新高考数学一轮复习题型归纳讲义专题05 函数 5.6奇偶性（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习题型归纳讲义专题05 函数 5.6奇偶性（含解析），共10页。试卷主要包含了6 奇偶性，判断函数奇偶性的3种常用方法，6）的大小关系为等内容，欢迎下载使用。
专题四  《函数》讲义5.6 奇偶性知识梳理.奇偶性1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.判断函数奇偶性的3种常用方法(1)定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．(2)图象法：(3)性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，偶＋偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．      题型一. 判断奇偶性1．已知函数f，则下列结论正确的是（　　）A．f（x）g（x）为奇函数 B．f（x）g（x）为偶函数 C．f（x）+g（x）为奇函数 D．f（x）+g（x）为非奇非偶函数【解答】解：f（x）的定义域为2x﹣1≠0，x≠0，，故函数f（x）为奇函数，g（x）定义域为R且g（﹣x）＝﹣g（x），函数g（x）也为奇函数，∴f（x）g（x）为偶函数，f（x）+g（x）为奇函数，故选：BC．2．下列函数中，在定义域内单调递增且是奇函数的是（　　）A． B．y＝sinx C．y＝2x﹣2﹣x D．y＝|x﹣1|【解答】解：因为f（﹣x）+f（x）＝log2（）+log2（）＝log2（x2+1﹣x2）＝0，所以f（﹣x）＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，但是f（1）＝log2（），f（0）＝0，f（1）＜f（0），不满足单调递增，不符合题意；y＝sinx在R上不单调，不符合题意；y＝2x﹣2﹣x在R上单调递增，且f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，符合题意；y＝|x﹣1|为非奇非偶函数，不符合题意；故选：C．3．设函数f（x）＝x（ex+e﹣x），则对f（x）的奇偶性和在（0，+∞）上的单调性判断的结果是（　　）A．奇函数，单调递增 B．偶函数，单调递增 C．奇函数，单调递减 D．偶函数，单调递减【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x（ex+e﹣x），其定义域为R，有f（﹣x）＝（x）（e﹣x+ex）＝﹣x（ex+e﹣x）＝﹣f（x），则f（x）为奇函数，又由f′（x）＝（ex+e﹣x）+x（ex﹣e﹣x），区间（0，+∞）上，ex＞1＞e﹣x＞0，则有f′（x）＞0，则f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，故选：A． 题型二. 已知奇偶性求参、求值1．若函数f（x）（k为常数）在定义域上为奇函数，则k的值为　±1　．【解答】解：∵函数f（x）∴f（﹣x）＝﹣f（x）∴∴（k2﹣1）（2x）2＝1﹣k2∴（k2﹣1）＝0∴k＝±1验证k＝±1时，满足函数f（x）在定义域上为奇函数，故答案为：±1．2．若函数f（x）＝xln（x）为偶函数，则a的值为（　　）A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1【解答】解：∵函数f（x）＝xln（x）为偶函数，x∈R，∴设g（x）＝ln（x）是奇函数，则g（0）＝0，即ln0，则1，则a＝1．故选：B．3．（2019·全国2）已知f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）＝﹣eax．若f（ln2）＝8，则a＝　   　．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（﹣ln2）＝﹣8，又∵当x＜0时，f（x）＝﹣eax，∴f（﹣ln2）＝﹣e﹣aln2＝﹣8，∴﹣aln2＝ln8，∴a＝﹣3．故答案为：﹣3 题型三.两个重要结论1．已知函数f（x），f（a）＝4，则f（﹣a）＝　﹣2　．【解答】解：根据题意，f（x），则f（﹣x），则f（x）+f（﹣x）＝2，即有f（a）+f（﹣a）＝2，又由f（a）＝4，则f（﹣a）＝﹣2；故答案为：﹣22．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）sin（x﹣1）+x+1在[﹣1，3]上的最大值为M，最小值为m，则M+m＝　4　．【解答】解：∵f（x）＝（x2﹣2x）sin（x﹣1）+x+1＝[（x﹣1）2﹣1]sin（x﹣1）+x﹣1+2令g（x）＝（x﹣1）2sin（x﹣1）﹣sin（x﹣1）+（x﹣1），而g（2﹣x）＝（x﹣1）2sin（1﹣x）﹣sin（1﹣x）+（1﹣x），∴g（2﹣x）+g（x）＝0，则g（x）关于（1，0）中心对称，则f（x）在[﹣1，3]上关于（1，2）中心对称．∴M+m＝4．故答案为：4． 题型四. 奇偶性和单调性综合1．设函数f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|，则f（x）（　　）A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递增 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在 单调递增【解答】解：由，得x≠±．又f（﹣x）＝ln|﹣2x+1|﹣ln|﹣2x﹣1|＝﹣（ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|）＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，由f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|＝ln||，∵11．可得内层函数t＝||的图象如图，在（﹣∞，），（（，+∞）上单调递减，在（，）上单调递增，又对数式y＝lnt是定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，f（x）在（，）上单调递增，在（﹣∞，），（（，+∞）上单调递减．故选：B．2．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则三个数a＝f（﹣log313），b＝f（2cos），c＝f（20.6）的大小关系为（　　）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b【解答】解：根据题意，2＝log39＜log313＜log327＝3，，1＜20.6＜21＝2，则有，函数f（x）是定义在R上的偶函数，则a＝f（﹣log313）＝f（log313），又由f（x）在[0，+∞）上单调递增，则，即a＞c＞b，故选：B．3．（2017•新课标Ⅰ）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（　　）A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．若f（1）＝﹣1，则f（﹣1）＝1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故选：D．4．（2020•海南）若定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，则满足xf（x﹣1）≥0的x的取值范围是（　　）A．[﹣1，1]∪[3，+∞） B．[﹣3，﹣1]∪[0，1] C．[﹣1，0]∪[1，+∞） D．[﹣1，0]∪[1，3]【解答】解：∵定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，f（x）的大致图象如图：∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（﹣2）＝0；故f（﹣1）＜0；当x＝0时，不等式xf（x﹣1）≥0成立，当x＝1时，不等式xf（x﹣1）≥0成立，当x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2时，即x＝3或x＝﹣1时，不等式xf（x﹣1）≥0成立，当x＞0时，不等式xf（x﹣1）≥0等价为f（x﹣1）≥0，此时，此时1＜x≤3，当x＜0时，不等式xf（x﹣1）≥0等价为f（x﹣1）≤0，即，得﹣1≤x＜0，综上﹣1≤x≤0或1≤x≤3，即实数x的取值范围是[﹣1，0]∪[1，3]，故选：D．5．已知定义域为R的函数f（x）是奇函数．若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，则k的取值范围为　k　．【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）＝0⇒b＝1；从而有f（x），又由f（﹣1）＝﹣f（1）⇒a＝2；∴f（x），由上式可知f（x）在R上为减函数，又∵f（x）为奇函数，f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0⇔f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2），∵f（x）是R上的减函数，由上式可得t2﹣2t＞k﹣2t2，即对一切t∈R有3t2﹣2t﹣k＞0，从而△＝4+12k＜0，解得k．6．（2007•天津）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（　　）A． B．[2，+∞） C．（0，2] D．【解答】解：（排除法）当则得，即在时恒成立，而最大值，是当时出现，故的最大值为0，则f（x+t）≥2f（x）恒成立，排除B项，同理再验证t＝3时，f（x+t）≥2f（x）恒成立，排除C项，t＝﹣1时，f（x+t）≥2f（x）不成立，故排除D项故选：A．7．（2017•江苏）已知函数f（x）＝x3﹣2x+ex，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是　[﹣1，]　．【解答】解：函数f（x）＝x3﹣2x+ex的导数为：f′（x）＝3x2﹣2+ex2+20，可得f（x）在R上递增；又f（﹣x）+f（x）＝（﹣x）3+2x+e﹣x﹣ex+x3﹣2x+ex0，可得f（x）为奇函数，则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）由f（﹣（a﹣1））＝﹣f（a﹣1），f（2a2）≤f（1﹣a），即有2a2≤1﹣a，解得﹣1≤a，故答案为：[﹣1，]．8．（2015•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝ln（1+|x|），则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（　　）A．（﹣∞，）∪（1，+∞） B．（，1） C．（） D．（﹣∞，）【解答】解：∵函数f（x）＝ln（1+|x|）为偶函数，且在x≥0时，f（x）＝ln（1+x），导数为f′（x）0，即有函数f（x）在[0，+∞）单调递增，∴f（x）＞f（2x﹣1）等价为f（|x|）＞f（|2x﹣1|），即|x|＞|2x﹣1|，平方得3x2﹣4x+1＜0，解得：x＜1，所求x的取值范围是（，1）．故选：B．