新高考物理一轮复习重难点练习难点18 带电粒子在有界匀强磁场中的运动（含解析）

这是一份新高考物理一轮复习重难点练习难点18 带电粒子在有界匀强磁场中的运动（含解析），共34页。试卷主要包含了带电粒子在有界匀强磁场中的运动，带电粒子在匀强磁场中的临界问题等内容，欢迎下载使用。

难点18 带电粒子在有界匀强磁场中的运动

一、带电粒子在有界匀强磁场中的运动
（一）粒子轨迹圆心的确定，半径、运动时间的计算方法
1．圆心的确定方法
(1)若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲．
(2)若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图乙．
(3)若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据r＝计算出轨迹半径r，则在该点沿洛伦兹力方向距离为r的位置为圆心，如图丙．

2．半径的计算方法
方法一　由R＝求得
方法二　连半径构出三角形，由数学方法解三角形或勾股定理求得
例如：如图甲，R＝或由R2＝L2＋(R－d)2求得

常用到的几何关系
①粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角，如图乙，φ＝α
②弦切角等于弦所对应圆心角一半，θ＝α.

3．时间的计算方法
方法一　利用圆心角、周期求得t＝T
方法二　利用弧长、线速度求得t＝
（二）带电粒子在有界磁场中的运动
1．直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)

2．平行边界(往往存在临界条件，如图所示)

3．圆形边界(进出磁场具有对称性)
(1)沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示．
(2)不沿径向射入时，如图乙所示．
射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ.
　
【例1】（带电粒子在直线边界磁场中运动）如图所示，O点有一粒子发射源，能沿纸面所在的平面发射质量均为m、电荷量均为+q、速度大小均为v的粒子。MN为过O点的水平放置的足够大的感光照相底片，照相底片上方有匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场方向垂直于纸面向里，不计粒子所受的重力及粒子间的相互作用，则感光照相底片上的感光长度为（　　）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】粒子在磁场中运动

半径

从O点垂直MN向上射出的粒子达到MN时距离O点最远，最远距离为

从O点水平向右射出的粒子在磁场总做完整的圆周运动后回到O点，则感光照相底片上的感光长度为。
故选B。
【例2】（带电粒子在圆形边界磁场中运动）如图所示，半径为R的圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，直径ab垂直cd，∠MOd=30°，从M点沿Ma方向射入的带正电粒子恰能从b点离开磁场，粒子的质量为m，电量为q，不计粒子的重力，则粒子的速度大小及在磁场中运动的时间为（　　）

A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】ABCD．

连接MP，分析可知MP为粒子圆周轨迹的直径，由几何关系得

由， 得
，
故A正确，BCD错误。
故选A。
【例3】（带电粒子在多边形边界磁场中运动）如图所示，在Oxy平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带电粒子从y轴上的M点射入磁场，速度方向与y轴正方向的夹角。粒子经过磁场偏转后在N点（图中未画出）垂直穿过x正半轴。已知，粒子电荷量为q，质量为m，重力不计。则（　　）

A．粒子带正电荷
B．粒子速度大小为
C．粒子在磁场中运动的时间为
D．N与O点相距3d
【答案】B
【解析】A．粒子进入磁场后沿顺时针方向做圆周运动，由左手定则可知，粒子带负电，故A错误；
B．粒子运动轨迹如图所示

由几何知识可知，粒子做圆周运动的轨道半径

粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可得

解得

故B正确；
C．粒子在磁场中运动的周期

粒子轨迹对应的圆心角为

粒子在磁场中运动的时间为

故C错误；
D．N点到O点的距离为

故D错误。
故选B。
二、带电粒子在匀强磁场中的临界问题
解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解．
1．临界条件
带电粒子刚好穿出(不穿出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，故边界(边界的切线)与轨迹过切点的半径(直径)垂直．
2．几种常见的求极值情况(速度一定时)
(1)最长时间：弧长最长，一般为轨迹与直线边界相切．
圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即：
当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长．
(2)最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直．
如图，P为入射点，M为出射点．此时在磁场中运动时最短．

【例4】（带电粒子在磁场中运动的临界问题）如图所示，正方形abcd内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，一束电子以大小不同的速度从a点沿ab方向射入磁场。不计电子的重力和电子间的相互作用。对于从c点和d点射出的电子，下列说法正确的是（　　）

A．轨道半径之比为 B．线速度大小之比为
C．向心力大小之比为 D．在磁场中运动时间之比为
【答案】D
【解析】A．设正方形边长为L，根据图像可知从c点射出的电子轨道半径为L，从d点射出的电子轨道半径为，则轨道半径之比为，A错误；
B．根据

可得

因轨道半径之比为，则线速度大小之比为，B错误；
C．电子所受洛伦兹力充当向心力，即

因线速度大小之比为，则向心力大小之比为，C错误；
D．电子在磁场中的运动周期为

则从c点射出的电子在磁场中的运动时间为

从d点射出的电子在磁场中的运动时间为

则在磁场中运动时间之比为，D正确。
故选D。
【例5】（带电粒子在磁场中运动的极值问题）如图所示，半径为R的圆形区域内存在着磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于纸面向里，一带负电的粒子(不计重力)沿水平方向以速度v正对圆心射入磁场，通过磁场区域后速度方向偏转了60°.

(1)求粒子的比荷及粒子在磁场中的运动时间t；
(2)如果想使粒子通过磁场区域后速度方向的偏转角度最大，在保持原入射速度的基础上，需将粒子的入射点沿圆弧向上平移的距离d为多少？
【答案】(1)　　(2)R
【解析】(1)粒子的轨迹半径：
r＝①
粒子所受洛伦兹力提供向心力，有：qvB＝m②
由①②两式得粒子的比荷：＝③
粒子的运动周期T＝④
粒子在磁场中的运动时间t＝T⑤
由①④⑤式得t＝.⑥
(2)当粒子的入射点和出射点的连线是磁场圆的直径时，粒子速度偏转的角度最大．

由图可知sin θ＝⑦
平移距离d＝Rsin θ⑧
由①⑦⑧式得d＝R.
三、带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题．
(1)找出多解的原因．
(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况．
【例6】（磁场方向不确定形成多解）(多选)如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计．为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场．已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是(　　)

A．B>，垂直纸面向里
B．B>，垂直纸面向里
C．B>，垂直纸面向外
D．B>，垂直纸面向外
【答案】BD
【解析】当磁场方向垂直纸面向里时，离子恰好与OP相切的轨迹如图甲所示，切点为M，设轨迹半径为r1，由几何关系可知，sin 30°＝，可得r1＝s，由r1＝可得B1＝；当磁场方向垂直纸面向外时，其临界轨迹，即圆弧与OP相切于N点，如图乙所示，由几何关系s＝＋r2，得r2＝，又r2＝，所以B2＝，综合上述分析可知，选项B、D正确，A、C错误．

【例7】（临界状态不确定形成多解）(多选)如图所示，边长为L的等边三角形区域ACD内、外的匀强磁场的磁感应强度大小均为B、方向分别垂直纸面向里、向外．三角形顶点A处有一质子源，能沿∠A的角平分线发射速度大小不等、方向相同的质子(质子重力不计、质子间的相互作用可忽略)，所有质子恰能通过D点，已知质子的比荷＝k，则质子的速度可能为(　　)

A. B．BkL
C. D.
【答案】ABD
【解析】质子可能的运动轨迹如图所示，由几何关系可得2nRcos 60°＝L(n＝1,2，…)，由洛伦兹力提供向心力，则有Bqv＝m，联立解得v＝＝(n＝1,2，…)，所以A、B、D正确，C错误．


一、单选题
1．（2021·全国·高三专题练习）如图所示，在第Ⅰ象限内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一对正、负电子分别以相同速率沿与x轴正方向成30°角的方向从原点射入磁场，则正、负电子在磁场中运动的时间之比为（ ）

A．1∶ B．1∶1 C．1∶2 D．2∶1
【答案】D
【解析】画出正负电子在磁场中做圆周运动的轨迹如图所示

由图可知，正电子圆弧轨迹对应的圆心角为120°，负电子圆弧轨迹对应的圆心角为60°，又正负电子在磁场中做匀速圆周运动的周期T＝相同，故正负电子在磁场中运动的时间之比为2∶1。
故选D。
2．（2022·全国·高三专题练习）如图所示的虚线框为一长方形区域，该区域内有一垂直于纸面向里的匀强磁场，一束电子以不同的速率从O点垂直于磁场方向、沿图中方向射入磁场后，分别从a、b、c三点射出磁场，比较它们在磁场中的运动时间ta、tb、tc，其大小关系是（　　）

A．tatc D．ta 【答案】C
【解析】电子在磁场中做圆周运动的周期

则电子在磁场中运动的时间为

与速度无关，故在磁场中运动的时间取决于圆心角的大小。由几何关系可知，，故C正确；
故选C。
3．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，左右边界a、b内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，O点到边界a的距离与a到b的距离相等，质量为m、电荷量为q的带电粒子从O点射出，速度大小为、方向与磁场边界a夹角为，从a边界射入后，垂直于b边界射出，粒子重力不计，以下判断正确的是（　　）

A．带电粒子带正电 B．带电粒子出磁场时速度大小为
C．a、b边界的距离等于 D．粒子从O运动到b边界的时间为
【答案】D
【解析】A．结合题意，粒子的运动轨迹为

根据左手定则，可知该粒子带负电，故A错误；

B．洛伦兹力不做功，因此带电粒子出磁场的速度大小仍为，故B错误；
C．设a、b边界的距离为d，根据几何关系可知，圆周运动的半径为


根据洛伦兹力提供向心力

解得

故C错误；
D．粒子在磁场中做圆周运动的周期为

因此粒子总的运动的时间为

故D正确。
故选D。
4．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测）如图所示，两方向相反，磁感应强度大小均为的匀强磁场被边长为的等边三角形边界分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点处由一质子源，能沿的角平分线发射速度不同的质子（质子重力不计），所有质子均能通过点，质子比荷，则质子的速度不可能为（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】质子带正电，且经过点，其可能的轨迹如图所示

所有圆弧所对圆心角均为，根据几何关系可知，质子运行半径为
（，，）
质子在磁场中做圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得

联立解得
（，，）
可知质子的速度不可能为，C满足题意要求，ABD不满足题意要求。
故选C。
5．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，两匀强磁场的方向相同，以虚线MN为理想边界，磁感应强度大小分别为B1、B2，今有一质量为m、电荷量为e的电子从MN上的P点沿垂直于磁场方向射入匀强磁场B1中，其运动轨迹为如图虚线所示的“心”形图线。则以下说法正确的是（　　）

A．电子的运动轨迹为PENCMDP
B．B1＝2B2
C．电子从射入磁场到回到P点用时为
D．B1＝4B2
【答案】B
【解析】A．根据左手定则可知，电子从P点沿垂直于磁场的方向射入匀强磁场B1时，受到的洛伦兹力方向向上，所以电子的运行轨迹为PDMCNEP，故A错误；
BD．由题图可知，电子在左侧匀强磁场中的运动半径是在右侧匀强磁场中的运动半径的一半，根据r＝可知
B1＝2B2
故B正确，D错误；
C．电子在题图所示运动过程中，在左侧匀强磁场中运动两个半圆，即运动一个周期，在右侧匀强磁场中运动半个周期，所以
t＝＋
故C错误。
故选B。
6．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，在xOy平面内，从原点O处沿与x轴正方向成θ角（0＜θ＜π）以速率v发射一个带正电的粒子（重力不计）。则下列说法正确的是（       ）

A．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
B．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的角速度越大
C．若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
D．若v一定，θ越大，则粒子在离开磁场的位置距O点越远
【答案】C
【解析】ABC．粒子运动周期

当θ一定时，粒子在磁场中运动时间


由于t、ω均与v无关，AB错误，C正确；
D.当v一定时，由

知，r一定；当θ从0变至的过程中，θ越大，粒子离开磁场的位置距O点越远；当θ大于时，θ越大，粒子离开磁场的位置距O点越近，D错误。
故选C。
7．（2021·全国·高三专题练习）如图所示，两平行线EF和MN将磁场分割为上、下两部分，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子（不计重力）从EF线上的A点以速度v斜向下射入EF下方磁场，速度与EF成30°角，经过一段时间后粒子正好经过C点，经过C点时速度方向斜向右上方，与EF也成30°角。已知A、C两点间距为L，两平行线间距为d，下列说法不正确的是（　　）

A．粒子不可能带负电
B．磁感应强度大小可能为B＝
C．粒子到达C点的时间可能为＋
D．粒子的速度大小可能为v＝
【答案】A
【解析】A．若粒子带负电，其运动轨迹可能如图甲所示，粒子可以经过C点，故粒子可能带负电，A项错误，符合题意；
BD．若粒子带正电，第一次到达EF时经过C点，如图乙所示，由几何关系可知，粒子轨迹半径为L，由
qvB＝m
可解得
v＝
B＝
选项BD项正确，不符合题意；
C．若粒子带正电，其运动轨迹也可能如图丙所示，它在下方磁场中运动一次的时间
t1＝＝
在上方磁场中运动一次的时间
t2＝
在无磁场区域中做一次直线运动的时间为
t3＝
则粒子到达C点的时间可能为
t＝＋
C项正确，不符合题意。

故选A。
8．（2022·辽宁·模拟预测）磁场可以对带电粒子的运动施加影响，只要设计适当的磁场，就可以控制带电粒子进行诸如磁聚焦、磁扩散、磁偏转、磁约束与磁滞留等运动。利用电场和磁场来控制带电粒子的运动，在现代科学实验和技术设备中有广泛的应用，如图所示，以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，圆形区域外有垂直纸面向里的匀强磁场，两个磁场的磁感应强度大小都是B。有一质量为m、所带正电荷电荷量为q的带电粒子从P点沿半径垂直磁场射入圆形区域，粒子两次穿越磁场边界后又回到P点，不计粒子重力，则（　　）

A．粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为R
B．粒子从P点射入磁场的速度大小为
C．粒子从P点射出到第一次回到P点所需的时间为
D．如果圆形区域外的磁场在一个以O为圆心的圆环内，则该圆环的面积至少为
【答案】D
【解析】A．因为粒子两次穿越磁场边界后又回到P点，画出粒子轨迹示意图如图所示：

设粒子做圆周运动的轨迹半径为r，则有

可得

选项A错误；
B．由

可得

选项B错误；
C．粒子在磁场中匀速圆周运动的周期为

粒子从P点射出到第一次回到P点所需要的时间为

选项C错误；
D．由几何关系可知，圆环的大圆半径为，小圆半径为R，所以其面积为

选项D正确。
故选D。
二、多选题
9．（2022·内蒙古·二模）如图所示的等边三角形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，的中点O处有一粒子发射源，能向磁场区域沿垂直的方向发射一系列速率不同的同种正粒子，已知粒子的比荷为k，磁场区域的边长为L。则下列说法正确的是（　　）

A．粒子速度越大在磁场中运动的时间越短
B．从边离开的粒子在磁场中运动的时间相同
C．从边离开的粒子，速率的最大值为
D．从边的中点离开的粒子，速率为
【答案】BD
【解析】C．当粒子的轨迹与边相切时，能从边离开的粒子的速度最大，轨迹如图所示，轨迹与边的切点为H，圆心为，则由几何关系可知
，
解得

C错误；
AB．当粒子的速度小于时，粒子从边离开磁场，由图可知从边离开的粒子在磁场中均转动半个圆周，又

所以从边离开磁场的粒子在磁场中运动的时间相同，B正确； A错误；
D．当粒子从边的中点离开磁场时，粒子的轨迹如图所示，则粒子轨道的圆心应为A，则粒子的轨道半径为
，
解得

D正确。
故选BD。

10．（2022·云南·模拟预测）如图所示，圆弧区域内有磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，AOB为磁场区域边界。圆弧半径为R， O点为圆心，D点为边界OB中点，C点为边界上一点，且CD//AO。现有一个质量为m、带电荷量大小为q的粒子以某速度从C点沿着CD方向射入磁场， 一段时间后粒子从O点离开磁场，粒子重力不计，则（　　）

A．该粒子带正电
B．该粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R
C．该粒子从C点射入磁场的速度大小为
D．该粒子在磁场中运动的时间为
【答案】BD
【解析】根据左手定则可知道粒子带负电；因为粒子从C点进入，O点射出，作出粒子运动轨迹如图所示，因为

由几何关系得


由

得

粒子在磁场中运动的时间

故选BD。

11．（2022·湖北·模拟预测）如图所示，半径分别为R和2R的同心圆处于同一平面内，O为圆心，两圆形成的圆环内有垂直圆面向里的匀强磁场（圆形边界处也有磁场），磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为的粒子由大圆上的A点以速率沿大圆切线方向进入磁场，不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　）

A．带电粒子从A点出发第一次到达小圆边界上时，粒子运动的路程为
B．经过时间，粒子第1次回到A点
C．运动路程时，粒子第5次回到A点
D．粒子不可能回到A点
【答案】AB
【解析】依题意，可作出粒子的运动轨迹如图所示

A．依题意，可得粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为，带电粒子从A点出发第一次到达小圆边界上时，由几何知识可得此时粒子在磁场中运动轨迹所对圆心角为，则粒子运动的路程为

故A正确；
B．粒子第1次回到A点，由几何知识可得粒子在磁场运动的总时间为

在无磁场区域运动的总时间为

则粒子第1次回到A点运动的时间为

故B正确；
C．由几何知识，可得粒子第一次回到A点运动路程

则粒子第5次回到A点时，运动的总路程为

故C错误；
D．由以上选项分析可知，粒子能回到A点，故D错误。
故选AB。
12．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，边长为a的正方形线框内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。两个相同的带电粒子同时从AB边上的A点和E点（E点在AB之间，未画出），以相同的速度，沿平行于BC边的方向射入磁场，两带电粒子先后从BC边上的F点射出磁场，已知从A点入射的粒子射出磁场时速度方向与BF边的夹角θ=60°，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，则（　　）

A．带电粒子的比荷为
B．两个带电粒子在磁场中运动的时间之比为tA∶tE=2∶1
C．
D．
【答案】BC
【解析】AC.从A点射入的粒子射出磁场时速度方向与BF边的夹角为60°，如图甲所示

粒子在磁场中运动的圆心角为120°，有

可得


根据

可得带电粒子的比荷为

故A错误，C正确；
BD.从E点射入的粒子在磁场中的半径也为r，如图乙所示

由几何知识可得BE=a，AE=a，粒子在磁场中运动的圆心角为60°，则两个带电粒子在磁场中运动的时间之比为
tA∶tE=120°∶60°=2∶1
故B正确，D错误。
故选BC。
13．（2022·全国·高三专题练习）边长为a的等边三角形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一束质量为m电荷量为的带电粒子（不计重力）从边的中点沿平行边的方向以不同的速率射入磁场区域，则（　　）

A．从边射出的粒子的最大速率为
B．从边射出的粒子的最大速率为
C．能从边射出的粒子最小速率为
D．能从边射出的粒子最小速率为
【答案】AD
【解析】AB．如图所示，当粒子恰好从C点射出时，轨道半径最大，速率最大，圆心为O1，由几何关系可知，轨道半径

由牛顿第二定律可得

联立解得

A正确，B错误；
CD．当粒子的轨迹恰好与BC相切时，半径最小，速率最小，圆心为O2，由几何关系可知，轨道半径

由牛顿第二定律可得

联立解得

C错误，D正确。
故选AD。

14．（2022·全国·高三课时练习）如图在x轴上方存在垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，x轴下方存在垂直纸面向外的磁感应强度为的匀强磁场。一带负电的粒子从原点O以与x轴成30°角斜向上射入磁场，且在上方运动半径为R，则（　　）

A．粒子经偏转一定能回到原点O
B．粒子完在成一次周期性运动的时间为
C．粒子在x轴上方和下方两磁场中运动半径之比为1∶2
D．粒子第二次射入x轴上方磁场时，沿x轴前进了3R
【答案】CD
【解析】A．根据左手定则判断可知，负电荷在第一象限和第四象限所受的洛伦兹力方向不同，粒子在第一象限沿顺时针方向旋转，而在第四象限沿逆时针方向旋转，不可能回到原点O；故A错误；
B．负电荷在第一象限轨迹所对应的圆心角为60°，在第一象限轨迹所对应的圆心角也为60°，粒子圆周运动的周期为，保持不变，在一个周期内，粒子在第一象限运动的时间为

同理，在第四象限运动的时间为

完在成一次周期性运动的时间为

故B错误；
C．洛伦兹力提供向心力可知 ，知粒子圆周运动的半径与B成反比，则粒子在x轴上方和下方两磁场中运动的半径之比为1：2，故C正确；
D．根据几何知识得，粒子第二次射入x轴上方磁场时，沿x轴前进距离为

故D正确。
故选CD。
三、解答题
15．（2020·全国·高三专题练习）如图所示，某平面内有折线PAQ为磁场的分界线，已知∠A＝90°，AP＝AQ＝L．在折线的两侧分布着方向相反，与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小均为B．现有一质量为m、电荷量为＋q的粒子从P点沿PQ方向射出，途经A点到达Q点，不计粒子重力．求粒子初速度v应满足的条件及粒子从P经A到达Q所需时间的最小值．

【答案】       
【解析】根据运动的对称性，粒子能从P经A到达Q，运动轨迹如图所示，

由图可得：L＝nx
其中x为每次偏转圆弧对应的弦长，由几何关系知，偏转圆弧对应的圆心角为或．
设粒子运动轨迹的半径为R，由几何关系可得：2R2＝x2
解得：
又
解得：

当n取奇数时，粒子从P经A到Q过程中圆心角的总和为：
从P经A到Q的总时间为：

当n取偶数时，粒子从P经A到Q过程中圆心角的总和为：
从P经A到Q的总时间为：

综合上述两种情况，可得粒子从P经A到达Q所用时间的最小值为：

16．（2022·山东·蒙阴县实验中学高三阶段练习）如图所示，在xOy平面内，有一个圆形区域的直径AB与x轴重合，圆心O'的坐标为（2a，0），其半径为a，该区域内无磁场． 在ｙ轴和直线x＝3a之间的其他区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y轴上某点射入磁场．不计粒子重力。

（1）若粒子的初速度方向与ｙ轴正向夹角为60°，且粒子不经过圆形区域就能到达B点，求粒子的初速度大小v１；
（2）若粒子的初速度方向与ｙ轴正向夹角为60°，在磁场中运动的时间为Δt＝，且粒子也能到达B点，求粒子的初速度大小v２；
【答案】(1) ；(2)
【解析】(1)粒子不经过圆形区域就能到达B点，故粒子到达B点时速度竖直向下，圆心必在x轴正半轴上，设粒子做圆周运动的半径为r1，由几何关系得
r1sin30°=3a-r1
粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得

解得


(2)粒子在磁场中的运动周期为

粒子在磁场中的运动轨迹的圆心角为为

粒子到达B点的速度与x轴夹角β=30°，设粒子做圆周运动的半径为r2，由几何关系得

由牛顿第二定律得

解得

17．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，边长为的正方形匀强磁场区域内的点处有一粒子源，可以发射不同速率的质量为、电荷量为的带正电的粒子，粒子沿纸面以与成30°角的方向射入该匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向里，点是边的中点。不计粒子的重力以及粒子间的相互作用。
（1）求带电粒子在磁场中运动的周期；
（2）若粒子由边界离开磁场，求该粒子在磁场中的运动时间；
（3）若粒子离开磁场时的速度方向偏转了120°，求该粒子的速度大小。

【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动过程中，由牛顿第二定律有

根据圆周运动的周期公式

联立解得

（2）根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示

由图可知若粒子由边界离开磁场时，运动轨迹所对圆心角为

其运动时间

联立可得

（3）根据题意可知，带电粒子在磁场中运动的圆心角为120°，则弦切角与速度方向成60°，由几何关系可知，过点做边的垂线，与边交点为，即粒子从边界中点离开磁场，运动轨迹如图所示

由几何关系可知

解得

根据牛顿第二定律有

解得

18．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，直线上方有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度。两带有等量异种电荷的粒子，同时从点以相同速度射入磁场，速度方向与成角。已知粒子的质量均为，电荷量，不计粒子的重力及两粒子间相互作用力，求：
（1）它们从磁场中射出时相距多远？
（2）射出的时间差是多少？

【答案】（1）0.2m；（2）
【解析】（1）易知正、负电子偏转方向相反，做匀速圆周运动的半径相同，均设为r，根据牛顿第二定律有

解得

作出运动轨迹如图所示，根据几何关系可得它们从磁场中射出时相距


（2）正、负电子运动的周期均为

根据几何关系可知正、负电子转过的圆心角分别为60°和300°，所以射出的时间差是

19．（2022·全国·高三专题练习）如图，在xOy平面内存在以O点为圆心、半径为R的圆形磁场区域，磁场方向垂直坐标平面向外。质量为m，电荷量为+q的带电粒子自圆周上的A点以速度v0平行于x轴射入磁场区域，粒子自圆周上的B点离开磁场。已知OA连线与y轴夹角为45°，粒子重力忽略不计。求：
（1）做出粒子在磁场中的运动轨迹，并标注轨迹圆心；（不需要叙述作图过程，图正确即可得满分）
（2）磁场的磁感应强度大小；
（3）带电粒子在磁场中的运动时间。

【答案】（1） ；（2）；（3）
【解析】（1）如图所示

（2）由图可知，，，故与都是等腰三角形，故由几何知识可知，两个三角形垂直平分线必交于同一点C，则有，且，所以AOBO′为菱形，所以粒子轨迹半径，粒子在磁场中洛伦兹力提供向心力

解得

（3）因为，所以，粒子在磁场中运动周期

粒子在磁场中运动时间

解得

20．（2022·全国·高三专题练习）如图，xOy平面内有垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为-q(q>0)的带电粒子（不计粒子受到的重力）以大小为v0的初速度从y轴上的a点沿x轴正方向进入匀强磁场，其运动轨迹经过x轴上的b点，且。若撤去磁场换一个与y轴平行的匀强电场，带电粒子仍以速度v0从a点沿x轴正方向进入电场，运动轨迹仍能通过b点，求：
（1）粒子在磁场中从a点运动到b点的过程中，速度的偏转角的正弦值为多大？
（2）粒子在磁场中从a点运动到b点的时间？
（3）匀强电场的电场强度大小？

【答案】（1）0.8；（2）；（3）
【解析】（1）设，则，粒子在磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示，设粒子做圆周运动的轨道半径为r，由几何知识得

解得

粒子在磁场中从a点运动到b点的过程中，速度的偏转角的正弦值

则

（2）粒子在磁场中做圆周运动的周期

粒子在磁场中从a点运动到b点的时间

（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得

粒子在电场中做类平抛运动，水平方向

竖直方向

解得