新高考数学一轮复习题型归纳讲义专题14计数原理 14.2二项式定理（含解析）

专题十四 《计数原理》讲义

14.2  二项式定理

知识梳理.二项式定理

1.二项式定理的概念:

(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋ Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)；

(2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项；

(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C.

2.展开式中二项式系数的性质:

(1)

(2)

(3)当时，当时，

(4)

3．赋值法求展开式系数和

二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立．因此，可将x，y设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值．如：

(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可．

(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．

4．二项式系数最大项的确定方法

(1)如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；

(2)如果n是奇数，则中间两项的二项式系数相等并最大．

题型一. 二项式展开后的某项

1．二项式的展开式中，常数项为　112　（用数字作答）

【解答】解：依题意，二项式的展开式的第k+1项为：Tk+1•，

由80解得，k＝6，

所以常数项为：112，

故答案为：112．

2．二项式的展开式中，其中是有理项的项数共有（　　）

A．4项 B．7项 C．5项 D．6项

【解答】解：二项式的展开式的通项为

．

∵0≤r≤40，且r∈N，

∴当r＝0、6、12、18、24、30、36时，∈Z．

∴二项式的展开式中，其中是有理项的项数共有7项．

故选：B．

3．展开式中二项式系数最大的项为　　．（求出具体的项）

【解答】解：当n＝8时，展开式中二项式系数最大的项是T5，

∴T5的项

＝C84（ ）4（）4

．

展开式中二项式系数最大的项是．

故答案为

4．（x）n的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44，则展开式中的常数项是第　4　项．

【解答】解：由题意可得，∁n2﹣∁n1＝44，可求n＝11，故（x）n的展开式的通项公式为Tr+1•，

令 0，求得r＝3，可得展开式中的常数项是第第四项，

故答案为：4．

 题型二. 多项展开式中项的问题

1．（1﹣x）（1+x+x2）2展开式中，x2项的系数为　1　．

【解答】解：（1﹣x）（1+x+x2）2＝（1﹣x3）（1+x+x2），

故x2项的系数为1，

故答案为：1．

2．（x2+x+y）5的展开式中，x3y3的系数为（　　）

A．10 B．20 C．30 D．60

【解答】解：（x2+x+y）5的展开式中，通项公式Tr+1y5﹣r（x2+x）r，

令5﹣r＝3，解得r＝2．

（x2+x）2＝x4+2x3+x2，

∴x3y3的系数为220，

故选：B．

3．（x﹣y）（x+2y+z）6的展开式中，x2y3z2的系数为（　　）

A．﹣30 B．120 C．240 D．420

【解答】解：（x+2y+z）6的展开式的通项公式：Tr+1（2y）6﹣r（x+z）r＝26﹣ry6﹣r（x+z）r，

（x+z）r的展开式的通项公式：Tk+1xr﹣kzk．

可得两个通项公式相乘可得展开式的通项形式：26﹣ry6﹣r•xr﹣kzk．

令r﹣k+1＝2，6﹣r＝3，k＝2，或r﹣k＝2，6﹣r+1＝3，k＝2．

解得k＝2，r＝3．或k＝2，r＝4．

∴x2y3z2的系数为120．

故选：B．

4．已知（x+1）4+（x﹣2）8＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2…+a8（x﹣1）8，则a3＝（　　）

A．64 B．48 C．﹣48 D．﹣64

【解答】解：由（x+1）4+（x﹣2）8＝[（x﹣1）+2]4+[（x﹣1）﹣1]8＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2…+a8（x﹣1）8，

得，

∴．

故选：C．

题型三. 二项式系数和、展开式系数和

1．已知二项式的展开式中各项二项式系数和是16，则n＝　4　，展开式中的常数项是　24　．

【解答】解：由题意知：得2n＝16，∴n＝4；

展开式的通项为Tr+1，令4﹣2r＝0得r＝2

∴展开式中的常数项为24

故答案为：4，24

2．已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为　512　．

【解答】解：∵（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，

∴，∴n＝10，则奇数项的二项式系数和为2n﹣1＝29＝512，

故答案为：512．

3．若（x﹣m）5（m为常数）展开式中的所有项系数和为1024，则实数m的值为　﹣2　，展开式中的常数项为　252　．

【解答】解：令x＝1得：

（2﹣m）5＝1024，

所以m＝﹣2，

则（x2）5展开式中的常数项为25••23••21＝252，

故答案为：252．

4．已知二项式（x+y）n的展开式的二项式项的系数和为64，（2x+3）n＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+an（x+1）n，则a2＝（　　）

A．20 B．30 C．60 D．80

【解答】解：由二项式（x+y）n的展开式中的二项式系数和为64可知2n＝64，n＝6，

则（2x+3）n＝（2x+3）6＝[2（x+1）+1]6＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+an（x+1）n，

则a2•22•14＝60．

故选：C．

题型四. 二项式定理综合

1．若二项式（2﹣x）n（n∈N*）的展开式中所有项的系数的绝对值之和是a，所有项的二项式系数之和是b，则的最小值是（　　）

A．2 B． C． D．

【解答】解：取x＝﹣1，得a＝3n，

又b＝2n，∴，

∴．

故选：B．

2．已知（xlgx+1）n展开式中，末三项的二项式系数和等于22，系数最大的项为20000，则x＝　10，或　．

【解答】解：由题意可得，末三项的二项式系数分别为，，，∴22，

即 22，求得n＝6．

故通项公式为 Tr+1•x（6﹣r）lgx，显然当r＝3时，系数最大为20，

故有 •（xlgx）3＝20000，∴x3lgx＝1000，∴3（lgx）2＝3，

求得 lgx＝±1，可得x＝10，或 x，

故答案为：10，或．

3．在二项式（x﹣1）11的展开式中，系数最小的项的系数为　﹣462　（结果用数值表示）

【解答】解：在二项式（x﹣1）11的展开式中，通项公式为Tr+1•x11﹣r•（﹣1）r，要使此项的系数最小，需r为奇数，且最大．

根据二项式系数的性质可得，当r＝5或6时，最大，故系数最小的项为第6项（r＝5），

等于462，

故答案为﹣462．

4．若，则|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|＝（　　）

A．0 B．1 C．32 D．﹣1

【解答】解：Tr+1（﹣1）rxr，

当r为奇数时，0．当r为偶数时，0．

∴|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|＝a0+a1+a2+a3+a4+a5．

对，

令x＝1，可得：a0+a1+a2+a3+a4+a5＝（1﹣1）2＝0．

故选：A．

题型五. 杨辉三角

 1．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．

1  2  3  4  5  …2013   2014  2015  2016

3  5  7  9  …4027  4029  4031

8  12  16  …8056  8060

20  28  …16116

该表由若干数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（　　）

A．2017×22015 B．2017×22014 C．2016×22015 D．2016×22014

【解答】解：由题意，数表的每一行都是等差数列，

且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，

故第1行的第一个数为：2×2﹣1，

第2行的第一个数为：3×20，

第3行的第一个数为：4×21，

…

第n行的第一个数为：（n+1）×2n﹣2，

第2016行只有M，

则M＝（1+2016）•22014＝2017×22014，

故选：B．

2．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为（n≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，，，…，则第9行第4个数（从左往右数）为　　．

【解答】解：设第n行第m个数为a（n，m），

由题意知a（6，1），a（7，1），a（8，1），a（9，1）

∴a（7，2）＝a（6，1）﹣a（7，1），a（8，2）＝a（7，1）﹣a（8，1），a（9，2）＝a（8，1）﹣a（9，1），

a（8，3）＝a（7，2）﹣a（8，2），a（9，3）＝a（8，2）﹣a（9，2）

a（9，4）＝a（8，3）﹣a（9，3）

故答案为：．

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课后作业. 二项式定理

1．在二项式（x）9展开式中，常数项是 　16　，系数为有理数的项的个数是 　5　．

【解答】解：二项式的展开式的通项为．

由r＝0，得常数项是；

当r＝1，3，5，7，9时，系数为有理数，

∴系数为有理数的项的个数是5个．

故答案为：，5．

2．已知二项式（1+x）n展开式中系数最大的只有第5项，则x2项的系数为（　　）

A．28 B．36 C．56 D．84

【解答】解：二项式（1+x）n展开式中系数最大的只有第5项，∴n＝8．

通项公式T2+1x2＝28x2．

则x2项的系数为28．

故选：A．

3．已知的展开式中第6项与第8项的二项式系数相等，则含x10项的系数是　﹣4　．

【解答】解：因为的展开式中第6项与第8项的二项式系数相等，

所以，所以n＝12，

则展开式的通项公式为：Tr+1•x12﹣r•（）r＝（）r••x12﹣2r，

令12﹣2r＝10，可得r＝1，

所以含x10项的系数是：（）4．

故答案为：﹣4．

4．的展开式中，x3y3的系数为　5　．

【解答】解：∵（x）（x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5），

故它的展开式中，x3y3的系为10﹣5＝5，

故答案为：5．

5．（x2﹣3x）（1）5的展开式中常数项为（　　）

A．﹣30 B．30 C．﹣25 D．25

【解答】解：∵（x2﹣3x）（1）5＝（x2﹣3x）•（1），

∴其展开式中常数项为x2•3•25．

故选：C．

6．已知（1+x）6＝a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+…+a6（1﹣x）6，则下列选项正确的有（　　）

A．a0＝1 B．a6＝1 

C．a0+a1+…+a6＝64 D．a1+a3+a5＝﹣364

【解答】解：∵（1+x）6＝[﹣2+（1﹣x）]6＝a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+…+a6（1﹣x）6，

令x＝1，可得a0＝64，故A错误；

a61，故B正确；

令x＝0，可得a0+a1+…+a6＝1 ①，故C错误；

令x＝2，可得a0﹣a1+…+a6＝36②，

用①②，并除以2，可得a1+a3+a5364，故D正确，

故选：BD．

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