浙江省强基联盟2023-2024学年高三上学期10月联考数学试题

浙江强基联盟2023学年第一学期高三年级

10月联考数学学科试题

命题人：宁波鄞州高级中学   朱俊波   审题人：平阳鳌江中学   蔡继大

金华市外国语学校  代云龙   武义第三中学   邓浩   温州育英实验学校   朱益

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．

考生须知：1．答题前，务必核对答题卡上条形码中信息是否与本人一致．

2．选择题用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案编号．

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，下列属于的元素是（    ）

A．1    B．2    C．3    D．4

2．若复数是纯虚数，则实数（    ）

A．2    B．4    C．    D．

3．已知双曲线的离心率为，则渐近线方程是（    ）

A．    B．    C．    D．

4．已知向量，若，则（    ）

A．10    B．    C．8    D．

5．若函数是单调递增函数，则实数可取的一个值是（    ）

A．3    B．4    C．5    D．6

6．近期浙江大学、复旦大学、南京大学三所学校发布了2024年冬令营招生简章，现有甲、乙、丙、丁四位同学报名，每位同学只能选一所大学，每所大学至少有一名同学报名，且甲同学不报南京大学，则不同的报名方法共有（    ）

A．16种    B．20种    C．24种    D．28种

7．已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ）

A．    B．    C．    D．

8．定义．若数列的前项和为，数列满足，令，且恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A．    B．    C．    D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列命题正确的是（    ）

A．若，则    B．若，则

C．若，则        D．若，则

10．下列说法正确的是（    ）

A．若随机变量服从二项分布，且，则

B．随机事件相互独立，满足，则

C．若，则

D．设随机变量服从正态分布，则

11．已知抛物线上的两个不同的点关于直线对称，直线与轴交于点，下列说法正确的是（    ）

A．的焦点坐标为    B．是定值    C．是定值    D．

12．已知定义在上的函数的图象关于直线对称，函数的图象关于点中心对称，则下列说法正确的是（    ）

A．    B．8是函数的一个周期    C．    D．

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．过圆上点的切线方程为________．

14．展开式中含项的系数是________．

15．已知，则________．

16．设为正数，，且为一元二次方程的两个实根，则的最小值为_______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知锐角的内角的对边分别为，且满足

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若面积为，求的周长．

18．（12分）已知等差数列的前项和为，且满足．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，令，数列的前项和为，求的取值范围．

19．（12分）如图，已知四棱雉是边长为4的等边三角形，满足，．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值．

20．（12分）已知函数

（Ⅰ）若时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，求证：．

21．（12分）如图所示，已知椭圆过点，且满足为坐标原点，平行于的直线交椭圆于两个不同的点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）直线与轴交于点．证明的内角平分线所在直线与轴垂直．

22．（12分）甲口袋中装有2个红球和1个黑球，乙口袋中装有1个红球和2个黑球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，称为1次球交换的操作，重复次这样的操作，记甲口袋中红球个数为．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求的概率分布列并求出；

（Ⅲ）证明：．

10月强基数学参考答案

1．答案：C

解析：集合，故选C

2．答案：B

解析：，由题

3．答案：B

解析：，取，则，故选B

4．答案：A

解析：，因，故，故选A

5．答案：D

解析：由题，解得或，故选D

6．答案：C

解析：分别有1人、2人报南京大学两种情况，共计种，故选C

7．答案：B

解析：，当时，，当时，，此时，即，故选B

8．答案：D

解析：，由累加法得，由且，得

9．答案：BD

A选项，若，则不满足

B选项，由面面垂直的判定定理推论1知其正确

C选项，由线面垂直的判定定理知其错

D选项，由线面垂直的性质定理和其正确故答案为BD

10．答案：CD

A选项，易知

B选项，易知，求解易知错误

C选项，由条件概率定义易知

D选项，由正态分布的知识易得D正确

故答案为CD

11．答案ABD

易得①，又②，又③，④，将③④代入②可得：，代入①可得的中点坐标为，

则直线的方程为：，令得：，而位于抛物线内部，，可得，则．综上，正确答案为ABD

故答案为ABD

12．ABC

易得，故．又，故关于点中心对称．综上，的最小正周期为8，显然ABC对，D错．故答案为ABC

13．答案：

解析：由题知，，则，所以切线方程为．

14．答案：

解析：的系数为

15．答案：

解析：由题知，，则，则

16．答案：8

解析：由题知①，②，由①得，由②得，则，当且即取“=”，满足题意．（注：本题的取等条件比较特殊，恰巧同时满足本题条件）

17．解析：（1）

（2）

又

周长

18．解析：（1）又

．

（2）（1）

由（1）-（2）得化简得

若为偶数时，

若为奇数时，因此

19．解析：（1）取中点，连接，则

面

（2）如图建立空间直角坐标系，面面面，作，

则面为与平面所成的角．即

设平面的法向量为

取

平面的法向量

20．解析：（1）定义域

，即在递增，递减

（2）

转证：即证：

设

成立

21．解析（1）又即：

（2）设，则即，

设则

设直线的斜率分别为则

则的角内角平分线是

22．解析：（1）

（2）可能取．则

分布列为：

（3）

又