新高考数学一轮复习题型归纳讲义专题15概率与分布列 15.4正态分布（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习题型归纳讲义专题15概率与分布列 15.4正态分布（含解析），共14页。试卷主要包含了4 正态分布，3，P＝0，8＜Z＜212，2．，97，s0，134﹣9，6克．，504≈23等内容，欢迎下载使用。

专题十五 《概率与分布列》讲义
15.4 正态分布
题型一. 正正态分布
1．（2017•宝鸡三模）设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）＝P（ξ＞a+2），则a的值等于（　　）
A． B． C．3 D．5
【解答】解：∵P（ξ＜2a﹣3）＝P（ξ＞a+2），
∴2a﹣3+a+2＝6，
∴a．
故选：B．
2．（2018春•清远期末）设两个正态分布N1（μ1，σ）和N2（μ2，）的密度函数曲线如图所示，则有（　　）

A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2
C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2
【解答】解：从正态曲线的对称轴的位置看，显然μ1＜μ2，
正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，σ越小，
∴σ1＜σ2
故选：A．
3．（2021春•沈阳期末）设X～N（μ1，σ21），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中错误的是（　　）

A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）
B．P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）
C．对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t）
D．对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y≥t）
【解答】解：∵由图可知，μ1＜0＜u2，σ1＜σ2，
∴P（Y≥μ2）＜P（Y≥μ1），故A选项错误，
由图可得，P（X≤σ2）＞P（X≤σ1），故B选项错误，
由图可得，对任意实数t，P（X≤t）≥P（Y≤t），而P（X≤t）＝1﹣P（X≥t），P（Y≤t）＝1﹣P（Y≥t），故P（X≥t）＜P（Y≥t），故C选项正确，D选项错误．
故选：ABD．
4．（2016秋•武汉期末）某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X服从正态分布N（80，σ2）（满分为100分），已知P（X＜75）＝0.3，P（X≥95）＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取3位同学．
（1）求抽取的三位同学该次体能测试成绩在区间[80，85），[85，95），[95，100）各有一位同学的概率；
（2）记抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[75，85]内的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．
【解答】解：（1）（2分）P（85≤X＜95）＝0.3﹣0.1＝0.2，P（95≤X＜100）＝0.1，…（4分）
所以所求概率为 （6分）
（2）ξ的可能值为0，1，2，3．则．，
，
，
，

ξ
0
1
2
3
P
0.216
0.432
0.288
0.064
E（ξ）＝0×0.216+1×0.432+2×0.288+3×0.064＝1.2…（12分）

5．（2014•新课标Ⅰ）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．
（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．
附：12.2．
若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544．
【解答】解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：
170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02＝200，
s2＝（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02＝150．
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）＝P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）＝0.6826；
（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，
依题意知X～B（100，0.6826），所以EX＝100×0.6826＝68.26．
6．（2017•新课标Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得9.97，s0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2，…，16．
用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．
附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974，0.997416≈0.9592，0.09．
【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，
则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974＝0.0026，
由题意知X～B（16，0.0026），
因为P（X＝0）（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，
所以P（X≥1）＝1﹣P（X＝0）＝0.0408，
因为X～B（16，0.0026），
所以E（X）＝16×0.0026＝0.0416；
（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．
（ⅱ）由9.97，s≈0.212，得μ的估计值为9.97，σ的估计值为0.212，由样本数据可以看出一个
零件的尺寸在之外，因此需对当天的生产过程进行检查．
剔除之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为
（16×9.97﹣9.22）＝10.02，
因此μ的估计值为10.02．
2＝16×0.2122+16×9.972≈1591.134，
剔除之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为
（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈0.008，
因此σ的估计值为0.09．

题型二. 分布列综合问题
1．微博橙子辅导用简单随机抽样方法抽取了100名同学，对其社会实践次数进行调查，结果如表：
n
[0，3）
[3，6）
[6，9）
[9，12）
[12，15）
[15，18）
男同学人数
7
15
11
12
2
1
女同学人数
5
13
20
9
3
2
若将社会实践次数不低于12次的学生称为“社会实践标兵”．
（Ⅰ）将频率视为概率，估计该校1600名学生中“社会实践标兵”有多少人？
（Ⅱ）从已抽取的8名“社会实践标兵”中随机抽取4位同学参加社会实践表彰活动．
（i）设A为事件“抽取的4位同学中既有男同学又有女同学”，求事件A发生的概率；
（ii）用X表示抽取的“社会实践标兵”中男生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）样本中“社会实践标兵”不低于12次的学生有8人，
∴该校学生中“社会实践标兵”有：1600人．
（Ⅱ）8名“社会实践标兵”中有男同学3人，女同学5人，
（i）为“抽取的4位同学全是女同学”，
∴P（），
∴P（A）＝1﹣P（）＝1．
（ii）由题意知X所有可能的取值为0，1，2，3，
P（X＝0），
P（X＝1），
P（X＝2），
P（X＝3）．
则X的分布列为：
X
0
1
2
3
P




E（X）．
2．一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为（5，15]，（15，25]（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；
（Ⅲ）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在（5，15]内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望及方差．

【解答】解：（Ⅰ）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10＝1
解得a＝0.03；
（Ⅱ）由最高矩形中点的横坐标为20，
可估计盒子中小球重量的众数约为20，
而50个样本小球重量的平均值为：0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40＝24.6（克）
故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．
（Ⅲ）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的频率为0.2；
则ξ～B（3，0.2），
ξ＝0，1，2，3；
P（ξ＝0）＝C30×0.83；
P（ξ＝1）＝C31×0.82×0.2；
P（ξ＝2）＝C32×0.8×0.22；
P（ξ＝3）＝C33×0.23，
∴ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P




Eξ＝3×0.2＝0.6，Dξ＝3×0.2×0.8＝0.48．
3．某纺织厂为了生产一种高端布料，准备从A农场购进一批优质棉花，厂方技术员从A农场存储的优质棉花中随机抽取了100处棉花，分别测量了其纤维长度（单位：mm）的均值，收集到100个样本数据，并制成如下频数分布表：
长度（单位：mm）
[23，25）
[25，27）
[27，29）
[29，31）
[31，33）
[33，35）
[35，37）
[37，39]
频数
4
9
16
24
18
14
10
5
（1）求这100个样本数据的平均数和样本方差s2（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）将收集到的数据绘成直方图可以认为这批棉花的纤维长度服从分布X～N（μ，σ2）其中μ，σ2＝s2
①利用正态分布，求P（X＞μ﹣2σ）；
②纺织厂将A农场送来的这批优质棉进行二次检验，从中随机抽取20处测量其纤维均值yi（i＝1，2…，20），数据如下：
y1
y2
y3
y4
y5
y6
y7
y8
y9
y10
24.1
31.8
32.7
28.2
28.4
34.3
29.1
34.8
37.2
30.8
y11
y12
y13
y14
y15
y16
y17
y18
y19
y20
30.6
25.2
32.9
27.1
35.9
28.9
33.9
29.5
35.0
29.9
若20个样本中纤维均值Y＞μ﹣2σ的频率不低于①中P（X＞μ﹣2σ）即可判断该批优质棉花合格，否则认为农场运送时掺杂了次品，判断该批棉花不合格．按照此依据判断A农场送来的这批棉花是否为合格的优质棉花，并说明理由．
附：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9543，3.504
【解答】解：（1）31，
；
（2）棉花的纤维长度服从分布X～N（μ，σ2），其中μ＝31，σ．
①利用正态分布，则P（X＞μ﹣2σ），
②μ﹣2σ＝31﹣2×3.504≈23.992，
故f（Y＞μ﹣2σ）＝f（Y＞23.992）＝1，满足条件，
∴认为该批优质棉花合格．

课后作业. 正态分布
1．随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（ξ＜2）＝0.2，P（2＜ξ＜6）＝0.6，则μ＝　4　．
【解答】解：由题意可知，P（ξ＜6）＝P（ξ＜2）+P（2＜ξ＜6）＝0.2+0.6＝0.8，
∴P（ξ＞6）＝1﹣0.8＝0.2，
∵（ξ＜2）＝P（ξ＞6），
∴．
故答案为：4．
2．已知随机变量X～N（0.4，σ12），Y～N（0.8，σ22），其正态曲线如图所示，则下列说法错误的是（　　）

A．P（X≥0.4）＝P（Y≥0.8）
B．P（X≥0）＝P（Y≥0）
C．X的取值比Y的取值更集中于平均值
D．两支正态曲线与x轴之间的面积均为1
【解答】解：由已知得μ1＝0.4，μ2＝0.8，σ1＜σ2，所以P（X≥0.4）＝0.5，P（Y≥0.8）＝0.5，故A正确，
由图象可知，在y轴的左侧，分布列X的图象在Y的图象下方，故P（X≥0）＞P（Y≥0），故B错误，
分布列X的图象比Y的图象更“高瘦”，故X的取值比Y的取值更集中于平均值左右，故C正确，
两支密度曲线与x轴之间的面积均为1，故D正确．
故选：B．

3．江先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行．江先生从家到公交站或地铁站都要步行5分钟．公交车多且路程近一些，但乘坐公交路上经常拥堵，所需时间Z（单位：分）服从正态分布N（33，42），下车后从公交站步行到单位要12分钟；乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间Z（单位：分）服从正态分布N（44，22），下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟．从统计的角度看，下列说法合理的是（　　）
A．若8：00出门，则乘坐公交上班不会迟到
B．若8：02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大
C．若8：06出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性更大
D．若8：12出门，则乘坐地铁上班几乎不可能不迟到
【解答】解：对于A，若8：00出门，A先生乘坐公交，从甲到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，
乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z1（单位：分钟）服从正态分布N（33，42），
当满足P（Z≥45）0.0013时，江先生仍旧有可能迟到，只不过发生的概率较小，故选项A错误；
对于B，若8：02出门，江先生乘坐地铁，因为从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要5分钟，
乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z2（单位：分钟）服从正态分布N（44，22），
故当满足P（Z≤48）P（40＜Z＜48）＝0.9972时，A先生乘坐地铁不会迟到；故选项B正确；
对于C：若8：06出门，江先生乘坐公交，因为从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，
乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z1（单位：分钟）服从正态分布N（33，42），
故当满足P（Z≤37）P（29＜Z＜37）＝0.8413时，江先生乘坐公交不会迟到；故选项C正确；
对于D：若8：12出门，江先生乘坐地铁，因为从家到车站需要5分钟，下地铁后步行再到单位需要5分钟，
乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z2（单位：分钟）服从正态分布N（44，22），
故当满足P（Z≤38）0.00135时，江先生乘坐地铁会迟到，故选项D错误．
故选：BC．
4．某市为了解本市2万名学生的汉字书写水平，在全市范围内进行了汉字听写考试，发现其成绩服从正态分布N（69，49），现从某校随机抽取了50名学生，将所得成绩整理后，绘制出如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）估算该校50名学生成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）求这50名学生成绩在[80，100]内的人数；
（Ⅲ）现从该校50名考生成绩在[80，100]的学生中随机抽取两人，该两人成绩排名（从高到低）在全市前26名的人数记为X，求X的分布列和数学期望．
参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6828
P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544
P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．
【解答】解：（Ⅰ）该校50名学生成绩的平均值45×0.08+55×0.20+65×0.32+75×0.20+85×0.12+95×0.08＝68.2；
（Ⅱ）这50名学生成绩在[80，100]内的频率为0.20，则这50名学生成绩在[80，100]内的人数为50×（0.08+0.12）＝10；
（Ⅲ）∵P（69﹣3×7＜X≤69+3×7）＝0.9974，
∴P（ξ≥90）（1﹣0.9974）＝0.0013，
∵0.0013×20000＝26．
∴全市前26名的排名（从高到低） 最低是90，这50人中90分以上的有50×0.08＝4人．
随机变量X可取0，1，2，于是
P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2），
X
0
1
2
P



∴E（X）＝012．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/12/12 14:20:10；用户：15942715433；邮箱：15942715433；学号：32355067