中考数学专项训练（13）勾股定理证明含解析答案

中考数学专项训练（13）勾股定理证明

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为　　

A．9 B．6 C．4 D．3

2．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于（    ）

A．8 B．6 C．4 D．5

3．如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则 ab的值是（    ）

A．4 B．6 C．8 D．10

4．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（    ）

A． B． C． D．

5．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若，则S2的值是（    ）

A．9 B．8 C．7 D．6

二、填空题

6．如图，在中，，则三个半圆面积S1，S2，S3的关系为           ．

三、解答题

7．如图所示，在正方形的四边，，，上分别取点，，，，使得，求证：四边形是正方形．

8．如图所示，在正方形的四边，，，上分别取点，，，，使得，此外，，，，求证：四边形是正方形．

9．如图所示，在正方形的四边，，，上分别取点，，，，使得，此外，，，．求证：

（1）；

（2）；

（3）．

10．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，汉代数学家赵爽为证明勾股定理创制的“赵爽弦图”也流传至今．迄今为止已有多种证明勾股定理的方法．下面是数学课上创新小组验证过程的一部分．请认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整：将两张全等的直角三角形纸片按图所示摆放，其中，点 在线段上，点在边两侧，试证明： ．

11．（1）如图１是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；

（2）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（1876年4月1日发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试证明过程．说明：．

12．阅读理解：

【问题情境】

教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？

【探索新知】

从面积的角度思考，不难发现：

大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．

从而得数学等式：（a+b）2＝c2+4×ab，化简证得勾股定理：a2+b2＝c2．

【初步运用】

（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝　 　；

（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为　 　；

（3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积．

（4）如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝　 　．

【迁移运用】

如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？

带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．

参考答案：

1．D

【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．

【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：，

每一个直角三角形的面积为：，

，

，

或（舍去），

故选：D．

【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．

2．B

【详解】根据面积的差得出a+b的值，再利用a﹣b=2，解得a，b的值代入即可．

解：∵AB=10，EF=2，∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，

∴四个直角三角形面积和为100﹣4=96，设AE为a，DE为b，即4×ab=96，

∴2ab=96，a2+b2=100，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=100+96=196，∴a+b=14，

∵a﹣b=2，解得：a=8，b=6，∴AE=8，DE=6，∴AH=8﹣2=6．

故选B．

3．B

【分析】小正方形、大正方形的面积可以分别用a、b表示，进而两式相减即可求出ab的值．

【详解】由勾股定理，得大正方形的面积为：，又小正方形的面积为

即

∴

∴ab=6

故选：B．

【点睛】本题是以弦图为背景的计算题，考查了勾股定理，图形的面积，关键是用a、b表示大小正方形的面积．

4．D

【分析】利用两个以a和b为直角边三角形面积与一个直角边为c的等腰直角三角形面积和等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积推导勾股定理可判断A，

利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积与边长为c的小正方形面积和等于以a+b的和为边正方形面积推导勾股定理可判断B，

利用以a与（a+b）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b的小正方形面积和等于以c为边正方形面积推导勾股定理可判断C，

利用四个小图形面积和等于大正方形面积推导完全平方公式可判断D．

【详解】解: A、两个以a和b为直角边三角形面积与一个直角边为c的等腰直角三角形面积和等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积，故，整理得： ，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；

B、以a与b为两直角边四个全等三角形面积与边长为c的小正方形面积和等于以a+b的和为边正方形面积，故，整理得： ，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；

C、以a与（a+b）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b的小正方形面积和等于以c为边正方形面积，，整理得： ，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；

D、四个小图形面积和等于大正方形面积， ，根据图形证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意；

故选：D．

【点睛】本题考查利用面积推导勾股定理与完全平方公式，掌握利用面积推导勾股定理与完全平方公公式是关键．

5．C

【分析】根据图形的特征得出线段之间的关系，进而利用勾股定理求出各边之间的关系，从而得出答案．

【详解】解：∵图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，

∴CG＝NG，CF＝DG＝NF，

∴S1＝（CG+DG）2

＝CG2+DG2+2CG•DG

＝GF2+2CG•DG，

S2＝GF2，

S3＝（NG﹣NF）2＝NG2+NF2﹣2NG•NF，

∵S1+S2+S3＝21＝GF2+2CG•DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG•NF＝3GF2，

∴S2的值是：7．

故选：C．

【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知得出S1+S2+S3＝21＝GF2+2CG•DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG•NF＝3GF2是解决问题的关键．

6．

【分析】分别用、和表示出、、，然后根据即可得出、、的关系．

【详解】解：在中，，

，

，，，

，

即．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用．解题的关键是勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

7．见解析

【分析】根据正方形的性质证明，然后证明即可得到答案.

【详解】解：∵四边形ABCD是正方形

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，．

∵，

∴，

∴，

∴四边形是正方形．

【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

8．见解析

【分析】根据已知条件得到四边形、四边形、四边形、四边形均为长方形，在根据三角形全等证明即可；

【详解】∵，，，，且，

∴四边形、四边形、四边形、四边形均为长方形，

∴，

∴，，

∴，且，

∴四边形为正方形．

【点睛】本题主要考查了正方形的判定，结合三角形全等的判定与性质、矩形的判定与性质证明是解题的关键．

9．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析

【分析】（1）根据正方形的性质证明，然后证明即可得到答案；

（2）先证明，然后同理可以得到，然后证明四边形ORQP是正方形，即可得到结论；

（3）根据（1）（2）的结论求解即可.

【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴四边形是正方形．

∴

（2）∵四边形是正方形

∴，

∵，

∴四边形AERF是平行四边形

∵∠A=90°

∴四边形AERF是矩形

∴

∴

同理可以得到，，

∴

∴，，

∴

∵

∴

∴四边形ORQP是正方形

∴

（3）∵，，

又∵

∴

∴

【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

10．见解析．

【分析】首先连结，作延长线于，则，根据 ，易证，再根据 ， ，两者相等，整理即可得证．

【详解】证明：连结，作延长线于，则

即，

∴

∴

即有：

∴

【点睛】本题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形ADFB的面积是解本题的关键．

11．（1）；（2）证明见解析．

【分析】（1）根据正方形面积计算公式解答；

（2）利用面积法证明即可得到结论．

【详解】（1）；

（2）如图，∵Rt△DEC≌Rt△EAB，

∴∠DEC=∠EAB，DE=AE，

∵，

∴，

∴△AED为等腰直角三角形，

∵，

∴，即，

∵，

∴，

∴．

【点睛】此题考查勾股定理的证明，完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解各部分图形之间的关系，正确分析它们之间的面积等量关系是解题的关键．

12．【初步运用】（1）5：9；（2）28；（3）24；（4）；【迁移运用】a2+b2﹣ab＝c2，证明见解析

【分析】初步运用：（1）如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可；

（2）根据空白部分的面积=小正方形的面积﹣2个直角三角形的面积计算即可；

（3）可设AC=x，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；

（4）根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可．

迁移运用：根据大正三角形面积=三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即可．

【详解】解：【初步运用】（1）由题意：b=2a，c=，

∴小正方形面积：大正方形面积=5a2：9a2=5：9，

故答案为：5：9；

（2）空白部分的面积为=52﹣2××4×6=28，

故答案为：28；

（3）24÷4=6，

设AC=x，依题意有：（x+3）2+32=（6﹣x）2，

解得x=1，

∴面积为：×（3+1）×3×4

=×4×3×4

=24，

故该飞镖状图案的面积是24；

（4）将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，

∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=40，

∴S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，

∴S1+S2+S3=3x+12y=40，

∴x+4y=，

∴S2=x+4y=，

故答案为：；

[迁移运用]结论：a2+b2﹣ab=c2．

理由：由题意：大正三角形面积=三个全等三角形面积+小正三角形面积，

可得：（a+b）×k（a+b）=3××b×ka+×c×ck，

∴（a+b）2=3ab+c2，

∴a2+b2﹣ab=c2．

【点睛】本题考查勾股定理的证明和应用，根据图形得出面积关系是解题的关键．