中考数学专项训练（14）勾股定理相关模型含解析答案

这是一份中考数学专项训练（14）勾股定理相关模型含解析答案，共51页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．如图，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若AB=，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．5
2．如图，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S1， S2， S3．若S1 36，S2 64，则S3（ ）

A．8B．10C．80D．100
3．三个正方形的面积如图所示，则面积为的正方形的边长为（ ）
A．164B．36C．8D．6
4．下图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若最大正方形G的边长是6cm,则正方形A,B,C,D,E,F,G的面积之和是（）
A．18cm2B．36cm2C．72cm2D．108cm2
5．如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长是3、5、2、3，则最大正方形E的边长是（ ）
A．13B．C．47D．
6．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了上图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．1B．2021C．2020D．2019
7．设直角三角形的较长直角边长为x，较短直角边长为y．若 xy＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）
A．9B．6C．4D．3
8．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于（ ）
A．8B．6C．4D．5
9．如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则 ab的值是（ ）
A．4B．6C．8D．10
10．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）
A．3B．4C．5D．6
11．如图，一竖直的木杆在离地面4米处折断，木杆顶端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为（ ）．
A．7米B．8米C．9米D．12米
12．一棵大树在一次强台风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．米B．米C．米D．米
13．如图，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是（ ）
A．8米B．12米C．5米D．5或7米
14．如图，一棵高为16m的大树被台风刮数断，若树在地面6m处折断，则树顶端落在离树底部( )处

A．5mB．7mC．8mD．10m
15．如图是一个饮料罐，下底面半径是5，上底面半径是8，高是12，上底面盖子的中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）的取值范围是（ ）
A．12≤a≤13B．12≤a≤15C．5≤a≤12D．5≤a≤13
16．我国古代算书《九章算术》中第九章第六题是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深葭长各几何？你读懂题意了吗？请回答水深______尺，葭长_____尺．解：根据题意，设水深OB＝x尺，则葭长OA'＝（x+1）尺．可列方程正确的是（ ）
A．x2+52 ＝（x+1）2B．x2+52 ＝（x﹣1）2
C．x2+（x+1）2 ＝102D．x2+（x﹣1）2＝52
17．如图，一根长5米的竹竿斜靠在竖直的墙上，这时为4米，若竹竿的顶端沿墙下滑2米至处，则竹竿底端外移的距离（ ）
A．小于2米B．等于2米C．大于2米D．以上都不对
18．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动 2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动 2米，则梯子的长度为( )
A．10米B．6米C．7米 D．8米
19．一架25米长的云梯，斜立在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙底端7米．如果梯子的顶端沿墙下滑4米，那么梯脚将水平滑动（ ）
A．9米B．15米C．5米D．8米
20．如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面到点处吃食物，那么它爬行最短路程是（ ）

A．B．C．D．
21．如图，长方体的长为，宽为，高为，点到点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（ ）
A．4B．5C．D．
22．如图，正方体的棱长为2，B为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从A点出发，到达B点，则它运动的最短路程为( )
A．B．4C．D．5
23．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝18cm，BC＝12cm，BF＝10cm，点M在棱AB上，且AM＝6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ）
A．20cmB．2cmC．（12+2）cmD．18cm
24．如图，圆柱的底面半径是4，高是5，一只在A点的蚂蚁想吃到B点的食物，需要爬行的最短路径是（π取3）（ ）

A．9B．13C．14D．25
25．如图，一个底面直径为cm，高为20cm的糖罐子，一只蚂蚁从A处沿着糖罐的表面爬行到B处，则蚂蚁爬行的最短距离是（ ）
A．24cmB．10cmC．25cmD．30cm
26．如图，圆柱形容器的高为0.9m，底面周长为1.2m，在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.2m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为（ ）
A．1mB．1.1mC．1.2mD．1.3m
27．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为（ ）
A．1cmB．1．5cmC．2cmD．3cm
28．如图所示的三角形纸片中，．现将纸片进行折叠，使得顶点B落在边上的点D处，折痕为，则的长为（ ）
A．2.4B．2.5C．2.8D．3
29．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝8，折叠该纸片，使得AB边落在对角线AC上，点B落在点F处，折痕为AE，则线段EF的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
30．如图所示，沿着AE折叠长方形，使点D落在边BC上的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，则 EC的长为（ ）
A．3 cmB．4 cmC．5 cmD．6 cm
31．如图所示，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为（ ）
A．cmB．cmC．cmD．8cm
32．如图，已知矩形沿着直线折叠，使点落在处，交于点，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
33．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，则BF的长为（ ）
A．4B．3C．4.5D．5
34．在△ABC中，AB＝16，AC＝14，BC＝6，则△ABC的面积为（ ）
A．24B．56C．48D．112
35．已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，则∠B＝（ ）．
A．45°B．37°C．60°D．90°
36．已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则∠C＝（ ）．
A．45°B．37°C．60°D．90°
37．边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（ ）．
A．90°B．150°C．135°D．120°
二、填空题
38．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面 尺高．
39．如图，一架长的梯子斜靠在垂直的墙上，这时为.如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子的底端向外移动 .
40．如图，一架13m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时AC为12m．如果子的顶端A沿墙下滑7m，那么梯子底端B向外移 m．
41．如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处（三条棱长如图所示），问最短路线长为 ．

42．如图，圆柱体的高为8cm，底面周长为4cm，小蚂蚁在圆柱表面爬行，从A点到B点，路线如图所示，则最短路程为 ．
43．如图，在中，，，，将折叠，使点恰好落在斜边上，与点重合，为折痕，则的长度是 ．
44．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为 ．
45．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长度分别为3，7，8，则△ABC的内切圆Ⅰ的半径为 ．
46．在四边形中，，则 ．
三、解答题
47．由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示．

根据大正方形的面积c2等于小正方形的面积（a－b）2与4个直角三角形的面积2ab的和证明了勾股定理a2＋b2＝c2，还可以用来证明结论∶若a＞0，b＞0且a2＋b2为定值，则当a ____ b 时，ab取得最大值．
拓展： 如图所示，在正方形的四边上分别取点，使得，
（1）求证：四边形是正方形．
（2）若，求证四边形是正方形．
48．“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）

49． 一阵大风把一根高为9m的树在离地4m处折断，折断处仍相连，此时在离树3.9m处，一头高1m的小马正在吃草，小马有危险吗？为什么？
50．读诗求解“ 出水3尺一红莲，风吹花朵齐水面 ，水面移动有6尺，求水深几何请你算”．
51．在平静的湖面上，有一枝荷花，高出水面1米．一阵风吹过来，荷花被吹到一边，花朵齐及水面.已知荷花移动的水平距离为2米，问这里的水深多少米？
52．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”(注：1步＝5尺)
译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，问绳索有多长．”
53．如图所示，在中，，已知是的角平分线，求的长．
54．已知，如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果AB=3cm，BC=5cm，求FC的长．
55．如图所示，矩形沿直线折叠，使点C落在边的中点处，点B落在处，其中，求的长．
56．已知：四边形ABCD中，BD、AC相交于O，且BD垂直AC，求证：．
57．定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
概念理解：如图②，在四边形ABCD中，如果AB=AD，CB=CD，那么四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
性质探究：如图①，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明．
问题解决：如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．若AC=2，AB=5，则①求证：△AGB≌△ACE；
②GE= ．
58．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由；
(2)性质探究：如图1，四边形的对角线、交于点，．试证明：；
(3)解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结、、．已知，，求的长．
59．问题情境：如图1，为等腰直角三角形，是边上的一个动点（点E与不重合），以为边在外作等腰直角，连接．猜想线段之间的关系．
（1）独立思考：请直接写出线段之间的关系．
（2）合作交流：“希望”小组受上述问题的启发，将图1中的等腰直角绕着点C顺时针方向旋转至如图2的位置，交于点H，交于点O．（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）拓展延伸：“科技”小组将（2）中的等腰直角改为，，将等腰直角改为．试猜想是否为定值，结合图3说明理由．
参考答案：
1．D
【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得：AB2＝AC2＋BC2，进而可将阴影部分的面积求出．
【详解】解：，
∵在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2＝，
∴AB2＋AC2＋BC2＝10，
∴S阴影＝×10＝5．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识，能够运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系是解决本题的关键．
2．D
【分析】由正方形的面积公式可知S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2，即S1+S2=S3，由此可求S3．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
又由正方形面积公式得S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2，
∴S3=S1+S2=100．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理及正方形面积公式的运用．关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积．
3．D
【分析】已知四边形OGMN和四边形OBCD是正方形，面积分别为64和100，即可求得OG和OD的长，再利用勾股定理即可求得GD的长．
【详解】∵四边形OGMN和四边形OBCD是正方形，面积分别为64和100
∴OG2=64,OD2=100
∴OG=8,OD=10
∴
故面积为的正方形的边长为：6
故选:D
【点睛】本题考查了正方形的基本性质，四边形各边相等，面积等于边长的平方，本题还考查了利用勾股定理解直角三角形．
4．D
【分析】根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明：6个小正方形的面积和等于最大正方形面积的3倍．
【详解】根据勾股定理得到：A与B的面积的和是E的面积；C与D的面积的和是F的面积；而E，F的面积的和是G的面积．
即A、B、C、D、E、F的面积之和为3个G的面积．
∵M的面积是62=36 cm2，
∴A、B、C、D、E、F的面积之和为36×3=108 cm2．
故选D．
【点睛】考查了勾股定理，注意运用勾股定理和正方形的面积公式证明结论：6个小正方形的面积和等于最大正方形的面积的2倍．
5．B
【分析】设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，根据勾股定理进行求解．
【详解】设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，由勾股定理得：
x2＝32+52＝34，
y2＝22+32＝13，
z2＝x2+y2＝47，
即最大正方形E的面积为：z2＝47，边长为z＝，
故选B．
【点睛】本题考查勾股定理，掌握以直角三角形斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的正方形面积之和是解题的关键．
6．B
【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．
【详解】解：由题意得，正方形A的面积为1，
由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积=1，
∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，
∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，
……
∴“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2021，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
7．D
【分析】设小正方形的边长为 a，根据图形面积关系可得S大正方形＝S小正方形＋4S直角三角形，再根据xy＝8，可列方程求解．
【详解】设小正方形的边长为 a（a＞0），
∵ S大正方形＝S小正方形＋4S直角三角形，S直角三角形＝x·y，
∴ 25＝a²＋×4×8，
所以a＝3.
故选 D．
【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
8．B
【详解】根据面积的差得出a+b的值，再利用a﹣b=2，解得a，b的值代入即可．
解：∵AB=10，EF=2，∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，
∴四个直角三角形面积和为100﹣4=96，设AE为a，DE为b，即4×ab=96，
∴2ab=96，a2+b2=100，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=100+96=196，∴a+b=14，
∵a﹣b=2，解得：a=8，b=6，∴AE=8，DE=6，∴AH=8﹣2=6．
故选B．
9．B
【分析】小正方形、大正方形的面积可以分别用a、b表示，进而两式相减即可求出ab的值．
【详解】由勾股定理，得大正方形的面积为：，又小正方形的面积为
即
∴
∴ab=6
故选：B．
【点睛】本题是以弦图为背景的计算题，考查了勾股定理，图形的面积，关键是用a、b表示大小正方形的面积．
10．C
【详解】解：如图所示，∵（a+b）2=21
∴a2+2ab+b2=21，
∵大正方形的面积为13，即：a2+b2=13，
∴2ab=21﹣13=8，
∴小正方形的面积为13﹣8=5．
故选C．
11．C
【分析】根据勾股定理求AC的长，从而求木杆折断前的高度．
【详解】解：由题意可知，AB=4，BC=3
∴在Rt△ABC中，
∴木杆在折断前的高度为4+5=9米
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理解直角三角形，正确理解题意进行计算是解题关键．
12．B
【分析】如图，由于倒下部分与地面成30°夹角，所以∠BAC=30°，由此得到AB=2CB，而离地面5米处折断倒下，即BC=6米，所以得到AB=12米，然后即可求出这棵大树在折断前的高度．
【详解】解：如图，∵∠BAC=30°，∠BCA=90°，
∴AB=2CB，
而BC=6米，
∴AB=12米，
∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC=18米，
故选B．
【点睛】本题利用了直角三角形中30°的角所对的边是斜边的一半解决问题，解题关键是善于观察题目的信息，利用信息解决问题．
13．A
【分析】先根据勾股定理求出折断部分的长，再加上没折断的部分即可.
【详解】米，
3+5=8米.
故选A.
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2.也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
14．C
【分析】首先设树顶端落在离树底部x米，根据勾股定理可得62+x2=（16-6）2，再解即可．
【详解】设树顶端落在离树底部x米，由题意得：

解得：x=8.
故选C.
【点睛】考查勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键.
15．A
【分析】最短距离就是饮料罐的高度，最大距离可根据勾股定理解答．
【详解】解：由题意可得：
a的最小长度为饮料罐的高，即为12，
当吸管斜放时，如图，此时a的长度最大，即为AB，
∵下底面半径是5，
∴AB==13，
∴a的取值范围是12≤a≤13，
故选：A．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理．主要是运用勾股定理求得a的最大值，此题比较常见，难度不大．
16．A
【分析】首先根据图形将题目中的数字对应起来，再根据题意设出未知数，用勾股定理求解即可.
【详解】解：设水池的深度为x尺，由题意得：
x2+52＝（x+1）2，
解得：x＝12，
则x+1＝13，
答：水深12尺，芦苇长13尺，
故选A．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程，将其化简成一元一次方程.
17．A
【分析】利用勾股定理可求出OB、OD的长，即可得出BD的长，再根据无理数的估算，估算出BD的长即可得答案．
【详解】∵AB=5，OA=4，AC=2，AB=CD=5，
∴OB==3，OD==，
∴BD=-3，
∵16＜21＜25，
∴4＜＜5，
∴1＜-3＜2，即BD的长小于2米，
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理的应用及无理数的估算，灵活运用勾股定理、熟练运用“夹逼法”估算无理数是解题关键．
18．A
【分析】设BO=xm，利用勾股定理用x表示出AB和CD的长，进而求出x的值，即可求出AB的长度．
【详解】解：设BO=xm，依题意，得AC=2，BD=2，AO=8．
在Rt△AOB中，根据勾股定理得 ，
在Rt△COD中，根据勾股定理
∴
解得x=6， ∴AB=
答：梯子AB的长为10m．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到AB=CD是解题的关键．
19．D
【分析】利用勾股定理进行解答．求出下滑后梯子低端距离低端的距离，再计算梯子低端滑动的距离．
【详解】梯子顶端距离墙角的距离为=24m，
24-4=20m，
梯子下滑后梯子底端距离墙角的距离为=15m，
15m-7m=8m，
即梯角水平滑动8m，
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，注意梯子的长度是不变的.
20．B
【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】如图：

根据题意，如上图所示，最短路径有以下三种情况：
（1）AB2=（2+3）2+42=41；
（2）AB2=32+（4+2）2=45；
（3）AB2=22+（4+3）2=53；
综上所述，最短路径应为（1）所示，所以AB2=41，即AB=
故选：B
【点睛】此题考查的是勾股定理的应用，将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，注意不要漏解．
21．B
【分析】求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【详解】解: 将长方体展开，连接A、B，
根据两点之间线段最短，BD＝1＋2＝3，AD＝4，
由勾股定理得：AB＝＝＝5．
故选B．
【点睛】考查了轴对称−最短路线问题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答是关键．
22．C
【分析】正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁的起点和终点，根据两点之间线段最短、勾股定理即可求出最短路径长．
【详解】解：如图，它运动的最短路程AB= ＝
故选：C
【点睛】本题考查了正方体的侧面展开图、两点之间线段最短、勾股定理，掌握正方体的侧面展开图是解题关键．
23．A
【分析】平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可．
【详解】解：如图1，
∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm，点N是FG的中点，
∴BM＝18﹣6＝12 cm，BN＝10+6＝16 cm，
∴MN＝＝20 cm；
如图2，
∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm，点N是FG的中点，
∴PM＝18﹣6+6＝18 cm，NP＝10 cm，
∴MN＝＝＝2 cm．
∵20＜2，
∴蚂蚁需要爬行的最短路程为20 cm．
故选：A．
【点睛】本题考查平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，解题的关键是将立体图形展为平面图形，利用勾股定理的知识求解．
24．B
【分析】要想求得最短路程，首先要把A和B展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短求出蚂蚁爬行的最短路程．
【详解】解：展开圆柱的半个侧面是矩形， 矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即4π≈12，
矩形的宽是圆柱的高5．
根据两点之间线段最短， 知最短路程是矩形的对角线的长，
即
故选：B．

【点睛】本题主要考查了平面展开图中最短路径求法，两个不在同一平面内的两个点之间的最短距离时，一定要展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短．确定要求的长，再运用勾股定理进行计算．
25．C
【分析】根据题意首先将此圆柱展成平面图，根据两点间线段最短，可得AB最短，由勾股定理即可求得需要爬行的最短路程．
【详解】解：将此圆柱展成平面图得：
∵有一圆柱，它的高等于20cm，底面直径等于cm，
∴底面周长＝cm，
∴BC＝20cm，AC＝×30＝15（cm），
∴AB＝（cm）．
答：它需要爬行的最短路程为25cm．
故选：C．
【点睛】本题主要考查平面展开图求最短路径问题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答是解题关键．
26．A
【分析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【详解】解：如图，将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，
由题意知，A′D＝0.6m，A′E＝AE=0.2m，
∴BD＝0.9-0.3+0.2=0.8m，
∴A′B＝
＝
＝1（m）．
故选：A．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
27．A
【分析】根据勾股定理可将斜边AB的长求出，根据折叠的性质知，AE=AB，已知AC的长，可将CE的长求出．
【详解】解：在Rt△ABC中，AB=
根据折叠的性质可知：AE=AB=5
∵AC=4
∴CE=AE﹣AC=1
即CE的长为1
故选A．
考点：勾股定理；翻折变换（折叠问题）．
28．A
【分析】由∠B＝90°，AC＝13，BC＝5，可求得AB的长，设BE＝x，由折叠的性质可得：△DEC是直角三角形，ED＝BE＝x，EC＝5−x，CD＝1，然后由勾股定理求得BE的长．
【详解】解：∵∠B＝90°，AC＝13，BC＝5，
∴AB＝，
设BE＝x，
由折叠的性质可得：CD＝AC−AD＝13−12＝1，
DE＝BE＝x，∠ADE＝∠B＝90°，
∴EC＝BC−BE＝5−x，
在Rt△DEC中，EC2＝CD2＋DE2，
∴(5−x)2＝1＋x2，
解得：x＝2.4，
∴BE＝2.4．
故选：A．
【点睛】此题考查了折叠的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与方程思想的应用．
29．A
【分析】根据矩形的性质可得BC=AD，∠B=90°，利用勾股定理可求出AC的长，根据折叠的性质可得AF=AB，∠B=∠AFE=90°，BE=EF，在Rt△CEF中利用勾股定理列方程求出EF的长即可得答案．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，AD＝8，
∴∠B=90°，BC=AD=8，
∴AC＝＝10，
∵折叠该纸片，使得AB边落在对角线AC上，点B落在点F处，折痕为AE，
∴BE＝EF，AF＝AB＝6，∠AFE=∠B=90°，
∴CF＝AC-AF=10﹣6＝4，
在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2+CF2＝CE2，
∴EF2+CF2=（BC-EF）2，即EF2+42=（8-EF）2，
解得：EF＝3，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．
30．A
【分析】利用矩形的性质和翻折的性质求得AB＝CD＝8cm，AD＝BC＝10cm，∠B＝∠C＝∠90°，AF＝AD＝10cm，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理可得BF，在Rt△CEF中，由勾股定理可得CE的长．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8cm，AD＝BC＝10cm，∠B＝∠90°
由折叠的性质可得：AF＝AD＝10cm，EF＝DE，
在Rt△ABF中，由勾股定理可得：
在Rt△CEF中，设EC＝xcm，则EF＝DE＝（8－x）cm，FC＝BC－BF＝4cm，
由勾股定理得：,即，
解得：
∴的长为．
故选：A．
【点睛】本题考查矩形的性质、翻折的性质、勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握上述性质，熟练掌握勾股定理解直角三角形．
31．B
【详解】试题解析：设AF=xcm，则DF=（8-x）cm，
∵矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，
∴DF=D′F，
在Rt△AD′F中，∵AF2=AD′2+D′F2，
∴x2=62+（8-x）2，
解得：x=（cm）．
故选B．
考点：翻折变换（折叠问题）．
32．C
【分析】首先根据矩形的性质知道AD∥BC，所以∠1=∠3，由于折叠得到∠1=∠2，C′D=CD、BC′=BC，所以∠2=∠3，进而得出BE=DE，设DE=x，在Rt△DEC′中利用勾股定理即可求出DE的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，即∠1=∠3，
由折叠可知，∠1=∠2，C′D=CD=4、BC′=BC=8，
∴∠2=∠3，即DE=BE，
设DE=x，则EC′=8-x，
在Rt△DEC′中，DC'2+EC'2=DE2
∴42+（8-x）2=x2
解得：x=5，
∴DE的长为5．
【点睛】本题主要考查了图形的折叠问题，解题的关键是掌握矩形的性质和折叠的特点，利用勾股定理解题．
33．A
【分析】先求出BC′，再由图形折叠特性知，C′F＝CF＝BC﹣BF＝9﹣BF，在Rt△C′BF中，运用勾股定理BF2+BC′2＝C′F2求解．
【详解】解：∵点C′是AB边的中点，AB＝6，
∴BC′＝3，
由图形折叠特性知，C′F＝CF＝BC﹣BF＝9﹣BF，
在Rt△C′BF中，BF2+BC′2＝C′F2，
∴BF2+9＝（9﹣BF）2，
解得，BF＝4，
故选：A．
【点睛】本题考查了折叠问题及勾股定理的应用，综合能力要求较高．同时也考查了列方程求解的能力．解题的关键是找出线段的关系．
34．A
【分析】如图，过作于，设，则，根据中，利用勾股定理建立方程，求得，继而用勾股定理求得，从而求得面积．
【详解】如图，过作于，设，则，
在中
解得
故选A
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
35．C
【分析】过点A作 交BC延长线于点D，设CD=x，则BC=3+x，在和中，利用勾股定理求出 ，可求出CD的长，从而得到BD的长，然后利用直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图，过点A作 交BC延长线于点D，
∵在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，
可设CD=x，则BC=3+x，
在 中，
，
在中，
，
∴，
解得： ，
∴BC=3+x=4，
∴在中， ，
∴ ，
∴ ．
故选 C．
【定睛】本题主要考查了勾股定理及直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于 是解题的关键．
36．C
【分析】过点A作AD⊥BC于D，设CD＝x，则BD＝BC−CD＝5−x，由勾股定理得72−（5−x）2＝82−x2，得出CD＝4，则CD＝AC，再证∠CAD＝30°，即可求解．
【详解】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：
设CD＝x，
则BD＝BC−CD＝5−x，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2−BD2，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2−CD2，
∴AB2−BD2＝AC2−CD2，
即：72−（5−x）2＝82−x2，
解得：x＝4，
∴CD＝4，
∴CD＝AC，
∴∠CAD＝30°，
∴∠C＝90°−30°＝60°，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的判定、三角形内角和定理等知识；熟练掌握勾股定理，证出∠CAD＝30°是解题的关键．
37．D
【分析】设△ABC的三边AB=5，AC=7，BC=8，过点A作AD⊥BC于点D，设BD=x，分别在Rt△ADB和Rt△ADC中，利用勾股定理求得AD，从而可建立方程，求得x的值，可求得∠B，因此可得最大角和最小角的和．
【详解】设△ABC的三边AB=5，AC=7，BC=8，过点A作AD⊥BC于点D，如图
设BD=x，则CD=8-x
在Rt△ADB中，由勾股定理得：；在Rt△ADC中，由勾股定理得：
则得方程：
解得：
即
∵，AD⊥BC
∴∠BAD=30゜
∴∠ABD=90゜-∠BAD=60゜
∴∠BAC+∠C=180゜-∠ABD=120゜
∵BC>AC>AB
∴∠BAC>∠ABD>∠C
故最大角与最小角的和为120゜
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，解一元一次方程，大角对大边等知识，关键是作最大边上的高，从而为勾股定理的使用创造了条件．
38．
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理解题即可．
【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，
根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2，
解得：；
故答案为：．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
39．0.5
【分析】由题意先根据勾股定理求出OB的长，再根据梯子的长度不变求出OD的长，根据BD=OD-OB即可得出结论．
【详解】解：∵Rt△OAB中，AB=2.5m，AO=2m，
∴；
同理，Rt△OCD中，
∵CD=2.5m，OC=2-0.5=1.5m，
∴，
∴BD=OD-OB=2-1.5=0.5（m）．
答：梯子底端B向外移了0.5米．
故答案为：0.5．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，解题的关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
40．7．
【分析】先根据勾股定理求出CB的长，在根据勾股定理求出CD的长，进而求解．
【详解】∵∠ACB＝90°，AB＝13m，AC＝12m，
∴BC＝＝5m，
∵AE＝7m，
∴CE＝12﹣7＝5m，
∴CD＝＝12m，
∴BD＝CD﹣BC＝7m，
∴梯子底端B向外移7m，
故答案为：7．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．
41．5
【分析】长方体展开是长方形，根据题意可知，蚂蚁爬的路径有三种可能，根据两点之间线段最短，可求出解．
【详解】
如图1，当展开的长方形的长是AC=4+2=6，宽是，
路径长为；
如图2，当展开的长方形的长是AB=4，宽是，
路径长为；
如图3，当展开的长方形的长是，宽是AD=2，
路径长为；
故沿长方体的表面爬到对面顶点处，只有图2最短，
其最短路线长为：5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，平面展开最短路径问题，展成平面，确定起点和终点的位置，根据两点之间线段最短从而可求出解．
42．10cm
【分析】将圆柱沿过点A和点B的母线剪开，展开成平面，由圆柱路线可知小蚂蚁在水平方向爬行的路程等于个底面周长，从而求出解题中的AC，连接AB，根据两点之间线段最短可得小蚂蚁爬行的最短路程为此时AB的长，然后根据勾股定理即可求出结论．
【详解】解：将圆柱沿过点A和点B的母线剪开，展开成平面，由圆柱路线可知小蚂蚁在水平方向爬行的路程等于个底面周长，如下图所示：AC=1．5×4=6cm，连接AB，根据两点之间线段最短，
∴小蚂蚁爬行的最短路程为此时AB的长
∵圆柱体的高为8cm，
∴BC=8cm
在Rt△ABC中，AB=cm
故答案为：10cm．
【点睛】此题考查的是利用勾股定理求最短路径问题，将圆柱的侧面展开，根据两点之间线段最短即可找出最短路径，然后利用勾股定理求值是解决此题的关键．
43．3
【分析】首先根据折叠可得BE=EB′，AB′=AB=6，然后设BE=EB′=x，则EC=8-x，在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC的值，再在Rt△B′EC中，由勾股定理列方程即可算出答案．
【详解】解：根据折叠可得BE=EB′，AB′=AB=6，
设BE=EB′=x，则EC=8-x，
∵∠B=90°，AB=6，BC=8，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝＝10，
∴B′C=10-6=4，
在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2+42=（8-x）2，
解得x=3，
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了翻折变换，以及勾股定理，关键是分析清楚折叠以后哪些线段是相等的．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
44．
【分析】设CE=x，由矩形的性质得出AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．由折叠的性质得出BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD-CE=3-x．在Rt△ABF中利用勾股定理求出AF的长度，进而求出DF的长度；然后在Rt△DEF根据勾股定理列出关于x的方程即可解决问题．
【详解】设CE=x．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．
∵将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，
∴BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD-CE=3-x．
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
AF2=52-32=16，
∴AF=4，DF=5-4=1．
在Rt△DEF中，由勾股定理得：
EF2=DE2+DF2，
即x2=（3-x）2+12，
解得：x=，
故答案为．
45．
【分析】先过点B作BD⊥AC，用勾股定理求出AD和BD，再用等面积求出IE即可．
【详解】解：如图，过点B作BD⊥AC，
∵△ABC的三边AB，BC，CA的长度分别为3，7，8，
∴设AD＝x，则CD＝8−x，
在△ABD与△CBD中，BD2＝AB2−AD2＝BC2−CD2，
∴32−x2＝72−（8−x）2，
解得：x＝，
∴AD＝，
∴BD＝
过点I作IE垂直BC于E，
∵I为△ABC的内心，
∴△ABC的三边AB，BC，CA上的高都等于IE，
∵S△ABC＝AC•BD＝ (AC＋BC＋AB)•IE，
∴，
∴IE＝，
∴△ABC的内切圆I的半径为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆、勾股定理、等面积法，过点B作BD⊥AC，用勾股定理求出AD和BD是本题的关键．
46．1
【分析】根据勾股定理可得，代入数据计算即可．
【详解】解：如图：
∵，
∴，
根据勾股定理可得：，
，
，
即，
解得：，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意找出对角线互相垂直的四边形四条边的关系是解题的关键．
47．=；拓展：（1）见解析；（2）见解析
【分析】由可得，由此可得当a=b时，ab取得最大值；
拓展：
（1）易证，从而可得结论；
（2）由四个平行条件可得四边形、四边形、四边形、四边形均为长方形，从而可证得
，则问题可解决．
【详解】∵由“赵爽弦图”知，大正方形的面积c2等于小正方形的面积（a－b）2与4个直角三角形的面积2ab的和，
即，
∴，
∴当a=b时，ab取得最大值，且最大值为；
故答案为：=；
拓展：
（1）在正方形中，，
，
又，
，
．
，
，
，
四边形是正方形．
（2），且，
四边形、四边形、四边形、四边形均为长方形，
，
，
，且，
四边形为正方形．
【点睛】本题考查了弦图的应用，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识，证明三角形全等是关键．
48．4.55尺
【分析】已知三角形一条直角边的长度与其余两条边长度之和，即可设所求的一边长度为 x，通过勾股定理建立方程，求出答案．
【详解】解：设折断后的竹子高度为 x 尺，则被折断的竹子长度为尺．
由勾股定理得，
解得： x＝ 4.55
答∶折断后竹子的高度是 4.55 尺．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是正确理解题意，设出未知数，根据勾股定理列出关于未知数的方程．
49．小马危险，理由详见解析
【分析】构建模型进行解题，如图，折断树高为，离树，小马高CD=1，此时只要计算的长，即可判断小马是否有危险
【详解】解：如图，过点作于点
∵，
∴
∴在中，由勾股定理得
∵树高为
∴
∴小马危险
故答案是：小马危险，理由详见详解
【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，关键是构建直角三角形模型，再利用勾股定理进行解题．
50．4.5 尺
【分析】设出水深AP的高，PB＝PC＝（x＋3），根据勾股定理解答即可．
【详解】设水深AP＝x尺，PB＝PC＝（x＋3）尺，
根据勾股定理得：PA²＋AC²＝PC²，x²＋6²＝（x＋3）²．
解得：x＝4.5，
答∶水深 4.5 尺．
【点睛】本题比较简单，考查的是勾股定理在实际生活中的应用，解题的关键是设出AP的长，再根据勾股定理求出AP的值．
51．这里水深为米
【详解】试题分析：根据题意，AD=AB，设这里水深为xm，可以知道DC和BC的长度，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出AC的距离．
试题解析：如图，设这里水深为xm；
在Rt△ABC中，（x+1）2=22+x2
解之得：x=米．
答：这里水深为米．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
52．尺
【分析】设秋千的绳索长为x尺，根据题意可得AB=（x-4）尺，利用勾股定理可得x2=102+（x-4）2，解之即可．
【详解】解：设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为：
x2=102+（x-4）2，
解得：x=，
∴秋千的绳索长为尺．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AB、AC的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
53．3
【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝DC，AE＝AC＝6，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：作DE⊥AB于E，
∵AD是角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°，
∴DE＝DC，
∵
∴
∴AE＝AC＝6，
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝，
∴，
设DE＝DC=x，则，
在Rt△DEB中，，
即，
解得：x=3，
则CD=3．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质、勾股定理，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
54．1cm
【分析】根据折叠的性质得AF＝AD＝BC=5cm，DE＝EF，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF，进而即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝5cm，∠B＝90°，
∵折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，
∴AF＝AD＝5cm，
在Rt△ABF中，BF＝cm，
∴FC＝BC−BF＝1cm．
【点睛】本题主要考查了折叠变换问题，解决本题的关键是结合图形根据翻折的性质得到一些相等的线段，然后灵活运用勾股定理进行解答．
55．10
【分析】设，则由折叠的性质得：FC=x，从而DF=18-x，在Rt△中，由勾股定理建立关于x的方程，解方程即可．
【详解】∵四边形ABCD为矩形
∴AD=BC=12，CD=AB=18
∵为AD的中点
∴
由折叠的性质，
设，则FC=x
∴DF=CD-FC=18-x
在Rt△中，由勾股定理得：
解得：x=10，即FC'=10
【点睛】本题是矩形的折叠问题，考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，用到了方程思想．
56．证明见解析
【分析】利用勾股定理证明即可．
【详解】∵BD⊥AC，∴AB2=OA2+OB2，
CD2=OC2+OD2，
AD2=OA2+OD2，
BC2=OB2+OC2，
∴AB2+CD2= OA2+OB2+OC2+OD2
AD2+BC2= OA2+OD2+ OB2+OC2，
∴AB2+CD2= AD2+BC2．
【点睛】本题考查了勾股定理，是基础题，熟记定理是解题的关键．
57．（1）是；（2）AB2+CD2=BC2+AD2；（3）①证明见解析；② ．
【分析】概念理解：根据垂直平分线的判定定理证明即可；
性质探究：根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
问题解决：根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可．
【详解】概念理解：四边形ABCD是垂美四边形．理由如下：
∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上．
∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
性质探究：AD2+BC2=AB2+CD2．理由如下：
如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E．
∵AC⊥BD，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，由勾股定理得：AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2=AB2+CD2；
问题解决：①连接CG、BE，如图3所示：
∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE．
在△GAB和△CAE中，∵AG=AC，∠GAB=∠CAE，AB=AE，∴△AGB≌△ACE（SAS）；
②∵△AGB≌△ACE，∴∠ABG=∠AEC．
又∵∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得：CG2+BE2=CB2+GE2．
∵AC=2，AB=5，∴BC=，CG=2，BE=5，∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=37，∴GE=．
故答案为．
【点睛】本题是四边形综合题．考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
58．(1) 四边形是垂美四边形，理由见解析；(2)证明见解析；(3) .
【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理，可证直线是线段的垂直平分线，结合“垂美四边形”的定义证明即可；
（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
（3）连接、，先证明，得到∴，可证，即，从而四边形是垂美四边形，根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可．
【详解】(1)四边形是垂美四边形．
证明：连接AC，BD，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，即四边形是垂美四边形；
(2)猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．
如图2，已知四边形中，，垂足为，
求证：
证明：∵，
∴，
由勾股定理得，，
，
∴；
故答案为．
(3)连接、，
∵，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴，又，
∴，即，
∴四边形是垂美四边形，
由(2)得，，
∵，，
∴，，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
59．（1）BE=AD， ，理由见解析；（2）BE=AD， ，理由见解析；（3）是定值，理由见解析．
【分析】（1）由△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，得到的结论，直接判断出，再用互余判断出垂直；
（2）由△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，得到的结论，直接判断出，再用互余判断出垂直；
（3）由条件用两边对应成比例，夹角相等判断出，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）BE=AD， ；理由如下：
如图，延长BE交AD于点F，
∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠BCE=∠ACD=90°，
∴ ，
∴BE=AD，∠CEB=∠CDA，
∵∠CBE+∠CEB=90°，
∴∠CBE+∠CDA=90°，
∴
∴ ；
（2）BE=AD， ；理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴AC=BC，
∵△CDE是等腰直角三角形，∠ECD=90°
∴CD=CE，
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，
即∠BCE=∠ACD，
∴，
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，
∵∠BHC=∠AHO，∠CBH+∠BHC=90°，
∴∠CAD+∠AHO=90°，
∴∠AOH=90°，
∴ ；
（3）是定值，理由如下：
理由：∵∠ECD=90°，∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠ECD，
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE
∴∠BCE=∠ACD，
∵AC=8，BC=6，CD=4，CE=3，
∴ ，
∴ ，
∴∠CBE=∠CAD，
∵∠BHC=∠AHO，∠CBH+∠BHC=90°，
∴∠CAD+∠AHO=90°，
∴∠AOH=90°，
∴，
∴∠BOD=∠AOB=90°，
∴BD2=OB2+OD2，AE2=OA2+OE2，AB2=OA2+OB2，DE2=OE2+OD2，
∴BD2+AE2=OB2+OD2+OA2+OE2=AB2+DE2，
在中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB2=100，
在中，∠ECD=90°，CD=4，CE=3，
∴DE2=25，
∴BD2+AE2=AB2+DE2=125．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是判断三角形全等和相似，难点是用勾股定理的计算定值．