广西壮族自治区桂林市等3地2024届高三上学期跨市联合适应性训练检测（10月月考）数学试题

普通高中2024届高三年级跨市联合适应性训练检测卷

数学

2023.10

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，，，则（    ）

A． B． C． D．

2．若复数，则（    ）

A． B． C． D．

3．抛物线的焦点到点的距离为（    ）

A． B． C． D．

4．2020年11月1日零时广西14个地区人口的男、女性别比如下表所示：

根据表中数据可知，这14个数据的第60百分位数对应的地区是（    ）

A．柳州市 B．南宁市 C．北海市 D．玉林市

5．将曲线向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到曲线，则下列结论错误的是（    ）

A．曲线头于直线轴对称

B．函数的最小值为

C．曲线关于点中心对称

D．函数在上单调递增

6．已知正四棱锥的每个顶点都在表面积为的球的球面上，，则（    ）

A．或 B． C．2或4 D．4

7．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

8．的展开式中，的系数为（    ）

A． B．60 C． D．120

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．如图，在矩形中，，，，则（    ）

A． B．

C． D．在上的投影向量为

10．若函数的定义域与值域相同，则的解析式可能为（    ）

A．  B．

C．  D．

11．山东东阿盛产阿胶，阿胶与人参、鹿茸并称“中药三宝”．阿胶的主要原料是驴皮，配以冰糖、绍酒、豆油等十几种辅料，用东阿特有的含多种矿物质的井水、采取传统的制作工艺熬制而成．已知每盒某阿胶产品的质量（单位：）服从正态分布，且，．（    ）

A．若从该阿胶产品中随机选取1盒，则这盒阿胶产品的质量大于的概率为0.75

B．若从该阿胶产品中随机选取1盒，则这盒阿胶产品的质量在内的概率为0.15

C．若从该阿胶产品中随机选取1000盒，则质量大于的盒数的方差为47.5

D．若从该阿胶产品中随机选取1000盒，则质量在内的盒数的数学期望为200

12．已知曲线：，，，为上异于，的一点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，则（    ）

A．存在两个定点，使得到这两个定点的距离之和为定值

B．直线与直线的斜率之差的最小值为

C．的最小值为

D．当直线的斜率大于时，大于

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若某等差数列的第2项为2，第5项为7，则该等差数列的公差为______．

14．已知，，则______．

15．已知某地居民中青少年、中年人、老年人暑期去广西桂林旅游的概率分别为0.1，0.2，0.15，且该地居民青少年、中年人、老年人的人数比例为4:3:3，若从该地居民（仅指青少年、中年人、老年人）中任选一人，则此人暑期去桂林旅游的概率为______．

16．在棱长为2的正方体内，放入一个以为铀线的圆柱，且圆柱的底面所在平面截正方体所得的截面为三角形，则该圆柱体积的最大值为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

，，分别为的内角，，的对边．已知．

（1）求；

（2）若，，；求的面积．

18．（12分）

某工厂的工人生产内径为的一种零件，为了了解零件的生产质量，在某次抽检中，从该厂的1000个零件中抽出60个，测得其内径尺寸（单位：）如下：

这里用表示有个尺寸为的零件，，均为正整数．若从这60个零件中随机抽取1个，则这个零件的内径尺寸小干的概率为．

（1）求，的值．

（2）已知这60个零件内径尺寸的平均数为，标准差为，且，在某次抽检中，若抽取的零件中至少有80%的零件内径尺寸在内，则称本次抽检的零件合格．试问这次抽检的零件是否合格？说明你的理由．

19．（12分）

如图，在底面为菱形的四棱锥中，，，．

（1）证明：平面平面．

（2）求二面角的余弦值．

20．（12分）

已知数列的前项和为，，数列的前项和为，且．

（1）求的通项公式与；

（2）设数列的前项和为，证明：．

21．（12分）

已知双曲线过点和点．

（1）求双曲线的离心率；

（2）过的直线与双曲线交于，两点，过双曲线的右焦点且与平行的直线交双曲线于，两点，试问是否为定值？若是定值，求该定值；若不是定值，请说明理由．

22．（12分）

已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）证明：存在，使得函数在上单调递增；

（3）若，求的取值范围．

普通高中2024届高三年级跨市联合适应性训练检测卷

数学参考答案

2023.10

1．B  因为，所以．

2．C  由，得．

3．C  抛物线的焦点的坐标为，则．

4．D  将这14个数据（单位：%）按照从小到大的顺序排列为103.33，104.18，104.69，105.66，106.71，106.77，107.52，107.74，107.81，108.29，108.48，108.90，110.66，119.01，因为，所以这14个数据的第60百分位数是排序后的第9个数据，即107.81，对应的地区是玉林市．

5．D  ，则曲线关于直线轴对称，也关于点中心对称，的最小值为，在上先增后减．

6．A  设正方形的中心为，则底面，球心在上．设球的半径为，则，解得．因为，所以，由勾股定理得，解得或4，所以或．

7．A  设函数，则，当时，，所以在上单调递增，因此，则，所以．因为，所以．

8．C  因为

，所以的展开式通项为，令，得，则的系数为．

9．BCD  因为，，所以，，在矩形中，．由图可知，为锐角，则为钝角，所以．过作，垂足为，则在上的投影向量为，所以在上的投影向量为．

10．ABD  的定义域与值域均为；的定义域与值域均为；的定义域为，值域为；的定义域与值域均为．

11．ACD  因为，所以，A正确．因为，所以，所以，B错误．因为，所以，若从该阿胶产品中随机选取1000盒，则质量大于的盒数，所以，C正确．，若从该阿胶产品中随机选取1000盒，则质量在内的盒数，所以，D正确．

12．AC  由，得（），则表示椭圆的上半部分，根据椭圆的定义，可得A正确．设，则，设，则，，所以直线与直线的斜率之差为，当且仅当，即时，等号成立，所以直线与直线的斜率之差的最小值为，B错误．直线的方程为，则的坐标为．直线的方程为，则的坐标为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，C正确．设函数（），则为增函数，所以，因为，所以D错误．

13．  该等差数列的公差．

14．  ，，故．

15．0.145  由全概率公式可得所求概率为．

16．  如图，连接，，，可证平面，设圆柱的一个底面所在平面截正方体所得的截面为，则为正三角形，且平面平面，设（），则，所以内切圆的半径，点到平面的距

离．

因为，所以圆柱的高，圆柱的体积，，则在上单调递增，所以．

17．解：（1）因为，

所以，

所以，

即，

又，所以．

（2）因为，所以，．

由余弦定理得，

即，解得或4．

因为，所以，所以，

所以的面积．

18．解：（1）依题意可得

解得

（2）将每个数据都减去28.50后所得新数据的平均数为

，

所以，

所以，．

所以这60个零件内径尺寸在内的个数为，

因为，所以这次抽检的零件不合格．

19．（1）证明：取的中点，连接，．

因为，所以，且，

由余弦定理可得，则，

所以，所以，

因为，所以平面，

又平面，所以平面平面．

（2）解：连接，易知，为正三角形，

则，且，

以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，

建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，

，．

设平面的法向量为，

则

令，得．

易得平面的一个法向量为，

所以，

由图可知二面角为钝角，故二面角的余弦值为．

20．（1）解：．

当时，．

当时，，则．

因为，所以是首项为1，公比为2的等比数列，

所以．

故，．

（2）证明：．

记的前项和为，

则，

，

两式相减得

．

所以，所以．

21．解：（1）将点和点的坐标代入，

得，解得

所以双曲线的离心率．

（2）依题意可得直线的斜率存在，设：．

联立得，

设，，则，

所以

．

，直线：．设，．

联立得，

则

则

，

所以，所以为定值，定值为．

22．（1）解：当时，，则，

所以，又，

所以曲线在点处的切线方程为．

（2）证明：，

．

令函数，则．

当时，，单调递增．

当时，，

所以当时，，则，

故存在，使得函数在上单调递增．

（3）解：，

则单调递增，且有唯一零点，

所以在上单调递减，在上单调递增，则的最小值为，

所以．

因为，所以．

令函数，

则，所以单调递增．

因为，

所以，即的取值范围是．

[注]第（2）问中，取中任何一个值作为，

均有，均可得到在上单调递增．