山东省德州市夏津育中万隆中英文高级中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题

这是一份山东省德州市夏津育中万隆中英文高级中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前万隆高级中学高二数学检测考试时间：120分钟；满分：150分一、单选题（本大题共8小题，共40．0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．已知点坐标为，点坐标为，以线段为直径的圆的半径是（    ）A． B． C．4 D．32．平行六面体中，，则（    ）A．1 B．2 C．3 D．3．若三条直线相交于同一点，则点到原点的距离d的最小值是（    ）A． B． C． D．4．如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱于点，若，则（    ）A． B． C． D．5．已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（    ）A．  B．C．  D．6．下列四个命题中，正确命题的个数是（    ）①若是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得；②若两条不同直线的方向向量分别是，则；③若是空间的一个基底，且，则四点共面；④若两个不同平面的法向量分别是，且，则．A．1 B．2 C．3 D．47．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，，且，若点，则的最小值为（    ）A． B． C． D．8．如图，长方体中为线段上的动点，则以下结论中不正确的是（    ）A．当时，直线与平面所成角的正弦值为B．当时，若平面的法向量记为，则C．当时，二面角的余弦值为D．若，则二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9．三条直线构成三角形，则a的取值可以是（    ）A． B．1 C．2 D．310．已知，且与的夹角为钝角，则的取值可以是（    ）A． B．1 C． D．211．以下四个命题表述正确的是（    ）A．直线必过定点B．圆上有且仅有4个点到直线的距离都等于1，则C．曲线与曲线恰有三条公切线D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆C引两条切线，A，B为切点，四边形面积的最小值为12．如图，在直三棱柱中，是直角三角形，且为的中点，点是棱上的动点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（    ）A．异面直线与所成角的余弦值是B．三棱柱的外接球的表面积是C．当点是线段的中点时，三棱锥的体积是D．的最小值是2三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，为棱的中点，与平面交于点，则_________．14．如图所示，三个边长为4的等边三角形有一条边在同一直线上，边上有100个不同的点，记，，则_________．15．如图，已知菱形所在的平面与所在的平面互相垂直，且．则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为_________．16．如图，已知圆内切于圆，直线分别交圆于两点（在第一象限内），过点作轴的平行线交圆于两点，若点既是线段的中点，又是线段的三等分点，那么的值为_________．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题10分）已知空间三点．（1）求以为边的平行四边形的面积；（2）若，且分别与垂直，求向量的坐标．18．（本小题12分）已知的顶点，边上的高所在直线为，边上的中线所在直线为为的中点．（1）求点的坐标；（2）求过点且在轴和轴上的截距相等的直线的方程．19．（本小题12分）已知圆的方程为．（1）求过点且与圆相切的直线l的方程；（2）直线过点，且与圆交于两点，当是等腰直角三角形时，求直线的方程．20．（本小题12分）如图，在三棱柱中，侧面是菱形，是棱的中点，，点在线段上，且．（1）求证：平面．（2）若，平面平面，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．21．（本小题12分）已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为．（1）若的坐标为，求过点的切线方程；（2）直线与圆交于两点，求的取值范围（为坐标原点）．22．（本小题12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面，是棱上的一点．（1）证明：平面平面；（2）已知，若分别是的中点，（ⅰ）求点到平面的距离；（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．万隆高二月考详解1.【答案】 解：由题意可知，，所以以线段为直径的圆的半径是．故选A．2.【答案】 解：因为平行六面体的六个面均为平行四边形，则，，，
则，
而，，则，
则，
即．
故选B．3.【答案】D解：联立，解得，
把代入，得，，
点到原点的距离，
当且仅当时取等号．
点到原点的距离的最小值为．
故选D．4.【答案】 解：由题意可知，，因为，，，四点共面，所以存在实数，使，所以所以．故选：．5.【答案】 解：由直线的方程为，，化为，
由，则，
又倾斜角的范围为由正切函数的性质可得直线的倾斜角范围是．
故选：．6.【答案】C解：若  是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得  ，由空间向量基本定理知，正确；若两条不同直线，的方向向量分别是  ，  ，则  ，由方向向量的定义知正确；若  是空间的一个基底，且  ，则，，，四点共面，由空间向量共面定理知，正确；若两个不同平面，的法向量分别是  ，且  ，  ，易得不成立，所以不成立.故选：7.【答案】 解：由题意可得圆是关于，的阿波罗尼斯圆，且，则，
设点的坐标为，则，
整理得，，
由已知该圆的方程为，则，解得，
点的坐标为，
，
由图象可知，当点位于或时取得最小值，
且最小值为．
故选：．8.【答案】 解：在长方体中，
以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，，
则，，，，，
当时，为的中点，，
，显然为平面的一个法向量，
直线与平面所成角的正弦值
，，故A错误；
当时，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，，
平面的一个法向量为，
，
，故B正确；
当时，，
，
，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，，
平面的一个法向量为，
平面，是平面的一个法向量，
，，
可知二面角的平面角为锐角，
则二面角的余弦值为，故C正确；
设，
，
若，，，
，故D正确；
故选：． 9.【答案】 解：直线与2都经过原点，而无论为何值，直线2总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线2与另两条直线不平行，所以10.【答案】 解：，，
，
设两向量的夹角为，
与夹角为钝角，
，且，
 且，
即的取值范围是．
故选BD．11.【答案】A 解：由，得，
联立，解得，
所以直线恒过定点，故A正确；
因为圆上有且仅有个点到直线：的距离都等于，
所以圆心到直线的距离，解得，故B正确；
曲线：化为标准式，
圆心，半径，
曲线：化为标准式，
圆心，半径，
圆心距，所以两圆外离，有条公切线，故C错误；
圆：的圆心为，半径，
当与直线垂直时，取得最小值，其最小值为点到直线的距离，则，
则有，
故四边形的面积的最小值为，故D正确．
故选：．12.【答案】 解：在直三棱柱中，是直角三角形，且，则，
则建立以为坐标原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
对于：，，
，，
故异面直线与所成角的余弦值是，故A正确；
对于：将直三棱柱补成直四棱柱，
可得三棱柱的外接球就是直四棱柱的外接球，
外接球半径，
故三棱柱的外接球的表面积是，故B错误；
对于：连接，则是的中点，
点是线段的中点，
，
平面，是棱上的动点，
点到平面的距离就是点到平面的距离，
又
，故C正确；
对于：由选项C得是的中点，
则平面，平面，平面，
在中，，，且，
在平面中，建立以为原点，以为轴，以为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：则，，，，
过作直线的对称点，当时，此时的值最小，且为，也就是点到轴的距离，
设，可得的中点坐标为，
直线的方程为，
即，
，解得，的最小值是，故D错误，
故选：．13.【答案】 解：设，
由已知，
所以，因为，，，四点共面，
所以，解得．
故答案为．14.【答案】 解：如图所示：以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，则，直线的方程为，设，则，即，所以，所以．故答案为：．15.【答案】 解：如图，在菱形中，取中点，
，，
又平面平面，平面平面，平面，平面，
又平面，，
又，，，平面，平面，
又平面，，
故建立以为坐标原点，平行为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系，
则，，，
即，，．
设平面的法向量是．
则，得
令，则；
设面的法向量是，
则由得
则令，得，则 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值是 ．故答案为 ． 16.【答案】 解：由，解得，
由，解得，
因为点是线段的中点，所以，
即有，，，
由，解得，，
因为为线段的三等分点，所以，
即有，
即，两边平方化为，
即有，由于，
解得．
故答案为：．                                                                         解：空间三点，，，
，，      -------------------------（2分）
，     -------------------------（3分）
，     -------------------------（4分）
以为边的平行四边形的面积为：
．   ------------------（5分）
，且分别与垂直，
设，则，        ----------------------- （6分）
由分别与垂直得，    -------------- （8分）
联立解得，，或，，，
向量的坐标为或．     -----------------------------（10分） 18.解：因为，而直线：的斜率为，
所以直线的斜率为，即直线的方程为：，
即，      ------------------------------------------（2分）
因为点在直线与边上的中线的交点，
由，解得，，
所以顶点的坐标，   -----------------------------------（5分）而为线段的中点，所以，即的坐标； ----------（6分）
当直线经过原点时，设直线的方程为，
将的坐标代入可得，解得，
这时直线的方程为；  -------------------------------------------（8分）
当直线 不过原点时，设直线 的方程为，
将代入可得，解得，
这时直线的方程为，-------------------------------------（11分）
综上所述：直线 的方程为 或 ．    --------------------（12分） 19.解：当直线斜率不存在时，  显然与  相切；--------------（1分）当直线斜率存在时，可设  ，
由过点的直线与圆相切可得  ，解得  ，  --------（4分）
故  ，即  ，     ----------------------------（5分）
故过点  且与圆  相切的直线  的方程为  或  ； -------（6分）设  ，设  中点为  ，
因为  是等腰直角三角形，
所以  ，即圆心到直线距离  ，  -------------------（9分）
解得  或，                  -----------------------------------------（10分）
故直线  或  ，
即  或  ．      -------------------------------------（12分） 20.解：（1）连接交于点，连接，因为，所以，   ---------------------------（1分）又，所以，所以， --------------------------（2分）又平面，平面，所以平面.                        ----------------------------（4分）（2）过作，垂足为，连接，因为，所以为的中点，因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，                 -----------------------------（5分）因为为正三角形，为的中点，所以.  -------------------------------------------------------------------（6分）如图，以为原点，以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，，，，则，，    -----------------------------（7分）设平面的法向量为，则，得，取，  -------------------（9分）平面的法向量可取，-----------------------------------------------（10分）所以， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.   ---------------（12分）  21．（1）P的坐标为,当斜率不存在时可设线为，    此时圆心到直线的距离，不符合切线要求，舍去；  -----------（1分）当斜率不存在时可设线为，即，  此时圆心到直线的距离，即，  ------------------（3分）可得或，过点的切线方程为或.  ------------------（5分）（2）设，    联立，消去，可得，化简可得：，    ----------------------------（6分）则，即，解得，                     -----------------------（7分）由韦达定理可得，，     -----------------------（8分），------------------（10分）又，.   ---------------------------------（12分）  22.证明：平面，平面，
．         -------------------------（1分）
又，，、平面，
平面，       ----------------------（3分）而平面，平面平面．  -----（4分）
（i）解：如图所示，建立空间直角坐标系，，，，，，，，，，  --（5分）
设平面的一个法向量为，
则，
则，且，取，       ----------------（7分）
点到平面的距离．   ------------------------ ------（8分）（ii）设平面的一个法向量为，则，
则，且，取，         -----------------（10分）
记直线AB与平面ADE所成角为θ，则  ------------------------ ------（12分）