2024贵阳一中高三上学期高考适应性月考数学试题含解析
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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A B. C. D.
2. 若，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 若随机变量，则下列选项错误的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
5. 若二次函数在上为减函数，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6. 若过双曲线的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线交轴于点（为双曲线的半焦距），则此双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
7. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以表示从乙罐取出的球是红球.则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. 事件与事件相互独立 D. ，，两两互斥
10. 提丢斯·波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维斯·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6…表示的是太阳系第颗行星与太阳的平均距离（以天文单位AU为单位）.现将数列的各项乘以10后再减4，得到数列，可以发现数列从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（ ）
A. 数列的第2023项为 B. 数列的通项公式为
C. 数列的前10项和为157.3 D. 数列的前项和
11. 定义在上的函数满足，且当时，，则下列说法正确的有（ ）
A. B. 为奇函数
C. 为增函数 D.
12. 双曲线具有如下光学性质：如图，，是双曲线的左、右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ）
A. 射线所在直线的斜率为，则
B. 当时，
C. 当过点时，光线由到再到所经过路程为5
D. 若点坐标为，直线与相切，则
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 展开式中含项的系数为______.
14. 已知函数（且）过定点，且定点在直线上，则的最小值为______.
15. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为______.
16. “雪花曲线”是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图2是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程.
如图，若第1个图中三角形的边长为1，则第3个图形的周长为______；第个图形的面积为______.
四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知数列的首项为，且满足.
（1）求证：数列等比数列；
（2）若，求满足条件最大整数.
18. 某网红冰淇淋公司计划在贵阳市某区开设分店，为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的5个区域的数据作了初步处理后得到下列表格，记表示在5个区域开设分店的个数，表示这个分店的年收入之和.
（个） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
（千万元） | 1 | 1.6 | 2 | 2.4 | 3 |
（1）该公司经过初步判断，可用经验回归模型拟合与的关系，求关于的经验回归方程；
（2）如果该公司最终决定在该区选择两个合适的地段各开设一个分店，根据市场调查得到如下统计数据：第一分店每天的顾客平均为300人，其中180人会购买该品牌冰淇淋，第二分店每天的顾客平均为200人，其中150人会购买该品牌冰淇淋.依据小概率值的独立性检验，分析两个店的顾客购买率有无差异.
附：
0.010 | 0.005 | 0.001 | |
6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式：，，，.
19. 如图，已知圆柱的轴截面为正方形，，为圆弧上的两个三等分点，，为母线，，分别为线段，上的动点（与端点不重合），经过，，的平面与线段交于点.
（1）证明：；
（2）当时，求平面与圆柱底面所成夹角的正弦值的最小值.
20 已知函数.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围；
（3）请问过点，，，，分别存在几条直线与曲线相切？（请直接写出结论，不需要证明）
21. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，…次状态无关，即.已知甲盒子中装有2个黑球和1个白球，乙盒子中装有2个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复次这样的操作.记甲盒子中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为.
（1）求，和，；
（2）证明：为等比数列（且）；
（3）求的期望（用表示，且）.
22. 已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点A，，当直线的倾斜角为时，.
（1）求抛物线的标准方程和准线方程；
（2）记为坐标原点，直线分别与直线，交于点，，求证：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标.
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