【期中单元复习提升】（苏科版）2023-2024学年七年级数学上册 第三章 代数式（图形、数字规律的探索与整式加减实际应用压轴）测试卷

第三章 代数式（压轴题专练）

一、图形类规律探索

1．数学实践课中：一张纸片，第一次将其撕成四小片,以后每次都将其中一片撕成更小的四片，如此进行下去,撕到第2次手中共有7张纸片，问撕到第4次时，手中共有     张，撕到第n次时，手中共有                 （用含有n的代数式表示）张．

【答案】     13     3n+1

【详解】解：从图中可以看出，当撕了1次时，手中有4张纸=3×1+1；

当撕了2次时，手中有7张纸=3×2+1；

当撕了3次时，手中有10张纸=3×3+1；

…

可以发现：撕了几次后，手中纸的张数等于3与几的乘积加1．

所以，当撕了4次时，手中有3×4+1=13张纸．

设撕的次数为n，纸的张数为s，按照规律可得：s=3n+1．

故答案为：13；3n+1．

2．下列是用火柴棒拼出的一列图形．

仔细观察，找出规律，解答下列各题：

(1)第4个图中共有_________根火柴，第6个图中共有_________根火柴；

(2)第n个图形中共有_________根火柴(用含n的式子表示)

(3)若f(n)=2n−1（如f(−2)=2×(−2)−1，f(3)=2×3−1），求的值．

(4)请判断上组图形中前2017个图形火柴总数是2017的倍数吗，并说明理由?

【答案】(1)17，25

(2)(4n+1)

(3)2017

(4)是，理由见解析

【详解】（1）第4个图案中火柴有4×4+1=17；

第6个图案中火柴有4×6+1=25；

（2）当n=1时，火柴的根数是4×1+1=5；

当n=2时，火柴的根数是4×2+1=9；

当n=3时，火柴的根数是4×3+1=13；

所以第n个图形中火柴有4n+1．

（3）f(1)=2×1−1=1，

f(2)=2×2−1=3，

f(3)=2×3−1=5，

∴原式

=2017.

（4）4×1+1+4×2+1+⋯+4×2017+1

=4×（1+2+⋯+2017）+1×2017

=4××（1+2017）×2017+2017

=2×（1+2017）×2017+2017

=4037×2017.

∴是2017倍数.

3．请阅读下列材料，并解答相应的问题：

将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行，一列及对角线上的数字之和都相等，则称具有这种性质的数字方阵为“幻方”中国古代称“幻方”为“河图“、“洛书“等，例如，下面是三个三阶幻方，是将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到3×3的方格中得到的，其每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．

（1）设图1的三阶幻方中间的数字是x，用x的代数式表示幻方中9个数的和为　 　；

（2）请你将下列九个数：﹣10、﹣8、﹣6、﹣4、﹣2、0、2、4、6分别填入图2方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等；

（3）图3是一个三阶幻方，那么标有x的方格中所填的数是　 　；

（4）如图4所示的每一个圆中分别填写了1、2、3…19中的一个数字（不同的圆中填写的数字各不相同），使得图中每一个横或斜方向的线段上几个圆内的数之和都相等，现在已知该图中七个圆内的数字，则图中的x＝　 　，y＝　 　．

【答案】（1）9x；（2）答案见解析；（3）21；（4）1,19.

【详解】解：（1）三阶幻方如图1所示：

用x的代数式表示幻方中9个数的和S＝（x+3）+（x﹣4）+（x+1）+（x﹣2）+（x+2）+x+（x﹣1）+（x+4）+（x﹣3）＝9x；

故答案为9x；

（2）三阶幻方如图2所示：

（3）故答案为21；

（4）如图所示：

x＝1，y＝19；

故答案气为1，19；

4．数学问题：计算（其中m，n都是正整数，且m≥2，n≥1）．

探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．

探究一：计算．

第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；

第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为+；

第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…；

…

第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为+++…+，最后空白部分的面积是．

根据第n次分割图可得等式： +++…+=1﹣．

探究二：计算+++…+．

第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为；

第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为+；

第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…；

…

第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为+++…+，最后空白部分的面积是．

根据第n次分割图可得等式： +++…+=1﹣，

两边同除以2，得+++…+=﹣．

探究三：计算+++…+．

（仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）

解决问题：计算+++…+．

（只需画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空）

根据第n次分割图可得等式：_________，

所以， +++…+=________．

拓广应用：计算 +++…+．

【答案】

【答题空1】

【答题空2】

【详解】探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分，

其中阴影部分的面积为；

第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，

阴影部分的面积之和为；

第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，

…，

第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，

所有阴影部分的面积之和为：，

最后的空白部分的面积是，

根据第n次分割图可得等式：=1﹣，

两边同除以3，得=；

解决问题：=1﹣，

=；

故答案为=1﹣，；

拓广应用：，

=1﹣+1﹣+1﹣+…+1﹣，

=n﹣（+++…+），

=n﹣（﹣），

=n﹣+．

5．我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”．

【I】如图，请你用“数形结合”的思想．

（1）求的值为　 　；

（2）请你利用（1）的结论，求下列各式的值：

①=　 　；

②计算：

【II】将若干个同样大小的小长方形纸片拼成如图形状的大长方形（小长方形纸片宽为a，长为b），请你仔细观察图形，解答下列问题：

（1）a和b之间的关系满足　 ．

（2）图中阴影部分的面积与大长方形面积的比值是　 　．

（3）请你仔细观察图中的一个阴影部分，根据面积的不同表示方法，请你写出（b-a）2与（b+a）2，ab三个代数式之间的等量关系　 ；

应用：根据探索中的等量关系，解决如下问题：x+y＝9，xy＝，求x﹣y的值．

【答案】【I】（1）；（2）①；②；【II】（1）b＝3a；（2）；（3）．

【详解】【I】（1）根据图形面积得出这些数的和即为1与的面积差，

故答案为：；

（2）分析得：

故答案为：；

（3）分析得：

故答案为：

【Ⅱ】（1）由大长方形的长的不同拼图可得，4b＝3a+3b，即b＝3a，

故答案为：b＝3a；

（2）由于b＝3a，大长方形的长为4b＝12a，宽为3a+b＝6a，因此面积为12a×6a＝72a2；

阴影部分的面积为3（b﹣a）2＝3（2a）2＝12a2；

因此其比值为，

故答案为：；

（3）如图，阴影正方形的边长为，因此面积为，

正方形ABCD的边长为，因此面积为，

四个小矩形的面积为4ab，

因此有，

故答案为：；

把：，代入得，，

∴．

二、数字规律探索

6．现有一列数，，，…，，，，其中，，，且满足任意相邻三个数的和为定值，则的值为        .

【答案】26

【详解】因为任意相邻三个数的和为定值

所以

所以，，，

因为，

，

所以

因为

所以

所以

故答案为26

7．一列数：，，，，，其中，，且当时，，用含的式子表示的结果是  ．

【答案】

【详解】解：，

有，，，，，

左右两边同时累加得，

令，则，

，解得：．

．

故答案为：．

8．设，，，…；另设，，，…．已知是一个关于的三次多项式（为正整数），可表示为，则        ．

【答案】1

【详解】解：∵N1=n1=1

∴令k=1，则有：N1==a+b+c+d

∴a+b+c+d=1．

故填1．

9．为了求 的值，可令，则，因此，所以.

请仿照以上推理计算出的值是（   ）

A．  B．  C．  D．

【答案】D

【详解】解：令

∴

∴

∴

∴

故选D

10．观察下列各等式：

第1个：；

第2个：；

第3个：

……

（1）这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律，请利用发现的规律猜想并填空：若为大于1的正整数，则______；

（2）利用（1）的猜想计算：（为大于1的正整数）；

（3）拓展与应用：计算（为大于1的正整数）．

【答案】（1）；（2）；（3）．

【详解】解：（1）若为大于1的正整数，则根据这些等式的运算规律可得：，

故答案为：；

（2）

（3）

．

三、整式加减的应用

11．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为3a厘米，宽为（2a－b）厘米）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．

（1）求大长方形ABCD的周长；

（2）求图②中两块阴影部分周长之和．（用含a，b的式子表示）

【答案】(1)10a-2b;(2)8a-4b.

【详解】解：（1）大长方形ABCD的周长为：2（3a+2a-b）=10a-2b；

（2）设小长方形的长为m，宽为n；

则大阴影的长宽分别为：3a-2n，2a-b-2n，周长为：2（3a-2n+2a-b-2n）=10a-2b-8n

小阴影的长宽分别为：3a-m，2a-b-m，周长为：2（3a-m+2a-b-m）=10a-2b-4m

由图2可知：m+2n=3a

两块阴影部分周长之和2（10a-2b）-4m-8n=2（10a-2b）-4（m+2n）=20a-4b-12a=8a-4b

12．将7张相同的长方形纸片(如图1)按图2所示的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好可以分割为两个长方形，面积分别为S1和S2.已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a＞b.

(1)当a=9,b=2,AD=30时，S1－S2=______.

(2)当AD=30时，用含a,b的式子表示S1－S2.

(3)若AB长度不变，AD变长，将这7张小长方形纸片按照同样的方式放在新的长方形ABCD内，而且S1－S2的值总保持不变，则a，b满足的关系是______.

【答案】(1)48；(2)30a－120b+ab；(3)a=4b.

【详解】(1)解：当a=9,b=2,AD=30时，S1=a(30－3b)=9×（30-3×2）=216

S2=4b(30－a)=4×2×（30-9）=168

S1－S2=216-168=48

(2)解：S1－S2

=a(30－3b)－4b(30－a)

=30a－120b+ab

(3)解：设AD=m,

S1－S2

=(am－3ab)－(4bm－4ab)

=am－4bm+ab

若S1－S2的值总保持不变，则S1－S2的值与m的取值无关，所以有am－4bm=0

则a=4b.