中考数学专项训练（1）找规律含解析答案

这是一份中考数学专项训练（1）找规律含解析答案，共26页。试卷主要包含了如图是一个按某种规律排列的数阵，观察下面由正整数组成的数阵，观察下列等式等内容，欢迎下载使用。

中考数学专项训练（1）找规律
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

评卷人
得分



一、单选题
1．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个知形的面积为（    ）

A． B． C． D．
2．如图所示的图形都由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，若按此规律排列下去，则第50个图形中有（    ）个小圆圈．

A．2454 B．2605 C．2504 D．2554
3．用火柴棒按下图的方式搭图形，搭第n个图形需要火柴棒根数为（    ）

A． B． C． D．
4．如图，第1个图形中小黑点的个数为5个，第2个图形中小黑点的个数为9个，第3个图形中小黑点的个数为13个，…，按照这样的规律，第个图形中小黑点的个数应该是（    ）

A． B． C． D．
5．下列图形是由同样大小的棋子按一定规律组成的，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子，…，则第⑧个图形中棋子的颗数为（    ）

A．141 B．106 C．169 D．150
6．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第个图案有4个三角形和1个正方形，第个图案有7个三角形和2个正方形，第个图案有10个三角形和3个正方形，依此规律，如果第n个图案中正三角形和正方形的个数共有2021个，则n=（　　　）

A．504 B．505 C．506 D．507
7．按图示的方式摆放餐桌和椅子，图1中共有6把椅子，图2中共有10把椅子，…，按此规律，则图7中椅子把数是（　　）

A．28 B．30 C．36 D．42
8．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥3）行从左向右数第（n﹣2）个数是（　　　）（用含n的代数式表示）

A． B． C． D．
9．观察下面由正整数组成的数阵：

照此规律，按从上到下、从左到右的顺序，第51行的第1个数是（　　　）
A．2500 B．2501 C．2601 D．2602
10．观察下列等式：．解答下列问题：的末尾数字是    （    ）
A．0 B．2 C．3 D．9
11．观察下列算式：，，，，，，，，用你所发现的规律得出的末位数字是（    ）
A．2 B．4 C．8 D．6
12．已知又一个有序数组，按下列方式重新写成数组，使得，，，，接着按同样的方式重新写成数组，使得，，，，按照这个规律继续写下去，若有一个数组满足，则n的值为（    ）
A．9 B．10 C．11 D．12
13．观察式子：13=12，13+23=(1+2)2=32，13+23+33=(1+2+3)2=62，13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102，…，根据你发现的规律，计算53+63+73+83+93+103的结果是(　　)
A．2925 B．2025 C．3225 D．2625

评卷人
得分



二、填空题
14．将全体正偶数排成一个三角形数阵：按照以上规律排列，第25行第20个数是 ．
2
4   6
8   10   12
14   16   18   20
22   24   26   28   30
……
15．观察数表：根据数表所反映的规律，第行第列交叉点上的数应为 ．

16．如图，下面每个图形中的四个数都是按相同的规律填写的，根据此规律确定x的值为 ．

17．若是不等于的实数，我们把称为的差倒数，如的差倒数是的差倒数为，现已知是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，···，依此类推， 则 ．
18．德国数学家康托尔引入位于一条线段上的一些点的集合，做法如下：取一条长度为1的线段三等分后，去掉中间段，余下两条线段，达到第1阶段；将剩下的两条线段分别三等分后，各去掉中间段，余下四条线段，达到第2阶段；再将剩下四条线段分别三等分后，各去掉中间段，余下八条线段，达到第3阶段；．．，一直如此操作 下去大在不断分割舍 弃过程中，所形成的线段数目越来越多．

如图是最初几个阶段，
（1）当达到第5个阶段时，余下的线段条数为____________．
（2）当达到第n个阶段时(n为正整数)，去掉的线段的长度之和为___ (用含n的式子表示)
19．如图1是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示的方式两两相扣，相扣处不留空隙，小明用个如图1所示的图形拼出来的总长度会随着的变化而变化，与的关系式为 ．

20．已知：，， ，……，；则＝ ．（用含的代数式表示）
21．观察给定的分式，探索规律：
（1），，，，…其中第6个分式是 ；
（2），，，，…其中第6个分式是 ；
（3），，，，…其中第n个分式是 （n为正整数）．
22．某班要在一面墙上同时展示数张形状、大小均相同的矩形绘画作品，将这些作品排成一个矩形（作品不完全重合）．现需要在每张作品的四个角落都钉上图钉，如果作品有角落相邻，那么相邻的角落共享一枚图钉（例如，用9枚图钉将4张作品钉在墙上，如图）．若有43枚图钉可供选用，则最多可以按照要求展示绘画作品 张．


评卷人
得分



三、解答题
23．如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依次类推．
（1）填写下表：
层数
1
2
3
4
5
6
该层对应的点数






所有层的总点数






（2）写出第n层所对应的点数．
（3）如果某一层共96个点，你知道它是第几层吗？
（4）有没有一层，它的点数为100点？
（5）写出n层的六边形点阵的总点数．

24．如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，第3个图案中有16根小棒……
（1）第8个图案中有 根小棒；
（2）如果第n个图案中有1011根小棒，那么n的值是多少？

25．如图，将连续的奇数1，3，5，7，…按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数（如图2）分别用a，b，c，d，x表示．

（1）若，则______．
（2）用含x的式子分别表示数a，b，c，d．
（3）设，判断M的值能否等于2010，请说明理由．
26．一列数，其中，， ，……，；求：
（1）的值；
（2）的值．
27．观察下面一列数，探求其规律：
，，，，，，…
（1）请问第7个，第8个，第9个数分别是什么数？
（2）第2015个数是什么？如果这列数无限排列下去，与哪个数越来越接近？
28．从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表：
加数m的个数
和S
1
2＝1×2
2
2+4＝6＝2×3
3
2+4+6＝12＝3×4
4
2+4+6+8＝20＝4×5
5
2+4+6+8+10＝30＝5×6
（1）按这个规律，当m＝6时，和S为　 　；
（2）从2开始，m个连续偶数相加，它们的和S与m之间的关系，用公式表示出来为：S＝　 　．
（3）应用上述公式计算：
①2+4+6+…+100
②1002+1004+1006+…+1100
③1+3+5+7+…+99
29．观察下列等式：
，，．
将以上三个等式的两边分别相加，得：
．
（1）直接写出计算结果：＝________．
（2）计算：．
（3）猜想并直接写出：＝________．（n为正整数）
30．观察下面三行有规律的数：
-2，4，-8，16，- 32，64，……①
-4，2，-10，14，- 34，62，……②
4，-8，16，- 32，64，-128，……③
（1）第一行数的第10个数是__________ ；
（2）请联系第一行数的规律，直接写出第二行数的第10个数是____________；直接写出第三行数的第n个数是_____________；
（3）取每行的第100个数，计算这三个数和．

参考答案：
1．B
【分析】易得第二个矩形的面积为，第三个矩形的面积为，依此类推，第个矩形的面积为．
【详解】
解：已知第一个矩形的面积为1；
第二个矩形的面积为原来的；
第三个矩形的面积是；

故第个矩形的面积为：．
故选：．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理及矩形、菱形的性质，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
2．D
【分析】设第n个图形中有an个小圆圈(n为正整数)，根据图形中小圆圈个数的变化可找出“an＝4+n(n+1)(n为正整数)”，再代入n＝50即可求出结论．
【详解】解：设第n个图形中有an个小圆圈(n为正整数)
观察图形，可知：a1＝4+1×2，a2＝4+2×3，a3＝4+3×4，a4＝4+4×5，…，
∴an＝4+n(n+1)(n为正整数)，
∴a50＝4+50×51＝2554
故选D．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中小圆圈个数的变化找出变化规律“an＝4+n(n+1)(n为正整数)”是解题的关键．
3．A
【分析】观察给出图形的根数，发现以此增加2，即可列出代数式．
【详解】第一个图形有：1+2=3根，
第二个图形有：1+2×2=5根，
第三个图形有：1+2×3=7根，
第四个图形有：1+2×4=9根，

∴第n个图形有：2n+1根；
故选：A．
【点睛】本题考查列代数式表示图形的变化规律，找准每个图形增加的数量关系是解题关键．
4．A
【分析】观察规律，逐个总结，从特殊到一般即可．
【详解】第1个图形，1+1×4=5个；
第2个图形，1+2×4=9个；
第3个图形，1+3×4=13个；

第n个图形，1+4n个；
故选：A．
【点睛】本题考查利用整式表示图形的规律，仔细观察规律并用整式准确表达是解题关键．
5．A
【分析】本题的图从②个图开始可以看作是由图①的一个棋子为中心依次向外以五边形的形式向外扩张，棋子依次是的整数倍关系．所以第⑥个图形中棋子的颗数也就容易计算了．
【详解】解：
∵第①个图形中棋子的个数为： ＝1＋5×0；
第②个图形中棋子的个数为： ；
第③个图形中棋子的个数为：；
…
∴第个图形中棋子的个数为：；
则第⑧个图形中棋子的颗数为：
故应选A．
【点睛】本题考查了规律型中图形的变化类，根据图形中棋子数目的变化找出变化规律是解题的关键．
6．B
【分析】根据图形的变化规律、正方形和三角形的个数可发现第个图案有个三角形和个正方形，正三角形和正方形的个数共有个，进而可求得当时的值．
【详解】解：∵第①个图案有个三角形和个正方形，正三角形和正方形的个数共有个；
第②个图案有个三角形和个正方形，正三角形和正方形的个数共有个；
第③个图案有个三角形和个正方形，正三角形和正方形的个数共有个；
第④个图案有个三角形和个正方形，正三角形和正方形的个数共有个；

∴第个图案有个三角形和个正方形，正三角形和正方形的个数共有个
∵第个图案中正三角形和正方形的个数共有个
∴
∴．
故选择：B
【点睛】本题考查了图形变化类的规律问题、利用一元一次方程求解等，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．
7．B
【分析】观察图形变化，得出n张餐桌时，椅子数为4n+2把（n为正整数），代入n＝7即可得出结论．
【详解】解：1张桌子可以摆放的椅子数为：2+1×4＝6，
2张桌子可以摆放的椅子数为：2+2×4＝10，
3张桌子可以摆放的椅子数为：2+3×4＝14，
…，
n张桌子可以摆放的椅子数为：2+4n，
令n＝7，可得2+4×7＝30（把）．
故选：B．
【点睛】此题考查图形类规律探究，列式计算,根据图形的排列总结规律并运用解决问题是解题的关键．
8．B
【分析】观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出n-1行的数据的个数，再加上n-2得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可．
【详解】解：前（n﹣1）行的数据的个数为2+4+6+…+2（n﹣1）=n（n﹣1），
所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数的被开方数是n（n﹣1）+n﹣2=n2﹣2，
所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数是．
故选：B．
【点睛】本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前（n-1）行的数据的个数是解题的关键．
9．B
【分析】观察这个数列知，第n行的最后一个数是n2，第50行的最后一个数是502=2500，进而求出第51行的第1个数．
【详解】由题意可知，第n行的最后一个数是n2，
所以第50行的最后一个数是502=2500，
第51行的第1个数是2500+1=2501，
故选：B．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于发现第n行的最后一个数是n2的规律．
10．A
【分析】通过观察31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…，对前面几个数相加，可以发现末位数字分别是3，2，9，0，3，2，9，0，可知每四个为一个循环，从而可以求得3+32+33+34+…+32020的末位数字是多少．
【详解】解：∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…，
∴3=3，
3+9=12，
12+27=39，
39+81=120，
120+243=363，
363+729=1092，
1092+2187=3279，
...
通过上面式子可以发现这些数加起来的和的末位数字分别是3，2，9，0，3，2，9，0，可知每四个为一个循环
∵2020÷4=505
∴3+32+33+34+…+32020的末位数字是0
故选A．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类以及尾数特征，根据各数个位数字的变化，找出变化规律是解题的关键．
11．D
【分析】因为，，，，，，，，观察发现：的个位数字是2，4，8，6四个一循环，所以根据，，得出的个位数字与的个位数字相同是2，的个位数字与的个位数字相同是4，进一步求解即可．
【详解】解：，，，，，，，，．
，
，
∴的个位数字与的个位数字相同是2，
的个位数字与的个位数字相同是4，
．
故的末位数字是6．
故选：D．
【点睛】本题考查了尾数特征的应用，关键是能根据题意得出规律，利用规律解决问题．
12．B
【分析】根据题意可得=2，=22，=23，从而可得=2n，代入不等式并化简可得，即可求出n的值．
【详解】解：∵，，，，
∴=＋＋＋=2
∵，，，
∴=＋＋＋
=2
=22
同理可得：=23
∴=2n
∵
∴
∴
∵29=512，210=1024，211=2048
∴
∴n=10
故选B．
【点睛】此题考查的是探索规律题，找出规律并归纳公式是解题关键．
13．A
【分析】根据题意找到规律：即可求解．
【详解】解：∵13=12，
13+23=(1+2)2=32，
13+23+33=(1+2+3)2=62，
13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102，
…，
∴，
53+63+73+83+93+103
()-()



．
故选：A．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．
14．640
【分析】观察数字的变化，第n行有n个偶数，求出第n行第一个数，故可求解．
【详解】观察数字的变化可知：
第n行有n个偶数，
因为第1行的第1个数是：2＝1×0＋2；
第2行的第1个数是：4＝2×1＋2；
第3行的第1个数是：8＝3×2＋2；
…
所以第n行的第1个数是：n（n−1）＋2，
所以第25行第1个数是：25×24＋2＝602，
所以第25行第20个数是：602+2×19=640．
故答案为：640．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．
15．2n−1
【分析】由给出排列规律可知，第一行第一列交叉点上的数是1，第2行第2列交叉点上的数是3，…，第n 行与第n 列交叉点上的数构成一个等差数列．
【详解】解：由给出排列规律可知，
第一行第一列交叉点上的数是1，
第2行第2列交叉点上的数是3，
…，
交叉点上的数构成一个等差数列．
第n 行与第n 列交叉点上的数是2n−1，
故答案为：2n−1．
【点睛】本题考查归纳推理，解答关键是利用已有的数据进行归纳，解题时要认真审题，仔细解答．
16．370．
【详解】试题分析：观察可得左下角数字为偶数，右上角数字为奇数，所以2n=20，m=2n﹣1，解得n=10，m=19，又因右下角数字：第一个：1=1×2﹣1，第二个：10=3×4﹣2，第三个：27=5×6﹣3，由此可得第n个：2n（2n﹣1）﹣n，即可得x=19×20﹣10=370．
考点：数字规律探究题.
17．
【分析】根据差倒数的概念逐一计算，然后找到规律，利用规律即可解答．
【详解】，
，
同理， ，
∴是这三个数的循环．
∵ ，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查差倒数，理解差倒数的求法并找到规律是解题的关键．
18．（1）32；（2）．
【分析】根据题意写出前面所求的结果的式子，然后推广得出规律，即可解答．
【详解】（1）根据题意可知：第一阶段余下的线段的条数为条；
第二阶段余下的线段的条数为条；
第三阶段余下的线段的条数为条；
第四阶段余下的线段的条数为条；
第五阶段余下的线段的条数为条；
故答案为32．　
（2）根据题意可知：第一阶段去掉的线段的长度为；
第二阶段去掉的线段的长度和为；
第三阶段去掉的线段的长度和为；
以此类推，
第n阶段去掉的线段的长度和为．
故答案为．
【点睛】考查发现图形的规律，根据图形写出前面的几种情况，然后找出其规律是解答本题的关键．
19．
【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．
【详解】观察图形可知：
当两个图（1）拼接时，总长度为：7+5=12；
当三个图（1）拼接时，总长度为：7+2×5；
以此类推，可知：
用x个这样的图形拼出来的图形总长度为：，
∴与的关系式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形规律，根据图形的拼接规律得出y与x的关系式是解题的关键．
20．
【分析】观察数据可知，，=1-t，=，，…，从第一项开始3个一循环，再用2020除以3得出余数即可求解．
【详解】解：观察数据可知：，=1-t，=，，…，从第一项开始3个一循环，
∵2020÷3＝673…1，
∴＝．
故答案为：．
【点睛】考查了规律型：数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．
21．
【分析】（1）分子是连续正整数，分母是以x为底，指数是连续正整数，第六个分式的分子是6，分母是 x6
（2）分子是以x为底，指数是连续偶数，分母是以y为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第偶数个分式符号为负，第六个分式是负号，分子是x12，分母是 y11,
（3）分子是以b为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n个指数是3n-1；分母是以a为底，指数是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n个分式的符号是（-1）n, 分子是b3n-1，分母是 an,
【详解】解：（1）分子是连续正整数，分母是以x为底，指数是连续正整数，所以，第六个分式是，
（2）分子是以x为底，指数是连续偶数，分母是以y为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第偶数个分式符号为负，所以，第六个分式是，
（3）分子是以b为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n个指数是3n-1；分母是以a为底，指数是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n个符号为（-1）n，所以，第六个分式是
【点睛】本题考查了数字之间的规律，连续正整数、奇数、偶数和依次递增3的数字规律，包括符号依次变化规律，熟练掌握特殊数字之间的规律是解题关键
22．30
【分析】分别找出展示的绘画作品展示成一行、二行、三行、四行、五行、六行、七行的时候，43枚图钉最多可以展示的画的数量，比较后即可得出结论．
【详解】解：①如果所有的画展示成一行，43÷（1+1）=21……1，
∴43枚图钉最多可以展示20张画；
②如果所有的画展示成两行，43÷（2+1）=14……1，
14-1=13（张），2×13=26（张），
∴43枚图钉最多可以展示26张画；
③如果所有的画展示成三行，43÷（3+1）=10……3，
10-1=9（张），3×9=27（张），
∴43枚图钉最多可以展示27张画；
④如果所有的画展示成四行，43÷（4+1）=8……3，
8-1=7（张），4×7=28（张），
∴43枚图钉最多可以展示28张画；
⑤如果所有的画展示成五行，43÷（5+1）=7……1，
7-1=6（张），5×6=30（张），
∴43枚图钉最多可以展示30张画；
⑥如果所有的画展示成六行，43÷（6+1）=6……1，
6-1=5（张），6×5=30（张），
∴43枚图钉最多可以展示30张画；
⑦如果所有的画展示成七行，43÷（7+1）=5……3，
5-1=4（张），4×7=28（张），
∴43枚图钉最多可以展示28张画；
综上所述：43枚图钉最多可以展示30张画．
故答案为：30．
【点睛】本题考查了规律型中图形的变化类，观察图形，求出展示的绘画作品展示成一行、二行、三行、四行、五行、六行、七行时，最多可以展示的画的数量是解题的关键．
23．（1）见详解；（2）（6n﹣6）个点；（3）17；（4）没有；（5）3n2﹣3n+1．
【分析】（1）观察点阵可以写出答案；
（2）观察点阵可知：第二层每边有2个点，第三层每边有3个点，第四层每边有4个点，第五层每边有5个点，得出第n（n＞1）层每边对应的点数是n，从而得出第n层所对应的点数；
（3）根据六边形有六条边，则第一层有1个点，第二层有2×6﹣6＝6（个）点，第三层有3×6﹣6＝12（个）点，进一步得出第n层有6（n﹣1）个点，代入96求得答案即可；
（4）将100代入建立方程求解即可判定；
（5）根据表格所得出的规律是从第二层，后面到几层就增加几个数6，由此即可求出答案．
【详解】解：（1）如表：
层数
1
2
3
4
5
6
该层对应的点数
1
6
12
18
24
30
所有层的总点数
1
7
19
37
61
91
（2）根据表格可得出第n层每边对应的点数是n；
则第n层所对应的点数为（6n﹣6）个点，
（3）因为第n层有（6n﹣6）个点，
则有6n﹣6＝96，
解得n＝17，
即在第17层；
（4）6n﹣6＝100
解得，不合题意，所以没有一层，它的点数为100点；
（5）第二层开始，每增加一层就增加六个点，即n层六边形点阵的总点数为，
1+1×6+2×6+3×6+…+（n﹣1）×6
＝1+6[1+2+3+4+…+（n﹣1）]
＝1+6
＝1+3n（n﹣1）
＝3n2﹣3n+1．
第n层六边形的点阵的总点数为：3n2﹣3n+1．
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．
24．（1）41；（2）202
【分析】（1）前三个图案中的6，11，16可分别写为6=5×1+1，11=5×2+1，16=5×3+1，于是可得规律，进而可求出第8个图案的小棒数量；
（2）由（1）题的规律可得第n个图案中小棒的数量，于是可得关于n的方程，解方程即得答案．
【详解】解：第1个图案中有6根小棒，6=5×1+1，
第2个图案中有11根小棒，11=5×2+1，
第3个图案中有16根小棒，16=5×3+1，
……，
所以第8个图案中有（5×8+1）=41根小棒；
故答案为：41；
（2）第n个图案中有根小棒，根据题意，得
5n+1=1011，解得n=202．
答：n的值是202．
【点睛】本题考查了图形类规律探求和一元一次方程的应用，找准规律是解题的关键．
25．（1）68；（2），，，；（3）不能等于2010，理由见解析．
【分析】观察图1，可知：，，，．
（1）当x=17时，找出a、b、c、d的值，将其相加即可求出结论；
（2）由，，，，即可求出a+b+c+d的值；
（3）根据M=2020，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值，由x为偶数即可得出M不能为2010．
【详解】观察图1，可知：，，，．
（1）当x=17时，a=5，b=15，c=19，d=29，
∴．
故答案为：68．
（2）∵，，，，
∴，
故答案为：；
（3）M的值不能等于2020，理由如下：
∵，
∴M，则，
解得：．
∵402是偶数不是奇数，
∴与题目为奇数的要求矛盾，
∴M不能为2010．
【点睛】本题考查了规律型中数字的变化类以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）将a、b、c、d四个数相加；（2）观察图1，用含x的代数式表示出a、b、c、d；（3）由M=2010，列出关于x的一元一次方程．
26．（1）-1；（2）1009
【分析】（1）先依次计算出的值，从中发现循环规律，然后对应解答问题．
（2）根据第（1）题的数字循环规律，即可求解．
【详解】解：（1）∵ ，  ， ，，…… ．
从上面的解答可以看出的值依次按-1，，2为一个循环节循环的．
∵，
∴的值对应的是“-1，，2”循环节的第一个数，
故；
（2）∵，一个循环节的和为-1++2=，
∴余数为2对应的-1，两个数．
∴=．
【点睛】本题可以看作“数式循环规律”的题型，这类题关键经过计算得出循环的规律，得出循环节的组成，在根据问题与循环节的对应关系解答问题．
27．（1），，；（2），与0越来越接近
【分析】（1）分子是1，分母是从1开始连续的自然数，奇数位置为负，偶数位置为正，第个数是；
（2）根据（1）中发现的规律即可求解，因为它们的分子不变是1，分母越来越大，所以越来越接近0．
【详解】解：（1）第个数是，
第7个，第8个，第9个数分别是，，．
（2）第2015个数是，如果这列数无限排列下去，与0越来越接近．
【点睛】此题考查数字的变化规律，通过观察，分析、归纳发现符号、分子、分母的规律，并应用发现的规律解决问题．
28．（1）；（2）；（3）①；②；③．
【分析】（1）根据规律列出运算式子，计算有理数的乘法即可得；
（2）根据表格归纳类推出一般规律即可得；
（3）①根据（2）的结论列出运算式子，计算有理数的乘法即可得；
②利用的值减去的值即可得；
③将运算中的每个加数都加上1可变成（3）①的运算式子，再减去50即可得．
【详解】（1）根据规律得：当时，和，
故答案为：42；
（2）由表可知，当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
归纳类推得：，
故答案为：；
（3）①，
，
；
②，
，
，
，
，
；
③，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了有理数加减法与乘法的规律型问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
29．（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）根据所给等式对进行拆分，然后计算即可；
（2）按照（1）的思路对拆分计算即可；
（3）由（2）的结论，可以推出，然后运用该规律解答即可．
【详解】解：（1）
=
=1-
=；
故答案为；
（2）
=
=
；
（3）
=
=
=
=．
【点睛】本题主要考查了探究数字规律和有理数的混合运算，分析已知等式、找出规律是解答本题的关键．
30．（1）1024；（2）1022，；（3）－2．
【分析】（1）通过观察可知第一行数据的规律是，进而可以得出答案；
（2）通过观察可知第二行的数字的规律是：第一行的数字减去2，第三行的数字的规律是：第一行的数字乘以－2，便可得出答案；
（3）根据得出的规律将每一行第100个数字相加即可．
【详解】解：（1）∵-2，4，-8，16，- 32，64，……，
∴该组数据的规律是：，，，，，，……，
∴第一行数的第10个数是；
（2）通过观察可知第二行的数字的规律是：第一行的数字减去2，
第三行的数字的规律是：第一行的数字乘以－2，
则第二行的第10个数是，第三行的第n个数是，
（3）∵第一行数的第100个数是，第二行的第100个数是，第三行的第100个数是
∴，
即这三个数的和为－2．
【点睛】本题考查了数字的规律探究，找出数字的规律是解题的关键．