【期中单元重点题型】（苏科版）2023-2024学年八年级数学上册 第2章 对称图形—圆（动圆相切、轨迹圆最值、阴影面积压轴题目）试卷

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第二章 对称图形 圆（压轴题专练）一、动圆相切问题1、在平面直角坐标系中，直线经过点A(﹣3，0)、B(0，)，点P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O，将⊙P沿轴向左平移，平移后得到⊙P′（点P的对应点为P′）.当⊙P′与直线相交时，横坐标为整数的点P′共有（  ）A、1 个             B、2个             C.、3个            D、4个【答案】C【解析】解析：如图所示∵点P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O，∴⊙P的半径是1，若⊙P与AB相切时，设切点为D，由点A（﹣3，0），点B（0，），∴OA=3，OB=，∴由勾股定理得AB=，∠DAM=30°.设平移后圆与直线AB第一次相切时圆心为M（即对应的P′），∴MD⊥AB，MD=1，又∵∠DAM=30°，∴AM=2，M点的坐标为（﹣1，0），即对应的P′点的坐标为（﹣1，0），同理可得圆与直线第二次相切时圆心N的坐标为（﹣5，0），∴当⊙P′与直线l相交时，横坐标为整数的点P′的横坐标可以是﹣2，﹣3，﹣4共三个．   2、如图，△AOB中，∠O=90°，AO=8cm，BO=6cm，点C从A点出发，在边AO上以2cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了____s时，以C点为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切．【答案】【解析】解析：当以点C为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切时，
此时，CF=1.5，
∵AC=2t，BD=t，
∴OC=8﹣2t，OD=6﹣t，
∵点E是OC的中点，
∴CE=OC=4﹣t，
∵∠EFC=∠O=90°，∠FCE=∠DCO
∴△EFC∽△DCO
∴
∴
由勾股定理可知：CE2=CF2﹢EF2，
∴，
解得：t=或t=，
∵0≤t≤4，
∴t=．  二、圆轨迹最值问题3．如图，在矩形中，，，为边上一动点，为中点，为上一点，，则的最小值为      ．  【答案】【解析】解：如图1，连接，  四边形是矩形，∴，，∵是的中点，∴，∵，∴，∴，∴点在以为直径的圆上运动，取的中点，连接，如图2：  当，，三点共线时，的值最小，∴，∴，∴的最小值为．故答案为：．4．如图，为等腰直角三角形，，，点为所在平面内一点，，以、为边作平行四边形，则的最小值为    ．  【答案】/【解析】如图，延长交于点，连接，    ∵四边形是平行四边形，∴，，，∵，，，∴，，，，∴，，，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴点的运动轨迹为圆的运动轨迹，假设点所在圆的圆心为，连接，，，与交于点，则根据圆外的点到圆上的点的距离最值可得：即为的最小值，如图，      ∴，∵，，∴，，∴，在中，有勾股定理得：，∴，即的最小值为：，故答案为：．5．如图，点是正方形的内部一个动点（含边界），且，点在上，，则以下结论：①的最小值为；②的最小值为；③；④的最小值为；正确的是      ．  【答案】①②④【解析】解：在上截取，连接，，，如图所示：  四边形是正方形，，，，，，，，点在以为圆心，为半径的圆上运动，点在以为圆心，为半径的圆上运动，当点在上时，有最小值为，当点在上时，有最小值为，故①②正确；在和中，，≌，，当，，三点共线时，取得最小值，最小值为的长，，故DE的最小值为，故④正确；当点在上时，有最小值为，此时，与不一定相等，故③不一定正确；故答案为：①②④．6．如图，在正方形中，，M是的中点，点P是上一个动点，当的度数最大时，的长为      ．    【答案】【解析】：过点A、M作与相切于点,记的中点为N,与交于点Q,连接,  则，∵四边形是正方形，，∴，，∵M是的中点，∴，∵过点A、M作与相切于点，∴，∵的中点为N,∴，，∴，∴四边形是矩形, ∴,在中,，∴,∴当点P运动到点时，最大，此时，故答案为：三、阴影部分面积问题7．如图，在扇形AOB中，，点为半径的中点，以点为圆心，的长为半径作弧交于点．点为弧的中点，连接．若，则阴影部分的面积为           ．    【答案】/【解析】解：连接，，交于，如图所示：    由点为半径的中点可知，由圆的性质可知，即，点为弧的中点，即，，在等腰中，，，由等腰三角形“三线合一”可知，，点为半径的中点，，在等腰中，，，，，则；由圆的对称性可知，面积等于阴影部分，，，故答案为：．8．如图，平行四边形ABCD中，，．将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到平行四边形，此时点恰好在BC边上，点C的运动路径为，则图中阴影部分的面积为      ．【答案】【解析】解：连接和，过作于，过作于，过作于，如图所示：在平行四边形ABCD中，，，将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到平行四边形，此时点恰好在BC边上，，在中，，则，在中，，则，，，，，，在中，，则，，，， ，故答案为：．9．如图，点C是半径为2的半圆上的点，．长度为2的线段DE在直径AB上，当△CDE的周长最短时，阴影部分的面积为      ． 【答案】【解析】解：把半圆补全，在另一侧半圆上找一点F，使，作CG⊥AB于G，FH⊥AB于H，连接OC、OF，∵，，∴∠AOC=∠FOH=60°，∵半径为2，∴CG=FH=，，∴GH=ED=2，∴DG=EH，∵∠CGD=∠FHE=90°，∴△CDG≌△FEH，∴CD=EF，当C、E、F三点共线时，△CDE的周长最短时，此时，点E与圆心重合，点D与A重合，如图所示，，，阴影部分的面积为，故答案为：．10．如图，在平行四边形ABCD中，AD=8，AB=4，∠BAD=60°，E为AD上一点，以点E为圆心，以ED的长为半径作弧与BC相切于点H，点F为线段AB中点，则阴影部分面积为       ． 【答案】【解析】解：过点BG⊥AD于G，连接EH、BD，如图 ∵在直角△ABG中，AB=4，∠BAD=60°，∴，，∵点H为切点，∴EH⊥BC，∴四边形BGEH是矩形，∴ED=EH=BG，∴，∵，，∴△ABD是直角三角形，即AB⊥BD，∴，∵点F为线段AB中点，∴；∵，∴；故答案为：．