【期中单元重点题型】（人教版）2023-2024学年九年级数学上册 第二十四章 圆（压轴40题专练）

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第二十三章 旋转（压轴题专练）
一、填空题
1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点A是上一定点，点B是上一动点、连接、、，分别将线段、绕点A顺时针旋转到、，连接、、、，下列结论：①点在上；②；③；④当时，与相切．正确的有（    ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2023春·重庆开州·八年级统考期末）如图，以直角三角形的斜边为边在三角形的同侧作正方形，正方形的对角线，相交于点，连接，如果，，则正方形的面积为（    ）
  
A．20 B．22 C．24 D．26
3．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考二模）如图，的半径是5，点A是圆周上一定点，点B在上运动，且，，垂足为点C，连接，则的最小值是（　　）

A． B． C． D．
4．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，正方形中，，点为边上一个动点，连接，点为上一点，且，在上截取点使，交于点，连接，则的最小值为（　　）

A． B． C． D．
5．（2023·安徽合肥·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，，，点C在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，且，以为直径的第一象限作半圆，交线段于点E、F，则线段的最大值为（    ）
  
A． B． C． D．
6．（2023·湖北武汉·统考二模）如图，内切于正方形，边、分别与切于点、，点、分别在线段、上，且与相切．若的面积为6，则的半径为（    ）
  
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2023·浙江温州·校考三模）杭州奥体网球中心以极度对称的“莲花”造型惊艳众人．该建筑底部是由24片全等“花瓣”组成的“固定花环”，上方穹顶由8片全等“旋转花瓣”均匀连接，可根据天气变化合拢或旋转展开．小明借助圆的内接正多边形的知识，模拟“小莲花”变化状态．穹顶合拢时，如图①，正二十四边形顶点，正八边形顶点与圆心O共线，正二十四边形顶点，与正八边形顶点，共线，则的值为 ；穹顶开启时，如图②，所有“旋转花瓣”同时绕着固定点，，…，逆时针同速旋转．圆心O绕旋转后的对应点为，以此类推，当落在上时，若米，则的值为 米．
      
8．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A，直线与交于点D．与y轴交于点E．动点M在线段上，动点N在直线上，若是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为
  
9．（2023·上海·统考中考真题）在中，点D在边上，点E在延长线上，且，如果过点A，过点D，若与有公共点，那么半径r的取值范围是 ．
10．（2023秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，为的直径，且，点C在半圆上，，垂足为点O，P是 上任意一点，过P点作于点E，M是的内心，连接，当点P在弧上从点B运动到点C时，求内心M所经过的路径长 ．

11．（2023·浙江绍兴·校联考三模）如图，矩形中，，．动点E在边上，以点E为圆心，以为半径作弧，点G是弧上一动点．
（1）如图①，若点E与点A重合，且点F在上，当与弧相切于点G时，则的值是 ；
（2）如图②，若连结，，分别取、的中点P、Q，连接，M为的中点，则CM的最小值为 ．
  
12．（2023·江苏苏州·苏州市胥江实验中学校校考二模）如图，矩形，E为中点， F为直线上动点，点B、G关于对称，连接，点P为平面上的动点，，则的最小值是 ．
  
三、解答题
13．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）综合与探究
问题情境：如图，已知为的直径，点C为上异于A，B的一点，过点C作的切线，过点A作于点D，连接．
  
(1)探究发现：证明：无论点C在何处，将沿折叠，点D一定落在直径上；
(2)探究引申：如图2，勤奋小组继续探究发现，若是等腰三角形且对称轴经过点D，此时，与存在数量关系，请写出结论并证明；
(3)探究规律：如图3，智慧小组在勤奋小组的启发下发现当为正三角形时，与存在的数量关系是：______．
14．（2023·江苏·九年级假期作业）【问题情境】如图①，在四边形中，，求证：A、B、C、D四点共圆．
小吉同学的作法如下：连结，取的中点，连结、，请你帮助小吉补全余下的证明过程；
【问题解决】如图②，在正方形中，，点是边的中点，点是边上的一个动点，连结，，作于点P．
（1）如图②，当点P恰好落在正方形对角线上时，线段的长度为 　　；
（2）如图③，过点P分别作于点，于点，连结，则的最小值为 　　．

15．（2023春·湖北恩施·九年级统考期中）如图1，等圆与相交于C，M两点，经过的圆心，直线交于点A，交于点B，连接．
      
(1)求证：为的切线；为的切线；
(2)连接，判断四边形的形状，并说明理由；
(3)如图2，当点H为线段上的点，点E为延长线上的点，直线交于点D，直线交于点F．若，探求是否为定值；
(4)如图3，当H为延长线上的点，E为线段上的点，其它条件不变，则（3）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
要求帮小明完成探究．
  
(1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在中，C是劣弧的中点，直线于点E，则．请证明此结论；
(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，，组成的一条折弦．C是劣弧的中点，直线于点E，则．可以通过延长、相交于点F，再连接证明结论成立．请写出证明过程；
(3)如图3，，组成的一条折弦．C是优弧的中点，直线于点E，则，与之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．
17．（2023·河北廊坊·校考三模）在矩形中，，，点从点出发沿边以的速度向点移动（点可以与点重合），同时，点从点出发沿以的速度向点移动（点可以与点重合），其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒．

(1)如图1，几秒后，的长度等于?
(2)如图1，几秒后，的面积等于四边形面积的?
(3)若以为圆心，为半径作．如图2，若与四边形的边有三个公共点，则的取值范围为_____．（直接写出结果，不需说明理由）
18．（2023·广东深圳·校考二模）【定义】在平面内的三个点，，，满足．若，则将点称为，的三倍直角点：若，则将点称为，的三倍锐角点．
    
(1)如图1，已知中，，，若点是，的三倍直角点，则的长度为___________；若点是点，的三倍锐角点，则的长度为___________；
(2)如图2，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，点是直线上的一点，点的坐标为(，)，点的坐标为(，)，以为圆心长为半径作，点在上．
①若点是，的三倍锐角点，求点的坐标
②若点是，的三倍直角点，直接写出点的坐标．
19．（2023·河北张家口·统考三模）如图，在中，，延长到点，使，延长到点，使．以点为圆心，分别以为半径作大小两个半圆，连接．
  
(1)求证：；
(2)设小半圆与相交于点．
①当取得最大值时，求其最大值以及的长；
②当恰好与小半圆相切时，直接写出弧的长．
20．（2023·河北唐山·统考二模）如图，菱形中，，．点P为射线上一动点，在射线上取一点E，连接，使．作的外接圆，设圆心为O．
  
(1)当圆心O在上时，______；
(2)当点E在边上时，
①判断与的位置关系，并证明：
②当为何值时，有最大值？并求出最大值；
(3)如图，连接，若，直接写出值；将优弧沿PE翻折交射线于点Q，直接写出弧的长．
21．（2023·全国·九年级专题练习）如图，内接于，连接，．
  
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点在上，连接，点是上一点，连接，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点，连接，若，，，求的长．
22．（2023·陕西宝鸡·统考一模）问题提出：
（1）如图1所示，已知A为上一点，P为外一点，若，的半径为2，则的最小值为_________；
问题探究：
（2）如图2所示，P为等边三角形内一点，若，求的最小值；
问题解决：
（3）由于网购的方便与快捷，极大地促进了物流行业的发展，如图3所示，一条半圆形公路连接着A，B两座城市．物流公司沿半圆形公路在A，B两地之间进行物流运送．点D为一辆等在半圆形公路上的物流车，随时接收从外地运来的货物以便及时送到A，B两地．为了节约资金，提高物流中转的效率，现需在这个区域内建一个物流中转站P，要求物流中转站P到A，B两城市及半圆形公路上点D的距离之和最小，请帮物流公司求出这个距离和的最小值．
  
23．（2023·云南昆明·统考二模）矩形中，，点O是边BC上的一个动点（不与点B重合），连接，将沿折叠，得到，再以O为圆心，长为半径作半圆，交射线于G，连接并处长交射线于F，连接，设．
  
(1)求证：是半圆O的切线；
(2)当点E落在上时，求x的值；
(3)当半圆O与的边有两个交点时，求x的取值范围．
24．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）定义：如图1，是的直径，若弦，则称弦为的纬线．
  
(1)如图1，弦是的纬线，求证：；
(2)弦和弦都是半径为5的的纬线，，，，求这两条纬线之间的距离；
(3)如图2，弦和弦是直径两侧的纬线，连接、、、、、，的半径为，记四边形，，的面积依次为，，，若同时满足下列两个条件时，求的最大值（用含的式子表示）．
①；②其中的一条纬线长不超过半径．
25．（2023秋·广东广州·九年级广东实验中学校考期末）在正方形中，边长为点是线段上的动点，以为直角边在直线的上方作等腰直角三角形，，其中交于点，交于点，连接．

(1)如图，①若时，求线段的长；
②当点在线段上运动时，求证：．
(2)如图，过点作交于点，过点作所在的直线于点，求的最小值．
26．（2023·北京·统考二模）在平面直角坐标系中，的半径为2．对于直线l和线段，给出如下定义：若将线段关于直线l对称，可以得到的弦 (，分别是B，C的对应点)，则称线段是以直线l为轴的的“关联线段”．例如，图1中线段是以直线l为轴的的“关联线段”．
  
(1)如图2，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．
① 在线段，，中，以直线：为轴的的“关联线段”是 ；
② 在线段，，中，存在以直线：为轴的的“关联线段”，求b的值；
(2)已知直线：交x轴于点A．在中，，，若线段是以直线为轴的的“关联线段”，直接写出m的最大值与最小值，以及相应的的长．
27．（2023·北京朝阳·统考二模）在平面直角坐标系中，对于图形M给出如下定义；将M上的一点变换为点，M上所有的点按上述变换后得到的点组成的图形记为N，称N为M的变换图形．
(1)①点的变换点的坐标为______；
②直线的变换图形上任意一点的横坐标为______；
(2)求直线的变换图形与y轴公共点的坐标；
(3)已知⊙O的半径为1，若的变换图形与直线有公共点，直接写出k的取值范围．
28．（2023·江苏盐城·校考三模）在平面直角坐标系中，对于点，我们称直线为点的友好直线．例如，点的友好直线为．
(1)已知点，
①则点的友好直线为______；
②若与点的友好直线相切，求的半径；
(2)已知点，点是轴上任意一点（原点除外），点为直线上的动点．
①当点坐标是时，求点到点的友好直线的距离的最大值；
②以为圆心，3为半径作．在点运动过程中，当点的友好直线与交于两点时，的最小值为4，请直接写出点的坐标．
29．（2023春·江西赣州·八年级瑞金第一中学校联考期末）如图1，在矩形中，，，点E在射线上运动，将沿翻折，使得点A与点G重合，连接交于点F．

(1)【初步探究】当点G落在边上时，求的长；
(2)【深入探究】在点E的运动过程中，是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由；
(3)【拓展延伸】如图3，点P为的中点，连接，点E在射线上运动过程中，求长的最大值．
30．（2023·山东临沂·统考一模）如图1，在中，，，点D，E分别在边，上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接，，．

(1)当时，求证：；
(2)如图3，当时，延长交于点F，求的度数；
(3)在旋转过程中，探究的面积的是否存在最小值，若存在写出此时旋转角α的度数和面积最小值，若不存在，请说明理由．
31．（2023·全国·九年级专题练习）【教材呈现】以下是浙教版八年级下册数学教材第85页的部分内容．先观察下图，直线l1l2，点A，B在直线l2上，点C1，C2，C3，C4在直线l1上．△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4这些三角形的面积有怎样的关系？请说明理由。

【基础巩固】如图1，正方形内接于，直径，求阴影面积与圆面积的比值；

【尝试应用】如图2，在半径为5的中，，，，用含x的代数式表示；

【拓展提高】如图3，是的直径，点P是上一点，过点P作弦于点P，点F是上的点，且满足，连接交于点E，若，，求的半径．

32．（2023·河南开封·一模）刘老师在“矩形的折叠”活动课上引导学生对矩形纸片进行折叠．
如图，将矩形纸片折叠，点与点重合，点与点重合，将纸片展开，折痕为，在边上找一点，沿将折叠，得到，点的对应点为点．

(1)问题提出：若点落在上，，连接．
①是______三角形；
②若是等边三角形，则的长为______．
(2)深入探究：在（1）的条件下，当时，判断的形状并证明；
(3)拓展延伸：若，，其他条件不变，当点落在矩形内部包括边时，连接，直接写出的取值范围．
33．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考模拟预测）为的直径，为圆上一点，，垂足为，点为圆上一点，连接，，且．
(1)如图，求证：；

(2)如图，连接，求证：；

(3)如图，在（2）的条件下，连接并延长交于点，连接交于点，若，，求的长．

34．（2023·江苏·模拟预测）【问题思考】如图1，点E是正方形内的一点，过点E的直线，以为边向右侧作正方形，连接，直线与直线交于点P，则线段与之间的关系为______．
【问题类比】
如图2，当点E是正方形外的一点时，【问题思考】中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；
【拓展延伸】
如图3，点E是边长为6的正方形所在平面内一动点，【问题思考】中其他条件不变，则动点P到边的最大距离为______（直接写出结果）．

35．（2023·陕西铜川·统考三模）（1）如图1，的半径为1，，点P为上任意一点，则的最小值为 ；
（2）如图2，已知矩形，点E为上方一点，连接，作于点F，点P是的内心，求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，若矩形的边长，，，求此时的最小值．

36．（2023·全国·九年级专题练习）【结论理解】“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形的四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．

(1)【问题探究】如图1，在矩形中，点E为上一点，将沿翻折，点C的对应点F恰好落在边上，做经过F、E、C三点的圆，请根据以上结论判断点B点______（填“在”或“不在”）该圆上；
(2)如图2，四边形是的内接四边形，， ，，求四边形的面积．
(3)【问题解决】如图3，四边形是某公园的一块空地，现计划在空地中修建与两条小路，（小路宽度不计），将这块空地分成四部分，记两条小路的交点为P，其中与空地中种植草坪，与空地中分别种植郁金香和牡丹花．已知，且点C到的距离是，求种植牡丹花的地块的面积比种植郁金香的地块的面积多多少？
37．（2023·广西柳州·校考一模）如图1，在中，，以线段为直径作交于点D，E为中点，连接，过点C作交的延长线于点F．

(1)求证：直线是的切线；
(2)判断的形状，并说明理由；
(3)如图2，连接交于点P，连接交于点Q，若D为中点，，求的长．
38．（2022秋·广东广州·九年级统考期末）如图，是正方形，是的直径，点E是上的一动点（点E不与点B，C重合），连接．

(1)若，求的度数；
(2)若为的切线，连接交于点F，求证：；
(3)若，过点A作的垂线交射线于点M，求的最小值．
39．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图1，的半径为，的顶点，，在上，．

(1)求证：是的切线；
(2)若也与相切，求证：四边形是菱形；
(3)如图2，与相交于点，连接于，当时，求的对角线的长及阴影部分图形的面积．
40．（2023·河北邢台·统考一模）在等边三角形中，于点D，半圆O的直径开始在边上，且点E与点C重合，．将半圆O绕点C顺时针旋转，当时，半圆O与相切于点P．如图1所示．

(1)求的长度；
(2)如图2．当，分别与半圆O交于点M，N时，连接，，．
①求的度数；
②求的长度；
(3)当时，将半圆O沿边向左平移，设平移距离为x．当与的边一共有两个交点时，直接写出x的取值范围．
41．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考期中）已知等边内接于点P为弧上的一个动点，连结、、．

(1)如图1，当线段经过点O时，写出线段，，满足的等量关系，并说明理由．
(2)如图2，点P为弧的任意一点（点P不与点A、点B重合），试探究线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论．
(3)如图3，在中，，，的外角平分线交的外接圆于点P，于E，求的长．
42．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）已知为的外接圆，．

(1)如图1，连接交于点，过作的垂线交延长线于点．
①求证：平分；
②设，请用含的代数式表示；
(2)如图2，若，为上的一点，且点位于两侧，作关于对称的图形，连接，试猜想三者之间的数量关系并给予证明．
43．（2022秋·广东广州·九年级校考阶段练习）已知：是的外接圆，且，，D为上一动点．

(1)如图1，若点D是的中点，等于多少？
(2)过点B作直线的垂线，垂足为点E．
①如图2，若点D在上，求证：．
②若点D在上，当它从点A向点C运动且满足时，求的最大值．
44．（2023·江苏·九年级假期作业）小明在学习了《圆周角定理及其推论》后，有这样的学习体会：在中，，当长度不变时．则点C在以为直径的圆上运动（不与A、B重合）．
【探索发现】
小明继续探究，在中，，长度不变．作与的角平分线交于点F，小明计算后发现的度数为定值，小明猜想点F也在一个圆上运动．请你计算的度数，并简要说明小明猜想的圆的特征．
【拓展应用】
在【探索发现】的条件下，若，求出面积的最大值．
【灵活运用】
在等边中，，点D、点E分别在和边上，且，连接交于点F，试求出周长的最大值．

45．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图半径为r，锐角内接于，连并延长交于D，过点D作于E．

(1)如图1，求证：；
(2)如图1，若，求的长；
(3)如图2，当时，，求r的值；
(4)如图3，若，直接写出的值（用含r的代数式表示）