四川省绵阳市江油市三合镇初级中学校2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份四川省绵阳市江油市三合镇初级中学校2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年四川省绵阳市江油市三合中学九年级第一学期第一次月考数学试卷
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．估计的值在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
2．某校为了了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机对全校100名学生家长进行调查，这一问题中样本是（　　）
A．100
B．被抽取的100名学生家长
C．被抽取的100名学生家长的意见
D．全校学生家长的意见
3．若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1
4．我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，依题意列方程得（　　）
A．+3（100﹣x）＝100 B．﹣3（100﹣x）＝100
C．3x﹣＝100 D．3x+＝100
5．已知关于x的分式方程+＝1的解是非负数，则m的取值范围是（　　）
A．m＞2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m＞2且m≠3
6．已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（　　）
A．有最大值﹣1，有最小值﹣2
B．有最大值0，有最小值﹣1
C．有最大值7，有最小值﹣1
D．有最大值7，有最小值﹣2
7．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）

A．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570
D．32x+2×20x﹣2x2＝570
8．填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律m的值为（　　）

A．180 B．182 C．184 D．186
9．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为（　　）

A．4 B．2 C．3 D．2.5
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b2；
②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；
③3a+c＞0
④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3
⑤当x＜0时，y随x增大而增大
其中结论正确的个数是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）.
11．9的算术平方根是 　 　．
12．因式分解：x2y﹣9y＝　 　．
13．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2019的值为　 　
14．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为 　．

15．如图，反比例函数y＝的图象经过▱ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC，▱ABCD的面积为6，则k＝　 　．

16．在平面直角坐标系中，四边形AOBC为矩形，且点C坐标为（8，6），M为BC中点，反比例函数y＝（k是常数，k≠0）的图象经过点M，交AC于点N，则MN的长度是　 　．

三、解答题（共6小题，共72分）
17．解方程：﹣1＝．
18．先化简，再求值（1﹣）÷，其中x＝+1．
19．已知A（﹣4，2），B（n，﹣4）两点是一次函数y＝kx+b和反比例函数y＝图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集．

20．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE＝3，DF＝3，求图中阴影部分的面积．

21．学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表．
学生借阅图书的次数统计表
借阅图书的次数
0次
1次
2次
3次
4次及以上
人数
7
13
a
10
3
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）a＝　 　，b＝　 　．
（2）该调查统计数据的中位数是　 　，众数是　 　．
（3）请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数；
（4）若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数．

22．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？


参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
1．估计的值在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【分析】先估算出的大小，进而估算+1的范围．
解：∵9＜10＜16，
∴3＜＜4，
∴4＜+1＜5，
∴+1的值在4和5之间．
故选：C．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法．
2．某校为了了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机对全校100名学生家长进行调查，这一问题中样本是（　　）
A．100
B．被抽取的100名学生家长
C．被抽取的100名学生家长的意见
D．全校学生家长的意见
【分析】总体是指考察的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考察的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
解：某校为了了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机对全校100名学生家长进行调查，
这一问题中样本是：被抽取的100名学生家长的意见．
故选：C．
【点评】此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考察对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
3．若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1
【分析】分别计算出自变量为﹣3、﹣2和1对应的函数值，从而得到y1，y2，y3的大小关系．
解：当x＝﹣3，y1＝﹣＝4；
当x＝﹣2，y2＝﹣＝6；
当x＝1，y3＝﹣＝﹣12，
所以y3＜y1＜y2．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
4．我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，依题意列方程得（　　）
A．+3（100﹣x）＝100 B．﹣3（100﹣x）＝100
C．3x﹣＝100 D．3x+＝100
【分析】设大和尚有x人，则小和尚有（100﹣x）人，根据3×大和尚人数+小和尚人数÷3＝100，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
解：设大和尚有x人，则小和尚有（100﹣x）人，
根据题意得：3x+＝100．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
5．已知关于x的分式方程+＝1的解是非负数，则m的取值范围是（　　）
A．m＞2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m＞2且m≠3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出x，根据方程的解为非负数求出m的范围即可．
解：分式方程去分母得：m﹣3＝x﹣1，
解得：x＝m﹣2，
由方程的解为非负数，得到m﹣2≥0，且m﹣2≠1，
解得：m≥2且m≠3．
故选：C．
【点评】此题考查了分式方程的解，时刻注意分母不为0这个条件．
6．已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（　　）
A．有最大值﹣1，有最小值﹣2
B．有最大值0，有最小值﹣1
C．有最大值7，有最小值﹣1
D．有最大值7，有最小值﹣2
【分析】把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．
解：∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，
∴在﹣1≤x≤3的取值范围内，当x＝2时，有最小值﹣2，
当x＝﹣1时，有最大值为y＝9﹣2＝7．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式形式是解题的关键．
7．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）

A．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570
D．32x+2×20x﹣2x2＝570
【分析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m2，即可列出方程．
解：如图所示：设道路的宽为xm，
根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570，
故选：A．

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程．
8．填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律m的值为（　　）

A．180 B．182 C．184 D．186
【分析】利用已知数据的规律进而得出最后表格中数据，进而利用数据之间关系得出m的值．
解：由前面数字关系：1，3，5；3，5，7；5，7，9，
可得最后一个三个数分别为：11，13，15，
∵3×5﹣1＝14，
5×7﹣3＝32；
7×9﹣5＝58；
∴m＝13×15﹣11＝184．
故选：C．
【点评】此题主要考查了数字变化规律，正确得出表格中数据是解题关键．
9．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为（　　）

A．4 B．2 C．3 D．2.5
【分析】直接利用切线的性质得出∠PDO＝90°，再利用相似三角形的判定与性质分析得出答案．
解：连接DO，
∵PD与⊙O相切于点D，
∴∠PDO＝90°，
∵∠C＝90°，
∴DO∥BC，
∴△PDO∽△PCB，
∴＝＝＝，
设PA＝x，则＝，
解得：x＝4，
故PA＝4．
故选：A．

【点评】此题主要考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质，正确得出△PDO∽△PCB是解题关键．
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b2；
②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；
③3a+c＞0
④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3
⑤当x＜0时，y随x增大而增大
其中结论正确的个数是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b＝﹣2a，然后根据x＝﹣1时函数值为0可得到3a+c＝0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．
解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，所以②正确；
∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，所以③错误；
∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．9的算术平方根是 　3　．
【分析】根据算术平方根的定义计算即可．
解：∵32＝9，
∴9的算术平方根是3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了算术平方根的定义，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
12．因式分解：x2y﹣9y＝　y（x+3）（x﹣3）　．
【分析】先提取公因式y，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解：x2y﹣9y，
＝y（x2﹣9），
＝y（x+3）（x﹣3）．
【点评】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
13．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2019的值为　2020　
【分析】把（m，0）代入抛物线解析式得到m2﹣m＝1，然后利用整体代入的方法计算m2﹣m+2019的值．
解：∵抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），
∴m2﹣m﹣1＝0，
∴m2﹣m＝1，
∴m2﹣m+2019＝1+2019＝2020．
故答案为：2020．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
14．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为 　或3　．

【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连接AC，先利用勾股定理计算出AC＝5，根据折叠的性质得∠AB′E＝∠B＝90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C＝90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB＝EB′，AB＝AB′＝3，可计算出CB′＝2，设BE＝x，则EB′＝x，CE＝4﹣x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．
解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：

①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连接AC，
在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝5，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E＝∠B＝90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C＝90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB＝EB′，AB＝AB′＝3，
∴CB′＝5﹣3＝2，
设BE＝x，则EB′＝x，CE＝4﹣x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2＝CE2，
∴x2+22＝（4﹣x）2，解得x＝，
∴BE＝；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．
此时ABEB′为正方形，∴BE＝AB＝3．
综上所述，BE的长为或3．
故答案为：或3．
【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
15．如图，反比例函数y＝的图象经过▱ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC，▱ABCD的面积为6，则k＝　﹣3　．

【分析】由平行四边形面积转化为矩形BDOA面积，在得到矩形PDOE面积，应用反比例函数比例系数k的意义即可．
解：如图，过点P做PE⊥y轴于点E．

∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，
又∵BD⊥x轴，
∴ABDO为矩形，
∴AB＝DO，
∴S矩形ABDO＝S▱ABCD＝6，
∵P为对角线交点，PE⊥y轴，
∴四边形PDOE为矩形面积为3，
即DO•EO＝3，
∴设P点坐标为（x，y），
k＝xy＝﹣3．
故答案为：﹣3
【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义以及平行四边形的性质．
16．在平面直角坐标系中，四边形AOBC为矩形，且点C坐标为（8，6），M为BC中点，反比例函数y＝（k是常数，k≠0）的图象经过点M，交AC于点N，则MN的长度是　5　．

【分析】根据矩形的性质，可得M点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得N点坐标，根据勾股定理，可得答案．
解：由四边形AOBC为矩形，且点C坐标为（8，6），M为BC中点，得
M（8，3），N点的纵坐标是6．
将M点坐标代入函数解析式，得
k＝8×3＝24，
反比例函数的解析是为y＝，
当y＝6时，＝6，解得x＝4，N（4，6），
NC＝8﹣4＝4，CM＝6﹣3＝3，
MN＝＝＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了矩形的性质，利用矩形的性质得出M点坐标是解题关键，又利用了待定系数法求函数解析式，自变量与函数值的对应关系求出N点坐标，勾股定理求MN的长．
三、解答题（本大题共6小题，共72分）
17．解方程：﹣1＝．
【分析】方程两边都乘以最简公分母（x+1）（x﹣1）化为整式方程，然后解方程即可，最后进行检验．
解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）去分母得，
x（x+1）﹣（x2﹣1）＝3，
即x2+x﹣x2+1＝3，
解得x＝2
检验：当x＝2时，（x+1）（x﹣1）＝（2+1）（2﹣1）＝3≠0，
∴x＝2是原方程的解，
故原分式方程的解是x＝2．
【点评】本题考查了分式方程的求解，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
18．先化简，再求值（1﹣）÷，其中x＝+1．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
解：（1﹣）÷
＝
＝
＝，
当x＝+1时，原式＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
19．已知A（﹣4，2），B（n，﹣4）两点是一次函数y＝kx+b和反比例函数y＝图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集．

【分析】（1）先把A点坐标代入y＝，求出m可得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定B点坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）根据x轴上点的坐标特征确定C点坐标，然后根据三角形面积公式，由S△AOB＝S△AOC+S△BOC进行计算即可；
（3）观察函数图象找出直线在双曲线的上方时所对应的自变量取值范围，即可写出不等式kx+b﹣＞0的解集．
解：（1）把A（﹣4，2）代入y＝，
得m＝2×（﹣4）＝﹣8，则反比例函数解析式为y＝﹣．
把B（n，﹣4）代入y＝﹣，
得﹣4n＝﹣8，解得n＝2，则B点坐标为（2，﹣4）．
把A（﹣4，2）、B（2，﹣4）代入y＝kx+b得
，
解得，
则一次函数解析式为y＝﹣x﹣2．
（2）直线与x轴的交点为C，在y＝﹣x﹣2中，令y＝0，则x＝﹣2，
即直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0），
∴OC＝2．
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×2×2+×2×4＝6．
（3）由图可得，不等式kx+b﹣＞0解集范围是x＜﹣4或0＜x＜2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式．
20．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE＝3，DF＝3，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）直接利用角平分线的定义结合平行线的判定与性质得出∠DEB＝∠EDO＝90°，进而得出答案；
（2）利用勾股定理结合扇形面积求法分别分析得出答案．
解：（1）DE与⊙O相切，
理由：连接DO，
∵DO＝BO，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，
∴∠EBD＝∠DBO，
∴∠EBD＝∠BDO，
∴DO∥BE，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝∠EDO＝90°，
∴DE与⊙O相切；

（2）∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BE，DF⊥AB，
∴DE＝DF＝3，
∵BE＝3，
∴BD＝＝6，
∵sin∠DBF＝＝，
∴∠DBA＝30°，
∴∠DOF＝60°，
∴sin60°＝＝＝，
∴DO＝2，
则FO＝，
故图中阴影部分的面积为：﹣××3＝2π﹣．

【点评】此题主要考查了切线的判定方法以及扇形面积求法等知识，正确得出DO的长是解题关键．
21．学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表．
学生借阅图书的次数统计表
借阅图书的次数
0次
1次
2次
3次
4次及以上
人数
7
13
a
10
3
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）a＝　17　，b＝　20　．
（2）该调查统计数据的中位数是　2次　，众数是　2次　．
（3）请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数；
（4）若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数．

【分析】（1）先由1次的人数及其所占百分比求得总人数，总人数减去其他次数的人数求得a的值，用3次的人数除以总人数求得b的值；
（2）根据中位数和众数的定义求解；
（3）用360°乘以“3次”对应的百分比即可得；
（4）用总人数乘以样本中“4次及以上”的人数所占比例即可得．
解：（1）∵被调查的总人数为13÷26%＝50人，
∴a＝50﹣（7+13+10+3）＝17，b%＝×100%＝20%，即b＝20，
故答案为：17、20；

（2）由于共有50个数据，其中位数为第25、26个数据的平均数，
而第25、26个数据均为2次，
所以中位数为2次，
出现次数最多的是2次，
所以众数为2次，
故答案为：2次、2次；

（3）扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数为360°×20%＝72°；

（4）估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数为2000×＝120人．
【点评】本题考查的是扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？
【分析】（1）根据“利润＝（售价﹣成本）×销售量”列出方程；
（2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答；
（3）把y＝4000代入函数解析式，求得相应的x值，即可确定销售单价应控制在什么范围内．
解：（1）y＝（x﹣50）[50+5（100﹣x）]
＝（x﹣50）（﹣5x+550）
＝﹣5x2+800x﹣27500，
∴y＝﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；
（2）y＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500，
∵a＝﹣5＜0，
∴抛物线开口向下．
∵50≤x≤100，对称轴是直线x＝80，
∴当x＝80时，y最大值＝4500；
（3）当y＝4000时，﹣5（x﹣80）2+4500＝4000，
解得x1＝70，x2＝90．
∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．
【点评】本题考查二次函数的实际应用．建立数学建模题，借助二次函数解决实际问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出函数关系式和方程，再求解．