江西省稳派联考2024届高三上学期10月统一调研测试数学试题

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2024届高三10月统一调研测试

数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）．

A． B． C． D．

2．（    ）．

A． B． C． D．

3．已知向量，，若，则（    ）．

A． B． C． D．

4．已知，若为纯虚数，则a的值为（    ）．

A．1 B．3 C． D．

5．函数的大致图象可能是（    ）．

A．B．C．D．

6．已知函数，，则（    ）．

A．的图象关于y轴对称，的图象关于点对称

B．的图象关于y轴对称，的图象关于y轴对称

C．的图象关于原点对称．的图象关于点对称

D．的图象关于原点对称．的图象关于y轴对称

7．将三角形的3个内角三等分，靠近某边的两条角三分线相交得到一个交点，则这样的3个交点的连线构成正三角形，该定理称为莫利定理，其中的正三角形称为该三角形的莫利三角形．如图，在中，，，则的莫利三角形的面积为（    ）．

A． B． C． D．

8．若，，，则（    ）．

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知复数，则下列结论正确的是（    ）．

A．  B．z在复平面内对应的点位于第二象限

C．的虚部为 D．z是方程的根

10．已知函数，则下列结论正确的是（    ）．

A．若，则

B．把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到的图象

C．若，则是的整数倍

D．若在上单调递增，则

11．下列各式的值是方程的根的为（    ）．

A． B．

C． D．

12．已知定义城为的函数的导函数为，且，则（    ）．

A．若，且，则

B．

C．图象上任意两点连线的斜率恒大于1

D．若对，，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．中，点D在边上，若，则__________．

14．已知命题p：“，”，则p为真命题的一个必要不充分条件是__________．

15．若函数'的值域为R，则实数a的取值范围是__________．

16．折纸是一种玩具，也是一项思维活动．如图，把一个足够长的长方形纸条打好一个结，然后拉紧压平，再截去伸出的部分，就得到一个正五边形，若，把该正五边形折纸展开，得到一个纸条，记该纸条的周长为c，则__________．

图1            图2

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知函数的图象上相邻两条对称轴之间的距离是．

（1）求在上的值域；

（2）求的图象在处的切线l的方程．

18．（12分）已知向量，，且．

（1）求的值；

（2）若且，点O为坐标原点，求在方向上的投影数量．

19．（12分）已知函数的图象关于直线对称，且时．

（1）求时的解析式；

（2）是否存在实数m，n满足，且在上的值域是，若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．

20．（12分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求B；

（2）若，，从下面两个条件中选一个，求的最小值．

①点M，N分别是边，上的动点（不包含端点），且；

②点M，N是边上的动点（不包含端点且），且．

注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

21．（12分）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若时，恒成立，求实数a的取值范围．

22．（12分）已知函数．

（1）证明：；

（2）若，判断方程的实根个数．

2024届高三10月统一调研测试

数学参考答案及评分细则

1．【答案】B

【解析】因为，，

所以，故选B．

2．【答案】D

【解析】

，

故选D．

3．【答案】A

【解析】因为，所以，

所以，，所以，故选A．

4．【答案】B

【解析】因为，所以，

所以，

因为为纯虚数，所以，所以，故选B．

5．【答案】B

【解析】由可得的图象过原点，排除A；

，，有2个极值点，排除C；

存在t，当时恒有，在上单调递增，排除D（也可根据，在递减区间内，排除CD），故选B．

6．【答案】D

【解析】由，可得的图象关于原点对称，

由，可得是偶函数，的图象关于y轴对称，故选D．

7．【答案】C．

【解析】由题意可得，，

在中，，，，

由正弦定理得，

同理可得，，，

所以，

所以的面积为，故选C．

8．【答案】A

【解析】解法一：因为，

，

，，

所以，故选A．

解法二：因为，，

所以，排除BC，

因为，所以，

所以，排除D，故选A．

9．【答案】ACD

【解析】因为，所以，A正确；

z在复平面内对应的点为，位于第一象限，B错误；

，虚部为，C正确；

由得，即，

所以z是方程的根，D正确，故选ACD．

10．【答案】BCD

【解析】当时，，，

，在上单调递增，

所以，所以，A错误；

的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到的图象，B正确；

若，则是最小正周期的整数倍，C正确；

当时，，

所以当，即时，在上单调递增，D正确，故选BCD．

11．【答案】BCD

【解析】方程的根为2或，

，A错误；

，B正确；

，C正确；

，D正确，故选BCD．

12．【答案】AC．

【解析】因为的定义域为，

所以，在上单调递增，A正确；

因为，所以在上单调递增，

所以，即，B错误；

设，是图象上任意两点，

因为，设，

则，在上单调递增，

所以，，所以在上单调递增，

所以，

即，表示A，B两点连线的斜率，所以C正确；

由得，

因为在上单调递增，

所以，即，且，

因为在上单调递增，

所以，即，设，则，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，即，所以，所以，D错误，故选AC．

13．【答案】（填写，1.5都正确，填写不给分）

【解析】因为点D在边上，若，所以，，

所以，

所以，，所以．

14．【答案】（答案不唯一，如，等）

【解析】由得，

所以p为真命题的充要条件是，一个必要不充分条件是．

15．【答案】（填写，都正确）

【解析】若，当时，，

当时，，的值域不是R；

若，则时，，

由的值域为R，得，解得．

16．【答案】2（不求出具体数值不给分）

【解析】在等腰梯形中，，，，

，展开后的纸条如下图，

该纸条的周长，

所以．

17．解：（1）因为图象上相邻两条对称轴之间的距离是，

所以，，，（1分）

因为，所以，

因为在上单调递增，在上单调递减，

且，，，（3分）

所以，，（4分）

所以在上的值域为．（5分）

（2）因为，所以，（7分）

所以，，（8分）

所以切线l的方程为，即．（10分）

【评分细则】

（ⅰ）第（1）小题，根据，直接写出，不扣分；

（ⅱ）第（2）小题，l的方程写成不扣分；

（ⅲ）如用其他解法，若正确，也给满分．

18．解：（1）两边平方得，（1分）

因为，，

所以，（3分）

整理得，（4分）

所以．（6分）

（2）因为且，

所以，（7分）

所以，，

所以，，，（10分）

所以在方向上的投影数量为

．（12分）

【评分细则】如用其他解法，若正确，也给满分．

19．解：（1）因为的图象关于直线对称，所以，（2分）

当时，，（4分）

所以．（6分）

（2）假设存在m，n满足，且在上的值域是，

易得时，

由对称性可得时，所以，，（8分）

又在上单调递增，所以在上单调递增，（9分）

所以，，（10分）

即m，n是的两个根，所以，．（12分）

【评分细则】如用其他解法，若正确，也给满分．

20．解：（1）由正弦定理得，

所以，（2分）

由余弦定理得，

即，（4分）

所以，．（5分）

（2）若选①，因为，，，

所以，

所以，（7分）

设，，

由余弦定理得，即，（9分）

因为，

所以，当且仅当时取等号，

所以的最小值为．（12分）

若选②，，，，

所以，（7分）

所以，，（8分）

设，因为，则，

在中由余弦定理得，

在中由余弦定理得，（10分）

所以，

所以当时，取得最小值．（12分）

【评分细则】（ⅰ）第（2）小题求最值不指出等号成立条件扣1分；

（ⅱ）如用其他解法，若正确，也给满分．

21．解：（1）因为，

所以，（1分）

因为，当时，，

所以当时，，单调递减，

当时，，单调递增，（2分）

当时，由，得或，

当即时，，在R上单调递增，

当时，，时，，单调递减，

或时，，单调递增，（4分）

当时，，时，，单调递减；

或时，，单调递增．（5分）

综上可得，时，在上单调递减，在上单调递增；

时，在R上单调递增；

时，在上单调递减，在，上单调递增；

时，在上单调递减，在，上单调递增．（6分）

（2）由题可得，所以，（7分）

当时，在上单调递增，则时，不满足题意，（8分）

当时，在上单调递减，在上单调递增，

当，即时在上单调递减，时，，满足题意，（9分）

当，即时，在上单调递减，在上单调递增，

由时，恒成立，则，即，

因为，，

所以，（11分）

综上得实数a的取值范围为．（12分）

【[评分细则】如用其他解法，若正确，也给满分．

22．（1）证明：因为，所以，即，

即，（1分）

设，

则，

所以在上单调递增，（3分）

所以，即，（4分）

所以时．（5分）

（2）解：方程，即，

即，（7分）

设，

则，（8分）

设，

因为，所以，，

所以在上有唯一实根，且，

当时，，，单调递增，

当时，，，单调递减，（10分）

又，所以，在上没有零点，

因为，，，

所以在上有唯一零点，

所以方程在上有唯一实根．（12分）

【评分细则】如用其他解法，若正确，也给满分．