝180°，
∵∠BFG＋∠GFC＝180°，
∴∠BCG＝∠GFC，
∴GC＝GF，
∴AG＝FG；
（2）如图2，过点G作GH⊥BC于H，

∵AB＝10，BF＝4，
∴AF2＝AB2＋BF2＝AG2＋GF2，
∴GF2＝58，
∵∠DBC＝45°，GH⊥BC，
∴BH＝GH，BG＝GH，
∵GF2＝GH2＋FH2，
∴58＝GH2＋（GH−4）2，
∴GH＝7，（负值舍去），
∴BG＝7；
（3）如图3，在AB上截取BF＝BN，连接NF，

∵AG＝GF，AG⊥GF，
∴∠EAF＝45°，
∵AE＝AF，AB＝AD，
∴Rt△ABF≌Rt△ADE（HL），
∴∠BAF＝∠DAE＝22.5°，BF＝DE，
∴CF＝CE，
∵BF＝BN，∠ABC＝90°，
∴NF＝BF，∠BNF＝∠BFN＝45°，
∴∠BAF＝∠AFN＝22.5°，
∴AN＝NF＝BF，
∵AB＝BC，
∴BN＋AN＝BF＋FC，
∴FC＝BF，
∴BC＝（＋1）BF，
∴正方形ABCD与△CEF的面积之比＝BC2：FC2＝3＋2．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．
26．（1）如图1，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线交BC于点E．交AB的延长线于点F，求证：BE＝BF；
（2）如图2，若G是EF的中点，连接AG、CG、AC，请判断△AGC的形状，并说明理由．
（3）如图3，作∠BED的角平分线EH交AB于点H，已知AB＝9，BH＝2AH，求BC的长．

【答案】（1）见解析；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）
【分析】（1）由矩形的性质结合角平分线的定义可证得∠ADF＝∠BEF＝∠CDF＝∠F，可证明BE＝BF；
（2）连接BG，由“SAS”可证△AGF≌△CGB，可AG＝CG，进一步可证明∠AGC＝90°，可判定△AGC为等腰直角三角形；
（3）在BH上截取BN＝BE，连接NE，由等腰三角形的性质可求HN＝NE＝BN，可求BN的长，即可求解．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠F＝∠CDF，∠ADF＝∠BEF，
∵DF平分∠ADC，
∴∠CDF＝∠ADF，
∴∠F＝∠BEF，
∴BE＝BF；
（2）△AGC为等腰直角三角形，
理由如下：如图，连接BG，

由（1）可知BE＝BF，且∠FBE＝90°，
∴∠F＝45°，
∴∠F＝∠ADF＝45°，
∴AF＝AD＝BC，
∵G为EF中点，
∴BG＝FG，∠EBG＝45°，
在△AGF和△CGB中，
，
∴△AGF≌△CGB（SAS），
∴AG＝CG，∠AGF＝∠BGC，
∴∠BGF+∠AGB＝∠AGB+∠AGC，
∴∠AGC＝∠BGF＝90°，
∴△AGC为等腰直角三角形；
（3）如图，在BH上截取BN＝BE，连接NE，

∵AB＝9，BH＝2AH，
∴AH＝3，BH＝6，
∵∠BEF＝45°，
∴∠BED＝135°，
∵EH平分∠BED，
∴∠BEH＝67.5°，
∴∠BHE＝22.5°，
∵BE＝BN，∠ABC＝90°，
∴∠BEN＝∠BNE＝45°，NE＝BN，
∵∠BNE＝∠BHE+∠HNE＝45°，
∴∠BHE＝∠NEH＝22.5°，
∴HN＝NE＝BN，
∵BH＝BN+NH＝（+1）BN＝6，
∴BN＝6﹣6＝BE，
∴BF＝6﹣6，
∴BC＝AD＝AF＝AB+BF＝9+6﹣6＝6+3．
【点睛】本题是四边形综合题，考查全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，在（1）中充分利用矩形的对边分别平行是解题的关键，在（2）构造三角形全等是解题的关键，在（3）中求出BN的长是关键．
27．如图①，已知正方形中，，分别是边，上的点（点，不与端点重合），且，，交于点P，过点作交于点．
  
（1）求证：．
（2）若，试求线段的长．
（3）如图②，连接并延长交于点，若点是的中点，试求的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）4
【分析】（1）证明△ABE≌△DAF（SAS），得出∠ABE＝∠DAF，得出∠APB＝90°，可得出结论；
（2）根据三角形ABE的面积可求出AP＝，证明△ABP≌△BCH（AAS），由全等三角形的性质得出BH＝AP＝，则PH＝BP﹣BH＝BP﹣AP，可求出答案；
（3）证得∠CBP＝∠CPB，∠QPE＝∠QEP，可得出QE＝QP＝QA，在四边形QABC中，设，，则AB＝BC＝a，AQ＝x，QC＝x+a，由a2+（a﹣x）2＝（x+a）2可得出a，x的关系式，则可求出答案．
【解析】（1）证明：∵正方形
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
(2) 解：∵，
∴，
，
∴，
∴

∵
∴
∴
∵
∴
∵和，且
∴
∴
∴
（3）解：∵为中点，且
∴为以为底的等腰三角形
∴，
由（1）（2）的证明结果
∵
∴

∴
∴
∵
∴
∴
∴在中，为斜边的中线
∴
由，以及等腰三角形
∴
∴
设，，则在中，
，
根据勾股定理，有
即
得
∴
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，平行线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想解决问题，学会用方程的思想方法解决问题．