新高考数学一轮复习题型归纳讲义专题05 函数 5.3指数函数（含解析）

专题四  《函数》讲义

5.3 指数函数

知识梳理.指数函数

(1)根式的性质

①()n＝a(a使有意义)．

②当n是奇数时，＝a；

当n是偶数时，＝|a|＝

(2)分数指数幂的意义

①a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．

②a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．

③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　

 (3)有理数指数幂的运算性质

①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；

②＝ar－s(a>0，r，s∈Q)；

③(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；

④(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．

2．指数函数的概念

函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．

3．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质

题型一.比较大小

1．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝（）﹣1.5，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）

A．y3＞y1＞y2 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2

【解答】解：利用幂的运算性质可得，

y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，y3＝（）﹣1.5＝21.5，

再由y＝2x是增函数，知y1＞y3＞y2．

故选：D．

2．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系（　　）

A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a

【解答】解：函数y＝0.6x为减函数；

故a＝0.60.6＞b＝0.61.5，

函数y＝x0.6在（0，+∞）上为增函数；

故a＝0.60.6＜c＝1.50.6，

故b＜a＜c，

故选：C．

3．设a＝（，，，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a

【解答】解：∵在x＞0时是增函数

∴a＞c

又∵在x＞0时是减函数，所以c＞b

故选：A．

4．已知函数f（x）＝ex+e﹣x，若a＝f（21.1），b＝f（﹣1），c＝f（log23），则实数a，b，c的大小关系为（　　）

A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a

【解答】解：函数f（x）＝ex+e﹣x，为偶函数，在（0，+∞）上单调递增．

∵a＝f（21.1），b＝f（﹣1）＝f（1），c＝f（log23），1＜log23＜2＜21.1．

则实数a，b，c的大小关系为b＜c＜a．

故选：D．

题型二.指数函数的图像与性质

1．已知曲线y＝ax﹣1+1（a＞0且a≠1）过定点（k，b），若m+n＝b且m＞0，n＞0，则的最小值为（　　）

A． B．9 C．5 D．

【解答】解析：∵定点为（1，2）∴m+n＝2

∴

当且仅当，即m，n时取得最小值，

故选：A．

2．已知实数a、b满足等式（）a＝（）b，给出下列五个关系式：

①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b＝0，

其中不可能成立的关系式有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：画出指数函数的图象：，g（x）．

满足等式（）a＝（）b，

有①0＜b＜a；②a＜b＜0；⑤a＝b＝0，三个．

而③0＜a＜b；④b＜a＜0；不可能成立．

故选：B．

3．已知函数f（x）＝|2x﹣1|，a＜b＜c，且f（a）＞f（c）＞f（b），则下列结论中，一定成立的是　③　．（只填序号）

①a＜0，b＜0，c＜0；②a＜0，b≥0，c＞0；③2a+2c＜2；④2﹣a＜2c．

【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：

∵a＜b＜c，且f（a）＞f（c）＞f（b），

∴由图象知，a＜0，c＞0，b符号不确定，

故①错误，②错误，

由f（a）＞f（c）得|2a﹣1|＞|2c﹣1|，即﹣2a+1＞2c﹣1，

得2a+2c＜2，故③正确，

当a＝﹣2，c时，f（a），f（c）1，满足f（a）＞f（c），

但2﹣a＝22＝4，2c，则2﹣a＜2c．不成立，故④错误，

故正确的是③，

故答案为：③．

4．若函数f（x）是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（　　）

A．[0，2） B． C．[1，2] D．[0，1]

【解答】解：根据分段函数单调性的性质若函数为单调函数，

则函数只能是单调递减函数，

则满足，

即，

解得a＜2，

故选：B．

5．设函数f（x） 若f（a）＞1，则实数a的取值范围是　a＞4　．

【解答】解：当a≥0时，由得：a＞4，

当a＜0时，不等式无解，

综上满足f（a）＞1的实数a的取值范围是：a＞4

故答案为a＞4

6．若实数a，b满足2a+3a＝3b+2b，则下列关系式中可能成立的是（　　）

A．0＜a＜b＜1 B．b＜a＜0 C．1＜a＜b D．a＝b

【解答】解：由2a+3a＝3b+2b，

设f（x）＝2x+3x，g（x）＝3x+2x，易知f（x），g（x）是递增函数，

画出f（x），g（x）的图象如下：

根据图象可知：当x＝0，1时，f（x）＝g（x），

0＜a＜b＜1，f（a）＝f（b）可能成立；故A正确；

当b＜a＜0时，因为f（x）≤g（x），所以f（a）＝g（b）可能成立，B正确；

当a＝b时，显然成立，

当1＜a＜b时，因为f（a）＜g（b），所以不可能成立，

故选：ABD．

题型三. 指数函数的定义域、值域

1．函数y的定义域为　R　，值域为　[ ）　．

【解答】解：∵不论函数y中的x取何值，函数总有意义，∴函数y的定义域为R．

令u＝3+2x﹣x2，则y．

∵u＝3+2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+4，∴u∈（﹣∞，4]

∵函数y为u的减函数，且u∈（﹣∞，4]

∴∈[，+∞），即y∈[，+∞），

∴函数的值域为[，+∞），

故答案为[，+∞）

2．若函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，2]，则实数a等于　　．

【解答】解：当a＞1时，函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）在[0，2]上单调递增，

则

解得：a

当a＜1时，函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）在[0，2]上单调递减，

则无解

故a

故答案为：

3．已知f（x）的定义域为R，则实数a的取值范围是　[﹣1，0]　．

【解答】解：∵f（x）的定义域为R，

∴0对任意x∈R恒成立，

即恒成立，

即x2+2ax﹣a≥0对任意x∈R恒成立，

∴△＝4a2+4a≤0，则﹣1≤a≤0．

故答案为：[﹣1，0]．

4．已知函数f（x）＝，若f（x）的值域是（0，+∞），求a的值．

【解答】解：

由指数函数的性质知，要使y＝f（x）的值域是（0，+∞），

应使h（x）＝ax2﹣4x+3的值域为R，

若a≠0，h（x）为二次函数，其值域不可能为R，

∴a的值是0．

5．若函数的值域为[0，+∞），则实数a的取值范围是　（﹣∞，﹣2]　．

【解答】解：设g（x）＝4x+a•2x+1，

若函数的值域为[0，+∞），

则等价为[0，+∞）是g（x）值域的子集，

g（x）＝4x+a•2x+1＝（2x）2+a•2x+1，

设t＝2x，则t＞0，

则函数g（x）等价为y＝h（t）＝t2+at+1，

∵h（0）＝1＞0，

∴当对称轴t0，即a≥0时，不满足条件．

当t0，即a＜0时，则判别式△＝a2﹣4≥0，

即，则a≤﹣2，

即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]，

故答案为：（﹣∞，﹣2]

6．若关于x的方程：9x+（4+a）•3x+4＝0有解，则实数a的取值范围为（　　）

A．（﹣∞，﹣8）∪[0，+∞） B．（﹣8，﹣4） 

C．[﹣8，﹣4] D．（﹣∞，﹣8]

【解答】解：∵a+4，

令3x＝t（t＞0），则

因为4，所以4，

∴a+4≤﹣4，

所以a的范围为（﹣∞，﹣8]

故选：D．