【期中单元重点题型】（北师大版）2023-2024学年九年级数学上册 第1章 特殊平行四边形（压轴题专练）-讲义

第1章    特殊平行四边形（压轴题专练）

题型01：存在性问题

1．如图，平面直角坐标系中直线：分别与轴，轴交于点和点，过点的直线与轴交于点，．

(1)求直线的解析式；

(2)若为线段上一点，为线段上一点，当时，求的最小值，并求出此时点的坐标；

(3)在（2）的结论下，将沿射线方向平移得，使落在直线上，若为直线上一点，为平面内一点，当以点为顶点的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标．

2．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将绕点O顺时针旋转得（点A与点C对应，点B与点D对应）．

(1)求直线的解析式；

(2)点E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G，当时，求点E的坐标；

(3)如图2，若点M为线段的中点，点N为直线上一点，点P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．

3．如图，直角三角形在平面直角坐标系中，直角边在y轴上，的长分别是一元二次方程的两个根，A，且，P为上一点，且．

(1)求点A的坐标；

(2)求过点P的反比例函数解析式；

(3)点M在第二象限内，在平面内是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

4．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），以OA为一边在第一象限内作矩形OABC，直线CD：交AB于点E，与y轴交于点D，．

(1)求点B的坐标．

(2)点P为线段CE上的一个动点，过点P作轴，交AB于点F，交x轴于点G，连接FD，设点p的横坐标为m，△DFP的面积为S，求S关于m的函数关系式．

(3)在（2）的条件下，连接BP并延长与x轴交于点M，过点P作，与x轴交于点，当时，在直线CD上是否存在一点R，过点作轴交直线于点Q，得，若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．

题型02：动态问题

5．如图①，的顶点P是正方形两条对角线的交点，，将绕点P旋转，旋转过程中的两边分别与正方形的边和交于点E和点F（点F与点C，D不重合）

(1)如图①，当时，之间满足的数量关系是____________；

(2)如图②，将图①中的正方形改为的菱形，M是中点，其他条件不变，当时，求证：．

(3)在（2）的条件下，若旋转过程中的边与线段延长线交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，之间满足的数量关系．

6．【证明推断】（1）如图1，在矩形中，，点P是的中点，将沿直线折叠得到，点落在矩形的内部，延长交于点E，连接．

求证：①；②；③若，求的长；

【类比探究】（2）如图2，将（1）中“矩形”改为“平行四边形”，其他条件不变，（1）中的①②结论是否仍然成立？请说明理由；

【拓展运用】（3）如图3，在平行四边形中，，点P是的中点，将沿直线折叠得到，点落在的内部，延长交于点E，连接．连接与交于点M，与交于点N．

求证：四边形是矩形．

7．如图，四边形为菱形，，，点E为边上动点（不含端点）点B关于直线的对称点为点F，点H为中点．

（1）若，求的长；

（2）作，垂足为G，当时，求的度数；

（3）在（2）的条件下，设射线交于M，求的长．

8．如图．四边形ABCD、BEFG均为正方形．

（1）如图1，连接AG、CE，请直接写出AG和CE的数量和位置关系（不必证明）．

（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转角（），如图2，直线AG、CE相交于点M．

①AG和CE是否仍然满足（1）中的结论？如果是，请说明理由：如果不是，请举出反例：

②连结MB，求证：MB平分．

（3）在（2）的条件下，过点A作交MB的延长线于点N，请直接写出线段CM与BN的数量关系．

题型03：情景探究题

9．综合与实践

数学活动：数学活动课上，老师提出如下数学问题：

已知四边形与四边形都为正方形，P为的中点，连接，，如图1，当点E在上时，求证：．

(1)独立思考：请你证明老师提出的问题；

(2)合作交流：解决完上述问题后，“翱翔”小组的同学受此启发，把正方形绕点B顺时针旋转，当点F落在对角线上时（如图2），他们认为老师提出的结论仍然成立．请你予以证明；

(3)问题解决：解决完上述问题后，“善思”小组提出如下问题，把正方形绕点B顺时针旋转（如图3），当点D，E，F在同一条直线上时，与交于点H．若，，请直接写出的值．

10．已知四边形和都为正方形，连接，，，点，，分别是，，的中点．

(1)观察思考

如图①，点，分别在，上，线段和的数量关系和位置关系为______；

(2)探究证明

如图②，将正方形绕点旋转，在旋转的过程中和的上述关系是否发生变化？请结合图②说明理由；

(3)综合实践

如图③，连接，取的中点，连接，.

①判断四边形的形状，并说明理由；

②若，，在旋转的过程中，四边形的周长的最大值为______.

题型04：最值问题

11．在Rt△ABC中，，，点D为直线上一点，连接．

(1)如图1，当点D在线段AC上时，过点C作交的延长线于点E，连接，过点A作交于点F，当时，求的长；

(2)如图2，延长至点G，使，作的平分线交于点H，交的延长线于点K．求证：；

(3)如图3，在（2）的条件下，取的中点M，连接、，当点D在直线上运动时，直接写出的最大值．

12．已知，四边形是正方形，绕点旋转，，，连接，．

(1)如图1，求证：；

(2)直线与相交于点G．

①如图2，，于点，于点，求证：四边形正方形；

②如图3，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值．

13．在边长为的正方形中，点分别在上，，连接，过点作，垂足为．

(1)如图1，延长，交的延长线于，请完成画图并证明：；

(2)如图2，点分别在的延长线上，连接．求的长；

(3)如图3，连接，则的最小值为________（直接写出结果）．

题型05：解答证明题

14．在四边形中，，，对角线平分．

(1)如图1，求证：四边形是菱形；

(2)如图2，点在上，点在射线上，连接，，的角平分线交于点，若，求证：；

(3)如图3，在（2）的条件下，若，连接，，，求线段的长．

15．如图1，为正方形内一点，点在边上（不与端点，重合），垂直平分交于点，连接．过点作交射线于点．

(1)求的大小；

(2)求证：；

(3)如图2，连接，若，求的值．

16．如图1，正方形的边长为，点从点出发，沿射线方向以/秒的速度移动，点从点出发，向点以/秒的速度移动（不到点）．设点，同时出发移动秒．

(1)在点，移动过程中，连接，，，则的形状是 ，始终保持不变；

(2)如图2，连接，设交移动，当时，求的长；

(3)如图3，点，分别在边，上，且，连接，当与的夹角为，求的值．

17．如图，在边长为8的正方形中，点分别是边上的两动点（点不与点重合），以为邻边作矩形交于点，交于点．设，已知．

(1)证明：；

(2)连接．

①如图1，当时，求的大小；

②如图2，当时，①中的结论是否成立？并说明理由．

题型06：相似三角形在特殊平行四边形中的应用

18．如图，在矩形中，E是的中点，点F在边上，连接平分，过点E作于M．

(1)求证：；

(2)若G是的中点，连接交于点H．

①求证：；

②若，求的长．

19．综合与实践

问题情境

在综合实践课上，老师组织兴趣小组开展数学活动，探究正方形的旋转问题．在正方形和正方形中，点G，A，B在一条直线上，连接，（如图1）．

操作发现

（1）图1中线段和的数量关系是______，位置关系是______．

（2）在图1的基础上，将正方形绕着点A沿顺时针方向旋转，如图2所示，（1）中的结论是否成立？请仅就图2的情况说明理由．

类比探究

（3）如图3，若将图2中的正方形和正方形中都变为矩形，且，，请仅就图3的情况探究与之间的数量关系．

拓展探索

（4）在（3）的条件下，若，，矩形在顺时针旋转过程中，当点D，E，F在同一直线时，请直接写出的值．

20．如图1，矩形的两条对角线交于点，点是边上一个动点，连接，作，，垂足分别是，连接．

(1)求证：；

(2)如图2，延长交于点，若，猜想与有怎样的数量关系，并证明你的结论；

(3)在（2）的条件下，已知，，求的值．

21．（1）如图1，正方形和正方形（其中），连接交于点H，请直接写出线段与的数量关系　 　，位置关系　 　；

（2）如图2，矩形和矩形，，将矩形绕点D逆时针旋转，连接交于点H，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段的数量关系和位置关系，并说明理由；

（3）矩形和矩形，，将矩形绕点D逆时针旋转，直线交于点H，当点E与点H重合时，请直接写出线段的长．

22．【问题情境】数学活动课上，老师出示了有关正方形的一个问题：已知正方形的边长为6，E为对角线上一动点（不与点A、C重合），连接，过E作交于点G，探索线段、有何数量关系？

（1）数学兴趣小组的小明同学做出了回答，解题思路如下：如图1，过点E分别作、的垂线、，证明，发现和的数量关系是_________．

【问题探究】

该小组小丽同学受此问题启发，对上面的问题进行了探究，并提出了如下问题：

（2）如图2，过点G作交AC于点F，的长度是否发生变化？若不变，请求出这个不变的值；若变化，请说明理由；

【深度探究】

如图3，连接交于点H．

（3）图中的面积S的取值范围为_________；

（4）若，则的长是_________．