【期中单元重点题型】（人教版）2023-2024学年九年级数学上册 第二十一章 二次函数（压轴40题专练）

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第二十二章 二次函数（压轴题专练）
一、填空题
1．（2023·湖北十堰·统考二模）若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，若在二次函数 (m为常数）的图象上存在两个二倍点，，且，则m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得出纵坐标是横坐标的2倍总在直线上，、是方程的两个解，根据根与系数的关系得出，，根据根的判别式得出，根据，得出m取任意实数时，总成立，根据，得出，，即，得出，求出m的值即可．
【详解】解：∵纵坐标是横坐标的2倍总在直线上，
∴点，一定在直线上，
又∵点，在二次函数 (m为常数）的图象上，
∴、是方程的两个解，
即，
∴，，
，
∵，
又∵，
∴，
∴m取任意实数时，总成立，
∵，
∴，，
∴，
即，
∴，
解得：，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的交点问题，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是根据题意得出、是方程的两个解，且．
2．（2023秋·重庆开州·九年级统考期末）已知两个多项式，，其中为任意实数．有下列结论：
①若，则一定为正数；
②若，则满足条件的的值有4个；
③若，则当时，式子取得最小值．
其中正确的结论个数有（    ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】可求，①即可求解；由可求，②即可求解；设，可得，从而可得，③即可求解．
【详解】解：，，
，
，即，
，
①正确；
即，
或都无实解，
无实数根，
②错；
设，
整理得：
，
，
，
，
当，取得最小值，
即：式子取得最小值．
③正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式，判断一元二次方程根的个数，二次函数的最值，掌握判断方法及最值求法是解题的关键．
3．（2023·湖北黄冈·统考二模）已知二次函数的图像经过，下列结论：①若图像对称轴在y轴左侧，则；②是方程的一个根；③若图像与x轴的另一个交点在和之间，则；④点，在抛物线上，若，则当时，．其中正确结论的序号为（     ）
A．①③④ B．①② C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】根据抛物线的对称轴计算公式可判断①，根据二次函数与轴的交点判断一元二次方程的解，继而判断②，根据图像与x轴的另一个交点在和之间，可得抛物线与
轴的交点之间的距离大于3，利用韦达定理得到之间的关系，继而判断③，根据可得抛物线开口向上且与轴交于上半轴，利用二次函数的性质，即可判断④，继而得到答案．
【详解】解：二次函数的图像经过，
，
若图像对称轴在y轴左侧，则，故同号，
异号，
，故①正确；
根据可得，
有一个根为，
当时，成立，
是方程的一个根，故②正确；
若图像与x轴的另一个交点在和之间，则，
，
，
可得，
变形可得，故③正确；
若，则抛物线开口向上且与轴交于上半轴，
，
，
对称轴为，
时，的大小关系无法确定，故④错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，韦达定理，熟练运用韦达定理是解题的关键．
4．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）对于两个正整数a，，将这两个数进行如下操作：第一次操作：计算b与a的差的算术平方根，记作；第二次操作：计算b与的差的算术平方根，记作；第三次操作：计算b与的差的算术平方根，记作；……依次类推，若，则下列说法
①当时，；    ②当时，；
③点一定在抛物线上；
④当，2，3，…，n时，对应b的值分别为，，，…，，若则n的值为42：其中正确的个数是（   ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据题意，首先找出a，b之间的关系式，然后逐个分析找出规律，即可得解.
【详解】由题意得， 且
,,
则当时,,
∴①正确.
当时,或,
∴②错误.
将P的坐标代入抛物线得,
∴式子成立，③正确.
当时,.
当时,.
当时,.
当时,.
即
，
，
，
，
∴.
∴④错误.
故选: .
【点睛】本题考查了规律性探索问题，解题时需要分析题意，学会转化，灵活变形.
5．（2023·河北沧州·统考模拟预测）如图，抛物线经过点、，则下列结论，正确的有（    ）
①若、在该抛物线上，当时，m的取值范围是；②若抛物线与y轴交于点，当时y的最大值与最小值的差为6，则n的值为或；③平面直角坐标系内，线段的端点为，，当抛物线与线段MN有交点时，a的取值范围是；④以为直径的圆与x轴下方抛物线有交点，则a的取值范围是．
  
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】运用抛物线的解析式，抛物线的图象性质，一元二次方程的求解，点与圆的位置关系求解．
【详解】∵拋物线上点、关于对称轴对称，
∴拋物线对称轴为直线，
∵拋物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
当，即时，、，两点在对称轴上或右侧，恒成立；
当且即时，若，则，解得，
即；
当时，、两点均位于对称轴左侧，；
所以当时，；
故①错误；
设拋物线解析式为，把代入可得，
∴拋物线的解析式为，
当时，时y有最大值为5，时y有最小值为，
∵y的最大值与最小值的差为6，
∴，解得或（舍去）；
当时，时y有最大值为5，当时y有最小值为，不符合题意；
当时，当时y有最大值为，当时y有最小值为，
∵y的最大值与最小值的差为6，
∴，解得或，均不满足，故不符合题意；故②错误；
把、代入，得，解得，
∴，
把代入可得，，解得，
把代入可得，，解得，
∵当抛物线与线段有交点，
∴a的取值范围是，故③正确；
∵抛物线经过点、，
∴，
∴以为直径的圆的半径为2，
∵抛物线的顶点坐标为，
∴当以为直径的圆与x轴下方抛物线有交点时，，解得，
∴a的取值范围是，故④错误．
故选A．
【点睛】本题考查二次函数解析、抛物线的图象性质，一元二次方程的求解，点与圆的位置关系，数形结合思想是解题的关键．
6．（2023·山东济南·统考一模）若点与分别是两个函数图象与上的任一点．当时，有成立，则称这两个函数在上是“相邻函数”．例如，点与分别是两个函数与图象上的任一点，当时，，它在上，成立，因此这两个函数在上是“相邻函数”．若函数与在上是“相邻函数”，求a的取值范围（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由函数与在上是“相邻函数”，构造函数，根据抛物线的位置不同，令其最大值、最小值，解关于的不等式组即可得出结论．
【详解】函数与在上是“相邻函数”，
构造函数，在上．
根据抛物线对称轴的位置不同，来考虑：


①当，即时（图，
，解得：，
此时无解；
②当，即时（图，
，解得：，
；
③当，即时（图，
，解得：，
此时无解；
④当，即时（图，
，解得：，
此时无解．
综上可知：若函数与在上是“相邻函数”，则的取值范围为．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的性质以及二次函数的性质，解题的关键是按抛物线的对称轴不同结合“相邻函数”的定义找出关于的不等式组．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的性质按对称轴的位置不同来分段讨论．
7．（2023·福建泉州·统考模拟预测）定义：如果两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，则称这两个函数互为“关联函数”，这对对称的点称为“关联点”．例如：点在函数上，点在函数上，点与点关于原点对称，此时函数和互为“关联函数”，点与点则为一对“关联点”．已知函数和互为“关联函数”，则n不可能是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设在，则在上，得出，求得最大值为，即可求解．
【详解】解：设在，则在上，
∴
∴


∴当时，的最大值为,
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
8．（2023·湖北咸宁·统考模拟预测）二次函数（a，b，c是常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
－1
0
1
2
…
y
…
m
2
2
n
…
且当时，对应的函数值，有以下结论：
①；    ②当时y随x的增大而增大；
③关于x的方程有异号两实根的，而且负实数根在和0之间；
④；其中正确的结论是（    ）
A．②③ B．③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】①将点与点代入解析式可得到a、b互为相反数，，即可判断；②先求出抛物线对称轴为：，再根据当时，对应的函数值，函数过点与点，可以判断抛物线开口向下，即，，即当时，y随x的增大而增大，即当时y随x的增大而增大；③函数过点且当时，对应的函数值，可知方程的正实数根在1和 之间，结合抛物线的对称性可得关于的方程的负实数根在和0之间；④将点与点代入解析式得：，进而可得，再根据当时，对应的函数值，可得，解得，问题随之得解.
【详解】①将点与点代入解析式得：，
可得：，，
则a、b互为相反数，
∴，故①错误；
②∵a、b互为相反数，
∴抛物线对称轴为：，
∵当时，对应的函数值，函数过点与点，
∴可以判断抛物线开口向下，即，，
∴当时，y随x的增大而增大，
即当时y随x的增大而增大，
故②正确；
③∵函数过点且当时，对应的函数值，
∴方程的正实数根在1和之间，
∵抛物线对称轴为：，
∴结合抛物线的对称性可得关于的方程的负实数根在和0之间，
故③正确；
④∵将点与点代入解析式得：，
∵，
∴；
∴，
∵当时，对应的函数值，
∴,
∵，
∴，解得，
∴，
故④正确；
故选：C.
【点睛】本题主要考查二次函数的相关性质，解题的关键是能通过图表所给的点以及题目的信息来判断抛物线的开口方向以及对称轴，结合二次函数的图象的性质来解决对应的问题.
二、填空题
9．（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）如图，点、、、…、在抛物线图象上，点、、、…、在y轴上，若、、…、都为等腰直角三角形（点是坐标原点），则的底边长为 ．
  
【答案】4036
【分析】作A1C⊥y轴，A2E⊥y轴，垂足分别为C、E，根据等腰直角三角形的性质设点的坐标为，求出a的值，从而得到点的坐标，然后用同样的方法依次求其他的点坐标，从而发现这些等腰直角三角形腰长的规律，最终求出结果．
【详解】解：如图，作轴，轴，垂足分别为C、E，作轴，轴，垂足分别为D，F，
  
∵、都是等腰直角三角形，
∴，．
设，则，将其代入解析式得：
∴，
解得：（不符合题意）或，
由勾股定理得：，则，
∴，
过作于N，设点，
可得，，
又点在抛物线上，所以，
∴，
解得或（不合题意舍去），
∴，
同理可得：
，
，
  …
∴，
∴的腰长为：，
∴的底边长为：，
故答案为4036．
【点睛】本题考查点坐标找规律，解题的关键是掌握二次函数的性质和等腰直角三角形的性质．
10．（2022秋·辽宁鞍山·九年级统考期中）二次函数（，，是常数，）的图象与轴交于点，．下列说法中：①一元二次方程的根为，；②；③对于的每一个确定的值，若一元二次方程（为常数，）的根为整数，则的值只有两个；④若点，在该二次函数的图象上，则．正确结论的序号是 ．
【答案】②③④
【分析】根据抛物线与轴的交点问题可对①进行判断；根据根的判别式的意义对②进行判断；结合函数图象和利用二次函数的性质得到当和时，函数值相等，且函数值为负数；时，函数值有最小值，从而得到的值有2个，则可对③进行判断；根据二次函数的性质，通过比较点和点到对称轴的距离大小可对④进行判断．
【详解】解：如图，
  
抛物线与轴交于点，，
一元二次方程的根为，，所以①错误；
抛物线与轴有两个交点，
，
即，所以②正确；
抛物线与轴交于点，，
抛物线的对称轴为直线，
当和时，函数值相等，且函数值为负数；
时，函数值有最小值；
对于的每一个确定的值，若一元二次方程为常数，的根为整数，的值只有两个；所以③正确；
抛物线开口向上，
而点到直线的距离比点到直线的距离大，
，所以④正确．
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程；决定抛物线与轴的交点个数．也考查了二次函数的性质．
11．（2023·湖南娄底·统考一模）已知点在二次函数，其中，，，，令，，，；为的个位数字为正整数，则下列说法：；；；的最小值为，此时；的个位数字为其中正确的是 填序号．
【答案】/③②
【分析】根据题意可得，由此得，利用两个式子可判断，将变形为，可计算出结果进而判断，由得，根据二次函数的性质及为正整数可判断其最值，进而判断，由为的个位数字，且，计算出，，，，，，，，，，找其规律可判断．
【详解】解：，则当时，，
，即：，
当时，，故错误；




，
，故正确；
，



故正确；
，
，
取得最小值，此时或，故错误；
为的个位数字，且，
由此可知，，，，，，，，，，分别为：
，，，，，，，，，，
即的规律为以，，，，，五次一循环，且这五个数相加为，
则的个位，且也是五次一循环，
，
，，
的个位为，故错误；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上的点的坐标特征及二次函数的性质，找出数字的规律是解题的关键．
12．（2023·四川巴中·统考中考真题）规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与互为“Y函数”．若函数的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 ．
【答案】或
【分析】根据题意与x轴的交点坐标和它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标关于y轴对称，再进行分类讨论，即和两种情况，求出与x轴的交点坐标，即可解答．
【详解】解：①当时，函数的解析式为，
此时函数的图象与x轴只有一个交点成立，
当时，可得，解得，
与x轴的交点坐标为，
根据题意可得，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为；
①当时，
函数的图象与x轴只有一个交点，
，即，
解得，
函数的解析式为，
当时，可得，
解得，
根据题意可得，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为，
综上所述，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了轴对称，一次函数与坐标轴的交点，抛物线与x轴的交点问题，理解题意，进行分类讨论是解题的关键．
三、解答题
13．（2023·山东·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，顶点坐标为．抛物线交轴于点，顶点坐标为．

(1)连接，求线段的长；
(2)点在抛物线上，点在抛物线上．比较大小：___________；
(3)若点在抛物线上，，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或

【分析】（1）知道抛物线与轴的交点坐标，即可求出顶点横坐标，从而求出结果；
（2）用两点式设出抛物线解析式，把顶点坐标代入可得，再把，代入比较即可；
（3）根据，则点P离对称轴更近，可得，解不等式即可．
【详解】（1）解：由题意可得：，，
∴；
（2）解：由题意得：设抛物线：，抛物线：，
由（1）得：，，
∴，
∴，
∴，
把代入抛物线得：，
把代入抛物线得：，
∵，
∴；
（3）解： ∵，
∴点P离对称轴更近，
∴，
∴，
∴；
∴或
∴或．
【点睛】本题考查了二次函数压轴题，综合性强，掌握数形结合是关键．
14．（2023秋·河北邢台·九年级统考期末）如图，抛物线（为常数）与轴和轴的正半轴分别交于点和点．
  
(1)当时
①求抛物线的对称轴和顶点坐标；
②当，求抛物线最大值与最小值的差；
(2)直线交轴于点，交抛物线于点（在的左侧），当时，抛物线的最高点到直线的距离为2，请直接写出此时的值
【答案】(1)①对称轴为直线，顶点坐标；②2
(2)或

【分析】（1）①当时，抛物线化为顶点式，即可得出的对称轴和顶点坐标；
②根据，抛物线开口向下，在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧随的增大而增大，据此可得出结论；
（2）由直线交交抛物线于点（在的左侧），可得可得或，结合解析式得对称轴为直线，顶点的坐标为，当时，，再分两种情况：当时，当时，分别进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：①当时，，
∴对称轴为直线，顶点坐标；
②由①得，抛物线的对称轴为直线，
∵，∴当，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，
∴当时，抛物线有最大值，
∵，，
∴当时，抛物线有最小值，最小值为，
∴在时，抛物线的最大值为，最小值为，
∴最大值与最小值的差为；
（2）∵直线交轴于点，交抛物线于点（在的左侧），
∴有两个不相等的实数解，
则，即，可得或，
设直线交抛物线于点，抛物线的顶点为点，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点的坐标为，
当时，，
当时，则，如图，当时，最高点为，
∵抛物线的最高点到的距离为2，此时在最高点下方，
∴，解得，或（不符合题意，舍去），
  
当时，则，如图，
当时，抛物线的最高点为，
∵抛物线的最高点到的距离为2，此时在最高点下方或上方，
∴或，
当时，解得或（不符合题意，舍去），
当时，解得（不符合题意，舍去）；
综上所述，）k的值为或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的增减性，注意分类讨论思想的运用．
15．（2022秋·浙江衢州·九年级校联考期中）定义：由两条与轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．
  
(1)【概念理解】抛物线与抛物线________（填“能”或“不能”）围成“月牙线”．
(2)【尝试应用】如图，抛物线与抛物线组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线与抛物线与轴有相同的交点，（点在点的左侧），与轴的交点分别为，，抛物线的解析式为，抛物线的解析式为．
①求的长和的值；
②将抛物线与抛物线所围成的“月牙线”向左或向右平移，平移后的“月牙线”与轴的交点记为，，与轴的交点记为，，当时，求平移的方向及相应的距离．
【答案】(1)能，
(2)①，，②抛物线与抛物线所围成的“月牙线”向右平移，或抛物线与抛物线所围成的“月牙线”向右平移个单位长度．

【分析】（1）分别求解两条抛物线与x轴的交点坐标，再根据交点坐标与开口方向进行判断即可；
（2）①根据先求解M，N的坐标，再求解，再把代入，可得c的值；②当抛物线与抛物线所围成的“月牙线”向右平移个单位长度，可得平移后的分别解析式为，，求解的纵坐标为，的纵坐标为，而，当抛物线与抛物线所围成的“月牙线”向左平移个单位长度，同理可得：，再建立方程求解即可．
【详解】（1）解：当，解得：，，
交点坐标为：，；
当，解得：，，
交点坐标为：，；
而两条抛物线的开口方向都向上，
∴抛物线与抛物线能围成“月牙线”
（2）解：当时，
解得：，，
∴，，
∴，
把代入可得：．
∴，
②∵，
，
当抛物线与抛物线所围成的“月牙线”向右平移个单位长度，
∴平移后的分别解析式为，，
当时，
，
，
    
∴的纵坐标为，的纵坐标为，
而，
∴，
解得：（负根舍去），
∴此时抛物线与抛物线所围成的“月牙线”向右平移个单位长度；
当抛物线与抛物线所围成的“月牙线”向左平移个单位长度，
同理可得：，
解得：（负根舍去），
∴此时抛物线与抛物线所围成的“月牙线”向左平移个单位长度．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标，抛物线的平移，二次函数与一元二次方程的关系，理解题意，建立方程求解是解本题的关键．
16．（2023·山东日照·统考中考真题）在平面直角坐标系内，抛物线交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．
  
(1)求点C，D的坐标；
(2)当时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P为直线上方抛物线上一点，将直线沿直线翻折，交x轴于点，求点P的坐标；
(3)坐标平面内有两点，以线段为边向上作正方形．
①若，求正方形的边与抛物线的所有交点坐标；
②当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为时，求a的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)①，，；②

【分析】（1）先求出，再求出抛物线对称轴，根据题意可知C、D关于抛物线对称轴对称，据此求出点D的坐标即可；
（2）先求出，如图，设上与点M关于直线对称的点为，由轴对称的性质可得，利用勾股定理建立方程组，解得或（舍去），则，求出直线的解析式为，然后联立，解得或，则；
（3）分图3-1，图3-2，图3-3三种情况，利用到x轴的距离之差即为纵坐标之差结合正方形的性质列出方程求解即可．
【详解】（1）解：在中，当时，，
∴，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∵过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D，
∴C、D关于抛物线对称轴对称，
∴；
（2）解：当时，抛物线解析式为，
当，即，解得或，
∴；
如图，设上与点M关于直线对称的点为，
由轴对称的性质可得，
∴，
解得：，即
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，解得或
∴；
  
（3）解：①当时，抛物线解析式为，，
∴，
∴，，
当时，，
∴抛物线恰好经过；
∵抛物线对称轴为直线，
由对称性可知抛物线经过，
∴点时抛物线与正方形的一个交点，
又∵点F与点D重合，
∴抛物线也经过点；
综上所述，正方形的边与抛物线的所有交点坐标为，，；
  
②如图3-1所示，当抛物线与分别交于T、D，
∵当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为，
∴点T的纵坐标为，
∴，
∴，
解得（舍去）或；
  
如图3-2所示，当抛物线与分别交于T、S，
∵当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为，
∴，
解得（舍去，因为此时点F在点D下方）
  
如图3-3所示，当抛物线与分别交于T、S，
∵当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去）；
当时，，
当 时，，
∴不符合题意；
  
综上所述，．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，轴对称的性质，正方形的性质等等，利用分类讨论和数形结合的思想求解是解题的关键．
17．（2022秋·吉林长春·九年级长春外国语学校校考期中）已知函数．
(1)①函数的顶点坐标为_______（用含的代数式表示）
②函数顶点的运动轨迹是_______，在平面直角坐标系中画出顶点的运动轨迹．
  
(2)当时，函数关系式为_______，在平面直角坐标系中画出此函数的图像；
(3)已知点，，连结．若抛物线与线段AB有且只有一个交点，求的取值范围；
(4)把函数的图像记为，当的最低点到轴距离为时，直接写出的值．
【答案】(1)①；②，图像见解析
(2)，图像见解析
(3)或
(4)或

【分析】（1）①根据解析式可得顶点坐标；②根据顶点坐标可得顶点的运动轨迹为直线，在平面直角坐标系中画出直线即可；
（2）将代入函数可得函数关系式为，然后利用列表，描点，连线作出图形即可；
（3）分别求出抛物线过点、时的值，结合图像即可求解；
（4）分两种情况讨论，当时，当时，即可求得的值．
【详解】（1）解：①函数，
顶点坐标为，
故答案为：；
②顶点坐标为，
顶点的运动轨迹为直线，
在平面直角坐标系中画出顶点的运动轨迹如下图：
  
故答案为：直线；
（2）当时，函数关系式为，
















  故答案为：；
（3）当抛物线过点时，
，
解得：或，
如图：
  
的取值范围为，
当时，抛物线的顶点为，
此时，抛物线与线段AB有且只有一个交点，
当抛物线过点时，
，方程无解，
若抛物线与线段AB有且只有一个交点，的取值范围为或
；
（4）当时，
函数的顶点坐标为，
函数的图像的最低点为顶点，
图像的最低点到轴距离为，
，
当时，函数的图像的最低点为与轴的交点，
令，则，
图像的最低点到轴距离为，
，解得（舍去负值），
，
故的值为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图形和性质，一次函数图像上点的坐标特征，能够理解题意，得出关于的方程是解题的关键．
18．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级文昌中学校考期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
  
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线的顶点，请画出四边形，并求出四边形的面积；
(3)点是抛物线上一动点，设点的横坐标为，点为抛物线对称轴上一点．若是等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标，并写出其中一种情况的计算过程．
【答案】(1)
(2)15
(3)或或

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）如图所示，过点D作轴于G，先求出，再根据进行求解即可；
（3）分图3-1，图3-2，图3-3三种情况，利用一线三垂直模型构造全等三角形进行求解即可．
【详解】（1）解：把，代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图所示，过点D作轴于G，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线顶点D的坐标为，
∴，
在中，当时，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴


；
  
（3）解：设，
如图3-1所示，当时，
过点E作于M，设直线交x轴于H，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（2）可知，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴；
  
如图3-2所示，当时，
过点E作轴于M，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴；
  
如图3-3所示，当时，
过点E作于M，过点B作交延长线于N，
同理可证，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴；
综上所述，或或．
  
【点睛】本题是二次函数综合，考查了待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
19．（2022秋·江西南昌·九年级南昌市第十九中学校考阶段练习）某数学兴趣小组在探究函数的图象和性质时经历以下几个学习过程：
（Ⅰ）列表（完成以下表格）．
x
…



0
1
2
3
4
5
…

…
12
5
0

—

0
5
12
…

…
12
5
0
—
—
—
0
5
12
…
（Ⅱ）描点并画出函数图象草图（在备用图①中描点并画图）．
  
（Ⅲ）根据图象解决以下问题：
（1）数学小组探究发现直线与函数的图象交于点，，则不等式的解集是______．
（2）设函数的图象与x轴交于A，B两点（B位于A的右侧），与y轴交于点C．
①求直线BC的解析式；
②探究应用：将直线BC沿y轴平移m个单位长度后与函数的图象恰好有3个交点，求此时m的值．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析（Ⅲ）（1）（2）①或
【分析】(1)根据x是取值范围，去掉绝对值符号，分段画函数图象；观察图象直接求解不等式；
(2)画出函数图象，通过观察可知，时就有三个交点；当直线平移时发现，直线与二次函数有两个相同交点时是三个交点变化的临界值，因此求这个值即可．
【详解】（Ⅰ）表格中当时，；当时对应值为；时，；
故答案为：
（Ⅱ）草图为：
    
（Ⅲ）
（1）结合图像，时，的图象在图像的下方，
∴解集为：，
故答案为：；
  
（2）①由表格可以得到：，
∴设直线的解析式为，，
解得：，
∴；
②由图象可知，与有三个交点，
∴时满足，
  
设平移后的直线为,
由图象可知，当时，两图象会有3个交点，找到直线和有两个相同交点时，
  
∴,
∴，
，
解得：，
综上所述：.或．
【点睛】本题考查绝对值的性质，二次函数的图象，两个函数图象的交点，能够根据x的取值范围去掉绝对值符号，分段画出函数图象，利用数形结合是解决本题的关键．
20．（2023春·广西南宁·九年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，点 是直线上的动点，过点作于点，点的坐标为，连接，．设点的纵坐标为，的面积为．
  
(1)当点的坐标为时，直接写出的值；
(2)关于的函数解析式为其图象如图2所示，结合图1、2的信息，求出与的值；
(3)在上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请求出此时点的坐标和的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2),
(3)存在，当 时，面积为；当 时，面积为；当 时，面积为

【分析】（1）先求得点的坐标，过点作于点，则，进而可得是等腰直角三角形，则是等腰直角三角形，，得出点的坐标，即可求解；
（2）把代入中解得：，过作轴，交于，得出的解析式为：，进而得出 点的坐标，根据三角形的面积公式得出，把代入得：，解方程即可求解；
（3）分两种情况：①当时，②当时，分别根据两点的距离公式和勾股定理列方程可解答．
【详解】（1）解：∵点的坐标为，直线与直线相交于点，
则，
∴，
如图所示，过点作于点，则
    
∴，,
∴，即是等腰直角三角形，
∴，
又，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
即；
（2）解：由题可知：当时，，
把代入中解得：，
  
如图3， 过作轴，交于，
  
由(1)知：当时，，，，
， 设的解析式为：，
则，解得，
的解析式为：，
，，
，
，
把代入得：，
解得：；
（3）存在，设，分两种情况：
①当时，如图4，
  
，，
，，
，
，
，
在中，，
即，
解得：，(舍，
，即在轴上，
，，
；
②当时，如图5，
  
，，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
或，
解得：(舍或，
中，，
即，
把代入得：，
解得：或3，
当时，如图5，则，
，，
，，
；
当时，如图6，
  
此时，，，，
．
综上所述，存在点使得为直角三角形，当 ，时，面积为；当 ，时，面积为；当 ，时，面积为．
【点睛】本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、等腰直角三角形的判定和性质、三角形的面积、两点间距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的突破点是运用两点的距离公式计算或表示线段的长．
21．（2023秋·山西长治·九年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点C在第一象限，对角线交y轴于点D，线段交y轴于点E，抛物线经过点O，A，C．已知点C的坐标为，点P是直线上的一点（不与A，C重合）．
  
(1)求点A、D的坐标和直线的函数关系式；
(2)当点P在线段上时，连接，．若与面积相等，求点P的坐标；
(3)如图2，过点P作x轴的平行线，交抛物线于M，N两点（M在N的左侧）．直线上是否存在点P，使以点E，C，P，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)，，直线的函数关系式为
(2)
(3)存在，点的坐标为或

【分析】（1）求出时，的值即可得点的坐标，再利用待定系数法可求出直线的函数关系，然后求出时，的值即可得点的坐标；
（2）先求出，过点作轴于点，再根据三角形的面积公式可得，然后将代入直线的函数关系式可得的值，由此即可得；
（3）设点的坐标为，求出，从而可得要使以点为顶点的四边形是平行四边形，则，由此可得或，代入抛物线的解析式求解即可得．
【详解】（1）解：对于二次函数，
当时，，解得或，
，
设直线的函数关系式为，
将点代入得：，解得，
则直线的函数关系式为，
当时，，
所以点的坐标为．
（2）解：∵四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
如图，过点作轴于点，
  
与面积相等，且，
，
把代入得：，解得，
所以点的坐标为．
（3）解：设点的坐标为，
二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，
过点作轴的平行线，交抛物线于两点，
，
解得，
，
，
又轴，
，
要使以点为顶点的四边形是平行四边形，则，
或，
①当点的坐标为时，
在的左侧，
，解得，
，
将点代入得：，
解得或（不符合题意，舍去），
，
所以此时点的坐标为；
②当点的坐标为时，
在的左侧，
，解得，
，
将点代入得：，
解得或（不符合题意，舍去），
，
所以此时点的坐标为，
综上，直线上存在点，使以点为顶点的四边形是平行四边形，此时点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合、二次函数与一元二次方程的联系、菱形的性质、平行四边形的判定等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键．
22．（2023春·湖南长沙·八年级校考期末）年少的岁月里，约定是令人欣喜的！我们不妨约定：关于原点对称的一对点（不重合）称为一对“双子星”，图象至少经过一对“双子星”的函数称为“双子星函数”．
(1)若和是一对“双子星”，则s＝_______，t＝_______；
(2)已知关于x的函数和（其中k，p为常数）
①求出“双子星函数”图象上所有的“双子星”；
②关于x的函数的图象是否存在“双子星”，如果有，指出共有多少对“双子星”，如果没有，请说明理由；
(3)已知“双子星函数”（其中a，b，c为常数，）的图象经过不同的两点和，（其中m，n为常数）并且满足以下2个条件：①；②当时，该函数的最小值为，求二次项系数a的值．
【答案】(1)，或；
(2)①和；②若，它有无数个“双子星”点；若，它没有“双子星”点；
(3)

【分析】（1）根据和是一对“双子星”，根据关于原点对称的点的坐标关系可构造方程求解；
（2）①设点和是“双子星函数”图象上所有的“双子星”，代入可得关于m，n的方程组，解方程组即可解决；
②设点和是关于x的函数的图象上的“双子星”点，代入可得关于m，n的方程组，整理得．根据p的值分两种情况讨论m的值，从而得到函数的图象上“双子星”点的情况；
（3）设设“双子星函数”的图象上的“双子星”点为和，代入则有方程组，整理可得，由得到．根据函数的图象经过不同的两点和得到对称轴为，因此，由得到，从而函数解析式为．由于时，函数的最小值为，因此分三种情况讨论：①当时，函数取得最小值，则，求解得到a的值，再根据进行判断；②当时，函数取得最小值，则，求解得到a的值，再根据进行判断；③当，函数在对称轴时取得最小值，则，求解a，再判断．综合即可得到a的值．
【详解】（1）∵点和是一对“双子星”，即它们关于原点对称，
∴，，
解得：，或．
故答案为：，或
（2）①设点和是“双子星函数”图象上所有的“双子星”，
∴，
∴解得或，
∴“双子星函数”图象上所有的“双子星”为和．
②设点和是关于x的函数的图象上的“双子星”点，
则有，
两式相减，得，
∴．
若，则m有无数个解，即函数的图象上有无数个“双子星”点；
若，则无解，即函数的图象上没有“双子星”点．
∴对于函数的图象，若，它有无数个“双子星”点；若，它没有“双子星”点．
（3）设“双子星函数”（其中a，b，c为常数，）的图象上的“双子星”点为和，则
，
两式相加，得，
∵，
∴，
∵，
∴，即．
∵函数的图象经过不同的两点和，
∴对称轴为，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴函数为．
∵当时，函数的最小值为，
∴分三种情况讨论：
①当时，函数取得最小值，则，
解得：（舍去）或或，
若，则，，不合题意，舍去；
若，则，，满足题意．
②当时，函数取得最小值，则，
解得：（舍去）或或，
若，则，，不合题意，舍去；
若，则，，不合题意，舍去．
③当，时，函数取得最小值，则，
解得，不合题意，舍去．
综上所述，．
【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标变化规律，二次函数的图象性质，解整式方程与分式方程，综合运用各个知识是解题的关键．
23．（2020秋·广东广州·九年级广州市第十三中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，线段绕原点逆时针旋转后与x轴的正半轴重合，点B的对应点为点A．
  
(1)直接写出点A的坐标，并求出经过A、O、B三点的抛物线的解析式．
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点C，使的值最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点P是抛物线上的一个动点，且在x轴的上方，当点P运动到什么位置时，的面积最大？求出此时点P的坐标和的最大面积．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)当时，的面积最大，且最大值为

【分析】（1）首先求出的长，由旋转的性质知，即可得到点的坐标，然后用待定系数法即可求得该抛物线的解析式；
（2）由于、关于抛物线的对称轴对称，若连接，则与抛物线对称轴的交点即为所求的点，可先求出直线的解析式，联立抛物线对称轴方程即可求得点的坐标；
（3）可过作轴的平行线，交直线于；可设出点的横坐标（根据点的位置可确定其横坐标的取值范围），根据抛物线和直线的解析式，可表示出、的纵坐标，即可得到的长，以为底，、纵坐标差的绝对值为高即可得到的面积，从而得出关于的面积与点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质及自变量的取值范围，即可求得的最大面积及对应的点坐标．
【详解】（1）解：点的坐标，
设抛物线的解析式为，
，
，，
；
（2）由于、关于抛物线的对称轴对称，连接，
则与抛物线对称轴的交点即为所求的点；
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为：，
∵抛物线的对称轴为直线，
当时，；
点的坐标为，；
  
（3）过作直线轴，交于，
设，则，
，
的面积：



，
∴当，即时，的面积最大，且最大值为．
  
【点睛】此题主要考查了二次函数解析式的确定、最短路径问题、函数图象交点以及图形面积的求法等重要知识点，能够将图形面积问题转换为二次函数的最值问题是解决（3）题的关键．
24．（2023春·广东梅州·九年级统考期中）如图，抛物线与轴分别相交于，两点（点在点的左侧），是的中点，平行四边形的顶点，均在抛物线上．
  
(1)直接写出点的坐标；
(2)如图（1），若点的横坐标是，点在第二象限，平行四边形的面积是13，
①求直线的解析式；
②求点的坐标；
(3)如图（2），若点在抛物线上，连接，求证：直线过一定点．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)见解析

【分析】（1）令，求出点，两点坐标，根据是的中点，即可求解；
（2）①先求出点，即可求得直线的解析式，
②过点作轴交直线于点，连接，设点，则点，可得，再由平行四边形的面积是13，可得，再根据，列出关于的方程，求出点的坐标，即可求解；
（3）设直线的解析式为，联立，可得，从而得到，再由平行四边形的性质，可得，，再由点在抛物线上，可得，从而得到直线的解析式为，即可求解．
【详解】（1）解：当时，则，
解得：，，
，，
是的中点，
；
（2）解：①点在抛物线上，
，
点，
设直线的解析式为，
把，代入得：，
解得，
直线的解析式为，
②如图（1），过点作轴交直线于点，连接，
  
设点，则点，
，
平行四边形的面积是13，
，
，
，
解得：或（舍去），
点，
点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位到达点，
点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位到达点；
（3）解：设直线的解析式为，
联立得：，
整理得：，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
点在抛物线上，
，
解得：，
直线的解析式为，
直线过定点．
  
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
25．（2023春·吉林长春·九年级吉林省第二实验学校校考阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）经过点．点在该抛物线上，点的横坐标为，点的坐标是，以为对角线构造矩形．使得轴．
(1)求该抛物线所对应的函数表达式．
(2)当抛物线在A、之间的部分（包括A、两点）的最高点与最低点的纵坐标差为5时，求点的坐标．
(3)当点在矩形的内部时，求的取值范围．
(4)当点在轴下方时，设抛物线在矩形内部（包括边界）的图象的最高点与最低点的纵坐标的差为．点到抛物线对称轴的距离为，当时，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
(4)m的值为

【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）求出抛物线的顶点坐标为，函数的最小值为，再根据点的纵坐标为0，结合题意得出，把代入得：，求出x的值，即可得出答案；
（3）分四种情况分别画出图形，列出不等式组，解不等式组即可；
（4）求出抛物线与x轴的另外一个交点为，根据点在轴下方，得出，根据解析（2）点B在矩形的内部时，或，得出
，求出抛物线对称轴为直线，得出，，列出关于m的方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，
∴，解得：
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴函数的最小值为，
∵点的纵坐标为0，
∴当抛物线在A、之间的部分（包括A、两点）的最高点与最低点的纵坐标差为5时，，
把代入得：，
解得：，，
∴或．
（3）解：∵点的横坐标为，点P在抛物线上，
∴点P的坐标为，
∵轴，点Q的坐标是，
又∵四边形为矩形，
∴点的坐标为，点N的坐标为，
当，即时，点P在点M的右侧，在点Q的上方，如图所示：
  
∵点在矩形的内部，
∴，
解得：，
综合可得，此时没有符合条件的m存在；
当，即时，点P在点M的右侧，在点Q的下方，如图所示：
  
∵点在矩形的内部，
∴，
解得：，
综合可得，；
当，即时，点P在点M的左侧，在点Q的上方，如图所示：
  
∵点在矩形的内部，
∴，
解得：，
综合可得，；
当，即时，点P在点M的左侧，在点Q的下方，如图所示：
  
根据画图可知，点B不可能在矩形的内部；
综上分析可知，点m的取值范围是或．
（4）解：令，
解得：，，
∴抛物线与x轴的另外一个交点为，
∵点在轴下方，
∴，
根据解析（2）可知，点B在矩形的内部时，或，
∴，
∵，
∴抛物线对称轴为直线
∴抛物线在矩形内部（包括边界）的图象的最高点与最低点的纵坐标的差为：
，
∵当时，，
∴点到抛物线对称轴的距离为：，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴m的值为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，矩形的性质，解题的关键是画出图形，数形结合，并注意分类讨论．
26．（2023春·广西·八年级南宁十四中校考期末）如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C．
  
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线BC上方抛物线上的−个动点，使的面积等于面积的，求点P的坐标；
(3)过点C作直线轴，将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象（如图2），请你结合新图象解答：当直线与新图象只有一个公共点，且时，求d的取值范围．
【答案】(1)抛物线的解析式为；
(2)点P的坐标为或；
(3)当或时，直线与新图象只有一个公共点Q．

【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求得直线的解析式，求得作交直线于点Q，设，则，求得，由题意得，解方程即可求解；
（3）分当直线在点C的上方和下方两种情况讨论，利用临界点求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，
∴，
∴的面积，
∵，，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
作交直线于点Q，
  
设，则，
∴，
由题意得：，
解得，，
∴点P的坐标为或；
（3）解：当直线在点C的下方时，
当时，则，
解得（舍去），，
∴，代入，得，
解得，
当直线经过点时，，
解得，
∴当时，直线与新图象只有一个公共点Q；
当直线在点C的上方时，
解方程组，整理得，
由题意得，解得，
∴当时，直线与新图象只有一个公共点Q；
综上，当或时，直线与新图象只有一个公共点Q．
【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，以及与二次函数相关的新函数的图象性质，通过数形结合的方法找到图象交点的特殊位置是解题的关键．
27．（2023春·湖南长沙·八年级校联考期末）如图1，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C．
  
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点D是直线上方拋物线上一动点，连接，和，交于点M，设的面积为，的面积为，当时，求点D的坐标；
(3)如图2，若点P是抛物线上一动点，过点P作轴交直线于Q点，请问在y轴上是否存在点E，使以P，Q，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由
【答案】(1)
(2)或．
(3)符合条件的点有三个，坐标为：，，

【分析】（1）把点和代入解析式求解即可；
（2）由得从而，即，据此列方程求解即可；
（3）分类当为对角线和菱形边时，利用直线与x轴成角关系建立关于P的横坐标的方程，进而求出点的坐标．
【详解】（1）把点和代入得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）设，对于抛物线，令，则，
．
，
．
，即．
，
．
，解得，．
点的坐标是或．
（3）设直线解析式是，
把，代入，得
，
∴，
∴．
①当为菱形的对角线时，如图2，垂直平分，
  
∵，，
∴，
，
此时四边形是正方形．
．
设，则，
，
，解得（不合题意舍去）或，
此时，．
②当为菱形的边时，如图3，
  
设，则，
∴，，
作于点H，
，
∴．
∴
解得：，，（不合题意舍去）．
或．
，，
综上所述，符合条件的点有三个，坐标为：，，．
【点睛】本题考查待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，二次函数与几何综合，数形结合是解题的关键．
28．（2023·浙江杭州·杭州市公益中学校考三模）已知抛物线，，是实数，与轴交于，两点．
(1)若，且，两点的坐标分别为，，求函数的表达式及其图象的顶点坐标；
(2)函数的图象与轴只有一个交点，经过点，，求的值；
(3)若抛物线过点，，，，求证．
【答案】(1)，
(2)
(3)证明见解析

【分析】（1）由“交点式”关系式性质得，、的值为1、，再代入，即可求出关系式，再将对称轴代入即可求出顶点；
（2）判断出两点在同一条水平线上，故可求对称轴为，由函数的图象与轴只有一个交点得，与值相等，即是对称轴的值；
（3）由题意，分三种情况分类讨论，从而得到两点在对称轴的两侧时，点离轴更近，列出方程求解即可得证．
【详解】（1）解：，两点的坐标分别为，，
、的值为1、，
，
，
由，把代入关系式得，
顶点坐标为；
（2）解：，纵坐标相同，
对称轴，
函数的图象与轴只有一个交点，
；
（3）证明：由抛物线关系式得对称轴，
，
抛物线开口向下，
①当，两点位于对称轴左侧时，
随的值的增大而增大，
，不符题意；
②当，两点位于对称轴右侧时，
随的值的增大而减小，
，不受、影响；
③当，两点位于对称轴两侧时，
由题意得，抛物线上的点离对称轴越近，纵坐标越大，
，
点离对称轴更近，即，解得，
．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质的应用，“交点式”关系式的对称轴的计算及其应用是解题关键．
29．（2023·河北张家口·统考三模）将小球（看作一点）以速度竖直上抛，上升速度随时间推移逐渐减少直至为0，此时小球达到最大高度，小球相对于抛出点的高度与时间的函数解析式为两部分之和，其中一部分为速度与时间的积，另一部分与时间的平方成正比．若上升的初始速度，且当时，小球达到最大高度．
  
(1)求小球上升的高度与时间的函数关系式（不必写范围），并写出小球上升的最大高度；
(2)如图，平面直角坐标系中，轴表示小球相对于抛出点的高度，轴表示小球距抛出点的水平距离，向上拋出小球时再给小球一个水平向前的均匀速度，发现小球运动的路线为一抛物线，其相对于扡出点的高度与时间的函数解析式与（1）中的解析式相同．
①若，当时，小球的坐标为________，小球上升的最高点坐标为________；求小球上升的高度与小球距抛出点的水平距离之间的函数关系式；
②在小球的正前方的墙上有一高的小窗户，其上沿的坐标为，若小球恰好能从窗户中穿过（不包括恰好击中点，墙厚度不计），请直接写出小球的水平速度的取值范围．
【答案】(1)，小球上升的最大高度是
(2)①；，小球上升的高度与小球距抛出点的水平距离之间的函数关系式是；②的取值范围为：或

【分析】（1）根据题意可设，根据当时，小球达到最大高度，有，故，，令得，从而小球上升的最大高度是；
（2）①把代入（1）中所求解析式，求出此时小球纵坐标，再根据可得出此时的横坐标；根据（1）中时，取得最大高度，可求出最高点的横坐标；
②先分别求出小球刚好到，点时的值，再求出对应的的值，即可得出的范围．
【详解】（1）解：根据题意可设，
当时，小球达到最大高度，
抛物线的对称轴为直线，即，解得，
上升的高度与时间的函数关系式为，
在中，令得，
小球上升的最大高度是；
（2）解：①当时，，
，
小球的坐标为，；
由（1）可知，时，取得最大高度，
，
小球上升的最高点坐标为；
由题意可知，，
，
；
小球上升的高度与小球距抛出点的水平距离之间的函数关系式是；
故答案为：，；；
②，的坐标为，
；
当小球刚好击中点时，，
解得或，
当时，，
当，，
当小球刚好击中点时，，
解得或，
当时，，
当，，
的取值范围为：或．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数图像上点的坐标特征，读懂题意，理解小球的水平距离和竖直距离是解题关键．
30．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接，过点A、C作直线．

(1)求抛物线的函数解析式．
(2)点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作交于点F，过点P作交x轴于点E，求的最大值及此时点P的坐标．
(3)在（2）问的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点M；连接，把线段沿直线平移，记平移后的线段为，当以、、M为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)AE+PF的最大值为：；此时
(3)点的坐标为：或或

【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）先求出，，，
求出直线的解析式为：，分别过点A，P作y轴的平行线，分别交于点Q，交于点G，求出，，从而得出,设点P的横坐标为t，则，，得出，求出当时，的最大值为，即可求出结果；
（3）先求出，令，求出，设，则，得出，，，分三种情况：当时，当时，当时，求出结果即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，，
∴抛物线的解析式为：，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：令，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：
直线的解析式为：，
如图，分别过点A，P作y轴的平行线，分别交于点Q，交于点G，

则，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵轴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴,
设点P的横坐标为t，则，，
∴


∴当时，的最大值为；
∴的最大值为：；此时；
（3）解：将抛物线沿射线方向平移个单位长度，即先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，
∵抛物线的解析式为：，
∴，
令，
解得，
∴，
将线段沿直线平移到线段，
则设，则，
∵，
∴，，，
以、、M为顶点的三角形是等腰三角形，则需要分以下三种情况：
①当时，
，
整理得，，
解得或，
∴点的坐标为：或；
②当时，
，
整理得，，
无解；
③当时，
，
解得，
∴；
综上，符合题意的点的坐标为：或；或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数的解析式，二次函数的平移，二次函数的最值，解直角三角形，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法，注意分类讨论．
31．（2023·江西新余·统考一模）定义：在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于轴的直线称为这条抛物线的极限分割线．
【特例感知】
(1)抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为______ ．
【深入探究】
(2)经过点和的抛物线与轴交于点，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标．
【拓展运用】
(3)在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点．
①当时，求点的坐标．
②若直线与直线关于极限分割线对称，是否存在使点到直线的距离与点到直线的距离相等的的值？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)和
(2)点的坐标为
(3)①顶点为或顶点为；②存在，或或

【分析】（1）根据定义，确定c值，再建立方程组求解即可．
（2）把点代入解析式，确定，根据定义建立方程求解即可．
（3）①根据等腰直角三角形的性质，得到等线段，再利用字母表示等线段建立绝对值等式计算即可．
②设与对称轴的交点为，用含的式子表示出点的坐标，分别写出极限分割线、直线及直线的解析式，用含的式子分别表示出点到直线的距离和点到直线的距离，根据点到直线的距离与点到直线的距离相等，得出关于的绝对值方程，解方程即可．
【详解】（1）∵抛物线的对称轴为直线，极限分割线为，
极限分割线与这条抛物线的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为．
故答案为： 和．
（2）抛物线经过点，
∴
∴
∴，
解得
∴点D的坐标为．
（3）①设与对称轴交于点，若，则．
  
∵点C的坐标为，点D的坐标为．．
∴，
∴，
∴，
解得．
∵抛物线的顶点为，
∴抛物线的顶点为，
∴当时，，故顶点为；
∴当时，，故顶点为；
∴顶点为或顶点为．
存在，或或．
如图，设与对称轴的交点为．
  
由知，，抛物线的顶点为，∴抛物线的极限分割线：，
直线垂直平分，
∴直线：，
∴点到直线的距离为；
直线与直线关于极限分割线对称，
直线： ，
∵，
∴点到直线的距离为，
点到直线的距离与点到直线的距离相等，
∴，
∴或，
解得或或，
故或或．
【点睛】．查了抛物线与坐标轴的交点坐标和直线与抛物线的交点坐标等知识点，明确题中的定义、熟练掌握二次函数的图像与性质及绝对值方程是解题的关键．
32．（2023春·湖北武汉·九年级校考期中）如图，抛物线与x轴于A，B两点，交y轴于点C，．

(1)直线过A，C两点，
①如图1，求抛物线的解析式；
②如图1，将直线向右平移，A的对应点为B，且，以为一边作等腰三角形，求N的坐标；
(2)如图2，M为抛物线第一象限上任意一点，直线交y轴于点H，若，求a的值．
【答案】(1)①；②N点坐标为或或，或或或
(2)

【分析】（1）①待定系数法即可求解；②求出，，分、两种情况，分别求解即可；
（2）求出直线的解析式为、直线的解析式为，进而求解．
【详解】（1）解：①直线过，两点，
，
将、点坐标代入，
，
解得，
抛物线的解析式为；
②当时，，
解得或，
，
将直线向右平移，的对应点为，
平移后的直线的解析式为，
，，
，
，
，
过点作轴交于点，

，
，
，，
，
，，
，，
当时，或或，；
当时，或或；
综上所述：点坐标为或或，或或或；
（2）解：，
，
设，直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
同理可得直线的解析式为，
，，
，
，
解得．
【点睛】本题考查二次函数综合题，涉及到一次函数和二次函数的图象和性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等，有一定的综合性，难度适中．
33．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图1，一段高架桥的两墙A，B由抛物线一部分连接，为确保安全，在抛物线一部分内修建了一个菱形支架，抛物线的最高点C到的距离米，，点D，E在抛物线一部分上，以所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，确定一个单位长度为1米．
  
(1)求此抛物线对应的函数表达式．
(2)如图2，现在将菱形做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形广告牌，设边长度为m米，试求内接矩形的面积S．（用含m的式子表示）；
(3)若已知矩形广告牌的价格为80元/米2，广告牌其余部分的价格为160元/米2，试求完成菱形广告牌所需的最低费用．
【答案】(1)
(2)
(3)元

【分析】（1）过点D作轴于点M，作轴于点N，在中，轴，，勾股定理得出的长，进而得出，根据得出点C的坐标，进而利用待定系数法求出函数解析式；
（2）待定系数法求出直线的解析式，直线的解析式， 设矩形中，米，则，代入和，得，由轴对称得，得出，根据的长度列得，求出，得到，再根据求出函数解析式；
（3）根据（1）可得，求出菱形的面积，再求出总费用W与m的函数关系式，利用函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：如图，过点D作轴于点M，作轴于点N，
  
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
在中，轴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
设抛物线对应的函数表达式为，
将，代入得
，解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）设直线的解析式为，将代入，
得，解得，
∴直线的解析式为；
设直线的解析式为，将点，代入得
，解得，
∴直线的解析式为；
设矩形中，米，则，
代入和，
得，
∴，
由轴对称得，
∵轴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴内接矩形的面积；
  
（3）由（2）得，内接矩形的面积，
由（1）可得，
∴菱形的面积，
∴总费用，
∴当时，W最小，最小值为，
∴完成菱形广告牌所需的最低费用为元．
【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，菱形的性质，矩形的性质，正确掌握二次函数的性质是解题的关键．
34．（2023·湖南长沙·校考二模）若三个非零实数中有一个数的平方等于另外两个数的积，则称三个实数三构成“雅境三元数”．
(1)实数可以构成“雅境三元数”吗？请说明理由；
(2)若M1(，)，M2(，)，M3(，)三点均在函数（为常数且）的图象上且这三点的纵坐标，，构成“雅境三元数”，求实数的值；
(3)设非负实数是“雅境三元数”且满足，其中是关于的一元二次方程的两个根，若过点A的二次函数同时满足以下两个条件：①；②当时，函数的最小值等于．求二次函数解析式．
【答案】(1)可以，见解析；
(2)或；
(3)或．

【分析】（1）根据“雅境三元数”的定义来判断求解即可；
（2）利用“雅境三元数”定义，分类讨论解含的一元二次方程即可；
（3）根据给定的满足条件求出二次函数对称轴，通过取值范围内的最值问题，确定，从而即可求解．
【详解】（1），
，1，4可以构成“雅境三元数”．
（2），，构成“雅境三元数”，
有三种可能
①当，可以根据条件得到，即，无解；
②当，可以根据条件得到，即，解得；
③当，可以根据条件得到，即，解得；
满足条件的或者．
（3）非负实数，，是“雅境三元数”且满足，
．                
又，是关于的一元二次方程的两个根，
，
或（舍去）．      
抛物线经过点，
，
又，
，，
，             　
对称轴，取值范围，
①若，则开口向上，
由题意时取得最小值，
解得或（舍去）．
二次函数解析式：．　
②若，则开口向下，
当时，即时，
由题意时取得最小值，
解得或2（舍去）．
二次函数解析式：．　
当时，即时，
由题意时取得最小值，
解得（舍去）或（舍去）．
综上所述，所求二次函数解析式为或．
【点睛】此题考查了一元二次方程、不等式、二次函数之间的关系，注意知识的转化，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及其性质和数学中的分类讨论思想．
35．（2023·浙江杭州·统考二模）在平面直角坐标系中，设二次函数 (a是常数)．
(1) 当时，求函数图象的顶点坐标和对称轴．
(2)若函数图象经过点，，求证：．
(3)已知函数图象经过点，，点，若对于任意的都满足，求a的取值范围．
【答案】(1)顶点坐标，对称轴为直线
(2)见解析
(3)或

【分析】（1）当时，，进而可求顶点坐标与对称轴；
（2）将，，代入得，，，则，进而结论得证；
（3）由题意知，二次函数图象开口向上，对称轴为直线，则在对称轴右侧，由对于任意的都满足，则点A，B，C存在如下情况：情况1，如图1，根据二次函数的图象与性质，以及，列不等式，，求解集即可；情况2，如图2，由二次函数的图象与性质可得，；，分别求解满足要求的解集即可．
【详解】（1）解：当时，，
∴顶点坐标，对称轴为直线；
（2）证明：将，，代入得，，，
∴，
∴；
（3）解：由题意知，二次函数图象开口向上，对称轴为直线，则在对称轴右侧，
∵对于任意的都满足，
∴点A，B，C存在如下情况：
情况1，如图1，
  
由二次函数的图象与性质可得，解得，
，解得，
∴；
情况2，如图2，
  
由二次函数的图象与性质可得，解得，
又∵，，解得或，
∴；
综上所述，a的取值范围为或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于数形结合．
36．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点A、B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C，且．  
  
(1)直接写出的值；
(2)如图1，点为第一象限的抛物线上一点，且满足，求点的坐标；
(3)如图2，点为第四象限的抛物线上一点，直线交轴于点，过点作直线，交轴于点，当点运动时，线段的长度是否会变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围．
【答案】(1)
(2)；
(3)线段的长度不会改变，线段的长度为12．

【分析】（1）将代入中，得，令，即，求出点的坐标，进而求出的值；
（2）当点在第一象限抛物线上时，时，过点作，，，设，，，在中，，可得，则，求出直线解析式为，则，由在抛物线上，可得，求出的值，即可求解；
（3）设，分别求出直线、直线的解析式，根据可得的解析式，可得出、的坐标，即可得线段的长度．
【详解】（1）解：由图象，可知，
将代入中，得，
点，
，
令，即，
解得，，
点A在点B的左侧，
点，，
，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：如图，当点在第一象限抛物线上时，，过点A作于，
  
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，，，
在中，，
，
解得或（负值不合题意，舍去），
∴，
直线解析式为，

在抛物线上，
，解得（不合题意，舍去）或4，
；
（3）解：设，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
，
同理得：直线的解析式为，
∵，
设的解析式为，
，
，解得，
的解析式为，
，
线段的长度为，
线段的长度不会改变，线段的长度为12．
【点睛】本题是二次函数综合题．考查了运用待定系数法求直线及抛物线的解析式、三角形的面积、勾股定理、求直线与抛物线的交点坐标等知识，掌握数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．
37．（2023·山东青岛·统考二模）如图1，在菱形中，、交于点E，厘米，点F在上，厘米．点P、Q分别从A、E两点同时出发，点P以k厘米/秒的速度沿向点E匀速运动，用时8秒到达点E；点Q以m厘米/秒的速度沿向点E匀速运动，设运动的时间为x秒，的面积为平方厘米，的面积为平方厘米．
  
(1)图2中的线段是与x的函数图象，则与x的函数关系式为________，m的值为________；
(2)图2中的抛物线是与x的函数图象，其顶点坐标是，求点P的速度及对角线的长；
(3)在图2中，点G是x轴正半轴上一点（，过G作垂直于x轴，分别交抛物线和线段于点M、N．
①直接写出线段的长在图1中所表示的意义；
②当时，求线段长的最大值．
【答案】(1)，；
(2)，；
(3)①线段的长表示与的差；②当时，线段长最大，最大值为．

【分析】（1）根据函数图象利用待定系数法求解的解析式即可，再根据面积求解的长，从而可得的值；
（2）由抛物线的顶点坐标是，可得当时，面积最大，最大为，此时，，可得，则，从而可得答案；
（3）①根据的长度等于两点纵坐标之差可得其含义；②由线段长为，而，再利用二次函数的性质可得答案．
【详解】（1）解：设，把代入可得：，
∴，
∴，
∵菱形，
∴，，，
∴，解得：；
（2）∵抛物线的顶点坐标是，
设抛物线为：，
把代入可得：，
解得：，
∴抛物线为：；
当时，面积最大，最大为，
此时，，
∴，则，
∴，，
∴；
（3）①线段的长表示与的差；
②∵，，
∴线段长为
，而，
∴对称轴为直线，
∴当时，线段长最大，最大值为．
【点睛】本题考查的是菱形的性质，动点问题的函数图象，二次函数的性质，理解题意，建立函数模型是解本题的关键．
38．（2023·河北邯郸·校考模拟预测）如图是一动画的设计示意图，水面（轴）上小山的最高点为A，山后由，，三部分组成，其中；水面下有两点，从平台上的点（不与点，重合）向右上沿发射带光的点（水的影响忽略不计），设点的横坐标为．

(1)若上最高点的纵坐标为9，
①求的解析式并求此时的值；
②判断点能否越过点A？并说明理由．
(2)一个形架：轴（在上方），为的中点，点在上（不与端点重合），设点到轴的距离为，若的对称轴为直线，点不能落在上，直接写出的取值范围．
【答案】(1)①的解析式为，的值为；②点能越过点A，理由见解析．
(2)或．

【分析】（1）①根据顶点坐标公式及抛物线与y轴交点的位置可求出b值，可得抛物线解析式，把代入即可求出m的值；②把代入抛物线解析式求出y值，与6比较即可得答案；
（2）根据C、D坐标可得，利用待定系数法可得直线的解析式，可用n表示出点K坐标，进而表示出H、F、G的坐标，根据抛物线对称轴可求出b的值，可得抛物线解析式，令，可用n表示出x，根据点不能落在上即可得答案．
【详解】（1）解：①∵：上最高点的纵坐标为9，
∴，
解得：，，
∵抛物线与y轴交于y轴正半轴，
∴，
∴，
∴，
∵，点P在上，
∴点P纵坐标为，
∵点P横坐标为m，
∴，，
解得：，（舍去），
∴此时，m的值为．
②点能越过点A．理由如下：
当时，，
∵，，
∴点能越过点A．
（2）∵，点在上，点到轴的距离为，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得：，
∴，
∵
∴，
∵L的对称轴为，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，，
解得：，（在对称轴左侧，舍去），
∵点不能落在上，
∴或，
当时，
解得：或,
当时，
解得：，
∵，
∴或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的顶点坐标公式、对称轴方程及二次函数的性质，并运用数形结合的思想是解题关键．
39．（2023·广西南宁·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且．
  
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若点M是线段下方抛物线上的一个动点（不与点B，点C重合），过点M作直线轴于点D，交线段于点N．是否存在点M使得线段的长度最大，若存在，求线段长度的最大值，若不存在，请说明理由；
(3)当二次函数的自变量x满足时，此函数的最大值与最小值的差为2，求出t的值．
【答案】(1)
(2)存在点M使得线段的长度最大，最大值是
(3)或

【分析】（1）先求出点A、B的坐标，再将点A、B的坐标代入函数表达式，求出a，b值，即可得答案；
（2）由题意巧设坐标，用未知数m表示出来的长度，根据二次函数最值问题即可解决问题；
（3）分4种情况，当时， ，解得：；当时，，解得：；当，函数的最小值是，函数的最大值，t不符合题意；当时，函数的最小值是，函数的最大值，t不符合题意．
【详解】（1）解：，
点A、B的坐标分别为，
将点A、B的坐标代入函数表达式，
，解得：
抛物线的表达式为；
（2）当时，，
点C的坐标为，
设直线的关系式为，将代入，
，解得
直线的关系式为，
设，则，

当时，线段长度有最大值，
存在点M使得线段MN的长度最大，最大值是；
（3），
，
二次函数的顶点坐标是，
当时，，当时，，
当时，即，此时函数的最小值是，函数的最大值，
，
解得：；
当时，此时函数的最小值是，函数的最大值，
，
解得：；
当，函数的最小值是，函数的最大值，
，
解得：（舍去）或（舍去）；
当时，函数的最小值是，函数的最大值，
，
解得：（舍去）或（舍去）；
综上所述：或．
【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，函数图像平移的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．
40．（2023·河北石家庄·校考一模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点M．
  
(1)若该抛物线过点
①求该抛物线的表达式，并求出此时A、B两点坐标；
②将该抛物线进行平移，平移后的抛物线对应的函数为，A点的对应点为，求点移动的最短距离；
(2)点M关于的对称轴的对称点坐标为______（用含n的代数式表示）；
(3)将抛物线上的一段图像记作C，若C与直线有唯一公共点，直接写出n的取值范围______．
【答案】(1)①，；；②两个单位
(2)
(3)或
【分析】（1）①将已知点坐标代入解析式，确定待定参数值；根据具体解析式，转化为方程，确定与坐标轴交点坐标；比较平移前后的解析式求解；
（2）根据抛物线的对称性解答；
（3）随着参数n的变化，抛物线形状不变，顶点在直线上移动，将抛物线由下向上平移，找出临界状态，进而结合一元二次方程判别式、图像端点之间的位置关系求解.
【详解】（1）①将代入，得

解得：，所以
令，则
解得：，
∴    
②将向上平移2个单位可以得到

所以A点向上平移最短距离是两个单位得；
（2），故点，
抛物线的对称轴为，所以点M的横坐标为，所以点M关于对称轴的对称点坐标为．
（3）如图，，顶点在直线上，点关于对称轴的对称点在直线上，
当抛物线整体与直线有唯一交点时，联立解析式，，即，
∴，解得，，满足题意；
  
直线与直线的交点为，与y轴的交点，
抛物线向上移动，当点M在直线上方且点N在直线下方或在直线上时，C与直线有且只有一个交点，
∴
综上，或
【点睛】本题考查二次函数解析式，抛物线的图像及性质，函数图像的交点问题；根据含参解析式确定函数图像特征及位置的动态变化是解题的关键．