辽宁省丹东市宽甸县2022-2023学年八年级下学期期末考试数学试卷(含解析)

2022-2023学年辽宁省丹东市宽甸县八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A. 斐波那契螺旋线 B. 笛卡尔心形线
C. 赵爽弦图 D. 科克曲线

2.  若，则下列式子中错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若分式的值为，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D.

4.  等腰三角形的一个角是，则它顶角的度数是(    )

A.  B. 或 C. 或 D.

5.  在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度，所得到的点关于原点中心对称后的点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  小华是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，，分别对应下列六个字；我，爱，数，学，思，考现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是(    )

A. 我爱学 B. 爱思考 C. 思数学 D. 我爱数学

7.  如图，直线与直线相交于点，则不等式的解集是(    )

A.
B.
C.
D. 无法确定

8.  如图，点是内一点，，，，点，，，分别是，，，的中点，若四边形的周长为，则长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  分解因式：          ．

10.  若是一个完全平方式，那么的值是______ ．

11.  已知一个正多边形的一个内角是，则这个多边形的边数是______．

12.  若分式方程有增根，则 ______ ．

13.  如果点在第二象限，那么关于的不等式的解集是______ ．

14.  如图，，的边在上，，，若将绕点逆时针旋转，点的对应点恰好落在上，则的长度为______．

 

15.  如图，中，，，平分，于点，于点，，则的长为______．

16.  如图，分别以的直角边，斜边为边向外作等边和，为的中点，连接、，，，则以下个结论：；四边形为平行四边形；；：：，其中正确的是          ．
 

三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）

17.  解分式方程：．

四、解答题（本大题共8小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．

19.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，．
将平移得到，且的坐标是，画出；
将绕点逆时针旋转得到，画出；
小娟发现绕点旋转也可以得到，请直接写出点的坐标．

20.  本小题分
化简并求值：，其中，且为整数．

21.  本小题分
如图所示，在等腰中，，为的中线，为上的一点，且的垂直平分线过点并交于．

求证：是等边三角形．

22.  本小题分
某工厂计划生产个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的倍，因此提前天完成任务，问原计划每天生产零件多少个？

23.  本小题分
如图，在四边形中，，对角线、交于点，且，过点作，交于点，交于点．
求证：四边形为平行四边形；
连接，若，，求的度数．

24.  本小题分
某初级中学足球队需购买、两种品牌的足球已知品牌足球的单价比品牌足球的单价高元，个品牌足球和个品牌足球共需元．
求、两种品牌足球的单价；
足球队计划购买、两种品牌的足球共个，设购买总费用为元，购买品牌足球个，列出总费用关于品牌足球个数的关系式；
在的条件下，若购买两种品牌足球的总费用不超过元，且购买品牌足球的数量不少于个，则该足球队共有几种购买方案？哪一种购买方案总费用最低，最低费用是多少元？

25.  本小题分
如图，是边长为的等边三角形，边在射线上，且，点从点出发，沿射线方向以的速度运动，当点不与点重合时，将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，，设点运动了．

当时，如图，点在线段上运动，线段与的数量关系是______ ；
当时，如图，点在线段上运动，中的结论是否成立，请说明理由．
当点在射线上运动时，是否存在以，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出此时的值．

答案和解析

1.【答案】 

解析：解：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原来的图形重合．
 

2.【答案】 

解析：解：、，
，故A不符合题意；
B、，
，故B符合题意；
C、，
，故C不符合题意；
D、，
，故D不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质，进行计算即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

3.【答案】 

解析：解：由题意，知且．
解得．
故选：．
根据分式的值为零，分子等于零列出方程，且分母不等于零．列出不等式，求解即可得到答案．
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为这两个条件缺一不可．
 

4.【答案】 

解析：解：分两种情况讨论：当的角为顶角时，底角为；
当角为底角时，另一底角也为，顶角为；
综上所述：等腰三角形的一个角是，则它顶角的度数是或；
故选：．
分两种情况讨论：当的角为顶角时；当角为底角时；容易得出结论．
本题是开放题目，考查了等腰三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键；注意分类讨论，避免漏解．
 

5.【答案】 

解析：解：将点向右平移个单位长度后的坐标为：，
关于原点中心对称后的点的坐标为；
故选：．
根据点的坐标平移规律“左减右加，下减上加”，可知横坐标应变为，而纵坐标不变，再利用关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数可得答案．
本题考查的是点的平移，关于原点对称的两个点的坐标关系，熟记平移规律与关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数是解本题的关键．
 

6.【答案】 

解析：解：

，
，，，，，，分别对应下列六个字；我，爱，数，学，思，考，
结果中一定有“我”，“爱”，“数”，“学”，
根据代数式的书写规则，“”一定在最前面，
“我”在最前面，对照四个选项可知，只有选项正确．
故选：．
先将因式分解，结合所对应汉字即可求解．
本题考查因式分解，且与现实生活联系创新，正确分解确定每个因式所对应的汉字为解题关键．
 

7.【答案】 

解析：解：当的图象在的图象的上方包含交点时，则，
交点坐标为，
的解集为；
故选：．
当的图象在的图象的上方包含交点时，可得，再结合函数的图象可得答案．
本题考查的是利用两直线的交点坐标确定不等式的解集，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
 

8.【答案】 

解析：解：点，，，分别是，，，的中点，
，，
四边形的周长为，
，
，
，，
，
故选：．
根据三角形的中位线定理得到，，求得，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
 

9.【答案】 

解析：解：原式，
故答案为：
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

10.【答案】 

解析：解：若是一个完全平方式，
，
故答案为：
利用完全平方公式的结构特征计算即可求出的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

11.【答案】六 

解析：

【分析】
本题考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是度，利用除以外角的度数就可以求出外角的个数，即多边形的边数．
【解答】
解：由题意知这个正多边形的一个外角是，
，
则这个多边形是六边形．
故答案为六．  

12.【答案】 

解析：解：方程两边都乘以得，，
整理得，，
分式方程有增根，
，解得，
．
故答案为．
根据分式方程的增根的定义得到分式方程的增根为，再把分式方程两边都乘以得，，则，然后把代入可计算出的值．
本题考查了分式方程的增根：把分式方程化为整式方程，解整式方程，若整式方程的解使分式方程左右两边不成立或分母为，那么这个未知数的值叫分式方程的增根．
 

13.【答案】 

解析：解：点在第二象限，
，
解得：，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据点的坐标和所在的象限得出，求出，解不等式求出的解集即可．
本题考查了点的坐标和解一元一次不等式，能灵活运用不等式的性质进行变形是解此题的关键．
 

14.【答案】 

解析：解：将三角形绕点逆时针旋转，点的对应点恰好落在上，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为．
根据旋转得出，，求出，根据直角三角形度角的性质可得：，可得结论．
本题考查了含度角的直角三角形性质，旋转的性质，三角形的内角和定理等知识点，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好．
 

15.【答案】 

解析：解：过作于，
平分，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
过作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

16.【答案】 

解析：

【分析】
由平行四边形的判定定理判断正确，再由平行四边形的性质和平行线的性质判断正确，然后由三角形三边关系判断错误，最后由等边三角形的性质分别求出、、的面积，即可判断正确，即可得出结论．
本题考查的是平行四边形的判定和性质、等边三角形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和等边三角形的性质，证明四边形为平行四边形是解题的关键．
【解答】
解：，，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
为的中点，
，
，
，，
四边形为平行四边形，故正确；
四边形为平行四边形，
，
又，
，故正确；
，，，，
，故错误；
设，则，，
如图，过作于，
则，
，
，
同理，
，
，
，故正确；
故答案为：．  

17.【答案】解：去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
经检验是分式方程的解． 

解析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
 

18.【答案】解：
由得：，
由得：，
，
解得：，
在数轴上表示其解集如下：

不等式组的解集为：． 

解析：分别解不等式组中的两个不等式，再利用数轴确定两个不等式的解集的公共部分即可．
此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是正确掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．在数轴上表示解集时，“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

19.【答案】解：如图所示，即为所求；

如图所示，即为所求；
如图所示，点即为所求，点的坐标为． 

解析：根据的坐标是，即可画出；
根据绕点逆时针旋转得到，即可画出；
连接两对对应点，分别作两条连线的垂直平分线，其交点即为所求，进而得出坐标．
本题主要考查了利用平移变换以及旋转变换作图，旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
 

20.【答案】解：
，
要使分式有意义，必须，，，
所以不能为，，，
，且为整数，
只能为，
当时，原式． 

解析：先把除法变成乘法，算乘法，化简后再通分，算加法，最后求出后代入，即可求出答案．
本题考查了分式有意义的条件，分式的化简与求值等知识点，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
 

21.【答案】证明：，为的中线，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
是等边三角形． 

解析：根据等腰三角形的性质得出，根据线段垂直平分线性质求出，，推出，根据等边三角形的性质得出即可．
本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质的应用，能正确运用定理进行推理是解此题的关键．
 

22.【答案】解：设原计划每天生产零件个，则实际每天生产零件为个，根据题意，得，
，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意；
答：原计划每天生产零件个． 

解析：设原计划每天生产零件个，则实际每天生产零件为个，根据提前天完成任务，列方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，分式方程的解法，找到等量关系是解题的关键．
 

23.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形为平行四边形；
解：设，则，
由得：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
即． 

解析：证≌，得，再由，即可得出结论；
先根据线段垂直平分线的性质得，则，再证，然后由三角形内角和定理得出方程，解方程即可．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：设品牌足球的单价为元，则品牌足球的单价为元，
，
解得：，则，
答：品牌足球的单价为元，则品牌足球的单价为元；
购买品牌足球个，则购买品牌足球个，
；
由题意可得：，
解得：，
为正整数，
，，；
有三种购买方案：购买甲个，乙个；购买甲个，乙个；购买甲个，乙个；
，，
随的增大而增大，
当时，费用最小，最小费用为：元．
方案的费用最小，最小费用为：元． 

解析：设品牌足球的单价为元，则品牌足球的单价为元，根据“个品牌足球和个品牌足球共需元”列方程求解即可；
根据总费用等于购买甲乙两种品牌的足球的费用之和可得函数解析式；
由总费用不超过元，且购买品牌足球的数量不少于个，建立不等式组可得购买方案，再利用一次函数的性质求解费用最小值即可．
本题考查的是一元一次方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，熟练的利用一次函数的性质求解费用的最小值是解本题的关键．
 

25.【答案】 

解析：解：，理由如下：
将线段绕点逆时针方向旋转得到，
，，
是等边三角形，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
．
故答案为：；
成立，理由如下：
将线段绕点逆时针方向旋转得到，
，，
是等边三角形，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
．
存在，当点与点重合时，，，不能构成三角形，
当点与点重合时，不符合题意，
当时，如图，记，的交点为，
将线段绕点逆时针方向旋转得到，
，，
是等边三角形，


由≌可得，而，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
当时，
同理可得：，
不存在直角三角形．
如图，当时，同理可得：，而，
，

又由知，
，
只能，
，
，
，
，
，
综上所述：当或时，以、、为顶点的三角形是直角三角形．
由旋转的性质得到，，进而证得≌，即可得到结论；
当时，由旋转的性质得到，，进而证得≌，即可得到结论；
存在，当点与点重合时，，，不能构成三角形，当时，由旋转的性质得到，，求得，根据等边三角形的性质得到，求得，求得，于是得到；当时，不存在直角三角形．当时，仿照可得到．
本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质、直角三角形的判定等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．