中考数学专项训练（6）二次函数图形与系数关系含解析答案

这是一份中考数学专项训练（6）二次函数图形与系数关系含解析答案，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

中考数学专项训练（6）二次函数图形与系数关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则应满足的条件是（　　）

A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＞0 C．a＞0，b＜0，c＜0 D．a＞0，b＞0，c＜0
2．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列选项正确的是

A．a＞0 B．c＞0 C．ac＞0 D．bc＜0
3．若，则二次函数的图象可能是（    ）
A．   B．  
C．   D．  
4．一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）

A． B． C． D．
5．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ）

A． B． C． D．
6．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ）

A． B．
C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数和二次函数的图象大致如图所示，它们的表达式可能分别为（  ）

A． B．
C． D．
8．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图象可能是(　　)
A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（　　）

A．abc＜0，b2﹣4ac＞0 B．abc＞0，b2﹣4ac＞0
C．abc＜0，b2﹣4ac＜0 D．abc＞0，b2﹣4ac＜0
10．若二次函数y＝ax2﹣2x﹣1的图象和x轴有交点，则a的取值范围为(    )
A．a＞﹣1 B．a＞﹣1且a≠0
C．a≥﹣1 D．a≥﹣1且a≠0
11．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）

A．abc＜0 B．b2﹣4ac＜0 C．a﹣b+c＜0 D．2a+b＝0
12．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③2a﹣b＝0；④abc＞0，其中正确结论的个数是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
13．二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的是(    )
①
②
③
④

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
15．二次函数y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac－b²＜0；②4a＋c＜2b；③3b＋2c＜0；④abc＞0，其中正确结论的个数有（    ）

A．4个 B．1个 C．2个 D．3个
16．如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（    ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
17．如图，已知二次函数y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的图如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b－a＞c；③4a＋2b＋c＞0；④a＋b＞m（am＋b） （m≠1）．其中正确的结论有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确结论的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
19．小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像中，观察得出了下面五条信息：
①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤．
你认为其中正确信息的个数有
  
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
20．已知二次函数的解析式为（、、为常数，），且，下列说法：①；②；③方程有两个不同根、，且；④二次函数的图象与坐标轴有三个不同交点，其中正确的个数是（    ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
21．二次函数图象如图，下列正确的个数为　　
①；②；③；④有两个解，，当时，，；⑤；⑥当时，随增大而减小．

A．2 B．3 C．4 D．5

二、填空题
22．若抛物线y＝（a－1）x2－2x＋3与x轴有交点，则整数a的最大值是 ．
23．如图，抛物线过点，且对称轴为直线，有下列结论：
①；②；③抛物线经过点与点，则；④无论取何值，抛物线都经过同一个点；⑤，其中所有正确的结论是 ．

24．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列说法：①ac＞0；②2a+b=0；③a+b+c=0；④当x＞1时，函数y随x的增大而增大；⑤当y＞0时，-1＜x＜3．其中，正确的说法有 （请写出所有正确说法的序号）．

25．对于二次函数y=x2﹣2mx﹣3，有下列说法：
①它的图象与x轴有两个公共点；
②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；
③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=﹣1；
④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为﹣3．
其中正确的说法是 ．（把你认为正确说法的序号都填上）

三、解答题
26．已知关于x的二次函数y=x2﹣（2m+3）x+m2+2
（1）若二次函数y的图象与x轴有两个交点，求实数m的取值范围．
（2）设二次函数y的图象与x轴的交点为A（x1，0），B（x2，0），且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值．
27．已知二次函数y＝x2－（m＋2）x＋2m－1
（1）求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；
（2）若该函数的图象与y轴交于点（0，3）．
①求函数图象与x轴的交点坐标；
②当0＜x＜5时，求y的取值范围．

参考答案：
1．D
【详解】试题解析：根据开口向上可判断a＞0，对称轴在y轴左侧可判断b＞0，与y轴交于负半轴可判断c＜0，
故选D．
2．C
【详解】解：：根据图象：
由抛物线开口向下得a＜0，
根据对称轴在y轴左侧得到a与b同号得b＜0，
由抛物线与y轴交点在负半轴得c＜0．
因此，ac＞0，bc＞0．
故选C．
3．D
【分析】分别从抛物线的开口方向，对称轴，与y轴的交点位置进行判断即可．
【详解】∵，则抛物线开口向上，
又∵二次函数，
∴抛物线与y轴交于（-1，0）点，且对称轴
∴D符合题意，
故选D.
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象开口向上或向下，分a＞0或a＜0两种情况分类考虑．另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或顶点坐标的位置等，是常考题．
4．D
【分析】根据一次函数图像经过的象限以及与坐标轴的交点可知：，由此可知二次函数开口方向，坐标轴情况，依此判断即可．
【详解】解：观察一次函数图像可知，
∴二次函数开口向下，
对称轴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查一次函数的图像以及二次函数的图像，根据一次函数图像经过的象限以及与坐标轴的交点情况判断a、b的正负是解题的关键．
5．D
【分析】根据二次函数与一次函数的图象可知，，，从而判断出二次函数的图象．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，
∴，
∵次函数的图象经过一、三、四象限，
∴，，
对于二次函数的图象，
∵，开口向上，排除A、B选项；
∵，，
∴对称轴，
∴D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数的图象和一次函数图象经过的象限，找出，，是解题的关键．
6．D
【分析】根据二次函数图象确定系数的符号，再根据一次函数、反比例函数的图象与性质解题．
【详解】二次函数的图象开口向下，

二次函数的图象与y轴交点在x轴上方，

二次函数的图象对称轴在轴的左侧，
同号，

一次函数图象经过第二、一、四象限，
反比例函数图象分布在第二、四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象与性质、一次函数图象与性质、反比例函数的图象与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
7．D
【分析】根据反比例函数图像的位置判断的符号，再结合二次函数的图像和性质，逐项判断即可
【详解】A、由反比例函数的图像可知，，则二次函数的图像开口应向下，与图像不符，故选项错误；
B、由反比例函数的图像可知，，则二次函数的图像开口应向下，与图像不符，故选项错误；
C、由反比例函数的图像可知，，则二次函数的图像开口向上，对称轴应位于轴的右侧，与图像不符，故选项错误；
D、由反比例函数的图像可知，，则二次函数的图像开口向上，对称轴应位于轴的左侧，与图像相符，故选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数，二次函数图像的性质，解题关键是熟练掌握反比例函数和二次函数的图像和性质．
8．D
【分析】根据两个函数的开口方向及第一个函数与y轴的交点，第二个函数的对称轴可得相关图象．
【详解】解：A、两个函数的开口方向都向上，那么a＞0，b＞0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于正半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误；
B、两个函数的开口方向都向下，那么a＜0，b＜0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于负半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误；
C、D、两个函数一个开口向上，一个开口向下，那么a，b异号，可得第二个函数的对称轴在y轴的右侧，故C错误，D正确．
故选D．
【点睛】本题考查二次函数图象的性质，用到的知识点为：二次函数的二次项系数大于0，开口方向向上，小于0，开口方向向下；二次项系数和一次项系数同号，对称轴在y轴的左侧，异号在y轴的右侧；一次项系数为0，对称轴为y轴；常数项是二次函数与y轴交点的纵坐标．
9．B
【详解】解：根据二次函数的图象知：
抛物线开口向上，则a＞0，
抛物线的对称轴在y轴右侧，则x=﹣＞0，所以b＜0，
抛物线交y轴于负半轴，则c＜0，
∴abc＞0，
∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，熟知抛物线的开口方向确定a的符号，结合对称轴可确定b的符号，根据与y轴交点确定c的符号，与x轴交点的个数确定b2-4ac的符号是解题的关键．
10．D
【分析】根据二次函数与x轴的交点判断方法：△>0时有两个交点；△=0时有一个交点；△<0时无交点.以及二次项系数不为0，可求出的取值范围
【详解】解：∵二次函数y＝ax2﹣2x﹣1的图象和x轴有交点
∴△=，即，解得：
∵
∴且
∴选D
故答案是：D.
【点睛】本题主要考察二次函数图象与x轴的交点问题，熟记二次函数与x轴交点的判断方法及二次项系数不为0是解题的关键.
11．D
【分析】由图可知a＞0，与y轴的交点c＜0，对称轴x＝1；函数与x轴有两个不同的交点；当x＝﹣1时，y＞0．
【详解】由图可知a＞0，与y轴的交点c＜0，对称轴x＝1，
∴b＝﹣2a＜0；
∴abc＞0，A错误；
由图象可知，函数与x轴有两个不同的交点，
∴△＞0，B错误；
当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，C错误；
∵b＝﹣2a，D正确；
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能够从给出的图象上获取信息确定a，b，c，△，对称轴之间的关系是解题的关键．
12．B
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【详解】解：①由图象可知：△＞0，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，故①正确；
②当x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，
∴4a+c＞2b，故②错误；
③由对称轴可知：
∴2a﹣b＝0，故③正确；
④由图象可知：a＜0，c＞0，
对称轴可知：
∴b＜0，
∴abc＞0，故④正确；
故选B．
【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．
13．A
【分析】由函数图象可知a＜0，对称轴-1＜x＜0，；，图象与y轴的交点c＞0，函数与x轴有两个不同的交点；△=b2-4ac＞0；再由图象可知当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0；当x=-1时，y＞0，即a-b+c＞0；即可求解．
【详解】解：由函数图象可知，对称轴，图象与y轴的交点，函数与x轴有两个不同的交点，
∴，；③错误
；②错
；①错误
当时，，即；
当时，，即；
∴，即；
∴只有④是正确的；
故选A．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数的图象及性质，能够通过图象获取信息，推导出a，b，c，△，对称轴的关系是解题的关键．
14．B
【分析】先由抛物线与x轴的交点个数判断出结论①，先由抛物线的开口方向判断出a＜0，进而判断出b＞0，再用抛物线与y轴的交点的位置判断出c＞0，判断出结论②，利用抛物线的对称轴为x＝2，判断出结论③，最后用x＝﹣2时，抛物线在x轴下方，判断出结论④，即可得出结论．
【详解】解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，故①正确，
由图象知，抛物线的对称轴直线为x＝2，
∴﹣＝2，
∴4a+b＝0，故③正确，
由图象知，抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∵4a+b＝0，
∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＜0，故②正确，
由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，故④错误，
即正确的结论有3个，
故选：B．
【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知各系数与图像的关系．
15．D
【分析】根据图像信息，确定开口方向、对称轴等，再根据二次函数图像与系数的关系进行逐个判断即可．
【详解】解：由图像可知：二次函数的开口向下，对称轴为，图像与轴有两个交点，与轴的交点横坐标：，与交点的纵坐标
∴，，即；，即，①正确；
∴，④正确
∵
∴，即
又∵
∴，即，③正确
∵，对称轴为
∴与轴的另一交点的横坐标：
∴，即，，②错误，
故答案选D．
【点睛】此题主要考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握图像与系数的关系是解题的关键．
16．B
【分析】由抛物线的性质和对称轴是，分别判断a、b、c的符号，即可判断①；抛物线与x轴有两个交点，可判断②；由，得，令，求函数值，即可判断③；令时，则，令时，，即可判断④；然后得到答案．
【详解】解：根据题意，则，，
∵，
∴，
∴，故①错误；
由抛物线与x轴有两个交点，则，故②正确；
∵，
令时，，
∴，故③正确；
在中，
令时，则，
令时，，
由两式相加，得，故④正确；
∴正确的结论有：②③④，共3个；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练判断各个式子的符号．
17．C
【分析】根据图像信息，确定开口方向、对称轴等，再根据二次函数图像与系数的关系进行逐个判断即可．
【详解】解：由图像可知：二次函数的开口向下，对称轴为，与轴的交点横坐标：
与交点的纵坐标
∴，，即
∴，①错误；
，即，移项得：，②正确；
∵，对称轴为
∴与轴的另一交点的横坐标：
∴，即，③正确
对称轴，，∴，最大，即
∵
∴，即：，④正确
故答案选C．
【点睛】此题主要考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握图像与系数的关系是解题的关键．
18．D
【分析】由抛物线的对称轴公式即可对②进行判断；由抛物线的开口方向可判断a，结合抛物线的对称轴可判断b，根据抛物线与y轴的交点可判断c，进而可判断①；由图象可得：当x=3时，y＞0，即9a+3b+c＞0，结合②的结论可判断③；由于当x=1时，二次函数y取最小值a+b+c，即（m为实数），进一步即可对④进行判断，从而可得答案．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，
∵抛物线的对称轴是直线x=1，∴，
∴b＜0，，故②正确；
∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，
∴，故①正确；
∵当x=3时，y＞0，∴9a+3b+c＞0，
∵，∴，
整理即得：，故③正确；
∵当x=1时，二次函数y取最小值a+b+c，
∴（m为实数），即（m为实数），故④正确．
综上，正确结论的个数有4个．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与其系数间的关系等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
19．D
【详解】①如图，∵抛物线开口方向向下，
∴a＜0．
∵对称轴x，
∴＜0．
∴ab＞0．故①正确，符合题意．
②如图，当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0．故②正确，符合题意．
③如图，当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，∴2a﹣2b+2c＞0，即3b﹣2b+2c＞0．∴b+2c＞0．故③正确，符合题意．
④如图，当x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0．
∵b＜0，∴c﹣b＞0．
∴（a﹣b+c）+（c﹣b）+2c＞0，即a﹣2b+4c＞0．故④正确，符合题意．
⑤如图，对称轴，则．故⑤正确，符合题意．
综上所述，正确的结论是①②③④⑤，共5个．
故选D．
20．B
【分析】根据a的符号分类讨论，分别画出对应的图象，根据二次函数的图象逐一分析，找出所有情况下都正确的结论即可．
【详解】解：当a＞0时，即抛物线的开口向上
∵
∴，
即当x=1时，y=
∴此时抛物线与x轴有两个交点，如图所示

∴，故①错误；
∵
∴，故此时②正确；
由图象可知：x1＜1，x2＞1
∴
∴，故此时③正确；
当c=0时，二次函数的图象与坐标轴有两个不同交点，故④错误；
当a＜0时，即抛物线的开口向下
∵
∴，
即当x=1时，y=
∴此时抛物线与x轴有两个交点，如图所示

∴，故①错误；
∵
∴，故此时②正确；
由图象可知：x1＜1，x2＞1
∴
∴，故此时③正确；
当c=0时，二次函数的图象与坐标轴有两个不同交点，故④错误；
综上所述：①错误；②正确；③正确；④错误，正确的有2个
故选B．
【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
21．B
【分析】根据抛物线开口向上可得，结合对称轴在轴右侧得出，根据抛物线与轴的交点在负半轴可得，再根据有理数乘法法则判断①；再由不等式的性质判断②；根据对称轴为直线判断③；根据图象与轴的两个交点分别在原点的左右两侧判断④；由时，判断⑤；根据二次函数的增减性判断⑥．
【详解】解：①抛物线开口向上，
，
对称轴在轴右侧，
，异号即，
抛物线与轴的交点在负半轴，
，
，故①正确；
②，，
，故②错误；
③对称轴，，
，
，故③正确；
④由图形可知二次函数与轴的两个交点分别在原点的左右两侧，
即方程有两个解，，当时，，，故④正确；
⑤由图形可知时，，故⑤错误；
⑥，对称轴，
当时，随增大而增大，故⑥错误．
综上所述，正确的结论是①③④，共3个．
故选：．
【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数的性质，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换．
22．0
【分析】抛物线与x轴有交点，判别式大于等于0即可求解．
【详解】解：∵抛物线与x轴有交点
∴，
解得：，
∵a≠1
故答案为0
【点睛】此题主要考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握有关性质是解题的关键，易错点是容易忽略二次项系数不能为0．
23．②④⑤
【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，则a＞0，
顶点在y轴右侧，则b＜0，
抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0，
∴abc＞0，故①错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c过点（﹣1，0），且对称轴为直线x=1，
∴抛物线y=ax2+bx+c过点（3，0），
∴当x=3时，y=9a+3b+c=0，
∵a＞0，
∴10a+3b+c＞0，故②正确；
∵对称轴为x=1，且开口向上，
∴离对称轴水平距离越大，函数值越大，
∴y1＜y2，故③错误；
当x=时，y=a•（）2+b•（）+c==，
∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c=0，
∴当x=时，y=a•（）2+b•（）+c=0，
即无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点（，0），故④正确；
x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，
x=1对应的函数值为y=a+b+c，
又∵x=1时函数取得最小值，
∴am2+bm+c≥a+b+c，即am2+bm≥a+b，
∵b=﹣2a，
∴am2+bm+a≥0，故⑤正确；
故答案为②④⑤．
24．②⑤
【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴a＜0，c＞0，
∴ac＜0，∴①错误；
由图象可知：-=1，
∴2a+b=0，∴②正确；
当x=1时，y=a+b+c＞0，
∴③错误；
由图象可知：当x＞1时，函数y随x的增大而减小，
∴④错误；
根据图象，当-1＜x＜3时，y＞0，
∴⑤正确；
正确的说法有②⑤．
故答案为：②⑤．
25．①④
【分析】①根据函数与方程的关系解答；②找到二次函数的对称轴，再判断函数的增减性；③将m=-1代入解析式，求出和x轴的交点坐标，即可判断；④根据坐标的对称性，求出m的值，得到函数解析式，将m=2012代入解析式即可．
【详解】①∵△=4m2-4×（-3）=4m2+12＞0，∴它的图象与x轴有两个公共点，故①正确；
②∵当x≤1时y随x的增大而减小，函数的对称轴x=-≥1，
∴在直线x=1的右侧（包括与直线x=1重合），
则-≥1，即m≥1，故②错误；
③将m=-1代入解析式，得y=x2+2x-3，当y=0时，得x2+2x-3=0，即（x-1）（x+3）=0，
解得，x1=1，x2=-3，将图象向左平移3个单位后不过原点，故③错误；
④∵当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，
∴对称轴为x==1006，
则-=1006，m=1006，
原函数可化为y=x2-2012x-3，当x=2012时，y=20122-2012×2012-3=-3，故④正确，
故答案为①④.
【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象与几何变换、抛物线与x轴的交点，综合性较强，熟练掌握二次函数的性质以及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键.
26．(1)m>- (2)m=2
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系列出方程，解方程即可．
【详解】解：（1）由题意得：[﹣（2m+3）]2﹣4×1×（m2+2）＞0，
解得：m＞﹣；
（2）由根与系数的关系可知，x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，x12+x22=31+|x1x2|，
（x1+x2）2﹣2x1x2=31+|x1x2|，
（2m+3）2﹣2×（m2+2）=31+m2+2，
整理得：m2+12m﹣28=0，
解得：m1=2，m2=﹣14（舍去），
当m=2时，满足x12+x22=31+|x1x2|．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的关系、一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解题的关键．
27．（1）证明见解析；（2）①，②当0＜x＜5时，y的取值范围为：＜
【分析】（1）令 则再证明＞ 即可得到结论；
（2）①先求解的值，再求解抛物线的解析式，再把代入函数解析式，解方程即可；②根据函数的解析式先求解函数的最小值，再分别计算当时的函数值，从而可得答案.
【详解】解：（1）令 则



＞
方程总有两个不相等的实数根，即抛物线与轴总有两个交点；
（2）① 函数的图象与y轴交于点（0，3）．


抛物线的解析式为：
当


所以抛物线与轴的交点坐标为：
②
抛物线的开口向上，当时，函数的最小值为
当时，
当时，
当0＜x＜5时，y的取值范围为：＜
【点睛】本题考查的是二次函数与轴，轴的交点，二次函数的性质，掌握利用一元二次方程根的判别式知识解决交点问题是解题的关键.