广东省广州市天河区新都学校2022—2023学年下学期八年级期中数学试卷

这是一份广东省广州市天河区新都学校2022—2023学年下学期八年级期中数学试卷，共16页。

2022-2023学年广州市新都学校八年级（下）期中数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＝﹣3 B．x≥﹣3 C．x≤﹣3 D．任何实数
2．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的结果可能是（　　）
A．1：3：1：3 B．1：3：3：1 C．1：1：3：3 D．1：2：3：4
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）点（3，﹣1）到原点的距离为（　　）
A．2 B．3 C．1 D．
6．（3分）如图，直线AO⊥OB，垂足为O，线段AO＝3，BO＝4，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交直线AO于点C．则OC的长为（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
7．（3分）某车间20名工人日加工零件数如表所示：
日加工零件数
4
5
6
7
8
人数
2
6
5
4
3
这些工人日加工零件数的众数、中位数分别是（　　）
A．5、6 B．5、5 C．6、5 D．6、6
8．（3分）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，CF平分∠BCD交AD于点F，AB＝3，AD＝5，则EF的长为（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
9．（3分）如图，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（3，0），与函数y＝2x的图象交于点A，则关于x的方程kx+b＝2x的解为（　　）

A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
10．（3分）如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为2，则线段CF的最小值是（　　）

A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）计算：＝　 　．
12．（3分）命题“对角线相等的四边形是矩形”的逆命题是　 　．
13．（3分）在△ABC中，AB＝5cm，BC＝12cm，AC＝13cm，则△ABC的面积等于 　 　cm2．
14．（3分）已知▱ABCD的周长是18，若△ABC的周长是14，则对角线AC的长是　 　．
15．（3分）如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕其顶点A旋转，在旋转过程中，当BE＝DF时，∠BAE的大小是 　 　．

16．（3分）观察下列式子，，，，…，根据此规律，若，则a2+b2＝　 　．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）计算：（1）；（2）．
18．（6分）先化简，再求值：，其中．
19．（7分）某篮球队对队员进行定点投篮测试，每人每天投篮10次，现对甲、乙两名队员在五天中投进球的个数统计如下表：
甲
10
6
10
6
8
乙
7
9
7
8
9
参考公式：）2]
（1）求甲、乙两名队员投进球个数的平均数：
（2）如果从甲、乙两名队员中选出一人去参加定点投篮比赛，应选哪名队员？请说明理由．
20．（8分）已知一次函数y＝2x+b．
（1）若该函数的图象经过点（1，3），求b的值；
（2）若它的图象与两条坐标轴围成的图形的面积等于9，求b的值．
21．（8分）如图，已知在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，E、F是对角线BD上两点，且BE＝DF．求证：AE＝CF．

22．（8分）（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：如图，①作线段AC的垂直平分线交AC于点O；②连接BO并延长，在延长线上截取OD＝OB；③连接AD，CD．
（2）证明所作的四边形ABCD是矩形．


23．（9分）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：
（1）轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离；
（2）求线段CD对应的函数表达式；
（3）在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距15千米．

24．（10分）我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”．
（1）在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是 　 　（填序号）；
（2）如图1，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点H，交CD于点G，连AG、EG．
①求证：四边形ABEG是“神奇四边形”；
②如图2，点M、N、P、Q分别是AB、AG、GE、EB的中点．试判断四边形MNPQ是不是“神奇四边形”；
（3）如图3，点F、R分别在正方形ABCD的边AB、CD上，把正方形沿直线FR翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，过点A作AO⊥FR于点O，若AB'＝2，正方形的边长为6，求线段OF的长．

25．（10分）在正方形ABCD中，连接对角线AC，在AC上截取AE＝BC，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，延长AF交BC于点M．
（1）如图1，连接ME并延长交AD的延长线于点Q，若BC＝5，求△AQM的面积；
（2）如图2，过点A作AP⊥AM于点A，交CD的延长线于点P，求证：AP﹣2FM＝BE．


参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：由题意得：x+3≥0，
解得：x≥﹣3，
故选：B．
2． 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴A选项符合题意，
故选：A．
3． 解：A．与不能合并，故错误，不符合题意；
B．，故错误，不符合题意；
C．，故错误，符合题意；
D．，故正确，符合题意．
故选：D．
4． 解：A、＝3，故A错误；
B、是最简二次根式，故B正确；
C、＝2，不是最简二次根式，故C错误；
D、＝，不是最简二次根式，故D错误；
故选：B．
5． 解：点（3，﹣1）到原点的距离＝＝．
故选：D．
6． 解：∵AO⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∵AO＝3，BO＝4，
∴AB＝＝＝5，
∴AC＝AB＝5，
∴OC＝2．
故选：D．
7． 解：因为5出现的次数最多，
所以众数是5，
将这组数据按从小到大进行排序后，第9个数和第10个数的平均数即为中位数，
所以中位数是，
故选：A．
8． 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
则∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝3，
同理可证：DF＝CD＝3，
∴EF＝AE+FD﹣AD＝3+3﹣5＝1．
故选：A．
9． 解：当y＝2时，2x＝2，解得x＝1，则A（1，2），
∴当x＝1时，y＝kx+b＝2x＝2，
∴关于x的方程kx+b＝2x的解为x＝1，
故选：B．
10． 解：在正方形ABCD中，AD＝BC＝CD，∠ADC＝∠BCD，∠DCE＝∠BCE，
在Rt△ADM和Rt△BCN中，
，
∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），
∴∠1＝∠2，
在△DCE和△BCE中，
，
∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠ADF+∠3＝∠ADC＝90°，
∴∠1+∠ADF＝90°，
∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，
取AD的中点O，连接OF、OC，
则OF＝DO＝AD＝1，
在Rt△ODC中，OC＝＝＝，
根据三角形的三边关系，OF+CF＞OC，
∴当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，
最小值＝OC﹣OF＝﹣1．
故选：C．

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11． 解：原式＝＝2．
故答案为：2．
12． 解：命题“对角线相等的四边形是矩形”的逆命题是：矩形的对角线相等，
故答案为：矩形的对角线相等．
13． 解：∵AB＝5cm，BC＝12cm，AC＝13cm，即52+122＝132，
∴△ABC为直角三角形，
∵直角边为AB，BC，
根据三角形的面积公式有：．
故答案为：30．
14． 解：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵平行四边形ABCD的周长为18，
∴AB+BC＝9，
∵△ABC的周长为14，
∴AB+BC+AC＝14，
∴AC＝14﹣9＝5，
故答案为：5．
15． 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，∠EAF＝60°，
分两种情况：
①如图1，当正△AEF在正方形ABCD内部时，
在△ABE和△ADF中，，
∴△ABE≌△ADF（SSS），
∴∠BAE＝∠DAF＝（90°﹣60°）＝15°；
②如图2，当正△AEF在正方形ABCD外部时，
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF（SSS），
∴∠BAE＝∠DAF＝（360°﹣90°+60°）＝165°；
故答案为：15°或165°．


16． 解：由题意得，ab＝90，
∵，
∴1+，
∴，
∴，
∴a2+b2＝8281﹣8100＝181．
故答案为：181．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17． 解：（1）原式＝3﹣4+
＝0；
（2）原式＝
＝3．
18． 解：原式＝（﹣）•
＝﹣•
＝1﹣x，
当x＝﹣1时，原式＝1﹣（﹣1）＝2﹣．
19． 解：（1）甲的平均数为：（10+6+10+6+8）÷5＝8（个），
乙的平均数为：（7+9+7+8+9）÷5＝8（个），
答：甲、乙两名队员投进球个数的平均数都是8个；
（2）甲的方差为×[（10﹣8）2×2+（8﹣8）2+（6﹣8）2×2]＝3.2，
乙的方差为×[（7﹣8）2×2+（8﹣8）2+（9﹣8）2×2]＝0.8，
因为甲、乙的平均数相同，而乙的方差较小，比较稳定，因此选择乙比较合适．
20． 解：（1）把（1，3）代入y＝2x+b得2+b＝3，
解得b＝1；
（2）∵y＝2x+b与x轴交点的坐标为（﹣，0）；与y轴的交点坐标为（0，b），
∴×|﹣×b|＝9，
解得b＝±6．
21． 证明：∵AB＝CD，BC＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AB∥CD．
∴∠ABE＝∠CDF．
又∵BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
∴AE＝CF．
22． （1）解：如图，

（2）证明：∵O点为AC的垂直平分线与AC的交点，
∴OA＝OC，
∵OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD为矩形．
23． 解：（1）由图象可得，
货车的速度为300÷5＝60（千米/小时），
则轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是60×4.5＝270（千米），
即轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是270千米；
（2）设线段CD对应的函数表达式是y＝kx+b，
∵点C（2.5，80），点D（4.5，300），
∴，
解得，
即线段CD对应的函数表达式是y＝110x﹣195（2.5≤x≤4.5）；
（3）当x＝2.5时，两车之间的距离为：60×2.5﹣80＝70，
∵70＞15，
∴在轿车行进过程，两车相距15千米时间是在2.5～4.5之间，
由图象可得，线段OA对应的函数解析式为y＝60x，
则|60x﹣（110x﹣195）|＝15，
解得x1＝3.6，x2＝4.2，
∵轿车比货车晚出发1.5小时，3.6﹣1.5＝2.1（小时），4.2﹣1.5＝2.7（小时），
∴在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米，
答：在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米．
24． （1）解：∵平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等，
∴正方形是“神奇四边形”，
故答案为：④；
（2）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABG+∠CBG＝90°，
∵BG⊥AE，
∴∠BAE+∠ABG＝90°，
∴∠BAE＝∠CBG，
在△ABE和△BCG中，
，
∴△ABE≌△BCG（ASA），
∴AE＝BG，
又∵BG⊥AE，
∴四边形ABEG是“神奇四边形”；
②解：四边形MNPQ是“神奇四边形”，理由如下：
∵M，N为AB，AG的中点，
∴MN为△ABG的中位线，
∴MN∥BG，MN＝BG，
同理：PQ∥BG，PQ＝BG，MQ∥AE，MQ＝AE，NP∥AE，NP＝AE，
∴MN＝PQ，MQ＝NP，
∴四边形MNPQ为平行四边形，
∵AE＝BG，
∴MN＝MQ，
∴平行四边形MNPQ为菱形，
∵BG⊥AE，MQ∥AE，
∴MQ⊥BG，
∵MN∥BG，
∴MQ⊥MN，
∴∠QMN＝90°，
∴四边形MNPQ为正方形，
∴四边形MNPQ是“神奇四边形”；
（3）解：如图3，延长AO交BC于S，

由翻折的性质可知，BF＝B'F，AB'＝BS＝2，AO＝SO，∠B'＝∠B，
∵四边形ABCD是正方形，边长为6，
∴AB＝6，∠B＝90°，
∴AS＝＝＝2，∠B'＝∠B＝90°，
∴AO＝AS＝，
设AF＝x，则BF＝B'F＝6﹣x，
在Rt△AB'F中，由勾股定理得：22+（6﹣x）2＝x2，
∴x＝，
∴AF＝，
∵AO⊥FR，
∴∠AOF＝90°，
∴OF＝＝＝，
即线段OF的长为．
25． （1）解：如图1，

∵四边形ABCD是正方形，BC＝5，
∴AB＝BC＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，∠QAE＝∠DAB＝45°，
∵AE＝AB＝5，AF⊥BE，
∴∠EAM＝∠BAM，
在△EAM和△BAM中，
，
∴△EAM≌△BAM（SAS），
∴∠AEM＝∠ABM＝90°，
∴∠AEQ＝90°，
∴∠Q＝180°﹣∠QAE﹣∠AEQ＝180°﹣45°﹣90°＝45°，
∴QE＝AE＝5，
∴AQ＝＝＝5，
∴△AQM的面积＝•AQ•AB＝×5×5＝；
（2）证明：如图2，在AF上截取FG＝FM，连接BG，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝∠ABC＝∠ADC＝∠ADP＝90°，∠CAB＝∠ACB＝45°，
∵AP⊥AM，
∴∠PAM＝∠DAB＝90°，
∴∠PAM﹣∠DAM＝∠DAB﹣∠DAM，即∠PAD＝∠MAB，
在△PAD和△MAB中，
，
∴△PAD≌△MAB（ASA），
∴AP＝AM，
∵AB＝AE，AF⊥BE，
∴∠CAB＝22.5°，
∴∠BMG＝∠EAG+∠ACB＝22.5°+45°＝67.5°，
∵FG＝FM，BF⊥GM，
∴BG＝BM，∠GBM，
∴∠BGM＝∠BMG＝67.5°，
∴∠ABG＝∠BGM﹣∠BAG＝67.5°﹣22.5°＝45°，
∴∠GBM＝90°﹣45°＝45°，
∴，
在△ABG和△BCE中，
，
∴△ABG≌△BCE（ASA），
∴AG＝BE，
∵AM﹣GM＝AG，
∴AP﹣2FM＝BE．