广东省广州市黄埔区火电学校2022-—2023学年下学期八年级期中数学试卷

2022-2023学年黄埔区火电学校八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．（3分）下列各式是最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

2．（3分）下列计算正确的是（　　）

A． B． C． D．

3．（3分）若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　）

A．a⩾﹣1 B．a＞﹣1 C．a≠﹣1 D．a⩽﹣1

4．（3分）下列各组数中，不是勾股数的是（　　）

A．3，4，5 B．5，12，13 C．7，25，26 D．6，8，10

5．（3分）如图，直线AO⊥OB，垂足为O，线段AO＝3，BO＝4，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交直线AO于点C．则OC的长为（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2

6．（3分）点（3，﹣1）到原点的距离为（　　）

A．2 B．3 C．1 D．

7．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝6，E为AD上一动点，M，N分别为BE，CE的中点，则MN的长为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．不确定

8．（3分）如图，已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（　　）

A．a﹣2 B．﹣a﹣2 C．1 D．2﹣a

9．（3分）将直线y＝﹣2x向下平移后得到直线l，若直线l经过点（a，b），且2a+b＝﹣7，则直线l的解析式为（　　）

A．y＝﹣2x﹣2 B．y＝﹣2x+2 C．y＝﹣2x﹣7 D．y＝﹣2x+7

10．（3分）观察下组数据，寻找规律：0、、2、、、…那么第10个数据是（　　）

A． B． C．7 D．

二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

11．（3分）化简：﹣3的结果是 　             　．

12．（3分）利用平方差公式在实数范围内分解因式：a2﹣6＝　                  　．

13．（3分）如图，点D、E、F分别是直角△ABC各边的中点，∠C＝90°，EF、DE分别为3cm，5cm，则DF的长为 　   　cm．

14．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是　        　．

15．（3分）如图，已知长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为 　       　．

三．解答题（共8小题，满分75分）

16．（8分）计算：（1）．

（2）．

17．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，且∠ABC＝90°，试求∠A的度数．

18．（8分）若，，求：

（1）a2﹣b2；

（2）．

19．（9分）我市某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠B＝90°，AB＝6m，BC＝8m，CD＝24m，AD＝26m．

（1）求出空地ABCD的面积；

（2）若每种植1平方米草皮需要350元，问总共需投入多少元？

20．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＞AB．

（1）尺规作图：作DC边的垂直平分线，分别交AD、CD边于点E、F（要求：保留作图痕迹，不写作法）；

（2）连接EC，若∠BAD＝130°，求∠AEC的度数．

21．（9分）已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．

（1）求证：四边形AEDF是菱形；

（2）若AE＝13，AD＝24，试求四边形AEDF的面积．

22．（12分）阅读下面的材料，并解决问题．

﹣1；

；

；

…

（1）观察上式并填空：＝　                  　；

（2）观察上述规律并猜想：当n是正整数时＝　                  　（用含n的式子表示）；

（3）请利用（2）的结论计算：．

23．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，点A、B、C、D坐标分别为（0，3）、（7，0）、（4，3）、（0，2），连接AC和BC，点P为线段AC上一从左向右运动的点，以PD为边作菱形PDEF，其中点E落在x轴上．

​

（1）在点P运动过程中，是否能使得四边形PDEF为正方形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

（2）如图2，当点P运动到使得菱形PDEF的顶点F恰好在边BC上时，求出此时点F的坐标．

（3）若要使得顶点F不落在四边形OACB外，求出菱形PDEF的对角线交点的最大运动路径长．

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1． 解：A、是最简二次根式；

B、＝＝2，不是最简二次根式；

C、＝|a|，不是最简二次根式；

D、，被开方数的分母中含有字母，不是最简二次根式；

故选：A．

2． 解：A．与不能合并，故错误，不符合题意；

B．，故错误，不符合题意；

C．，故错误，符合题意；

D．，故正确，符合题意．

故选：D．

3． 解：∵在实数范围内有意义，

∴a+1≥0，

∴a≥﹣1．

故选：A．

4． 解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，是整数，故是勾股数，此选项不符合题意；

B、52+122＝132，是正整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项不符合题意；

C、72+252≠262，不是勾股数，此选项符合题意；

D、62+82＝102，三边是整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项不符合题意．

故选：C．

5． 解：∵AO⊥OB，

∴∠AOB＝90°，

∵AO＝3，BO＝4，

∴AB＝＝＝5，

∴AC＝AB＝5，

∴OC＝2．

故选：D．

6． 解：点（3，﹣1）到原点的距离＝＝．

故选：D．

7． 解：如图，在平行四边形ABCD中，BC＝AD＝6．

∵M，N分别为BE，CE的中点，

∴MN是△EBC的中位线，

∴MN＝BC＝3．

故选：B．

8． 解：从数轴可知：a＜2，

所以＝|a﹣2|＝2﹣a，

故选：D．

9． 解：设直线l的解析式为y＝﹣2x+k，

又∵直线l经过点（a，b），

∴﹣2a+k＝b，

∴2a+b＝k，

∵2a+b＝﹣7，

故直线l的解析式为y＝﹣2x﹣7．

故选：C．

10． 解：根据题意得：0、、、、、……，

由此发现，第n个数为，

∴第10个数据是．

故选：B．

二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

11． 解：原式＝2﹣＝．

故答案为：．

12． 解：a2﹣6＝．

故答案为：．

13． 解：∵点D、E、F分别是直角△ABC各边的中点，

∴DF，EF是△ABC的中位线，

∴DF∥BC，EF∥AC，

∴∠ADF＝∠C＝90°，∠DFE＝∠ADF，

∴∠DFE＝90°，

∵FE＝3cm，DE＝5cm，

∴DF＝＝＝4（cm）．

故答案为：4．

14． 解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，

∴AB＝5，

∴DO＝4，

∴点C的坐标是：（5，4）．

故答案为：（5，4）．

15． 解：∵将此长方形折叠，使点B与点D重合，

∴BE＝ED．

∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．

∴BE＝9﹣AE，

根据勾股定理可知：AB2+AE2＝BE2．

∴32+AE2＝（9﹣AE）2．

解得：AE＝4cm．

∴△ABE的面积为：×3×4＝6（cm2）．

故答案为：6cm2．

三．解答题（共8小题，满分75分）

16． 解：（1）

＝+2﹣

＝；

（2）

＝4+﹣+2

＝5+．

17． 解：

连接AC，∵AB＝BC＝2，且∠ABC＝90°，

∴且∠CAB＝45°，

又∵AD＝1，CD＝3，

∴AD2+AC2＝CD2

∴∠CAD＝90°，

∴∠A＝∠CAD+∠CAB＝135°．

18． 解：（1）∵，，

∴，，

∴a2﹣b2

＝（a+b）（a﹣b）

＝

＝；

（2）∵，，

∴，，

∴

＝．

19． 解：（1）连接AC

∵∠B＝90°，AB＝6m，BC＝8m，

∴，

∵CD＝24m，AD＝26m，

∴AC2+CD2＝AD2，

∴∠ACD＝90°，

∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝＝＝144（m2）；

即空地ABCD的面积为144m2．

（2）144×350＝50400元，

即总共需投入50400元．

20． 解：（1）如图，直线EF即为所求；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠A+∠D＝180°，

∵∠A＝130°，

∴∠D＝50°．

∵MN垂直平分线段CD，

∴ED＝EC，

∴∠D＝∠ECD＝50°，

∴∠AEC＝∠D+∠ECD＝100°．

21． （1）证明：∵DE∥AC，DF∥AB，

∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF，

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠EAD＝∠FAD，

∴∠ADF＝∠FAD，

∴FA＝FD，

∴平行四边形AEDF是菱形；

（2）解：如图，连接EF交AD于点O，

由（1）可知，四边形AEDF是菱形，

∴OA＝OD＝AD＝12，OE＝OF，EF⊥AD，

∴∠AOE＝90°，

∴OE＝＝＝5，

∴EF＝2OE＝10，

∴S菱形AEDF＝AD•EF＝×24×10＝120．

22． 解：（1）＝＝﹣，

故答案为：﹣；

（2）＝＝﹣，

故答案为：﹣；

（3）原式＝（﹣1+﹣+...+﹣）×（+1）

＝（﹣1）×（+1）

＝361﹣1

＝360．

23． 解：（1）存在；理由如下：

如（1）图，

∵四边形PDEF为正方形，

∴∠PDE＝90°，

∴∠ADP+∠ODE＝90°，

∵∠PAD＝∠DOE＝90°，

∴∠ADP+∠APD＝90°，

∴∠ODE＝∠APD，

∵PD＝DE，

∴△ADP≌△OED（AAS），

∴AP＝OD＝2，

∴点P的坐标为（2，3）；

（2）如图2，过点F作FN⊥OB于N，延长NF、AC交于点M，则四边形AONM是矩形，此时NM＝OA＝3；

∵PM∥OE，PF∥DE，

∴∠MPF＝∠OED，

∵MF∥OD，PF∥DE，

∴∠PFM＝∠ODE，

∵PF＝DE，

∴△PFM≌△EDO（ASA），

∴FM＝OD＝2，

∴FN＝1，

∵∠OBC＝45°，

∴BN＝1，

∴ON＝6，

∴点F的坐标为（6，1）；

（3）如图3，过点F作FN⊥x轴于N，延长NF，交直线AC于M，连接DF、PE，交于点Q，

由（3）可知，△PFM≌△EDO（ASA），

∴FM＝OD＝2，AD＝FN＝1，PM＝EO，

∴AP＝NE，

设OE＝t，则DE2＝DP2＝t2+4，

∴AP2＝DP2﹣AD2＝t2+4﹣1＝t2+3，

∴AP＝，

∴NE＝，

∴ON＝+t，

∴点F的坐标为（，1），

∴DF的中点Q的坐标为（，）；

∴点F在直线y＝1上运动，点Q在直线y＝上运动，且横坐标的值随DE的增大而增大；

当点E在原点时，即t＝0，此时Q为（，）；

当点E在最右端时，即t的值最大，此时点F恰好在BC上，即F（6，1）；

∴，

∴，

∴点Q为（3，）；

∴点Q的最左端坐标为（，），最右端的坐标为（3，）；

∴菱形PDEF的对角线交点的最大运动路径长：3﹣．