2023-2024高三上9月河南省实验中学月考数学试题含答案

河南省实验中学2024届高三第一次月考数学试题

                         命题人：秦静  审题人：王博

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则　　

A． B． C． D．

2．若复数满足为虚数单位），则下列说法正确的是　　

A．的虚部为         B． 

C．             D．在复平面内对应的点在第二象限

3．函数的大致图象是（    ）

A．B． C．D．

4．的展开式中的系数为（    ）

A．55               B．60                C．65                 D．70

5.已知函数，则在区间上存在极值的一个充分不必要条件是（    ）

A.        B.           C.           D.

6．已知函数，若对，，都有成立，则的取值范围是

A． B．   C．       D．

7. 设，分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点E，与双曲线右支交于点P，且满足，则双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C. 2 D.

8已知函数，则方程（为正实数）的实数根最多有（    ）个

  A.  4 B.  5 C.  6 D.  7    

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在单调递减，则（    ）

A                   B.

C.                   D.

10．设，，满足，下列说法正确的是（    ）

A．ab的最大值为 B．的最小值为

C．的最小值为 D．的最小值为1

11. 已知正项等比数列的前n项积为，且，则下列结论正确的是（    ）

A. 若，则                  B. 若，则

C. 若，则                  D. 若，则

12. 已知定义在上的函数，其导函数的定义域也为.若，且为奇函数，则（    ）

A.        B.        C.       D.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13. 有一批同一型号的产品，其中甲工厂生产的占，乙工厂生产的占.已知甲、乙两工厂生产的该型号产品的次品率分别为，，则从这批产品中任取一件是次品的概率是____________.

14．已知，若，，则_____________.

15.已知是定义域为的偶函数，且，当时，，则使得成立的的取值范围是______________.

16．设函数有两个不同极值点，，若，则的取值范围是__　      　．

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. （10分已知数列满足，，数列满足，.

（1）证明：是等比数列；

（2）数列满足，求数列的前项的和.

18．（12分）在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，满足，且．

（1）求证：；

（2）已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围．

19. 如图，在四棱锥中，底面，，，，直线与平面所成的角为.

（1）证明：；

（2）求二面角的余弦值.

20.如图，城市正东的地有一大型企业，、之间有一条100公里的普通公路相连.为了发展当地经济，减轻城市交通压力，经过地新修了一条高速公路，且在地设置了高速出口，现准备在、之间选择一点（不与、两点重合）修建一条公路，并同时将段普通公路进行提质.若，且公里，公路的建造费用为每公里40万元，段公路的提质费用为每公里24万元，设公里，且公路、均为线段.

（1）求公路与的费用之和关于的函数关系式；

（2）如何选择点的位置，可以使总费用最小，并求出其最小值.

21. 2017年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年，有关部门为宣传垃圾分类知识，面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查，每位市民仅有一次参与机会，通过抽样，得到参与问卷调查中的1000人的得分数据，其频率分布直方图如图所示：

（1）估计该组数据的中位数、众数；

（2）由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该区间的中点值作代表），利用该正态分布，求；

（3）在（2）的条件下，有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：

（ⅰ）得分不低于可获赠2次随机话费，得分低于则只有1次；

（ⅱ）每次赠送随机话费和对应概率如下：

现有一位市民要参加此次问卷调查，记(单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列和数学期望.

附：，

若，则，.

22. 已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，，求实数a的取值范围.