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2021-2022学年湖北省武汉市青山区八年级（上）期中数学试卷(含答案)
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2021-2022学年湖北省武汉市青山区八年级（上）期中数学试卷
一、你一定能选对!（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上将对应的答案标号涂黑．
1．（3分）下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列图形中有稳定性的是（ ）
A．四边形 B．三角形 C．五边形 D．六边形
3．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．5，6，11 B．4，4，9 C．3，4，8 D．8，7，14
4．（3分）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（ ）
A．62° B．72° C．76° D．66°
5．（3分）从n边形的一个顶点出发，可以作5条对角线，则n的值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．（3分）如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE分别与边AB，AC交于点D，点E，若△ABC与△BCE的周长分别是36cm和22cm，则AD的长是（ ）
A．7cm B．8cm C．10cm D．14cm
7．（3分）如图，△ABC中，AB＝AD＝DC，∠C＝2∠BAD，则∠BAC的度数是（ ）
A．20° B．40° C．60° D．80°
8．（3分）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A5B5A6的边长为（ ）
A．32 B．24 C．16 D．8
9．（3分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠EAD＝∠BAC＝80°，若∠BDC＝160°，则∠DCE的度数为（ ）
A．110° B．118° C．120° D．130°
10．（3分）如图，在△ABC中，点M，N分别是AC，BC上一点，AM＝BN，∠C＝60°，若AB＝9，BM＝7，则MN的长度可以是（ ）
A．2 B．7 C．16 D．17
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卷的指定位置．
11．（3分）点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为 ．
12．（3分）一个n边形的每个外角都等于72°，则n＝ ．
13．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得到△COD≌△C′O′D′的依据是 ．
14．（3分）等腰△ABC的一个外角是100°，则其顶角的度数为 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝60°，角平分线BD，CE交于点O，OF⊥AB于点F．下列结论：①∠EOB＝60°；②BF+CD＝BC；③AE+AD＝2AF；④S四边形BEDC＝2S△BOC+S△EDO．其中正确结论是 ．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，DB平分∠ADC，∠BCD＝150°．则∠ABD的度数为 °．
三、解下列各题（本大题共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．
17．（8分）如图，DE分别与△ABC的边AB，AC交于点D，点E，与BC的延长线交于点F，∠B＝65°，∠ACB＝70°，∠AED＝42°，求∠BDF的度数．
18．（8分）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，BE＝CF，求证：AC∥DF．
19．（8分）已知一个三角形的三条边的长分别为：n+6；3n；n+2．（n为正整数）
（1）若这个三角形是等腰三角形，求它的三边的长；
（2）若这个三角形的三条边都不相等，且为正整数，直接写出n的最大值为 ．
20．（8分）如图，六边形ABCDEF是正六边形，请用无刻度直尺画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按要求完成下列问题：
（1）如图1，连接AC．
①∠ACB＝ °；
②在图1中画出以AC为边的等边三角形，且另一个顶点在六边形的边上；
（2）已知，P为AF边上一点，
①如图2，在AB边上找一点Q，使得AQ＝AP；
②如图3，在CD边上找一点H，使得PH⊥CD．
21．（8分）如图，在等边△ABC中，P为AB边上的一点，线段BC与DC关于直线CP对称，连接DA并延长交直线CP于点E．
（1）若∠ACE＝20°，求∠CED的度数；
（2）若AE＝1，CE＝4．求AD的长．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边△BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点．
（1）求证：△ADC为等边三角形；
（2）求PD+PQ+QE的最小值．
23．（10分）已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC边上一点，E为射线AD上一点，连接BE、CE．
（1）如图1，若∠ADC＝60°，CE平分∠ACB．求证：BD＝DE；
（2）若∠CED＝45°．
①如图2，求证：BE⊥AE；
②如图3，若∠BED＝30°，E在A、D之间，且AE＝1，求BE的长．
24．（12分）已知，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为点A（3，0），点B（0，b），将线段AB绕点A顺时针旋转α°得到AC，连接BC．
（1）若α＝90．
①如图1，b＝1，直接写出点C的坐标；
②如图2，D为BC中点，连接OD．求证：OD平分∠AOB；
（2）如图3，若α＝60，b＝3，N为BC边上一点，M为AB延长线上一点，BM＝CN，连接MN，将线段MN绕点N逆时针旋转120°得到NP，连接OP．求当∠AOP取何值时，线段OP最短．
2021-2022学年湖北省武汉市青山区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、你一定能选对!（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上将对应的答案标号涂黑．
1．（3分）下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
2．（3分）下列图形中有稳定性的是（ ）
A．四边形 B．三角形 C．五边形 D．六边形
【解答】解：根据三角形具有稳定性，可得四个选项中只有三角形具有稳定性．
故选：B．
3．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．5，6，11 B．4，4，9 C．3，4，8 D．8，7，14
【解答】解：A．∵5+6＝11，∴不能组成三角形，不符合题意；
B．∵4+4＜9，∴不能组成三角形，不符合题意；
C．∵3+4＜8，∴不能组成三角形，不符合题意；
D．∵8+7＞14，∴能组成三角形，符合题意．
故选：D．
4．（3分）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（ ）
A．62° B．72° C．76° D．66°
【解答】解：由三角形内角和定理得，∠2＝180°﹣40°﹣64°＝76°，
∵两个三角形全等，
∴∠1＝∠2＝76°，
故选：C．
5．（3分）从n边形的一个顶点出发，可以作5条对角线，则n的值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【解答】解：设多边形有n条边，
则n﹣3＝5，
解得n＝8，
故选：B．
6．（3分）如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE分别与边AB，AC交于点D，点E，若△ABC与△BCE的周长分别是36cm和22cm，则AD的长是（ ）
A．7cm B．8cm C．10cm D．14cm
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，AD＝BD=12AB，
∵△EBC的周长是22cm，
∴BC+BE+EC＝22cm，即AC+BC＝22cm，
∵△ABC的周长是36cm，
∴AB+AC+BC＝36cm，
∴AB＝36﹣22＝14（cm），
∴AD=12AB=12×14＝7（cm）．
故选：A．
7．（3分）如图，△ABC中，AB＝AD＝DC，∠C＝2∠BAD，则∠BAC的度数是（ ）
A．20° B．40° C．60° D．80°
【解答】解：∵AD＝DC，
∴∠C＝∠DAC，
∴∠ADB＝2∠C，
∵AB＝AD，∠C＝2∠BAD，
∴∠ABD＝∠ADB＝4∠BAD，
∵∠ABD+∠ADB+∠BAD＝180°，
∴4∠BAD+∠4∠BAD+∠BAD＝180°，
∴∠BAD＝20°，
∴∠ABD＝80°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣80°﹣40°＝60°，
故选：C．
8．（3分）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A5B5A6的边长为（ ）
A．32 B．24 C．16 D．8
【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，
∵∠MON＝30°，
∴∠OB1A1＝60°﹣30°＝30°，
∴∠MON＝∠OB1A1，
∴B1A1＝OA1＝2，
∴△A1B1A2的边长为2，
同理得：∠OB2A2＝30°，
∴OA2＝A2B2＝OA1+A1A2＝2+2＝4，
∴△A2B2A3的边长为4，
同理可得：、△A3B3A4的边长为：23＝8，
△A4B4A5的边长为：24＝16，
则△A5B5A6的边长为：25＝32，
故选：A．
9．（3分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠EAD＝∠BAC＝80°，若∠BDC＝160°，则∠DCE的度数为（ ）
A．110° B．118° C．120° D．130°
【解答】解：如图所示：
∵∠EAD＝∠BAC＝80°，
∴∠1＝∠2，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠1=∠2AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠BAC＝80°，AB＝AC，
∴∠BCA＝∠CBA＝50°，
∴∠DCE＝∠4+∠BCA+∠ACE＝∠4+50°+∠ABD＝∠4+50°+∠3+∠ABC＝∠3+∠4+100°，
又∵∠BDC＝160°，
∴∠3+∠4＝180°﹣∠BDC＝20°，
∴∠DCE＝20°+100°＝120°，
故选：C．
10．（3分）如图，在△ABC中，点M，N分别是AC，BC上一点，AM＝BN，∠C＝60°，若AB＝9，BM＝7，则MN的长度可以是（ ）
A．2 B．7 C．16 D．17
【解答】解：如图，作等边△ABQ和等边△MBP，连接QP，QM，
在等边△ABQ和等边△MBP中，∠QBA＝∠PBM＝60°，
∴∠QBP+∠QBM＝∠QBM+∠ABM＝60°，
∴∠QBP＝∠ABM，
又∵QB＝AB＝9，PB＝MB＝7，
∴△QBP≌△ABM（SAS），
∴∠BQP＝∠BAM，PQ＝AM，
∵AM＝BN，
在△ABC中，∠ACB+∠CAB+∠CBA＝180°，∠ACB＝60°，
∴∠MBC＝180°﹣60°﹣∠MAB﹣∠ABM＝120°﹣∠MAB﹣∠ABM，
在△QBP中，∠QPB+∠BQP+∠QBP＝180°，∠MPB＝60°，
∴∠MPQ＝180°﹣60°﹣∠BQP﹣∠QBP＝120°﹣∠MAB﹣∠ABM，
∴∠MBN＝MPQ，
在△QMP和△NMB中，
PB=MB∠MBN=∠MPQPQ=BN，
∴△QMP≌△NMB（SAS），
∴MQ＝MN，
在△QMB中，QB﹣MB＜QM＜QB+MB，
∴AB﹣MB＜MN＜AB+MB，
∴2＜MN＜16，
∴选项B，MN＝7符合题意，
故选：B．
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卷的指定位置．
11．（3分）点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为 （2，5） ．
【解答】解：点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为：（2，5），
故答案为：（2，5）．
12．（3分）一个n边形的每个外角都等于72°，则n＝ 5 ．
【解答】解：∵n边形的每个外角都相等，
∴这个n边形是正多边形，
∵多边形的外角和为360°，
∴多边形的边数为360°÷72°＝5．
故答案为：5．
13．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得到△COD≌△C′O′D′的依据是 SSS ．
【解答】解：由作法得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，
所以△COD≌△C′O′D′（SSS）．
故答案为SSS．
14．（3分）等腰△ABC的一个外角是100°，则其顶角的度数为 20°或80° ．
【解答】解：∵等腰△ABC的一个外角是100°，
∴①当顶角的外角是100°，
∴顶角等于180°﹣100°＝80°，
②当底角的外角是100°，
∴底角等于180°﹣100°＝80°，
∴顶角等于180°﹣80°﹣80°＝20°，
∴其顶角的度数为：20°或80°．
故答案为：20°或80°．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝60°，角平分线BD，CE交于点O，OF⊥AB于点F．下列结论：①∠EOB＝60°；②BF+CD＝BC；③AE+AD＝2AF；④S四边形BEDC＝2S△BOC+S△EDO．其中正确结论是 ①③④ ．
【解答】解：如图1，∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∵BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，且BD、CE相交于点O，
∴∠OBC＝∠OBA=12∠ABC，∠OCB＝∠OCA=12∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）＝60°，
∴∠EOB＝∠OBC+∠OCB＝60°，
故①正确；
如图2，在BC上截取BM＝BE，连接OM，
在△BOE和△BOM中，
BE=BM∠OBE=∠OBMOB=OB，
∴△BOE≌△BOM（SAS），
∴OE＝OM，∠EOB＝∠BOM＝60°，
∵∠COD＝∠EOB＝60°，
∴∠COM＝180°﹣∠BOM﹣∠COD＝60°，
∴∠COD＝∠COM，
在△COD和△COM中，
∠COD=∠COMOC=OC∠OCD=∠OCM，
∴△COD≌△COM{ASA），
∴CD＝CM，
∴BE+CD＝BC，
故②错误；
如图3，作OH⊥AC于点H，OG⊥BC于点G，连接OA，
∵OF⊥AB于点F，
∴∠AFO＝∠AHO＝90°，∠OFE＝∠OHD＝90°，
∵OF＝OG，OH＝OG，
∴OF＝OH，
在Rt△AOF和Rt△AOH中，
OA=OAOF=OH，
∴Rt△AOF≌Rt△AOH（HL），
∴AF＝AH，
∵∠EAC＝∠COD＝60°，
∴∠EAC+∠ACE＝∠COD+∠ACE，
∵∠OEF＝∠EAC+∠ACE，∠ODH＝∠COD+∠ACE，
∴∠OEF＝∠ODH，
在△OEF和△ODH中，
∠OEF=∠ODH∠OFE=∠OHDOF=OH，
∴△OEF≌△ODH（AAS），
∴EF＝DH，
∴AE+AD＝AE+AH+DH＝AE+AH+EF＝AF+AH＝2AF，
故③正确；
如图2，∵△BOE≌△BOM，△COD≌△COM，
∴S△BOE＝S△BOM，S△COD＝S△COM，
∴S△BOE+S△COD＝S△BOM+S△COM，＝S△BOC，
∴S四边形BEDC＝S△BOC+S△BOE+S△COD+S△EDO＝2S△BOC+S△EDO，
故④正确，
故答案为：①③④．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，DB平分∠ADC，∠BCD＝150°．则∠ABD的度数为 30 °．
【解答】解：作△BCD的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，OD，如图，
∵∠BCD＝150°，
∴∠BOD＝60°．
∵OB＝OD，
∴△OBD为等边三角形．
∴∠OBD＝∠ODB＝60°，BD＝OB＝OD．
在△OBA和△OCA中，
OA=OAOB=OCAB=AC，
∴△OBA≌△OCA（SSS）．
∴∠BOA＝∠COA=12∠BOC．
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB=12∠ADC．
∵∠BDC=12∠BOC，
∴∠BOA＝∠COA＝∠ADB＝∠CDB．
∵∠BOD＝∠BDO＝60°，
∴∠BOD﹣∠BOA＝∠BDO﹣∠ADB．
∴∠AOD＝∠ADO．
∴AO＝AD．
在△OBA和△DBA中，
OB=BDBA=BAAO=AD，
∴△OBA≌△DBA（SSS）．
∴∠ABO＝∠ABD=12∠OBD＝30°．
故答案为：30．
三、解下列各题（本大题共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．
17．（8分）如图，DE分别与△ABC的边AB，AC交于点D，点E，与BC的延长线交于点F，∠B＝65°，∠ACB＝70°，∠AED＝42°，求∠BDF的度数．
【解答】解：∵∠B＝65°，∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB
＝180°﹣65°﹣70°
＝45°，
又∵∠AED＝42°，
∴∠BDF＝∠A+∠AED
＝45°+42°
＝87°．
18．（8分）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，BE＝CF，求证：AC∥DF．
【解答】证明：∵BE＝CF（已知），
∴BE+EC＝EC+CF，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
∠A=∠D∠B=∠DEFBC=EF，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴AC＝DF（全等三角形对应边相等）．
19．（8分）已知一个三角形的三条边的长分别为：n+6；3n；n+2．（n为正整数）
（1）若这个三角形是等腰三角形，求它的三边的长；
（2）若这个三角形的三条边都不相等，且为正整数，直接写出n的最大值为 7 ．
【解答】解：（1）①如果n+2＝3n，
解得n＝1，
三角形三边的长为3，3，7，不符合三角形三边关系；
②如果n+6＝3n，
解得n＝3，
三角形三边的长为5，9，9，符合三角形三边关系．
综上所述，等腰三角形三边的长为5，9，9；
（2）n的最大值为7．
由三角形三边关系知，(n+2)+(n+6)＞3n(n+2)+3n＞n+6，
解得43＜n＜8，
∵三角形的三条边都不相等，
∴3n≠n+6，
∴n≠3，
∴43＜n＜8且n≠3，
∵n为正整数，
∴n的最大值为7．
故答案为：7．
20．（8分）如图，六边形ABCDEF是正六边形，请用无刻度直尺画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按要求完成下列问题：
（1）如图1，连接AC．
①∠ACB＝ 30 °；
②在图1中画出以AC为边的等边三角形，且另一个顶点在六边形的边上；
（2）已知，P为AF边上一点，
①如图2，在AB边上找一点Q，使得AQ＝AP；
②如图3，在CD边上找一点H，使得PH⊥CD．
【解答】解：（1）①∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC＝120°，BA＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC=12（180°﹣120°）＝30°，
故答案为：30；
②如图1中，△ACE即为所求；
（2）①如图2中，点Q即为所求；
②如图3中，线段PH即为所求．
21．（8分）如图，在等边△ABC中，P为AB边上的一点，线段BC与DC关于直线CP对称，连接DA并延长交直线CP于点E．
（1）若∠ACE＝20°，求∠CED的度数；
（2）若AE＝1，CE＝4．求AD的长．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，CB＝CA，
∵∠ACE＝20°，
∴∠ECB＝60°﹣20°＝40°，
由翻折的性质可知，CB＝CD，∠ECB＝∠ECD＝40°，
∴CA＝CD，∠ACD＝40°﹣20°＝20°，
∴∠CAD＝∠D＝80°，
∵∠DAC＝∠CED+∠ACE，
∴∠CED＝80°﹣20°＝60°．
（2）过点C作CT⊥DE于T．设∠ECA＝α，则∠ECB＝∠ECD＝60°﹣α，
∴∠ACD＝60°﹣2α，
∵CA＝CD，
∴∠CAD=12（180°﹣60°+2α）＝60°+α，
∵∠DAC＝∠E+∠ACE，
∴∠E＝60°+α﹣α＝60°，
∵CT⊥AD，CA＝CD，
∴AT＝DT，
∴∠ECT＝30°，
∴ET=12EC＝2，
∴AT＝DT﹣AE＝2﹣1＝1，
∴AD＝2AT＝2．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边△BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点．
（1）求证：△ADC为等边三角形；
（2）求PD+PQ+QE的最小值．
【解答】（1）证明：∵ACB＝90°，点D为AB的中点，
∴CD＝AD，
∵∠ABC＝30°，
∴∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形；
（2）解：连接AP，BQ，
∵△BCE是等边三角形，
∴∠BCE＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∵△ACD是等边三角形，
∴CP垂直平分AD，
∴DP＝AP，
同理得EQ＝BQ，
∴PD+PQ+QE＝AP+PQ+BQ，
∴当点P、Q落在AB上时，PD+PQ+QE的最小值为AB，
∵∠ABC＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，
∴PD+PQ+QE的最小值为4．
23．（10分）已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC边上一点，E为射线AD上一点，连接BE、CE．
（1）如图1，若∠ADC＝60°，CE平分∠ACB．求证：BD＝DE；
（2）若∠CED＝45°．
①如图2，求证：BE⊥AE；
②如图3，若∠BED＝30°，E在A、D之间，且AE＝1，求BE的长．
【解答】（1）证明：如图1中，延长CE交AB于点J．
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
∵CE平分∠ACB，
∴CJ⊥AB，AJ＝JB，
∴EA＝EB，
∵∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝90°﹣∠ADC＝30°，
∴∠EAB＝∠EBA＝15°，
∴∠EBD＝30°，
∵∠EDC＝∠EBD+∠BED＝60°，
∴∠EBD＝∠BED＝30°，
∴DB＝DE；
（2）①证明：如图2中，过点C作CH⊥CE交AE于点H．
∵∠AEC＝45°，∠ECH＝90°，
∴∠CEH＝∠CHE＝45°，
∴CE＝CH，
∵∠ACB＝∠ECH＝90°，
∴∠ACH＝∠BCE，
在△ACH和△BCE中，
CA=CB∠ACH=∠BCECH=CE，
∴△ACH≌△BCE（SAS），
∴∠CAH＝∠CBE，
∵∠ADC＝∠BDE，
∴∠ACD＝∠BED＝90°；
②解：如图3中，过点C作CH⊥CE交AD的延长线于点H，连接BH．
同法可证，△ACE≌△BCH（SAS），BH⊥AH，
∴BH＝AE＝1，
∵∠BHE＝90°，∠BEH＝30°，
∴BE＝2BH＝2．
24．（12分）已知，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为点A（3，0），点B（0，b），将线段AB绕点A顺时针旋转α°得到AC，连接BC．
（1）若α＝90．
①如图1，b＝1，直接写出点C的坐标；
②如图2，D为BC中点，连接OD．求证：OD平分∠AOB；
（2）如图3，若α＝60，b＝3，N为BC边上一点，M为AB延长线上一点，BM＝CN，连接MN，将线段MN绕点N逆时针旋转120°得到NP，连接OP．求当∠AOP取何值时，线段OP最短．
【解答】（1）①解：如图1中，过点C作CH⊥x轴于点H．
∵∠AOB＝∠BAC＝∠AHC＝90°，
∴∠BAO+∠CAH＝90°，∠CAH+∠ACH＝90°，
∴∠OAB＝∠ACH，
在△AOB和△CHA中，
∠AOB=∠CHA∠OAB=∠HCAAB=CA，
∴△AOB≌△CHA（AAS），
∴OB＝AH，CH＝OA，
∵B（0，1），A（3，0），
∴OB＝1，OA＝3，
∴AH＝1，CH＝3，OH＝4，
∴C（4，3）；
②证明：如图2中，过点D作DM⊥OA于点M，DN⊥OB于点N．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，
∴AD⊥BC，AD＝DB＝DC，∠DAB＝∠DAC＝45°，
∵∠DMO＝∠DNO＝∠MON＝90°，
∴∠MDN＝∠ADB＝90°，
∴∠BDN＝∠ADM，
∵∠ADB＝∠AOB＝90°，
∴∠DAM+∠DBO＝180°，
∵∠DBO+∠DBN＝180°，
∴∠DBN＝∠DAM，
在△DNB和△DMA中，
∠DNB=∠DMA∠DBN=∠DAMDB=DA，
∴△DNB≌△DMA（AAS），
∴DM＝DN，
∵DM⊥OA，DN⊥OB，
∴OD平分∠AOB；
（2）解：作NE∥AB交AC于点E，连接PM，AN，PA，过点O作OF⊥PA交PA的延长线于点F．
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠CBA＝∠CAB＝∠C＝60°，
∵NE∥AB，
∴∠CNE＝∠CBA＝60°，∠CEN＝∠CAB＝60°，
∴△CEN是等边三角形，
∴CN＝NE＝CE，
∵BM＝CN，CB＝CA，
∴NE＝BM，BN＝AE，
∵∠CBA＝∠CEN＝60°，
∴∠MBN＝∠AEN＝120°，
在△NBM和△AEN中，
BM=EN∠NBM=∠NEABN=EA，
∴△NBM≌△AEN（SAS），
∴NM＝AN，
∵NM＝NP，
∴AN＝NP，
∴∠NMA＝∠NAM，∠NAP＝∠NPA，
∵∠MNP＝120°，
∴2∠NAM+2∠NAP＝240°，
∴∠PAM＝∠NAM+∠NAP＝120°，
∴∠OAP＝∠OAB+∠MAP＝165°，
∴∠AOF＝180°﹣165°＝15°，
∴点P在直线PA上运动（∠OAP＝165°），
根据垂线段最短可知，当点P与F重合时，OP的值最小，此时∠AOP＝90°﹣15°＝75°．
2021-2022学年湖北省武汉市青山区八年级（上）期中数学试卷
一、你一定能选对!（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上将对应的答案标号涂黑．
1．（3分）下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列图形中有稳定性的是（ ）
A．四边形 B．三角形 C．五边形 D．六边形
3．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．5，6，11 B．4，4，9 C．3，4，8 D．8，7，14
4．（3分）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（ ）
A．62° B．72° C．76° D．66°
5．（3分）从n边形的一个顶点出发，可以作5条对角线，则n的值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．（3分）如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE分别与边AB，AC交于点D，点E，若△ABC与△BCE的周长分别是36cm和22cm，则AD的长是（ ）
A．7cm B．8cm C．10cm D．14cm
7．（3分）如图，△ABC中，AB＝AD＝DC，∠C＝2∠BAD，则∠BAC的度数是（ ）
A．20° B．40° C．60° D．80°
8．（3分）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A5B5A6的边长为（ ）
A．32 B．24 C．16 D．8
9．（3分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠EAD＝∠BAC＝80°，若∠BDC＝160°，则∠DCE的度数为（ ）
A．110° B．118° C．120° D．130°
10．（3分）如图，在△ABC中，点M，N分别是AC，BC上一点，AM＝BN，∠C＝60°，若AB＝9，BM＝7，则MN的长度可以是（ ）
A．2 B．7 C．16 D．17
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卷的指定位置．
11．（3分）点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为 ．
12．（3分）一个n边形的每个外角都等于72°，则n＝ ．
13．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得到△COD≌△C′O′D′的依据是 ．
14．（3分）等腰△ABC的一个外角是100°，则其顶角的度数为 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝60°，角平分线BD，CE交于点O，OF⊥AB于点F．下列结论：①∠EOB＝60°；②BF+CD＝BC；③AE+AD＝2AF；④S四边形BEDC＝2S△BOC+S△EDO．其中正确结论是 ．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，DB平分∠ADC，∠BCD＝150°．则∠ABD的度数为 °．
三、解下列各题（本大题共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．
17．（8分）如图，DE分别与△ABC的边AB，AC交于点D，点E，与BC的延长线交于点F，∠B＝65°，∠ACB＝70°，∠AED＝42°，求∠BDF的度数．
18．（8分）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，BE＝CF，求证：AC∥DF．
19．（8分）已知一个三角形的三条边的长分别为：n+6；3n；n+2．（n为正整数）
（1）若这个三角形是等腰三角形，求它的三边的长；
（2）若这个三角形的三条边都不相等，且为正整数，直接写出n的最大值为 ．
20．（8分）如图，六边形ABCDEF是正六边形，请用无刻度直尺画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按要求完成下列问题：
（1）如图1，连接AC．
①∠ACB＝ °；
②在图1中画出以AC为边的等边三角形，且另一个顶点在六边形的边上；
（2）已知，P为AF边上一点，
①如图2，在AB边上找一点Q，使得AQ＝AP；
②如图3，在CD边上找一点H，使得PH⊥CD．
21．（8分）如图，在等边△ABC中，P为AB边上的一点，线段BC与DC关于直线CP对称，连接DA并延长交直线CP于点E．
（1）若∠ACE＝20°，求∠CED的度数；
（2）若AE＝1，CE＝4．求AD的长．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边△BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点．
（1）求证：△ADC为等边三角形；
（2）求PD+PQ+QE的最小值．
23．（10分）已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC边上一点，E为射线AD上一点，连接BE、CE．
（1）如图1，若∠ADC＝60°，CE平分∠ACB．求证：BD＝DE；
（2）若∠CED＝45°．
①如图2，求证：BE⊥AE；
②如图3，若∠BED＝30°，E在A、D之间，且AE＝1，求BE的长．
24．（12分）已知，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为点A（3，0），点B（0，b），将线段AB绕点A顺时针旋转α°得到AC，连接BC．
（1）若α＝90．
①如图1，b＝1，直接写出点C的坐标；
②如图2，D为BC中点，连接OD．求证：OD平分∠AOB；
（2）如图3，若α＝60，b＝3，N为BC边上一点，M为AB延长线上一点，BM＝CN，连接MN，将线段MN绕点N逆时针旋转120°得到NP，连接OP．求当∠AOP取何值时，线段OP最短．
2021-2022学年湖北省武汉市青山区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、你一定能选对!（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上将对应的答案标号涂黑．
1．（3分）下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
2．（3分）下列图形中有稳定性的是（ ）
A．四边形 B．三角形 C．五边形 D．六边形
【解答】解：根据三角形具有稳定性，可得四个选项中只有三角形具有稳定性．
故选：B．
3．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．5，6，11 B．4，4，9 C．3，4，8 D．8，7，14
【解答】解：A．∵5+6＝11，∴不能组成三角形，不符合题意；
B．∵4+4＜9，∴不能组成三角形，不符合题意；
C．∵3+4＜8，∴不能组成三角形，不符合题意；
D．∵8+7＞14，∴能组成三角形，符合题意．
故选：D．
4．（3分）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（ ）
A．62° B．72° C．76° D．66°
【解答】解：由三角形内角和定理得，∠2＝180°﹣40°﹣64°＝76°，
∵两个三角形全等，
∴∠1＝∠2＝76°，
故选：C．
5．（3分）从n边形的一个顶点出发，可以作5条对角线，则n的值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【解答】解：设多边形有n条边，
则n﹣3＝5，
解得n＝8，
故选：B．
6．（3分）如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE分别与边AB，AC交于点D，点E，若△ABC与△BCE的周长分别是36cm和22cm，则AD的长是（ ）
A．7cm B．8cm C．10cm D．14cm
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，AD＝BD=12AB，
∵△EBC的周长是22cm，
∴BC+BE+EC＝22cm，即AC+BC＝22cm，
∵△ABC的周长是36cm，
∴AB+AC+BC＝36cm，
∴AB＝36﹣22＝14（cm），
∴AD=12AB=12×14＝7（cm）．
故选：A．
7．（3分）如图，△ABC中，AB＝AD＝DC，∠C＝2∠BAD，则∠BAC的度数是（ ）
A．20° B．40° C．60° D．80°
【解答】解：∵AD＝DC，
∴∠C＝∠DAC，
∴∠ADB＝2∠C，
∵AB＝AD，∠C＝2∠BAD，
∴∠ABD＝∠ADB＝4∠BAD，
∵∠ABD+∠ADB+∠BAD＝180°，
∴4∠BAD+∠4∠BAD+∠BAD＝180°，
∴∠BAD＝20°，
∴∠ABD＝80°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣80°﹣40°＝60°，
故选：C．
8．（3分）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A5B5A6的边长为（ ）
A．32 B．24 C．16 D．8
【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，
∵∠MON＝30°，
∴∠OB1A1＝60°﹣30°＝30°，
∴∠MON＝∠OB1A1，
∴B1A1＝OA1＝2，
∴△A1B1A2的边长为2，
同理得：∠OB2A2＝30°，
∴OA2＝A2B2＝OA1+A1A2＝2+2＝4，
∴△A2B2A3的边长为4，
同理可得：、△A3B3A4的边长为：23＝8，
△A4B4A5的边长为：24＝16，
则△A5B5A6的边长为：25＝32，
故选：A．
9．（3分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠EAD＝∠BAC＝80°，若∠BDC＝160°，则∠DCE的度数为（ ）
A．110° B．118° C．120° D．130°
【解答】解：如图所示：
∵∠EAD＝∠BAC＝80°，
∴∠1＝∠2，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠1=∠2AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠BAC＝80°，AB＝AC，
∴∠BCA＝∠CBA＝50°，
∴∠DCE＝∠4+∠BCA+∠ACE＝∠4+50°+∠ABD＝∠4+50°+∠3+∠ABC＝∠3+∠4+100°，
又∵∠BDC＝160°，
∴∠3+∠4＝180°﹣∠BDC＝20°，
∴∠DCE＝20°+100°＝120°，
故选：C．
10．（3分）如图，在△ABC中，点M，N分别是AC，BC上一点，AM＝BN，∠C＝60°，若AB＝9，BM＝7，则MN的长度可以是（ ）
A．2 B．7 C．16 D．17
【解答】解：如图，作等边△ABQ和等边△MBP，连接QP，QM，
在等边△ABQ和等边△MBP中，∠QBA＝∠PBM＝60°，
∴∠QBP+∠QBM＝∠QBM+∠ABM＝60°，
∴∠QBP＝∠ABM，
又∵QB＝AB＝9，PB＝MB＝7，
∴△QBP≌△ABM（SAS），
∴∠BQP＝∠BAM，PQ＝AM，
∵AM＝BN，
在△ABC中，∠ACB+∠CAB+∠CBA＝180°，∠ACB＝60°，
∴∠MBC＝180°﹣60°﹣∠MAB﹣∠ABM＝120°﹣∠MAB﹣∠ABM，
在△QBP中，∠QPB+∠BQP+∠QBP＝180°，∠MPB＝60°，
∴∠MPQ＝180°﹣60°﹣∠BQP﹣∠QBP＝120°﹣∠MAB﹣∠ABM，
∴∠MBN＝MPQ，
在△QMP和△NMB中，
PB=MB∠MBN=∠MPQPQ=BN，
∴△QMP≌△NMB（SAS），
∴MQ＝MN，
在△QMB中，QB﹣MB＜QM＜QB+MB，
∴AB﹣MB＜MN＜AB+MB，
∴2＜MN＜16，
∴选项B，MN＝7符合题意，
故选：B．
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卷的指定位置．
11．（3分）点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为 （2，5） ．
【解答】解：点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为：（2，5），
故答案为：（2，5）．
12．（3分）一个n边形的每个外角都等于72°，则n＝ 5 ．
【解答】解：∵n边形的每个外角都相等，
∴这个n边形是正多边形，
∵多边形的外角和为360°，
∴多边形的边数为360°÷72°＝5．
故答案为：5．
13．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得到△COD≌△C′O′D′的依据是 SSS ．
【解答】解：由作法得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，
所以△COD≌△C′O′D′（SSS）．
故答案为SSS．
14．（3分）等腰△ABC的一个外角是100°，则其顶角的度数为 20°或80° ．
【解答】解：∵等腰△ABC的一个外角是100°，
∴①当顶角的外角是100°，
∴顶角等于180°﹣100°＝80°，
②当底角的外角是100°，
∴底角等于180°﹣100°＝80°，
∴顶角等于180°﹣80°﹣80°＝20°，
∴其顶角的度数为：20°或80°．
故答案为：20°或80°．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝60°，角平分线BD，CE交于点O，OF⊥AB于点F．下列结论：①∠EOB＝60°；②BF+CD＝BC；③AE+AD＝2AF；④S四边形BEDC＝2S△BOC+S△EDO．其中正确结论是 ①③④ ．
【解答】解：如图1，∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∵BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，且BD、CE相交于点O，
∴∠OBC＝∠OBA=12∠ABC，∠OCB＝∠OCA=12∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）＝60°，
∴∠EOB＝∠OBC+∠OCB＝60°，
故①正确；
如图2，在BC上截取BM＝BE，连接OM，
在△BOE和△BOM中，
BE=BM∠OBE=∠OBMOB=OB，
∴△BOE≌△BOM（SAS），
∴OE＝OM，∠EOB＝∠BOM＝60°，
∵∠COD＝∠EOB＝60°，
∴∠COM＝180°﹣∠BOM﹣∠COD＝60°，
∴∠COD＝∠COM，
在△COD和△COM中，
∠COD=∠COMOC=OC∠OCD=∠OCM，
∴△COD≌△COM{ASA），
∴CD＝CM，
∴BE+CD＝BC，
故②错误；
如图3，作OH⊥AC于点H，OG⊥BC于点G，连接OA，
∵OF⊥AB于点F，
∴∠AFO＝∠AHO＝90°，∠OFE＝∠OHD＝90°，
∵OF＝OG，OH＝OG，
∴OF＝OH，
在Rt△AOF和Rt△AOH中，
OA=OAOF=OH，
∴Rt△AOF≌Rt△AOH（HL），
∴AF＝AH，
∵∠EAC＝∠COD＝60°，
∴∠EAC+∠ACE＝∠COD+∠ACE，
∵∠OEF＝∠EAC+∠ACE，∠ODH＝∠COD+∠ACE，
∴∠OEF＝∠ODH，
在△OEF和△ODH中，
∠OEF=∠ODH∠OFE=∠OHDOF=OH，
∴△OEF≌△ODH（AAS），
∴EF＝DH，
∴AE+AD＝AE+AH+DH＝AE+AH+EF＝AF+AH＝2AF，
故③正确；
如图2，∵△BOE≌△BOM，△COD≌△COM，
∴S△BOE＝S△BOM，S△COD＝S△COM，
∴S△BOE+S△COD＝S△BOM+S△COM，＝S△BOC，
∴S四边形BEDC＝S△BOC+S△BOE+S△COD+S△EDO＝2S△BOC+S△EDO，
故④正确，
故答案为：①③④．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，DB平分∠ADC，∠BCD＝150°．则∠ABD的度数为 30 °．
【解答】解：作△BCD的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，OD，如图，
∵∠BCD＝150°，
∴∠BOD＝60°．
∵OB＝OD，
∴△OBD为等边三角形．
∴∠OBD＝∠ODB＝60°，BD＝OB＝OD．
在△OBA和△OCA中，
OA=OAOB=OCAB=AC，
∴△OBA≌△OCA（SSS）．
∴∠BOA＝∠COA=12∠BOC．
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB=12∠ADC．
∵∠BDC=12∠BOC，
∴∠BOA＝∠COA＝∠ADB＝∠CDB．
∵∠BOD＝∠BDO＝60°，
∴∠BOD﹣∠BOA＝∠BDO﹣∠ADB．
∴∠AOD＝∠ADO．
∴AO＝AD．
在△OBA和△DBA中，
OB=BDBA=BAAO=AD，
∴△OBA≌△DBA（SSS）．
∴∠ABO＝∠ABD=12∠OBD＝30°．
故答案为：30．
三、解下列各题（本大题共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．
17．（8分）如图，DE分别与△ABC的边AB，AC交于点D，点E，与BC的延长线交于点F，∠B＝65°，∠ACB＝70°，∠AED＝42°，求∠BDF的度数．
【解答】解：∵∠B＝65°，∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB
＝180°﹣65°﹣70°
＝45°，
又∵∠AED＝42°，
∴∠BDF＝∠A+∠AED
＝45°+42°
＝87°．
18．（8分）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，BE＝CF，求证：AC∥DF．
【解答】证明：∵BE＝CF（已知），
∴BE+EC＝EC+CF，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
∠A=∠D∠B=∠DEFBC=EF，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴AC＝DF（全等三角形对应边相等）．
19．（8分）已知一个三角形的三条边的长分别为：n+6；3n；n+2．（n为正整数）
（1）若这个三角形是等腰三角形，求它的三边的长；
（2）若这个三角形的三条边都不相等，且为正整数，直接写出n的最大值为 7 ．
【解答】解：（1）①如果n+2＝3n，
解得n＝1，
三角形三边的长为3，3，7，不符合三角形三边关系；
②如果n+6＝3n，
解得n＝3，
三角形三边的长为5，9，9，符合三角形三边关系．
综上所述，等腰三角形三边的长为5，9，9；
（2）n的最大值为7．
由三角形三边关系知，(n+2)+(n+6)＞3n(n+2)+3n＞n+6，
解得43＜n＜8，
∵三角形的三条边都不相等，
∴3n≠n+6，
∴n≠3，
∴43＜n＜8且n≠3，
∵n为正整数，
∴n的最大值为7．
故答案为：7．
20．（8分）如图，六边形ABCDEF是正六边形，请用无刻度直尺画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按要求完成下列问题：
（1）如图1，连接AC．
①∠ACB＝ 30 °；
②在图1中画出以AC为边的等边三角形，且另一个顶点在六边形的边上；
（2）已知，P为AF边上一点，
①如图2，在AB边上找一点Q，使得AQ＝AP；
②如图3，在CD边上找一点H，使得PH⊥CD．
【解答】解：（1）①∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC＝120°，BA＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC=12（180°﹣120°）＝30°，
故答案为：30；
②如图1中，△ACE即为所求；
（2）①如图2中，点Q即为所求；
②如图3中，线段PH即为所求．
21．（8分）如图，在等边△ABC中，P为AB边上的一点，线段BC与DC关于直线CP对称，连接DA并延长交直线CP于点E．
（1）若∠ACE＝20°，求∠CED的度数；
（2）若AE＝1，CE＝4．求AD的长．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，CB＝CA，
∵∠ACE＝20°，
∴∠ECB＝60°﹣20°＝40°，
由翻折的性质可知，CB＝CD，∠ECB＝∠ECD＝40°，
∴CA＝CD，∠ACD＝40°﹣20°＝20°，
∴∠CAD＝∠D＝80°，
∵∠DAC＝∠CED+∠ACE，
∴∠CED＝80°﹣20°＝60°．
（2）过点C作CT⊥DE于T．设∠ECA＝α，则∠ECB＝∠ECD＝60°﹣α，
∴∠ACD＝60°﹣2α，
∵CA＝CD，
∴∠CAD=12（180°﹣60°+2α）＝60°+α，
∵∠DAC＝∠E+∠ACE，
∴∠E＝60°+α﹣α＝60°，
∵CT⊥AD，CA＝CD，
∴AT＝DT，
∴∠ECT＝30°，
∴ET=12EC＝2，
∴AT＝DT﹣AE＝2﹣1＝1，
∴AD＝2AT＝2．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边△BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点．
（1）求证：△ADC为等边三角形；
（2）求PD+PQ+QE的最小值．
【解答】（1）证明：∵ACB＝90°，点D为AB的中点，
∴CD＝AD，
∵∠ABC＝30°，
∴∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形；
（2）解：连接AP，BQ，
∵△BCE是等边三角形，
∴∠BCE＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∵△ACD是等边三角形，
∴CP垂直平分AD，
∴DP＝AP，
同理得EQ＝BQ，
∴PD+PQ+QE＝AP+PQ+BQ，
∴当点P、Q落在AB上时，PD+PQ+QE的最小值为AB，
∵∠ABC＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，
∴PD+PQ+QE的最小值为4．
23．（10分）已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC边上一点，E为射线AD上一点，连接BE、CE．
（1）如图1，若∠ADC＝60°，CE平分∠ACB．求证：BD＝DE；
（2）若∠CED＝45°．
①如图2，求证：BE⊥AE；
②如图3，若∠BED＝30°，E在A、D之间，且AE＝1，求BE的长．
【解答】（1）证明：如图1中，延长CE交AB于点J．
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
∵CE平分∠ACB，
∴CJ⊥AB，AJ＝JB，
∴EA＝EB，
∵∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝90°﹣∠ADC＝30°，
∴∠EAB＝∠EBA＝15°，
∴∠EBD＝30°，
∵∠EDC＝∠EBD+∠BED＝60°，
∴∠EBD＝∠BED＝30°，
∴DB＝DE；
（2）①证明：如图2中，过点C作CH⊥CE交AE于点H．
∵∠AEC＝45°，∠ECH＝90°，
∴∠CEH＝∠CHE＝45°，
∴CE＝CH，
∵∠ACB＝∠ECH＝90°，
∴∠ACH＝∠BCE，
在△ACH和△BCE中，
CA=CB∠ACH=∠BCECH=CE，
∴△ACH≌△BCE（SAS），
∴∠CAH＝∠CBE，
∵∠ADC＝∠BDE，
∴∠ACD＝∠BED＝90°；
②解：如图3中，过点C作CH⊥CE交AD的延长线于点H，连接BH．
同法可证，△ACE≌△BCH（SAS），BH⊥AH，
∴BH＝AE＝1，
∵∠BHE＝90°，∠BEH＝30°，
∴BE＝2BH＝2．
24．（12分）已知，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为点A（3，0），点B（0，b），将线段AB绕点A顺时针旋转α°得到AC，连接BC．
（1）若α＝90．
①如图1，b＝1，直接写出点C的坐标；
②如图2，D为BC中点，连接OD．求证：OD平分∠AOB；
（2）如图3，若α＝60，b＝3，N为BC边上一点，M为AB延长线上一点，BM＝CN，连接MN，将线段MN绕点N逆时针旋转120°得到NP，连接OP．求当∠AOP取何值时，线段OP最短．
【解答】（1）①解：如图1中，过点C作CH⊥x轴于点H．
∵∠AOB＝∠BAC＝∠AHC＝90°，
∴∠BAO+∠CAH＝90°，∠CAH+∠ACH＝90°，
∴∠OAB＝∠ACH，
在△AOB和△CHA中，
∠AOB=∠CHA∠OAB=∠HCAAB=CA，
∴△AOB≌△CHA（AAS），
∴OB＝AH，CH＝OA，
∵B（0，1），A（3，0），
∴OB＝1，OA＝3，
∴AH＝1，CH＝3，OH＝4，
∴C（4，3）；
②证明：如图2中，过点D作DM⊥OA于点M，DN⊥OB于点N．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，
∴AD⊥BC，AD＝DB＝DC，∠DAB＝∠DAC＝45°，
∵∠DMO＝∠DNO＝∠MON＝90°，
∴∠MDN＝∠ADB＝90°，
∴∠BDN＝∠ADM，
∵∠ADB＝∠AOB＝90°，
∴∠DAM+∠DBO＝180°，
∵∠DBO+∠DBN＝180°，
∴∠DBN＝∠DAM，
在△DNB和△DMA中，
∠DNB=∠DMA∠DBN=∠DAMDB=DA，
∴△DNB≌△DMA（AAS），
∴DM＝DN，
∵DM⊥OA，DN⊥OB，
∴OD平分∠AOB；
（2）解：作NE∥AB交AC于点E，连接PM，AN，PA，过点O作OF⊥PA交PA的延长线于点F．
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠CBA＝∠CAB＝∠C＝60°，
∵NE∥AB，
∴∠CNE＝∠CBA＝60°，∠CEN＝∠CAB＝60°，
∴△CEN是等边三角形，
∴CN＝NE＝CE，
∵BM＝CN，CB＝CA，
∴NE＝BM，BN＝AE，
∵∠CBA＝∠CEN＝60°，
∴∠MBN＝∠AEN＝120°，
在△NBM和△AEN中，
BM=EN∠NBM=∠NEABN=EA，
∴△NBM≌△AEN（SAS），
∴NM＝AN，
∵NM＝NP，
∴AN＝NP，
∴∠NMA＝∠NAM，∠NAP＝∠NPA，
∵∠MNP＝120°，
∴2∠NAM+2∠NAP＝240°，
∴∠PAM＝∠NAM+∠NAP＝120°，
∴∠OAP＝∠OAB+∠MAP＝165°，
∴∠AOF＝180°﹣165°＝15°，
∴点P在直线PA上运动（∠OAP＝165°），
根据垂线段最短可知，当点P与F重合时，OP的值最小，此时∠AOP＝90°﹣15°＝75°．
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