
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广西壮族自治区桂林市等3地2024届高三上学期跨市联合适应性训练检测(10月月考)数学试题
展开这是一份广西壮族自治区桂林市等3地2024届高三上学期跨市联合适应性训练检测(10月月考)数学试题,共13页。试卷主要包含了10,75,50后所得新数据的平均数为,71,01,69,66等内容,欢迎下载使用。
普通高中2024届高三年级跨市联合适应性训练检测卷
数学
2023.10
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容:高考全部内容.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,,,则( )
A. B. C. D.
2.若复数,则( )
A. B. C. D.
3.抛物线的焦点到点的距离为( )
A. B. C. D.
4.2020年11月1日零时广西14个地区人口的男、女性别比如下表所示:
地区 | 南宁市 | 柳州市 | 桂林市 | 梧州市 | 玉林市 | 防城港市 | 钦州市 |
男、女性别比/% | 106.71 | 107.74 | 103.33 | 106.77 | 107.81 | 119.01 | 110.66 |
地区 | 贵港市 | 北海市 | 百色市 | 贺州市 | 河池市 | 来宾市 | 崇左市 |
男、女性别比/% | 108.29 | 108.48 | 104.69 | 105.66 | 104.18 | 107.52 | 108.90 |
根据表中数据可知,这14个数据的第60百分位数对应的地区是( )
A.柳州市 B.南宁市 C.北海市 D.玉林市
5.将曲线向左平移个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到曲线,则下列结论错误的是( )
A.曲线头于直线轴对称
B.函数的最小值为
C.曲线关于点中心对称
D.函数在上单调递增
6.已知正四棱锥的每个顶点都在表面积为的球的球面上,,则( )
A.或 B. C.2或4 D.4
7.设,,,则( )
A. B. C. D.
8.的展开式中,的系数为( )
A. B.60 C. D.120
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.如图,在矩形中,,,,则( )
A. B.
C. D.在上的投影向量为
10.若函数的定义域与值域相同,则的解析式可能为( )
A. B.
C. D.
11.山东东阿盛产阿胶,阿胶与人参、鹿茸并称“中药三宝”.阿胶的主要原料是驴皮,配以冰糖、绍酒、豆油等十几种辅料,用东阿特有的含多种矿物质的井水、采取传统的制作工艺熬制而成.已知每盒某阿胶产品的质量(单位:)服从正态分布,且,.( )
A.若从该阿胶产品中随机选取1盒,则这盒阿胶产品的质量大于的概率为0.75
B.若从该阿胶产品中随机选取1盒,则这盒阿胶产品的质量在内的概率为0.15
C.若从该阿胶产品中随机选取1000盒,则质量大于的盒数的方差为47.5
D.若从该阿胶产品中随机选取1000盒,则质量在内的盒数的数学期望为200
12.已知曲线:,,,为上异于,的一点,直线与直线交于点,直线与直线交于点,则( )
A.存在两个定点,使得到这两个定点的距离之和为定值
B.直线与直线的斜率之差的最小值为
C.的最小值为
D.当直线的斜率大于时,大于
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若某等差数列的第2项为2,第5项为7,则该等差数列的公差为______.
14.已知,,则______.
15.已知某地居民中青少年、中年人、老年人暑期去广西桂林旅游的概率分别为0.1,0.2,0.15,且该地居民青少年、中年人、老年人的人数比例为4:3:3,若从该地居民(仅指青少年、中年人、老年人)中任选一人,则此人暑期去桂林旅游的概率为______.
16.在棱长为2的正方体内,放入一个以为铀线的圆柱,且圆柱的底面所在平面截正方体所得的截面为三角形,则该圆柱体积的最大值为______.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)
,,分别为的内角,,的对边.已知.
(1)求;
(2)若,,;求的面积.
18.(12分)
某工厂的工人生产内径为的一种零件,为了了解零件的生产质量,在某次抽检中,从该厂的1000个零件中抽出60个,测得其内径尺寸(单位:)如下:
这里用表示有个尺寸为的零件,,均为正整数.若从这60个零件中随机抽取1个,则这个零件的内径尺寸小干的概率为.
(1)求,的值.
(2)已知这60个零件内径尺寸的平均数为,标准差为,且,在某次抽检中,若抽取的零件中至少有80%的零件内径尺寸在内,则称本次抽检的零件合格.试问这次抽检的零件是否合格?说明你的理由.
19.(12分)
如图,在底面为菱形的四棱锥中,,,.
(1)证明:平面平面.
(2)求二面角的余弦值.
20.(12分)
已知数列的前项和为,,数列的前项和为,且.
(1)求的通项公式与;
(2)设数列的前项和为,证明:.
21.(12分)
已知双曲线过点和点.
(1)求双曲线的离心率;
(2)过的直线与双曲线交于,两点,过双曲线的右焦点且与平行的直线交双曲线于,两点,试问是否为定值?若是定值,求该定值;若不是定值,请说明理由.
22.(12分)
已知函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)证明:存在,使得函数在上单调递增;
(3)若,求的取值范围.
普通高中2024届高三年级跨市联合适应性训练检测卷
数学参考答案
2023.10
1.B 因为,所以.
2.C 由,得.
3.C 抛物线的焦点的坐标为,则.
4.D 将这14个数据(单位:%)按照从小到大的顺序排列为103.33,104.18,104.69,105.66,106.71,106.77,107.52,107.74,107.81,108.29,108.48,108.90,110.66,119.01,因为,所以这14个数据的第60百分位数是排序后的第9个数据,即107.81,对应的地区是玉林市.
5.D ,则曲线关于直线轴对称,也关于点中心对称,的最小值为,在上先增后减.
6.A 设正方形的中心为,则底面,球心在上.设球的半径为,则,解得.因为,所以,由勾股定理得,解得或4,所以或.
7.A 设函数,则,当时,,所以在上单调递增,因此,则,所以.因为,所以.
8.C 因为
,所以的展开式通项为,令,得,则的系数为.
9.BCD 因为,,所以,,在矩形中,.由图可知,为锐角,则为钝角,所以.过作,垂足为,则在上的投影向量为,所以在上的投影向量为.
10.ABD 的定义域与值域均为;的定义域与值域均为;的定义域为,值域为;的定义域与值域均为.
11.ACD 因为,所以,A正确.因为,所以,所以,B错误.因为,所以,若从该阿胶产品中随机选取1000盒,则质量大于的盒数,所以,C正确.,若从该阿胶产品中随机选取1000盒,则质量在内的盒数,所以,D正确.
12.AC 由,得(),则表示椭圆的上半部分,根据椭圆的定义,可得A正确.设,则,设,则,,所以直线与直线的斜率之差为,当且仅当,即时,等号成立,所以直线与直线的斜率之差的最小值为,B错误.直线的方程为,则的坐标为.直线的方程为,则的坐标为,所以,当且仅当,即时,等号成立,所以的最小值为,C正确.设函数(),则为增函数,所以,因为,所以D错误.
13. 该等差数列的公差.
14. ,,故.
15.0.145 由全概率公式可得所求概率为.
16. 如图,连接,,,可证平面,设圆柱的一个底面所在平面截正方体所得的截面为,则为正三角形,且平面平面,设(),则,所以内切圆的半径,点到平面的距
离.
因为,所以圆柱的高,圆柱的体积,,则在上单调递增,所以.
17.解:(1)因为,
所以,
所以,
即,
又,所以.
(2)因为,所以,.
由余弦定理得,
即,解得或4.
因为,所以,所以,
所以的面积.
18.解:(1)依题意可得
解得
(2)将每个数据都减去28.50后所得新数据的平均数为
,
所以,
所以,.
所以这60个零件内径尺寸在内的个数为,
因为,所以这次抽检的零件不合格.
19.(1)证明:取的中点,连接,.
因为,所以,且,
由余弦定理可得,则,
所以,所以,
因为,所以平面,
又平面,所以平面平面.
(2)解:连接,易知,为正三角形,
则,且,
以为坐标原点,,,的方向分别为,,轴的正方向,
建立空间直角坐标系,如图所示,
则,,,,
,.
设平面的法向量为,
则
令,得.
易得平面的一个法向量为,
所以,
由图可知二面角为钝角,故二面角的余弦值为.
20.(1)解:.
当时,.
当时,,则.
因为,所以是首项为1,公比为2的等比数列,
所以.
故,.
(2)证明:.
记的前项和为,
则,
,
两式相减得
.
所以,所以.
21.解:(1)将点和点的坐标代入,
得,解得
所以双曲线的离心率.
(2)依题意可得直线的斜率存在,设:.
联立得,
设,,则,
所以
.
,直线:.设,.
联立得,
则
则
,
所以,所以为定值,定值为.
22.(1)解:当时,,则,
所以,又,
所以曲线在点处的切线方程为.
(2)证明:,
.
令函数,则.
当时,,单调递增.
当时,,
所以当时,,则,
故存在,使得函数在上单调递增.
(3)解:,
则单调递增,且有唯一零点,
所以在上单调递减,在上单调递增,则的最小值为,
所以.
因为,所以.
令函数,
则,所以单调递增.
因为,
所以,即的取值范围是.
[注]第(2)问中,取中任何一个值作为,
均有,均可得到在上单调递增.
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