辽宁省葫芦岛市南票区2022-2023学年八年级上学期期中质量检测数学试卷(含解析)

南票区2022－2023学年第一学期期中质量检测

八年级数学试卷

考试时间：100分钟  满分：120分

一、选择题（每题3分，共30分）

1．一个多边形每一个外角都等于18°，则这个多边形的边数为（    ）．

A．10 B．12 C．16 D．20

2．已知三角形的三个外角的度数比为2：3：4，则它的最大内角的度数为（　　）

A．90° B．110° C．100° D．120°

3．如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E、F分别是线段AD、CE的中点，则△ABC的面积等于△BEF的面积的（　　）            

A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．5倍

4．如图，（    ）度．

A．180 B．270 C．360 D．540

5．如图，是的角平分线，且，则与的面积之比为（    ）

A． B． C． D．不能确定

6．若一个图形上所有点的纵坐标不变，横坐标乘以－1，则所得图形与原图形的关系为（ ）

A．关于x轴成轴对称图形 B．关于y轴成轴对称图形

C．关于原点成中心对称图形 D．无法确定

7．如图，为内一点，平分，，，若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

8．如图，已知的周长是20，点O为三角形内心，连接、，于点D，且，则的面积是（　　）

A．20 B．25 C．30 D．35

9．如图，将长方形沿折叠，，分别落在点，的位置，与交于点.下列说法中，不正确的是（    ）

A． B． C． D．

10．如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（  　 ）

A． B． C． D．

二、填空题（每小题3分，共36分）

11．在中，AB＝6，AC＝10，那么中线AD边的取值范围是 ___．

12．如图，在中，是的中线，是的角平分线，交的延长线于点F，则的长为_______．

13．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝_____．

14．将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果，，那么    __________．

15．两个全等的三角尺重叠摆放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转到△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与 CE相交于点F．已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝30°，AB＝16cm，则AF＝____．

16．如图，在△ABC中，∠B = 60°，∠C = 40°，AE平分∠BAC，AD⊥BC，垂足为点D，那么∠DAE =______度．

17．如图，，P是OA上一点，P与关于OB对称，作于点M，，则______．

18．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为_____．

19．点P关于x轴对称点是，点P关于y轴对称点是，则__________．

20．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为__________．

21．如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF交AB于E，交BC于F，若四边形BFDE的面积为16，则AB的长为_________．

22．如图，已知ABC和DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下列结论：①AE＝BD；②AG＝BF；③FGBE；④∠BOC＝∠EOC．其中正确结论有_______．

三、解答题（共54分）

23．如图所示的坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标依次为A（﹣1，2），B（﹣4，1），C（﹣2，﹣2）

（1）请在这个坐标系中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；

（2）分别写出A1、B1、C1的坐标；

（3）求△ABC的面积．

24．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．

（1）若∠B=30°，∠ACB=40°，求∠E的度数．

（2）求证：∠BAC=∠B+2∠E．

25．如图，在平面直角坐标系中，点A与点B分别在x轴与y轴的正半轴上移动，BE是∠ABy的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点 C，试问∠C的大小是否随点A、B的移动而发生变化？如果保持不变，求出∠C的大小；如果随点A、B的移动而发生变化，请求出变化范围.

26．如图，点A、B、C在同一直线上，△ABD，△BCE都是等边三角形．

（1）求证：AE=CD；

（2）若M，N分别是AE，CD的中点，试判断△BMN的形状，并证明你的结论．

27．如图1，将两块全等的三角板拼在一起，其中△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC且AC = BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，EF⊥FP且EF = FP.

（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；

（2）将三角板△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP、BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；

（3）将三角板△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP、BQ.你认为（2）中猜想的BQ与AP所满足的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

答案

1．D

解析：解：∵一个多边形的每一个外角都等于18°，且多边形的外角和等于360°，

∴这个多边形的边数是：360°÷18°=20，

故选：D．

2．C

解析：解：设三个外角的度数分别为，，，

根据三角形外角和定理，可知，

得，

所以最小的外角为，

故最大的内角为．

故选：C．

3．C

解析：解：∵点E是AD的中点，

∴S△ABE=S△ABD，S△ACE=S△ADC，

∴S△ABE+S△ACE=S△ABC，

∴S△BCE=S△ABC，

∵点F是CE的中点，

∴S△BEF=S△BCE．

∴△ABC的面积等于△BEF的面积的4倍．

故选C．

4．C

解析：解：如图，

根据题意得： ，

∵ ，

∴．

故选：C

5．A

解析：解：如图所示，过点D作于E，于F．

∵为的平分线，

∴，

∵，

∴．

故选A．

6．B

解析：解:根据轴对称的性质,得纵坐标不变,横坐标都乘以-1,即是横坐标变成相反数,则实际是所得图形与原图形关于y轴的对称图形．

故选B．

7．B

解析：解：∵BD⊥CD，

∴∠D＝，

∵∠DBC＝，

∴∠DCB＝−＝，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACB＝，

∵∠A＝∠ABD，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，

∴∠A＋∠A＋＋＝180°，

∴∠A＝．

故选：B．

8．C

解析：解：如图，连接，过点O作于点E，于点F，

点O为三角形内心，，

，

，

故选：C．

9．C

解析：解：∵是的外角，

∴，

∴，故选项A正确，不合题意；

由折叠的性质知，

由题意知，

∴，

∴，

∴，故选项B正确，不合题意；

∵，

∴，

由题意知，

∴，

∴，故选项D正确，不合题意；

由折叠的性质知，

∴，

∵不一定等于，

∴现有条件不能证明，故选项C错误，符合题意；

故选C．

10．B

解析：解：∵PB+PC=BC，PA+PC=BC，

∴PA=PB，

根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在线段AB的垂直平分线上，

故可判断B选项正确．

故选B．

11．

解析：解：如图，延长到点，使，连接，

是中线，

，

在和中，

，

，

，

∵在中，，

∴，

，

，

故答案为：．

12．

解析：解：∵△ABC是等腰三角形，AD是的中线，

∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，

∵∠BAC＝120°，

∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，则∠B=30°，

∵AE是∠BAD的角平分线，

∴∠DAE＝∠EAB＝30°，

∵DF∥AB，

∴∠F＝∠BAE＝30°，

∴∠DAF＝∠F＝30°，

∴AD＝DF．

∵AB＝11，∠B＝30°，

∴AD＝，

∴DF＝，

故答案为：．

13．55°

解析：∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，

∴∠1＝∠EAC，

在△BAD和△CAE中，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠2＝∠ABD＝30°，

∵∠1＝25°，

∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，

故答案为：55°．

14．35°

解析：∵等边三角形的内角度数是60°，正方形的度数是90°，正五边形的度数是，

∴∠3=360°-60°-90°-108°-∠1-∠2=360°-60°-90°-108°-47°-20°=35°，

故答案是：35°

15．4cm

解析：∵将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，

∴DC＝AC，∠D＝∠CAB，

∴∠D＝∠DAC，

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝30°，

∴∠D＝∠CAB＝60°，

∴∠DCA＝60°，

∴∠ACF＝30°，

可得∠AFC＝90°，

∵AB＝16cm，

∴AC＝ AB＝8cm，

∴AF＝ AC＝4cm，

故答案为4cm．

16．10

解析：因为，在△ABC中，∠B = 60°，∠C = 40°，所以∠BAC=180°-60°-40°=80°，因为AE平分∠BAC，所以∠BAE=∠CAE=40°，又因为在△ACD中，AD⊥BC，∠C=40°，所以∠CAD=50°，所以∠DAE=∠CAD-∠CAE=50°-40°=10°

17．2

解析：解：连接，如图所示：

∵P与关于OB对称，

∴，，

∴，

∵，

∴在中，

，

故答案为：2．

18．8

解析：解：连接，

是等腰三角形，点是边的中点，

，

，

解得，

是线段的垂直平分线，

点关于直线的对称点为点，

的长为的最小值，

的周长最短．

故答案为：8

19．1

解析：∵点P关于x轴对称点是，

∴P（a,-2）,

∵点P关于y轴对称点是，

∴b=-2，a=3，

∴1，

故答案是：1．

20．115°或65°

解析：解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+25°=115°；

②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°-25°=65°.

故答案为115°或65°

21．8

解析：解：连接BD，

∵△ABC是等腰直角三角形，点D是AC的中点，

∴AB＝BC，BD＝CD，∠EBD＝∠C＝45°，∠BDC＝90°，

∴∠BDF+∠FDC＝90°，

∵DE⊥DF，

∴∠EDB+∠BDF＝90°，

∴∠EDB＝∠FDC，

在△EBD和△FCD中，

，

∴△EBD≌△FCD（ASA），

∴S△EBD＝S△FCD，

∴S四边形EBFD＝S△EBD+S△BDF＝S△FCD+S△BDF＝S△BDC，

∵四边形EBFD的面积为16，S△BDC＝S△ABC＝××AB×BC＝AB2，

∴AB2＝16，

∴AB＝8，

故答案为：8．

22．①②③④

解析：解：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，

∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，

∴∠ACB+∠ACD＝∠ACD+∠ECD，∠ACD＝60°，

∴△ECD≌△ACE（SAS），

∴AE＝BD，（①正确）

∠CBD＝∠CAE，

∵∠BCA＝∠ACG＝60°，AC＝BC，

∴△BCF≌△ACG（ASA），

∴AG＝BF，（②正确）

同理：△DFC≌△EGC（ASA），

∴CF＝CG，

∴△CFG是等边三角形，

∴∠CFG＝∠FCB＝60°，

∴FG∥BE，（③正确）

过C作CM⊥AE于M，CN⊥BD于N，

∵△ECD≌△ACE，

∴∠BDC＝∠AEC，

∵CD＝CE，∠CND＝∠CMA＝90°，

∴△CDN≌△CEM，

∴CM＝CN，

∵CM⊥AE，CN⊥BD，

∴△Rt△OCN≌Rt△OCM（HL）

∴∠BOC＝∠EOC，

∴④正确；

故答案为：①②③④．

23．（1）见解析；（2），，；（3）

解析：解：（1）如图即为所作：

；

（2），，；

（3）．

24．（1）40°；（2）证明见解析．

（2）先根据角平分线定义得到∠ACE=∠DCE，再根据三角形外角性质进行角的代换即可证明结论．

解析：（1）∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，

∴∠DCE=∠DCA=（180°-∠ACB）=70°，

∴∠E=∠DCE-∠ABC=40°；

（2）证：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，

∴∠ACE=∠DCE，

∵∠DCE=∠B+∠E，

∴∠ACE=∠B+∠E，

∴∠BAC=∠ACE+∠E=∠B+∠E+∠E=∠B+2∠E．

25．∠C的大小保持不变；∠C=45°.

解析：∠C的大小保持不变．理由：

∵AC 平分∠OAB，BE 平分∠ABy，

∴∠ABE＝∠ABy，∠CAB＝∠OAB，

∴∠C＝∠ABE﹣∠CAB＝∠ABy﹣∠OAB＝（∠ABy﹣∠OAB）＝∠AOB＝45°．

故∠C的大小不发生变化，且始终保持 45°．

26．（1）证明见解析；（2）△MBN是等边三角形．

解析：(1)证明：∵△ABD、△BCE都是等边三角形，

∴AB＝BD，BC＝BE，∠ABD＝∠CBE＝60°，

∴∠ABD＋∠DBE＝∠DBE＋∠CBE即∠ABE＝∠DBC，

∴在△ABE和△DBC中，

△ABE≌△DBC(SAS)．

∴AE＝CD．

(2)解：△MBN是等边三角形，理由如下：

∵△ABE≌△DBC，

∴∠BAE＝∠BDC．

∵AE＝CD，M、N分别是AE、CD的中点，

∴AM＝DN；

又∵AB＝DB．

∴△ABM≌△DBN．

∴BM＝BN，∠ABM＝∠DBN．

∴∠DBM＋∠DBN＝∠DBM＋∠ABM＝∠ABD＝60°．

∴△MBN是等边三角形．

27．（1）AB=AP，AB⊥AP；（2）BQ=AP，BQ⊥AP；（3）成立，见解析.

解析：（1）AB=AP且AB⊥AP，

证明：∵AC⊥BC且AC=BC，

∴△ABC为等腰直角三角形，

∴∠BAC=∠ABC=,

又∵△ABC与△EFP全等，

同理可证∠PEF=45°，

∴∠BAP=45°+45°=90°，

∴AB=AP且AB⊥AP；

（2）BQ与AP所满足的数量关系是AP=BQ，位置关系是AP⊥BQ，

证明：延长BQ交AP于G，

由（1）知，∠EPF=45°，∠ACP=90°，

∴∠PQC=45°=∠QPC，

∴CQ=CP，

∵∠ACB=∠ACP=90°，AC=BC，

∴在△BCQ和△ACP中

∴△BCQ≌△ACP（SAS），

∴AP=BQ，∠CBQ=∠PAC，

∵∠ACB=90°，

∴∠CBQ+∠BQC=90°，

∵∠CQB=∠AQG，

∴∠AQG+∠PAC=90°，

∴∠AGQ=180°-90°=90°，

∴AP⊥BQ；

（3）成立．

证明：如图，∵∠EPF=45°，

∴∠CPQ=45°．

∵AC⊥BC，

∴∠CQP=∠CPQ，

CQ=CP．

在Rt△BCQ和Rt△ACP中，

∴Rt△BCQ≌Rt△ACP（SAS）

∴BQ=AP；

延长BQ交AP于点N，

∴∠PBN=∠CBQ．

∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，

∴∠BQC=∠APC．

在Rt△BCQ中，∠BQC+∠CBQ=90°，

∴∠APC+∠PBN=90°．

∴∠PNB=90°．

∴BQ⊥AP．