考点01 分式的性质与运算-八年级数学上册高频考点专题突破（人教版）

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考点01 分式的性质与运算
知识框架

基础知识点
知识点1-1 分式的定义
分式：一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式．
分式中，A叫做分子，B叫做分母．
注：①分式可以理解为两个整式相除的商，分母是除数，分子是被除数，分数线是除号。②整式B作为分母，则整式B0. ③只要最终能转化为形式即可.④B中若无字母，则变成系数乘A，为整式.
1．（2021·湖南宁乡·）下列各式中，是分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的定义逐项分析即可．
【详解】A. ，是整式，不是分式，故该选项不符合题意；B. ，是分式，故该选项符合题意；
C. ，是整式，不是分式，故该选项不符合题意；D. ，是整式，不是分式，故该选项不符合题意．
故选B
【点睛】本题主要考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式．
2．（2021·山东平阴·八年级期末）在，，，，，中，分式的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】解：在，，，，，中，
分式有，，，所以分式的个数是3个．故选：B．
【点睛】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以像不是分式，是整式．
3．（2021·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校）若，则我们把称为a的“友好数”，如3的“友好数”是，的“友好数”是，已知，是的“友好数”，是的“友好数”，是的“友好数”，……，依此类推，则（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题目中的数据，可以写出前几个数，从而可以发现数字的变化特点，然后即可写出 的值．
【详解】，则称为a的“友好数”，，
该数列每4个数为一个循环周期，
故选：A．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的数据．
4．（2021·山西太原·）今年5月1日，历时8年修复的太原古县城正式开城迎客．统计结果显示，太原古县城第一时段天内共接待游客万人次，第二时段天内共接待游客万人次，则这两个时段内平均每天接待游客________万人次．
【答案】
【分析】根据平均数的定义，列出分式，即可．
【详解】解：由题意得：（m+3m）÷（a+b）=，故答案是：．
【点睛】本题主要考查根据题意列分式，掌握平均数的定义和分式的概念，是解题的关键．

知识点1-2 分式的相关概念
1）分式有意义的条件：分母不为0，即B0
2）分式的值为0的条件：分子为0，且分母不为0，即A=0且B0
3）分式为正的条件：分子与分母的积为正，即AB>0
4）分式为负的条件：分子与分母的积为负，即AB<0
1．（2021·陕西榆林·八年级期末）使分式有意义的m的取值范围是________．
【答案】且
【分析】根据分母不为0，列出不等式即可求解．
【详解】解：要使分式有意义，则，解得，且，故答案为：且．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题关键是明确分式有意义的条件为分母不为0，列出不等式并准确求解．
2．（2021·四川龙泉驿·八年级期中）使分式无意义的的取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式无意义，分母等于0列方程求解即可．
【详解】解：由题意，得：x－1＝0，解得：x＝1．故选B．
【点睛】本题考查了分式无意义的条件，熟知分式无意义，即分母为零是解决问题的关键．
3．（2021·重庆北碚·西南大学附中八年级开学考试）分式的值为0，则x的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣2或2 D．不存在这样的x
【答案】A
【分析】分式，即且．
【详解】解：，即且，故选：A．
【点睛】本题考查分式的值为0，分式有意义的条件等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
4．（2021·福建南靖·八年级期中）若的值为正数，则x的取值范围为______________．
【答案】x>2
【分析】根据除法运算的符号法则：同号得正，异号得负，由分子为正，则分母也为正，可得关于x得不等式，解不等式即可.
【详解】∵，且2>0∴∴答案为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，分式的值，除法的符号法则等知识，根据除法的符号法则得到关于x的不等式是解题的关键．
5．（2020·晋州市第三中学月考）已知分式（m，n为常数）满足下列表格中的信息：则下列结论中错误的是（ ）
x的取值
﹣1
1
p
q
分式的值
无意义
1
0
﹣1
A．m＝1 B．n＝8 C．p＝ D．q＝﹣1
【答案】D
【分析】将表格中的数据依次代入已知分式中进行计算即可．
【解析】由表格中数据可知：A、当x＝﹣1时，分式无意义，∴﹣1+m＝0，∴m＝1．故A不符合题意；
B、当x＝1时，分式的值为1，∴，∴n＝8，故B不符合题意；
C、当x＝p时，分式的值为0，∴，∴p＝，故C不符合题意；
D、当x＝q时，分式的值为﹣1，∴，∴q＝，故D错误，从而D符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查分式无意义的条件，分式的值，可利用直接代入法进行求解．
6．（2021·安徽九年级专题练习）若分式的值为正整数，则整数a的值有(　　)
A．3个 B．4个 C．6个 D．8个
【答案】B
【分析】分式的值为正整数，则a+1的值是6的正整数约数，据此即可求出a的值．
【详解】解：分式的值为正整数，且a为整数，
所以a+1=1或2或3或6．则a=0或1或2或5．故选B．
【点睛】本题考查了分式的值．理解分式的值为正整数，则a+1的值是6的正整数约数是关键．

知识点1-3 分式的基本性质
1）分数的性质（特点）如下：
①分母不能为零;②分数分子分母同乘除不为零的数，分数的大小不变;③分数的通分与约分（短除法）.
2）分式是分数的拓展延伸，分式有与分数类似的性质（特点）：
①分式分母也不能为零
②分式分子分母同乘除一个不为零的整式，分式大小不变。即：
用式子表示为或，其中A，B，C均为整式．
③分式的通分与约分在知识点4中详细讲解.
1．（2021·河北景县·八年级期末）在括号内填上适当的整式：．
【答案】
【分析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．
【详解】解：分式的分子分母都乘以10，得．所以，括号内应填入．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题时注意：分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变．
2．（2021·广西岑溪·七年级期末）下列分式中，把x，y的值同时扩大2倍后，值不变的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把，的值同时扩大2倍后，运用分式的基本性质进行化简，即可得出结论．
【详解】解：A选项，把，的值同时扩大2倍后得：，值发生了变化，故该选项不符合题意；
B选项，把，的值同时扩大2倍后得：，值缩小了一半，故该选项不符合题意；
C选项，把，的值同时扩大2倍后得：，值不变，故该选项符合题意；
D选项，把，的值同时扩大2倍后得：，值变成了原来的2倍，故该选项不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
3．（2021·北京市昌平区第二中学）不改变分式的值，把分式的分子和分母各项系数都化成整数：=______．
【答案】
【分析】根据分式的基本性质本分子分母都乘以10即可．
【详解】解：原式．故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不为0的数，分式的值不变．
4．（2021·陕西碑林·西北工业大学附属中学）已知，则a的取值范围是 ___．
【答案】a＜3
【分析】根据绝对值的意义作答，可得答案．
【详解】解：∵，∴a-3＜0．解得a＜3．故答案为：a＜3．
【点睛】本题考查的是分式的基本性质，绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零．
5．（2021·四川武侯·）下列分式变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质作答．
【详解】解：A、分子分母开平方，等式不成立，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、分子分母都除以2，符合分式的基本性质，原变形正确，故此选项符合题意；
C、分子分母都除以2时，分子有一项没有除以2，不符合分式的基本性质，原变形错误，故此选项不符合题意；D、分子分母都减去2，不符合分式的基本性质，原变形错误，故此选项不符合题意．故选：B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0．
6．（2021·全国）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式x2+的值．
解：∵，∴＝4 即＝4∴x+＝4∴x2+＝（x+）2﹣2＝16﹣2＝14
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值．
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）则
根据材料回答问题：（1）已知，求x+的值．（2）已知，（abc≠0），求的值．
（3）若，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝7，求xyz的值．
【答案】（1）5；（2）；（3）
【分析】（1）仿照材料一，取倒数，再约分，利用等式的性质求解即可；
（2）仿照材料二，设＝＝＝k（k≠0），则a＝5k，b＝2k，c＝3k，代入所求式子即可；
（3）本题介绍两种解法：解法一：（3）解法一：设＝＝＝（k≠0），化简得：①，②，③，相加变形可得x、y、z的代入＝中，可得k的值，从而得结论；解法二：取倒数得：＝＝，拆项得，从而得x＝，z＝，代入已知可得结论．
【详解】解：（1）∵＝，∴＝4，∴x﹣1+＝4，∴x+＝5；
（2）∵设＝＝＝k（k≠0），则a＝5k，b＝2k，c＝3k，∴＝＝＝；
（3）解法一：设＝＝＝（k≠0），
∴①，②，③，
①+②+③得：2（）＝3k，＝k④，
④﹣①得：＝k，④﹣②得：，④﹣③得：k，
∴x＝，y＝，z＝代入＝中，得：
＝，，k＝4，
∴x＝，y＝，z＝，∴xyz＝＝＝；
解法二：∵，∴，
∴，∴，∴，
将其代入中得： ＝ ＝，y＝，
∴x＝，z＝＝，∴xyz＝＝．
【点睛】本题考查了以新运算的方式求一个式子的值，题目中涉及了求一个数的倒数，约分，等式的基本性质，求代数式的值，解决本题的关键是正确理解新运算的内涵，确定一个数的倒数并能够根据等式的基本性质将原式变为能够进一步运算的式子.
7．（2021·江苏·八年级期中）“拼图，推演，得到了整式的乘法的法则和乘法公式．教材第9章头像拼图这样，借助图形往往能把复杂的数学问题变得简明、形象.
（分数运算）怎样理解？

从图形的变化过程可以看出，长方形先被平均分成3份，取其中的2份（涂部分）；再将涂色部分平均分成5份，取其中4份（涂部分）.这样，可看成原长方形被平均分成15份，取出其中8份，所以的占原长方形的，即.
（尝试推广）
（1）①类比分数运算，猜想的结果是____________；（a、b、c、d均为正整数，且，）；
②请用示意图验证①的猜想并用文字简单解释.
（2）①观察下图，填空：____________；

②若a、b均为正整数且，猜想的运算结果，并用示意图验证你的猜想，同时加以简单的文字解释.
【答案】（1）① ②见解析 （2）① ②见解析
【分析】（1）长方形先被平均分成份，取其中的份；再将涂色部分平均分成份，取其中的份，这样，可看成原长方形被平均分成份，取其中份，所以的占原长方形的，即；
（2）长方形先被横向平均分成份，取其中1份，该长方形还可以如图被纵向平均分成份，取其中1份，这样，可看成原长方形被平均分成份，涂色部分共取其中份，所以占原来长方形的，即；
【详解】解：（1）①；故答案为；
②长方形先被平均分成a份，取其中的b份（涂部分）；再将涂色部分平均分成c份，取其中d份（涂部分）.这样，可看成原长方形被平均分成份，取其中份，所以的占原长方形的，即.

（2）①（）
②长方形先被横向平均分成（）份，取其中的1份（涂部分）；
该长方形还可以如图被纵向平均分成份，取其中1份（涂部分）.
这样，可看成原长方形被平均分成份，涂色部分共取其中份，
所以占原长方形的，
即.

【点睛】本题考查分式的性质；能够仿照分数的例子得到分式的性质，画出合适的图形是解题的关键．
8．（2021·山东泗水·）阅读下面材料，并解答问题．
材料:将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解析：由分母为，可设
则
对应任意x，上述等式均成立，，，．
．
这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和．
解答：（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
（2）当时，直接写出________，的最小值为________．
【答案】（1）分式被拆分成了一个整式与一个分式的和；（2）0；8．
【分析】（1）参照例题材料，设，然后求出m、n的值，从而即可得出答案；（2）先根据得出，再根据不等式的运算即可得．
【详解】（1）由分母为，可设

对应任意x，上述等式均成立，解得

这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和；
（2）由（1）得
当时，
，且当时，等号成立
则当时，取得最小值，最小值为8故答案为：0；8．
【点睛】本题考查了分式的拆分运算、平方数的非负性、不等式的运算等知识点，读懂材料，掌握分式的运算法则是解题关键．

知识点1-4 分式的约分与通分
1）分式的约分：与分数的约分类似，约去分式分子、分母中的公因式（最大公约数）.
注：有时，分式分子、分母需进行一定的转换才有公因式。
2）最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．
注：约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．
3）分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍数相应扩大，不改变分式的值。
步骤：①通过短除法，求出分式分母的最小公倍数；②分母变为最小公倍数的值，确定原式分母扩大的倍数;③分子对应扩大相同倍数.
4）最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．
1．（2021·陕西榆林·八年级期末）下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、，分子与分母没有公因式，是最简分式，符合题意；
B、，分子和分母有公因式，不是最简分式，不符合题意；
C、，分子和分母有公因式，不是最简分式，不符合题意；
D、，分子和分母有公因式，不是最简分式，不符合题意；故选A．
【点睛】本题主要考查了最简分式的定义，解题的关键在于能够熟记定义．
2．（2021·海南海口·八年级期末）约分的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据约分法则进行约分即可．
【详解】解：，故选：D．
【点睛】本题考查了分式的约分，熟练掌握约分法则是解本题的关键．
3．（2021·广西江州·七年级期末）化简，结果得（ ）
A．x-2 B．x+2 C． D．
【答案】B
【分析】先将分子因式分解，再根据分式的基本性质约分即可．
【详解】解：．故选B.
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质和分式约分，解决本题的关键是要熟练掌握分式的基本性质和分式约分的步骤．
4．（2021·黑龙江道外·八年级期末）分式与的最简公分母是_________．
【答案】2a2b2c
【分析】根据最简公分母的定义求解．
【详解】解：分式与的最简公分母是2a2b2c．故答案为2a2b2c．
【点睛】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
5．（2020·贵州铜仁伟才学校八年级月考）对分式通分后，的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把a2-b2因式分解，得出的最简公分母，根据分式的基本性质即可得答案．
【详解】∵a2-b2=(a+b)(a-b)，∴分式的最简公分母是，
∴通分后，=．故选：B．
【点睛】本题考查分式的通分，正确得出最简公分母是解题关键．
6．（2020·四川自贡·成都实外八年级期中）已知（过中A、B均为常数），则________，________．
【答案】
【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，再根据分式相等的条件即可求出所求．
【详解】解：，，解得．
【点睛】本题考查了分式的加减，解题的关键是通分．

知识点1 -5分式的混合运算
分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似：
1）分式的加减
①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：．
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．
用式子表示为：．
2）分式的乘法
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：．
3）分式的除法
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．
用式子表示为：．
4）分式的乘方
乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：为正整数，．
5）分式的混合运算
含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．
混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．
注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式
1．（2021·河南新野·八年级期中）若△÷，则“△”可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用分式的乘除运算法则计算得出答案．
【详解】解：．故选D．
【点睛】考查了分式的乘除运算，正确分解因式再化简是解题关键．
2．（2021·西安益新中学八年级月考）的计算结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接根据分式的除法运算法则判断即可．
【详解】解：，故选：B．
【点睛】本题考查了分式的乘除，掌握其运算法则是解决此题关键．
3．（2020·河北初三其他）已知，这是一道分式化简题，因为一不小心一部分被墨水污染了，若只知道该题化简的结果为整式，则被墨水覆盖的部分不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据整式的概念，将各选项依次代入判断即可．
【解析】A、= 不是整式，此选项符合题意；
B、=是整式，此选项不符合题意；
C、=是整式，此选项不符合题意；
D、=是整式，此选项不符合题意，故选：A．
【点睛】本题考查了分式的运算、平方差公式、整式的判断，熟练掌握分式的除法运算法则及平方差公式是解答的关键．
4．（2021·全国）化简：________．
【答案】
【分析】把异分母化成同分母，根据同分母分式加减法法则进行计算即可．
【详解】解：．故答案为：．
【点睛】本题考查了异分母分式加减法运算，掌握异分母分式加减法的运算法则是解题的关键．
5．（2021·全国八年级课时练习）阅读下面的解题过程：
已知，求代数式的值．
解：∵，∴，∴．
∴，∴．
这种解题方法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目：
已知，求的值．
【答案】
【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，接着把分子分母因式分解后约分得到原式利用倒数法由已知条件得到然后把左边化为真分式后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：原式，
∵，∴，
∴原式
【点睛】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
6．（2021·河南郑州外国语中学九年级）下面是小斌同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解答问题．

= 第一步
= 第二步
= 第三步
= 第四步
= 第五步
= 第六步
（1）填空：
a．以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是
b．第 步开始出现错误，这一步错误的原因是① ，② ．
（2）请直接写出该分式化简后的正确结果 ．（3）除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
【答案】（1）a．三，分式的基本性质；b．四，①括号前面是负号，去掉括号后括号里面第二项没有变号，②去括号时，括号里面的第二项没有与括号前的系数相乘；（2）；（3）分式的混合运算，要注意运算顺序.
【分析】（1）a．第三步是通分，把第二项分子分母都乘以2，分式的值不变，这是分式的基本性质；
b．第四步开始出现错误，去括号出现错误和乘法分配律出现错误；（2）去括号化简即可；（3）分式的混合运算，要注意运算顺序等．
【详解】（1）a．第三步是通分，把第二项分子分母都乘以2，分式的值不变，这是分式的基本性质；
故答案为：三，分式的基本性质；
b．第四步开始出现错误，去括号出现错误和乘法分配律出现错误；
故答案为：四，①括号前面是负号，去掉括号后括号里面第二项没有变号，②去括号时，括号里面的第二项没有与括号前的系数相乘；
（2）=== ==．
故答案为：；
（3）分式的混合运算，要注意运算顺序(答案不唯一)．
【点睛】本题考查了分式的加减，解题时注意运算顺序，最后结果要化到最简．
7．（2021·江苏涟水·八年级期中）阅读下列材料：
分式和分数有着很多的相似点，例如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则．我们知道，分子比分母小的叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．
类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：，这样的分式就是假分式，例如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式．类似地，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式），例如．
解决下列问题：（1）分式是_____（填“真分式”或“假分式”）；（2）假分式可化为带分式_____形式；
（3）如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值；
（4）若分式的值为，则的取值范围是______（直接写出答案）．
【答案】（1）真分式；（2）；（3）4，2，5，1；（4）．
【分析】（1）根据“真分式”的定义可得；（2）根据题意逆用分式加法的法则将假分式化为带分式；
（3）先将分式化为带分式，再根据分式部分为整数求得的值；
（4）将分式化为带分式，再判断的取值范围即可．
【详解】（1）的分母次数大于分子次数，故分式是真分式；故答案为：真分式；
（2）故答案为：；
（3）分式的值为整数，，
即是整数，则；解得或或或；的值为：4，2，5，1；
（4）
，，故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，不等式的应用，掌握计算法则，理解题意是解题的关键．

知识点1-6 整数指数幂（幂的运算的扩大）
1）前面已学习：
①am∙an=am+n，（m，n是正整数）； ②（am）n=amn，（m，n是正整数）
③（ab）m=ambm，（m是正整数）； ④am÷an=am-n，（a≠0，m、n是正整数，m>n）
⑤（ab）n=anbn，（n是正整数）； ⑥&当a≠0时，a0=1（规定）&当a=0时，00无意义
若按照④运算，当m 2）针对这种现象，我们规定，当n为正整数时，a-n=1an（a≠0） 注：00、0-n无意义
3）幂的运算性质扩大
当a≠0时 ①am∙an=am+n，（m，n是整数）（公式1、4的扩展）
②（am）n=amn，（m，n是整数）（公式2的扩展）
③（ab）m=ambm，（m是正整数）（公式3与公式5的扩展）
4）利用负指数化除为乘，设m，n为正整数，a≠0，
根据定义am÷an=am-n 还可转化为乘法：am÷an=aman=am∙a-n=am-n
5）科学记数法的扩大
一般，一个小于1的数可以表示为a×10-n的形式，其中1＜a＜10n为负整数
步骤：确定a值的大小。1＜a＜10；确定n的值。原数变为a后，小数点向前移动x位，则原数相应扩大了10x倍。故n=-x
1．（2021·四川省内江市第六中学八年级开学考试）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据单项式除单项式法则，多项式除单项式法则逐一判断选项即可．
【详解】解：A. ，故该选项错误；B. ，故该选项错误；
C. ，故该选项正确；D. ，故该选项错误．故选C．
【点睛】本题主要考查整式的除法运算，掌握单项式除单项式法则，多项式除单项式法则是解题的关键．
2．（2021·山东肥城·）下列计算结果错误的是（　　）
A．﹣6x2y3÷（2xy2）＝﹣3xy B．（﹣xy2）3÷（﹣x2y）＝xy5
C．（﹣2x2y2）3÷（﹣xy）3＝﹣2x3y3 D．﹣（﹣a3b）2÷（﹣a2b2）＝a4
【答案】C
【分析】根据单项式相除，把系数和同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式，对各选项计算后利用排除法求解．
【详解】解：A、﹣6x2y3÷（2xy2）＝﹣3xy，正确；
B、（﹣xy2）3÷（﹣x2y）＝（﹣x3y6）÷（﹣x2y）＝xy5，正确；
C、应为（﹣2x2y2）3÷（﹣xy）3＝8x3y3，故本选项错误；
D、﹣a6b2÷（﹣a2b2）＝a4，正确．故选：C．
【点睛】本题考查积的乘方的性质，单项式除单项式，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键．
3．（2021·贵州七星关·）计算28x4y2÷（﹣7x3y）的正确结果是（ ）
A．4xy B．﹣4xy C．4x2y D．4xy2
【答案】B
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【详解】解：28x4y2÷（﹣7x3y）＝−4xy．故选：B．
【点睛】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．（2021·山东阳谷·七年级期末）下列运算错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用负整数指数幂的性质和零次幂的性质、乘方的意义进行计算．
【详解】解：A、（−0.1）−1＝−10，故原题计算错误；B、，故原题计算正确；
C、，故原题计算正确；D、−12＝−1，故原题计算正确；故选：A．
【点睛】此题主要考查了负整数指数幂，关键是掌握负整数指数幂：a−p＝（a≠0，p为正整数），零指数幂：a0＝1（a≠0）．
5．（2021·山东聊城·）已知一个水分子的直径约为3.85×10﹣9米，某花粉的直径约为5×10﹣4米，用科学记数法表示一个水分子的直径是这种花粉直径的（ ）
A．0.77×10﹣5倍 B．77×10﹣4倍 C．7.7×10﹣6倍 D．7.7×10﹣5倍
【答案】C
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】由题意得：(3.85×10﹣9)÷(5×10﹣4)= 7.7×10﹣6倍，故选C．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
6．（2021·浙江）代数式成立的条件是（ ）
A． B． C．或 D．且
【答案】D
【分析】根据零指数幂成立的条件和分式成立的条件知且．
【详解】解：根据题意知，且．所以且．故选：D．
【点睛】本题考查了零指数幂及分式有意义的条件，牢记零次幂公式中的条件及分式有意义的条件是分母不为0是解答此题的关键．
7．（2021·河北海港·）把0.000516用四舍五入的方法，保留到万分位，并用科学计数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】0.000516用四舍五入的方法，保留到万分位为0.0005，再表示即可．
【详解】∵0.000516≈0.0005，∴0.0005＝，故选：A．
【点睛】本题考查了近似数,科学记数法,准确进行四舍五入求近似数是解题的基础，熟练运用科学记数法表示是解题的关键．
8．（2021·徐州市树人初级中学八年级月考）计算：
（1）;（2）
【答案】（1）5；（1）
【分析】（1）先计算负整指数幂、零指数幂、绝对值、乘方，再计算乘法，最后算加减；
（2）先计算负整指数幂、零指数幂、绝对值、乘方，再计算加减；
【详解】解：（1）原式=（2）原式=
【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及到负整指数幂、零指数幂、绝对值、乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键
9．（2021·江苏姜堰·八年级月考）计算
（1） （2）
【答案】（1）-4；（2）
【分析】（1）分别计算平方，负整数指数幂，零指数幂，去绝对值，再进行有理数的混合计算即可．
（2）根据同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则计算即可．
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题考查有理数的混合运算，负整数指数幂，零指数幂，去绝对值，同底数幂乘法，幂的乘方．掌握各运算法则是解答本题的关键．






















重难点题型
题型1 分式的判定
解题技巧：一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式．
1．（2020·南通市通州区兴仁中学八年级月考）下列代数式中，属于分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的定义：分母中含有字母的式子叫做分式，逐项判断即得答案．
【详解】解：A、是整式，不是分式，故本选项不符合题意；
B、是分式，故本选项符合题意；C、是整式，不是分式，故本选项不符合题意；
D、是整式，不是分式，故本选项不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了分式的定义，属于应知应会题型，熟知概念是关键．
2.（2021·四川省乐至实验中学八年级月考）下列各式中，属于分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分式的定义进行解答即可，即分母中含有未知数的式子叫分式．
【详解】解： A、 的分母中不含有字母，因此它是整式，而不是分式，故此选项不符合题意；
B、 ，分母中不含有字母，所以它不是分式，故此选项不符合题意；
C、 的分母中不含有字母，因此它不是分式，故此选项不符合题意；
D、 的分母中含有字母，因此它是分式，故此选项不符合题意；故选：D ．
【点睛】本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．
3．（2021·济宁市第十三中学八年级月考）在代数式，，，中，分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据分式的定义，逐项分析即可，一般地，如果、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母．
【详解】在代数式，，，中，分式有，，2个 ，是整式．故选B．
【点睛】本题考查了分式的定义，理解分式的定义是解题的关键．
4．（2020·铜仁一中实验学校八年级月考）在代数式、、、、、、中，分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】解：代数式、、、的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
而、、的分母中含有字母，因此是分式，共有3个．故选：C．
【点睛】本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式
子即为分式．
5．（2021·甘肃武山·八年级期末）有理式中，分式有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据分式的定义，即形如，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子，进行判断即可．
【详解】分式有：，，共2个．故选：B．
【点睛】本题考查了分式的定义，熟记分式的定义是解题的关键．
6．（2020·苏州新草桥中学八年级期中）在代数式、、、，分式的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】形如：且为整式，中含有字母，这样的代数式是分式，根据分式的定义逐一判断即可得到答案．
【详解】解：分式有：，，共有两个，故选：．
【点睛】本题考查的是分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键．

题型2 分式有意义和无意义的条件
解题技巧：分式有意义的条件：分母不为0，即B0；反之为无意义。因此，解此类题型，我们只需要列写B≠0的不等式，并求解出取值范围即可。
1．（2021·浙江东阳·七年级期末）要使分式有意义，x的取值应满足（　　）
A．x≠1 B．x≠2 C．x≠1且x≠2 D．x≠1或x≠2
【答案】C
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：根据题意得，（x-1）（x-2）≠0，解得x≠1且x≠2．故选：C．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
2．（2021·北京门头沟·大峪中学八年级期中）如果分式有意义，那么的取值范围是___．
【答案】
【分析】根据分式有意义的条件得出，再求出即可．
【详解】解：要使分式有意义，必须，解得：，故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，注意：分式中分母．
3．（2021·全国）当时，下列分式中有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A.当时，x+1=0，分式无意义，不符合题意；
B.当时，，分式无意义，不符合题意；C.当时，，分式有意义，符合题意；
D.当时，，分式无意义，不符合题意；故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于0是解题的关键．
4．（2021·陕西莲湖·八年级期末）若代数式有意义，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据分式有意义的条件即可求得实数的取值范围．
【详解】代数式有意义故答案为：
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，理解分式有意义的条件是解题的关键．
5．（2021·南昌市心远中学八年级期末）写出一个分式，使它符合下列条件：①含有字母，②无论取何值分式都有意义；③当时，分式的值为，这个分式时以是__________．（只写一个)
【答案】
【分析】依据分式的分母不为零以及分式的定义解答即可．
【详解】符合条件一个分式可以为：．答案不唯一故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是分式有意义的条件、分式的定义、分式的值，熟练掌握相关知识是解题的关键．
6．（2021·全国）已知分式，当时，该分式没有意义；当时，该分式的值为0，则_______．
【答案】
【分析】根据分式有无意义的条件和分式的解求出m，n的值，然后代值计算即可．
【详解】解：∵当时，没有意义，∴，解得．
∵当时，的值为0，∴，解得．
∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式无意义的条件和分式为0的条件，以及代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

题型3 分式值为零
解题技巧：分式值为0的条件：分母不为0，且分子为0，即B0，且A=0。因此，解此类题型，我们往往先求解A=0的条件，在判断A=0的条件下，是否满足B≠0.若满足，则此条件成立，若不满足，则这个解舍去。
1．（2021·甘肃兰州十一中九年级月考）若分式的值为零，则a的值为 ___．
【答案】1
【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零且分母不为零，进而得出答案．
【详解】解：分式的值为零，则|a|−1＝0且a＋1≠0，解得：a＝1．故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件，注意分式的分母不为零是解题关键．
2．（2021·湖南宁乡·）若分式的值为0，则＝ _________．
【答案】-3
【分析】根据分式的值为零，可得分子为零，分母不为零，故可求解．
【详解】依题意可得解得＝-3故答案为：-3．
【点睛】此题主要考查求分式的值，解题的关键是熟知分式值为零的条件．
3．（2021·四川省成都市七中育才学校九年级月考）若分式的值为0，则x＝___．
【答案】1
【分析】分式的值为零，分子等于零，且分母不等于零．
【详解】解：由题意，知|x|-1=0且x+1≠0．解得x=1．答案是：1．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
4．（2021·河南鹿邑·八年级期末）若分式的值为0，则______．
【答案】-1
【分析】根据分式的值为零的条件即可求出x的值．
【详解】解：由题意可知：|x|-1=0且x-1≠0，解得x=-1． 故答案为：-1．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
5．（2020·南通市新桥中学八年级月考）当x=______时，分式的值为0．
【答案】-4
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子=0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．
【详解】分式的值为0，即|x|-4=0，x=±4，∵x-4≠0，∴x≠4，即x=-4，
故当x=-4时，分式的值为0．故答案为-4．
【点睛】此题考查了分式的值为0的条件.由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．
6．（2021·南昌市心远中学八年级期末）关于分式，下列说法不正确的是（ ）
A．当时，分式没有意义 B．当时，分式的值为正数
C．当时，分式的值为负数 D．当时，分式的值为零
【答案】C
【分析】此题可化转化为分别求当分式等于0、大于0、小于0、无意义时的x的取值范围，分别计算即可求得解．
【详解】解：A、当时，分母为0，分式没有意义；正确，但不符合题意．
B、当时，分式的值为正数；正确，但不符合题意．
C、当且 时，分式的值为负数；原说法错误，符合题意．
D、当时，分式的值为0；正确，但不符合题意．故选C.
【点睛】本题主要考查分式的性质的运用，注意分式中分母不为0的隐性条件．
7．（2021·全国八年级专题练习）下列各式中，当x取某一值时没有意义的是（　　）（多选题）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】根据分式有意义，分母不等于0对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、当x=-即2x+1=0时，分式无意义，故本选项符合题意；
B、当x=-即2x+1=0时，分式无意义，故本选项符合题意；
C、当x=0即=0时，分式无意义，故本选项符合题意；
D、无论x取何值，2x2+1≥1，分式都有意义，故本选项不符合题意；故选：ABC．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零．

题型4 分式值为整数（正数、负数）的相关问题
解题技巧：根据分式值为整数的条件和试值法逐一检验即可。
1．（2021·江苏苏州·）如果关于x的不等式组的解集为，且整数m使得关于的二元一次方程组的解为整数（均为整数），则符合条件的所有整数m的和是（ ）
A． B．2 C．4 D．12
【答案】C
【分析】解不等式组，结合其解集得出m≤4；解方程组得出其解，结合解均为整数得出整数m的值；综合前面m的取值范围确定m的最终取值，从而得出答案．
【详解】解：解不等式＞0，得：x＞m，解不等式﹣x＜﹣4，得：x＞4，
∵不等式组的解集为x＞4，∴m≤4，解方程组得，
∵x，y均为整数，∴m＝4或m＝8或m＝2或m＝﹣2，
又m≤4，∴m＝4或m＝2或m＝﹣2，则符合条件的所有整数m的和是4，故选：C．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组和二元一次方程组以及分式的整数值，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组和二元一次方程组以及求分式的整数值的能力，并据此得出m的最终取值．
2．（2020·山东历城·八年级期中）已知a为整数，且÷为正整数，求所有符合条件的a的值的和（　　）
A．8 B．12 C．16 D．10
【答案】C
【分析】首先对于分式进行化简，然后根据a为整数、分式值为正整数可求出a的值，最后将a的所有值相加即可．
【详解】解：﹣÷＝﹣×＝﹣＝＝，
∵a为整数，且分式的值为正整数，∴a﹣5＝1，5，∴a＝6，10，
∴所有符合条件的a的值的和：6+10＝16．故选：C．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，对分式的分子和分母能够正确分解因式是解题的关键．
3．（2020·南通市新桥中学八年级期中）若分式的值为负数，则的取值范围是__________．
【答案】x＜1
【分析】根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母必是正数，分子的值是负数则可，从而列出不等式．
【详解】解：∵分式的值为负数，∴x-1＜0，∴x＜1，故答案为：x＜1．
【点睛】本题考查不等式的解法和分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向．
4．（2021·全国八年级课时练习）分式的值为负，则x应满足（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意得出x+5＜0，进而求出答案．
【详解】解：∵分式的值为负，∴x的取值范围是：x+5＜0，解得：x＜-5．故选：A．
【点睛】本此题主要考查了分式的值，得出x+5的符号是解题关键．
5．（2021·重庆彭水·八年级期末）若分式方程的值为正，则的取值范围是______________．
【答案】
【分析】先说明分母是非负数，再根据分式的值是正数列式进行计算即可得解．
【详解】解：，，，故答案为：．
【点睛】此题考查了根据分式的值的求解，利用非负数的性质判断出分子大于0是解题的关键．
6．（2021·重庆八中宏帆初级中学校）若分式的值大于0，则满足的条件是_______．
【答案】＞1
【分析】根据分子分母同号，即可列不等式，解不等式即可．
【详解】解：分式的值大于0，分子分母同号，∴＞0，解得，＞1，故答案为：＞1．
【点睛】本题考查了分式的值，解题关键是根据分子分母同号列出不等式．
7．（2021·全国九年级）阅读下面材料：
在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似地，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式）参考上面的方法解决下列问题：
将分式，化为带分式．
当x取什么整数值时，分式的值也为整数？
【答案】（1），；（2），3，，时，分式的值也为整数．
【分析】（1）两式根据材料中的方法变形即可得到结果；
（2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数的值．
【详解】解：（1），；
（2），当，即；当，即；
当，即；当，即，综上，，3，，时，分式的值也为整数．
【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（2021·山东薛城·八年级期末）例：解不等式（x﹣2）（x+3）＞0
解：由实数的运算法则：“两数相乘，同号得正”
得①，或②，解不等式组①得，x＞2，解不等式组②得，x＜﹣3，
所以原不等式的解集为x＞2或x＜﹣3．
阅读例题，尝试解决下列问题：（1）平行运用：解不等式x2﹣9＞0；
（2）类比运用：若分式的值为负数，求x的取值范围．
【答案】（1）x＞3或x＜﹣3；（2）
【分析】（1）结合题中的方法，先对不等式左边因式分解为两个多项式，再分类讨论即可；
（2）利用“两数相除，同号得正，异号得负”结合题干的方法分类讨论即可．
【详解】（1）解不等式x2﹣9＞0，即为解，
根据“两数相乘，同号得正”得①，或②，
解不等式组①得，x＞3，解不等式组②得，x＜﹣3，
∴原不等式的解集为x＞3或x＜﹣3；
（2）由题得不等式，根据“两数相除，同号得正，异号得负”
得①，或②，解不等式组①得，，不等式组②无解，
∴原不等式的解集为．
【点睛】本题考查一元二次不等式，以及分式不等式，理解并熟练运用题干中介绍的方法是解题关键．

题型5分式的求值（整体法）
解题技巧：分式的求值，一般有两种形式：
（1）对于未直接给出字母取值，而是告知某个算式的值时：我们往往用整体代入的思想，将分式边形成告知的条件形式或变形形式，整体代入求值。
（2）对于末给出单个字母取值的化简问题，将分式变形为已知条件的形式，再利用整体法求值。
1．（2021·陕西金台·八年级期末）已知x2＋＝4，则x＋＝___．
【答案】
【分析】根据完全平方公式，以及分式的乘除运算法则即可求出答案．
【详解】解：，，，故答案为：．
【点睛】本题考查分式化简求值运算，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
2．（2021·湖南雨花外国语学校）已知x2+3x+1＝0，则x4+＝（　　）
A．81 B．64 C．47 D．30
【答案】C
【分析】根据x2+3x+1＝0，可以得到x+的值，然后平方变形，再平方，再变形，即可求得所求式子的值．
【详解】解：∵x2+3x+1＝0，∴x+3+＝0，∴x+＝﹣3，∴（x+）2＝9，
∴x2+2+＝9，∴x2+＝7，∴（x2+）2＝49，∴x4+2+＝49，∴x4+＝47，故选：C．
【点睛】本题考查了分式的求值问题，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
3．（2021·湖北郧西·）已知，求＝__________．
【答案】-8
【分析】由题意利用分式的运算法则对条件变形得出，进而整体代入结论即可求出答案.
【详解】解：由题意可知，即，
则有.故答案为：.
【点睛】本题考查代数式求值，熟练掌握分式的运算以及结合整体思想进行分析是解题的关键.
4．（2021·江苏沛县·八年级月考）若，则的值是______．
【答案】-3
【分析】先根据题意得出-3（a-b）=ab，再代入原式进行计算即可．
【详解】解：∵，∴-3（a-b）=ab．原式==-3．故答案为：-3．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
5．（2021·四川开江·八年级期末）若分式＝2，则分式＝_________．
【答案】
【分析】根据题意可得出y﹣x＝2xy，然后代入原式即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：y﹣x＝2xy，原式＝＝＝，故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的加减法，解题的关键是根据题意得出y﹣x＝2xy，本题属于基础题型．
6．（2021·全国八年级专题练习）（1）已知，求分式的值．
（2）已知：，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）方法1利用完全平方公式将变形为，对已知条件进行变形；方法2中通过不断地代入各代数式的值来达到降次的目的，从四次降为二次再降到一次，最终化简求值．
（2） 方法1同时取倒数可得，方程左侧分子、分母同时除以x可得，取倒数后分子、分母同时除以x可得，化为完全平方公式的形式得，将的值代入即可求解；方法2中通过不断地代入各代数式的值来达到降次的目的，从四次降为二次再降到一次，最终化简求值．
【详解】解：（1）方法1　倒数法 ：由，得．化简，得，即，
∴．∴．
方法2　 整体法：由，得，则，即，
∴，
∴．
（2）方法1 倒数法：由知，∴即，
∴，∴．
方法2 整体法：由，得，则，即，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查倒数、分式化简求值、完全平方公式的运用，理解已知例题解法的步骤是解题关键．
7．（2021·浙江杭州·）（1）已知，求分式的值；
（2）已知，求分式的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）将已知等式变形为，代入中即可；
（2）由已知可知x-y=-5xy，然后代入所求的式子，进行约分就可求出结果．
【详解】解：（1）∵，∴，∴=；
（2）∵，∴，∴，
∴====．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

题型6 分式的规律探索
1．（2020·海东市教育研究室初二期末）给定一列分式：，，，，…根据你发现的规律，试写出第6个分式为__________．第n（n为正整数）个分式为__________．
【答案】
【分析】根据“分式分子及分母对应的底数及其指数的数字规律以及符号的规律”即可得出第6个分式和第n个分式．
【解析】解：观察分式，，，，…，可以得出
分子得底数为x指数为序数的2倍加1，分母的底数为y指数等于序数，当序数为偶数时符号为负，序数为奇数时符号为正，即符号为，
故第6个分式为，第n（n为正整数）个分式为：．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了分式的定义，探索与表达规律．注意观察每一个分式的分子、分母以及符号的变化，然后找出的规律．
2．（2021·山东东平县江河国际实验学校初二月考）已知y1＝2x，y2＝，y3＝，…，y2006＝，则y1•y2006的值为______．
【答案】2
【分析】求出y1＝2x代入y2＝，得y2＝，同样得出y3＝2x，…，找出规律即可求出y2006的值，进而得出结果．
【解析】先把y1＝2x代入y2＝，得y2＝，同样得出y3＝2x，…，得出规律当为奇数时值为2x，当为偶数是值为，所以y2006＝，所以y1•y2006＝2x•＝2，故答案为：2．
【点睛】本题考查了分式的化简和数字类的规律问题，熟练进行分式化简是关键．
3．（2021·贵州印江·初三期末）已知一列分式，，，，,,…，观察其规律，则第n个分式是_______．
【答案】
【分析】分别找出符号，分母，分子的规律，从而得出第n个分式的式子．
【解析】观察发现符号规律为：正负间或出现，故第n项的符号为：
分母规律为：y的次序依次增加2、3、4等等，故第n项为：=
分子规律为：x的次数为对应项的平方加1，故第n项为： 故答案为：．
【点睛】本题考查找寻规律，需要注意，除了寻找数字规律外，我们还要寻找符号规律．
4．（2020·广西岑溪·初三二模）按一定规律排列的一列数依次为：，按此规律，这列数中的第2020个数是____．
【答案】
【分析】根据按一定规律排列的一列数依次为：，，，，，，，可得第n个数为，据此可得第2020个数．
【解析】按一定规律排列的一列数依次为：，，，，，，，
观察得到：分母为连续的奇数，后一个分子比前一个分子多3，按此规律，第n个数为，
∴当n=2020时，，故答案为：．
【点睛】本题考查了数字类规律探究题，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．
5．（2021·安徽包河·九年级）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式： ；
第3个等式：；
第4个等式：；
…
根据你观察到的规律，解决下列问题：
（1）请写出第5个等式：_____________________；
（2）请写出第个等式：___________________________（用含的等式表示），并证明．
【答案】（1）；（2），理由见解析
【分析】（1）根据规律写出第5个等式即可；（2）依据（1）中的规律，将特殊转化为一半即可；
【详解】解：（1）；（2）；
证明：右边左边；∴等式成立．
【点睛】本题主要考查了数字找规律，准确计算是解题的关键．
6．（2021·广西田东·七年级期中）观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
……
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：________；
（2）用含有n的式子表示第n个等式：________（n为正整数）；
（3）求…的值．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）根据前3个等式归纳类推出一般规律，由此即可得出第5个等式；
（2）根据前3个等式归纳类推出一般规律即可得；
（3）根据（2）的结论，分别可得的值，再根据有理数的乘法运算律进行计算即可得．
【详解】（1）第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
归纳类推得：第n个等式：（n为正整数），
则第5个等式：，
即；
（2）由（1）知，；
（3）由（2）得：，
则，
，
，，．
【点睛】本题考查了分式的规律性问题、有理数的乘法运算律，依据题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
7．（2021·洛阳市第二外国语学校七年级月考）先观察下列各式，再完成题后问题：
；；
（1）①写出：________②请你猜想：________
（2）求的值；
（3）运用以上方法思考：求的值．
【答案】（1）①；②或；（2）；（3）
【分析】（1）①直接根据已知将原式分成两分数的差即可；
②直接利用已知得出原式=连续两偶数差的一半；（2）利用已知中规律将原式化简求出答案即可；
（3）首先提取，进而利用已知规律化简求出答案.
【详解】解：（1）①；故答案为：；
②或；
故答案为：或；
（2）原式；
（3）
.
【点睛】此题考查等式的规律计算，有理数的混合运算，根据已知得到等式的计算规律进而解决问题是解题的关键.

题型7 分式的基本性质
1）利用分式的基本性质、改变分子、分母的系数
解题技巧：（1）此类题型，常要求讲分子和分母都变为整数。因此，解决这类问题，我们通常把分子、分母各项系数同乘一个非零常数，使各项系数变为整数。
（2）还有些题型，要求处理分子分母之间正负号的关系，我们有：
（相当于分子分母同乘-1）；
即：分式分子、分母、分式3个符号中，同时改变其中2个符号，分式值不变。
1．（2021·河南社旗·）若a≠b，则下列分式化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分式的性质对各选项进行化简，可以判断各个选项中的式子是否正确．
【详解】解：∵a≠b，A、分式是最简分式，不能化简，即，故此选项错误；
B、分式是最简分式，不能化简，即，故此选项错误；
C、分式是最简分式，不能化简，即，故此选项错误；
D、分式，即将分子分母同时乘以3即可，选项化简正确；故选D．
【点睛】本题考查分式的性质，正确理解题意是解题的关键．
2．（2021·辽宁西丰·八年级期末）下列各式中，与分式相等的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】解：原式＝＝，故选：B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是正确理解分式的基本性质，本题属于基础题型．
3．（2021·湖北黄陂·八年级期末）下列各组分式中相等的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质对各项计算得到结果，即可做出判断．
【详解】A、，，不相等，不符合题意；B、，，不相等，不符合题意；C、，，不相等，不符合题意；
D、，，相等，符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（2021·江苏无锡·八年级期中）下列等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】解：A、，故A不成立．B、，故B不成立．
C、，故C成立．D、，故D不成立．故选：C．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
5．（2021·全国八年级课时练习）下面四个等式：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】根据分式的符号法则结合分式的基本性质进行变号即可判断各选项的正确与否．
【详解】解：①正确；②不正确；
③不正确；④正确；
正确的有2个．故选择C．
【点睛】本题考查分式的符号法则，掌握分式的基本性质是解题关键．
6．（2021·全国八年级课时练习）利用分式的基本性质把下列各式的分子、分母中各项的系数都变为整数．
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据分式的基本性质，分子分母都乘以最小公倍数12，分式的值不变；
（2）根据分式的基本性质，分子分母都乘以最小公倍数50，分式的值不变．
【详解】解：（1）原式；
（2）原式
【点睛】本题主要考查分式的基本性质的应用，分式的基本性质是分式约分和通分的依据，需要熟练掌握．

2）分式值得扩大和缩小
1．（2021·江苏泰州·八年级期中）在分式中，如果a、b都扩大为原来的3倍，则分式的值将（ ）
A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．缩小6倍
【答案】C
【分析】根据题意列式计算即可得到解答 ．　
【详解】解：由题意可得：，∴最终结果是分式的值不变，故选C．
【点睛】本题考查分式的应用，熟练掌握分式的基本性质及其在分式化简和约分中的应用是解题关键 ．
2．（2021·辽宁丹东·）下列各式中、的值均扩大为原来的2倍，则分式的值一定保持不变的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据分式的基本性质,分子分母同时乘除同一个不为零的数或式,分式的值不发生改变进行变形即可求解.
【详解】解:根据题意,将x变成2x,y变成2y化简求解:A. 变成,该选项不符合题意,
B. 变成,该选项不符合题意,C. 变成,该选项不符合题意,
D. 变成,该选项符合题意,故选D.
【点睛】本题考查了分式的基本性质,属于基础题,掌握分式的性质是解题关键.
3．（2021·浙江黄岩·八年级期末）若，的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别写出、都扩大3倍后的分式，再化简与原式比较，即可选择．
【详解】当、都扩大3倍时，A、，故A错误．
B、，故B错误．C、，故C错误．
D、，故D正确．故选D．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题关键是熟练化简分式．
4．（2020·南通市新桥中学八年级月考）把分式中的x和y都扩大m倍（m≠0），则分式的值（ ）
A．扩大m倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定
【答案】C
【分析】先求出扩大m倍后的分式为，然后利用分式的基本性质即可得到，由此即可得到答案．
【详解】解：分式中的x和y都扩大m倍，则分式变为，
∴分式的值没有改变，故选C．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键在于能够熟练掌握分式的基本性质．
5．（2021·四川乐山·八年级期末）若，的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分式的基本性质，可知将，的值均扩大为原来的2倍代入计算即可．
【详解】解：将，的值均扩大为原来的2倍代入计算得：
A、；B、；C、；D、．故A正确．故选A．
【点睛】本题主要考查了分式的性质；将相关字母的值按要求代入计算是解题关键．
6．（2021·全国八年级课时练习）如果把分式中的x和y都扩大到原来的5倍，那么分式的值（ ）
A．扩大到原来的5倍 B．缩小到原来的 C．缩小到原来的 D．不变
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质进行化简，可得结论．
【详解】解：把分式中的x和y都扩大到原来的5倍，即，故选：D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题关键是熟练运用分式基本性质进行化简约分．

3）分式变形成立的条件
1．（2020·全国初一单元测试）使等式自左到右变形成立的条件是（ ）.
A． B． C． D．且
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子和分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式值不变，判断即可
【解析】解：由变形可知，分式的分子和分母同时乘，根据分式的基本性质，可得故选C.
【点睛】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键.
2．（2020·全国初二单元测试）使分式自左向右变形成立的条件（　　）
A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x≠﹣3 D．x≠3
【答案】C
【分析】利用分式方程基本性质判断即可．
【解析】解：当x+3≠0即,x≠−3时,，故选C
【点睛】考查分式的基本性质，分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.
3．（2020·湖南岳阳·期中）等式成立的条件是____________．
【答案】x≠2
【分析】根据分母不为0得出结论．
【解析】因为等式成立，所以=0，所以且．故答案为：且
【点睛】考查了分式有意义的条件．解题关键是得出分母不能为0．
4．（2020·石家庄市第二十二中学）成立的条件是_____________.
【答案】x≠2 且x≠0.
【分析】根据分式有意义的条件和分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（或整式），分式的值不变，可得答案．
【解析】解：成立的条件是：x-2≠0且x≠0，即x≠2且x≠0，故答案为：x≠2 且x≠0．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（或整式），分式的值不变．
5．（2021·渝中·重庆巴蜀中学）若成立，则x的取值范围是_____．
【答案】
【分析】根据分式的性质及成立的条件可直接进行求解．
【详解】解：若成立，则有，∴，故答案为．
【点睛】本题主要考查分式成立的条件及性质，熟练掌握分式的成立的条件及性质是解题的关键．
6．（2020·湖南岳阳·八年级期中）等式成立的条件是____________．
【答案】x≠2
【分析】根据分母不为0得出结论．
【详解】因为等式成立，所以=0，所以且．故答案为：且
【点睛】考查了分式有意义的条件．解题关键是得出分母不能为0．

题型8 最简分式
1．（2021·辽宁建昌·八年级期末）下列各式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据最简分式的定义逐项分析即可．
【详解】解：A.=，故不是最简分式；B.= ，故不是最简分式；
C.是最简分式；D.=，故不是最简分式；故选C．
【点睛】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除去1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式．
2．（2021·义乌市绣湖中学教育集团七年级月考）分式，，，中，最简分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据最简分式的定义，即可求得，最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
【详解】，．，不是最简分式．
，是最简分式，最简分式有2个．故选B
【点睛】本题考查了最简分式，掌握最简分式的定义是解题的关键．
3．（2021·辽宁昌图·八年级期末）下列分式中是最简分式的是（   ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据最简分式的概念，先将分式的分子分母进行因式分解，再看分解后的分子分母是否可以约分，如果不可以约分，就是最简分式．以此判断即可；
【详解】解：A、 的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式； 符合题意 ；
B、 ；不是最简分式，不合题意；C、 = ；不是最简分式，不合题意；
D、 ；不是最简分式，不合题意；故选：A．
【点睛】本题考查最简分式，判断最简分式时要先把分子分母先进行因式分解，然后看分子分母是否具有公因式，注意互为相反数的式子也可以约分．
4．（2021·江苏无锡·八年级期中）给出下列分式：、、、，其中最简分式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】直接利用分式的性质性质分别化简，再结合最简分式的定义得出答案．
【详解】解：∵， ，
∴最简分式是，共1个故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式的化简，平方差公式，熟悉掌握等式的性质是解题的关键．
5．（2021·福建宁德·）下列分式中，最简分式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用最简分式的定义：分式的分子和分母没有公因式，进行判断即可．
【详解】解：A、，不是最简分式，不合题意；B、是最简分式，符合题意；
C、，不是最简分式，不合题意；D、不是最简分式，不合题意．故选B．
【点睛】本题考查了最简分式．正确掌握最简分式的定义是解题的关键．
6．（2021·河南汝州·八年级期末）给出下列分式：①、②、③、④，其中最简分式是 ___（填序号）．
【答案】②
【分析】直接利用分式的性质分别化简，再结合最简分式的定义得出答案．
【详解】解：∵， ，
∴最简分式是，故答案为：②．
【点睛】本题主要考查了分式的化简，平方差公式，熟悉掌握分式的性质是解题的关键．
7．（2021·江苏新吴·八年级期末）下列分式中属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【详解】解：A、是最简分式，故此选项符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查了最简分式，掌握最简分式的概念是解题关键．

题型9 最简公分母
1．（2021·山东省泰安第十五中学）分式 ， 的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【详解】解：分式，的分母分别是：x2y2、xy3，各分母系数的最小公倍数是1，
则最简公分母是x2y3．故选：C．
【点睛】本题考查了最简公分母．通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．
2．（2021·江苏高港实验学校八年级月考）分式，，的最简公分母是______．
【答案】12x2y2
【分析】通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
【详解】解：∵三分式分母系数的最小公倍数为12，x、y的最高次幂均为2，
∴最简公分母是12x2y2．故答案为：12x2y2．
【点睛】本题考查了最简公分母，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．本题属于基础题．
3．（2021·全国八年级课时练习）分式、、的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把各分母中能够分解因式的进行因式分解，则可找出分式的最简公分母．
【详解】∵∴最简公分母为故选：C．
【点睛】本题考查了最简公分母，注意事项：把各分母进行因式分解，先找系数的最大公因数，再找所有因式的最高次幂，则它们的积便是分母的最简公分母．
4．（2021·福建南安·八年级期中）分式与的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】最简公分母就是各系数的最小公倍数，注意相同字母的最高次幂，所有不同字母都要写在积里．详见解析．
【详解】解：两分式的分母分别是和，最小公倍数就是．故答案为：B．
【点睛】这道题考察的是分式最简公分母的概念．掌握概念熟练运用是解题的关键．　
5．（2021·全国八年级课时练习）与的最简公分母是________；
与的最简公分母是________；与的最简公分母是________；
的最简公分母是________；的最简公分母为________．
的最简公分母是________．
【答案】
【分析】根据最简公分母的定义：通常取各分式分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母，进行求解即可．
【详解】解：与的最简公分母是 ；与的最简公分母是；
与的最简公分母是；
的最简公分母是；的最简公分母为．
的最简公分母是．
故答案为：；；；；；．
【点睛】本题主要考查了求最简公分母，解题的关键在于能够熟练掌握最简公分母的定义．
6．（2021·江苏南京·南师附中新城初中八年级期末）把分式进行通分时，最简公分母为____．
【答案】12a2b
【分析】由于几个分式的分母分别是3a、2a2、4ab，首先确定3、2、4的最小公倍数，然后确定各个字母的最高指数，由此即可确定它们的最简公分母．
【详解】解：分式的分母分别是3a、2、4ab，
最简公分母为12b．故答案为：12b．
【点睛】本题考查了分式通分的最简公分母,熟练掌握最简公分母确定的基本原则是解题的关键．

题型10 分式的混合运算
解题技巧：与实数运算类似，分式的混合运算应先乘方、后乘除、最后加减，有括号时，先算括号里面的，并恰当运用运算律简化运算。一个分式与一个整式相加减时，可以把整式视为分母为1的分式，以免通分漏项。

1．（2020·湖北黄石·初二期末）化简的结果是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先化除为乘，然后按照分式乘法法则进行计算即可．
【解析】解：==m．故答案为A．
【点睛】本题考查了分式的的乘除运算，掌握分式乘除运算法则是解答本题的关键．
2．（2020·中北大学附属学校初二期末）计算÷的结果为（　　）
A． B．5﹣a C． D．5+a
【答案】C
【分析】直接利用分式的乘除运算法则化简得出答案．
【解析】解：原式＝•（5﹣a）＝．故选：C．
【点睛】此题考查了分式除法运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（2020·江苏南通市·南通田家炳中学八年级月考）计算=__________．
【答案】
【分析】结合平方差公式，首先通分，再把分子相加减，最后经约分计算，即可得到答案．
【详解】
，故答案为：．
【点睛】本题考查了分式运算的知识；解题的关键是熟练掌握分式混合运算的性质，从而完成求解．
4．（2020·晋州市第三中学月考）计算的正确结果是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】先把分式进行通分，然后计算分式的加减法，即可得到答案．
【解析】解：===；故选：B．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
5．（2020·南通市通州区兴仁中学八年级月考）计算：__________．
【答案】
【分析】根据异分母分式的加减法则解答即可．
【详解】解：原式=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的加减，属于基础题目，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键．
6．（2020·灌南县新知双语学校八年级月考）化简的结果是________．
【答案】a+b
【分析】首先通分运算，再利用分式的加减运算法则计算得出答案．
【详解】解：原式===a+b，故答案为：a+b．
【点睛】此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7．（2020·晋州市第三中学月考）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（ ）

A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】根据分式的运算法则逐步计算分析即可．
【解析】（正确）
（错误）
．故选B．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分，变为同分母分式，再加减．分式运算的结果要化为最简分式或者整式．

题型11 分式的化简求值
对于直接给出字母取值的，可先化简，再代入求值：将分式通过约分、通分等方式，化简为最简分式，再代入字母的值计算。
1．（2021·吉林乾安·八年级期末）先化简，再求值：，其中a＝﹣1．
【答案】a（a﹣2），3
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式＝＝＝a（a﹣2），
当a＝﹣1时，原式＝﹣1×（﹣3）＝3．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2021·江西省临川第二中学八年级月考）先化简再求值：，其中．
【答案】
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【详解】解：原式＝＝＝，
当时，原式＝．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
3．（2021·东平县实验中学八年级月考）已知，求的值．
【答案】3．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，由已知得m2−m=1整体代入计算即可求出值．
【详解】解：
，由已知m2−m−1=0得：m2−m=1，∴原式=31=3．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．注意整体代入法的运用．
4．（2021·陕西碑林·西北工业大学附属中学九年级月考）先化简，再求值：（）÷，其中a＝﹣1．
【答案】，-1
【分析】先计算括号内的异分母分式减法，再计算除法，最后将a=-1代入计算即可．
【详解】解：原式．
当时，原式．
【点睛】此题考查分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
5．（2021·北京海淀·清华附中八年级月考）先化简，再求值：，其中
【答案】；
【分析】先根据分式的四则运算法则化简，然后再将代入求值即可．
【详解】解：原式，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的加减乘除四则运算法则，注意运算顺序，熟练掌握运算法则是解决本题的关键．
6．（2021·沭阳县怀文中学九年级月考）先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】首先根据分式混合运算法则进行化简，然后利用条件变形，整体代入求值即可．
【详解】解：原式

∵，∴，∴原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的法则，熟练运用整体思想是解题关键．
7．（2021·湖南宁乡·）先化简，再求值：，请从0，1，2，3四个数中选取一个你喜欢的数代入求值．
【答案】，当时，原式（当时，原式）
【分析】先将原式化简，然后从0，1，2，3四个数中选取使得原分式有意义的x的值代入化简后的分式即可解答本题．
【详解】解：原式＝
由题意可知：，∴
当时，原式（当时，原式）
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是明确分式的化简求值的方法，注意代入的的值必须使得原分式有意义，即的值不等于1，3．
8．（2021·吉林省第二实验学校九年级月考）先化筒，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】先根据分式的混合运算法则将原式化简，然后代入求值即可．
【详解】解：，
∵，∴原式＝．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练运用运算法则是解本题的关键．
9．（2020·江苏淮安·九年级）先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【分析】先根据分式的除法、减法进行化简，再将代入求值即可．
【详解】原式
将代入得：原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题关键．