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新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题10 利用导数研究函数的单调性、极值和最值（含解析）
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这是一份新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题10 利用导数研究函数的单调性、极值和最值（含解析），共34页。
专题10 利用导数研究函数的单调性、极值和最值
【考纲要求】
1、 了解函数的单调性与导数的关系；
2、能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
3、了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；
4、会求闭区间上函数的最大值、最小值
一、利用导数研究函数的单调性
【思维导图】
【考点总结】
1．函数的导数与单调性的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导，则
(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增。
(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减。
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数。
二、利用导数研究函数的极值与最值
【思维导图】
【考点总结】
1、函数的极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则x＝a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值。
2、函数的极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则x＝b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，极大值和极小值统称为极值。
3、函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：
一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。
(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为：
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
三、利用导数研究零点与不等式恒成立问题
【思维导图】
【题型汇编】
题型一：利用导数研究函数的单调性
题型二：利用导数研究函数的极值
题型三：利用导数研究函数的最值
题型四：导数中的极值点偏移问题
【题型讲解】
题型一：利用导数研究函数的单调性
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
2．（2022·江西赣州·二模（理））已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
构造函数，令，利用导数讨论其单调性，进而可求解
【详解】
令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，取得极大值，则，，
故．
故选：D
3．（2022·上海松江·二模）下列函数中，与函数的奇偶性和单调性都一致的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据初等函数的奇偶性与单调性，再结合导数即可判断答案.
【详解】
容易判断是奇函数，且在R上是增函数，而是偶函数，在R上不是增函数，所以排除A,C,D.
对B，函数是奇函数，且，则函数在R上是增函数.
故选：B.
4．（2022·四川省泸县第一中学二模（文））下列函数中为奇函数且在单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由函数的解析式对选项进行逐一判断是否为奇函数，利用导数判断其单调性可得答案.
【详解】
选项A. 函数为偶函数，故不满足题意.
选项B. 由
当时，，函数单调递减，不满足题意.
选项C. 函数为奇函数，且在上恒成立，
所以函数在上单调递增，满足题意.
选项D. ,当时，，故函数不为奇函数，不满足题意.
故选：C
5．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性和单调性的定义以及导数分别判断四个选项即可得出答案.
【详解】
对于A，函数的定义域为R，关于原点对称，
且，所以函数为偶函数，
当时，函数单调递增，故A不符合题意；
对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，
且，所以函数为奇函数，
由幂函数的性质知函数在R上单调递增，
所以函数在R上单调递减，故B不符合题意；
对于C，函数的定义域为R，关于原点对称，
且，所以函数为偶函数，
当时，又，
所以函数在上单调递减，故C符合题意；
对于D，函数的定义域为，关于原点对称，
且，
所以是奇函数，又，
令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，故D不符合题意.
故选：C.
5．（2022·江西师大附中三模（理））下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性和单调性的定义以及导数分别判断四个选项即可得出答案.
【详解】
对于A，函数的定义域为，关于原点对称，
且，所以函数为奇函数，
又，所以在上单调递增，
在上单调递增，故A不符合题意；
对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，
且，所以函数为偶函数，
又，令，令，
所以在上单调递减，在上单调递减，故B不符合题意；
对于C，函数的定义域为(Z)，关于原点对称，
且，所以函数为奇函数，
又，
所以在上单调递增，故C不符合题意；
对于D，函数的定义域为R，关于原点对称，
且，
所以是奇函数，又，
令，则为增函数，又函数为增函数，
所以在R上单调递增，故D符合题意.
故选：D.
6．（2022·云南曲靖·二模（文））设是函数的导函数，是函数的导函数，若对任意恒成立，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据导函数与函数的单调性及导数的几何意义判断即可；
【详解】
解：因为对任意，，恒成立，
所以在上单调递增，且在上单调递减，即的图象增长得越来越慢，从图象上来看函数是上凸递增的，所以，
又，表示点与点的连线的斜率，
由图可知
即，
故选：A
二、多选题
1．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知，若（为自然对数的底数），则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
由可得，利用作差法即可判断A；令，根据导数可判断函数在上递增，结合A及指数函数的单调性可判断B；根据指数函数的单调性结合基本不等式可判断C；结合B根据对数函数的单调性可判断D.
【详解】
解：因为，
所以，即，
对于A，因为，
所以，故A正确；
对于B，令，则，
所以在上单调递增，
因为，所以，
所以，即，所以，故B错误；
对于C，因为，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以，故C正确；
对于D，因为，所以，故D正确.
故选：ACD.
三、解答题
1．（2022·北京·高考真题）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，讨论函数在上的单调性；
【答案】(1)
(2)在上单调递增.
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；
（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；
（3）令，，即证，由第二问结论可知在[0,+∞）上单调递增，即得证.
(1)
解：因为，所以，
即切点坐标为，
又，
∴切线斜率
∴切线方程为：
(2)
解：因为，
所以，
令，
则，
∴在上单调递增，
∴
∴在上恒成立，
∴在上单调递增.
2．（2022·浙江·高考真题）设函数．
(1)求的单调区间；
【答案】(1)的减区间为，增区间为.
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.
（2）（ⅰ）由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程有3个不同的解可证明不等式成立，（ⅱ） ，，则题设不等式可转化为，结合零点满足的方程进一步转化为，利用导数可证该不等式成立.
(1)
，
当，；当，，
故的减区间为，的增区间为.
题型二：利用导数研究函数的极值
一、单选题
1．（2022·陕西商洛·一模（文））已知函数，则的极大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用导数可判断函数的单调性，进而可得函数的极大值.
【详解】
函数的定义域为，
,
令，解得或，
故
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以的极大值为，
故选：B.
2．（2022·甘肃平凉·二模（文））已知函数的导函数的图象如图所示，则的极值点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
含导函数图象确定的极值点个数，要保证导函数的零点左右两边导函数函数值一正一负.
【详解】
因为在左、右两边的导数值均为负数，所以0不是极值点，故由图可知只有2个极值点.
故选：C
3．（2022·陕西西安·二模（理））函数的定义域为，其导函数的图像如图所示，则函数极值点的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
根据给定的导函数的图象，结合函数的极值的定义，即可求解.
【详解】
如图所示，设导函数的图象与轴的交点分别为，
根据函数的极值的定义可知在该点处的左右两侧的导数符号相反，
可得为函数的极大值点，为函数的极小值点，
所以函数极值点的个数为4个.
故选：C.
4．（2022·宁夏·吴忠中学三模（理））下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用基本初等函数的奇偶性及函数的极值与导数的关系可判断各选项.
【详解】
对于A选项，函数为奇函数，且该函数在上单调递增，A项不满足条件；
对于B选项，函数的定义域为，该函数为非奇非偶函数，B选项不满足条件；
对于C选项，函数的导数为，该函数在上单调递增，C选项不满足条件；
对于D选项，令，该函数的定义域为，
，即函数为奇函数，
，当时，，当时，，
所以，为函数的极小值点，D选项满足条件.
故选：D.
5．（2022·内蒙古包头·一模（理））设 ，若为函数的极小值点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
对函数 求导后，根据导数的性质判断即可.
【详解】
，
若 ， 是开口向下的抛物线，x=m是极小值点，
必有 ，即 ，
若 ， 是开口向上的抛物线，x=m是极小值点，
必有，即；
故选：C.
6．（2022·内蒙古呼伦贝尔·二模（文））已知是函数的极值点，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求导，根据是的极值点，由求解.
【详解】
因为，
所以．
又是的极值点，
所以，
解得，经检验知不符合条件．
故选：A
7．（2022·江西南昌·一模（理））已知函数，若不等式的解集为，且，则函数的极大值为（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三次函数的图象特征，确定大致图象，进而设出，利用导函数求出极大值点，进而求出极大值.
【详解】
为三次函数，其图象可能情况有如下5种：
不等式的解集为，且，故其具体图象为图1类，如下图：
，由于为的二重根，故可设，
，
令，解得：，或，且当或上，，当，，故是的极大值点，故极大值为.
故选：B
二、多选题
1．（2022·重庆八中模拟预测）设函数的定义域为，是的极小值点，以下结论一定正确的是（ ）
A．是的最小值点
B．是的极大值点
C．是的极大值点
D．是的极大值点
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据极值的定义、极值的性质和图象变换逐项判断后可得正确的选项.
【详解】
对A，是的极小值点，不一定是最小值点，故A错误；
对B，因函数与函数的图象关于x轴对称，故应是的极大值点，故B正确；
对C，因函数与函数的图象关于y轴对称，故应是的极小值点，故C错误；
对D，因函数与函数的图象关于原点对称，故是的极大值点，故D正确.
故选：BD.
2．（2022·湖南怀化·一模）下列函数中，存在极值点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】
逐项利用导数与函数极值的关系判断即可得结果.
【详解】
由题意函数，则，
所以函数在内单调递增，没有极值点；
函数，根据指数函数的图象与性质可得，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以函数在处取得极小值；
函数，则，所以函数在上单调递减，没有极值点；
函数，则 ，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，函数取得极小值，
故选：BD.
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的极值，掌握极值的概念是解题的关键，属于中档题.
三、解答题
1．（2022·天津·耀华中学二模）已知函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若存在两个极小值点，求实数的取值范围.
【答案】(1)递减区间为，递增区间为
(2)
【解析】
【分析】
（1）当时，求得，令，利用导数求得，进而求得函数的单调区间；
（2）求得，令，结合单调性得到，进而得到，分和，两种情况分类讨论，结合单调性与极值点的概念，即可求解.
(1)
解：当时，函数，
可得，
令，可得，所以函数单调递增，
因为，所以，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
即函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)
解：由函数，
可得，
令，可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，
当时，可得，所以，
①当时，，此时当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数的极小值为，无极大值；
②当时，，
又由在上单调递增，所以在上有唯一的零点，且，
因为当时，令，可得，
又因为，所以，即，所以，
所以，，
因为在上单调递减，所以在上有唯一的零点，且，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数有两个极小值点，故实数的取值范围为.
2．（2022·北京市第十二中学三模）已知函数.
(1)当时，求函数的单调递增区间；
(2)设函数，若在上存在极值，求a的取值范围.
【答案】(1)减区间为，增区间为.
(2)
【解析】
【分析】
（1）当时，求得，结合导数的符号，即可求得函数的单调区间；
（2）求得，设，得到，求得的单调性，结合，根据题意，列出不等式组或，即可求解.
(1)
解：当时，函数，其定义域为 ，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)
解：由，
可得，
设，则，
令，即，解得，
当时，；当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上，单调递减，
且，
显然，
若在上存在极值，则满足或，解得，
综上可得，当时，在上存在极值，
所以实数的取值范围为.
题型三：利用导数研究函数的最值
一、单选题
1．（2022·河南郑州·三模（文））在区间上的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求导函数，分析其导函数的符号，得出原函数的单调性，从而可求得最小值．
【详解】
因为，所以，令，解得，
所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以函数在上的最小值为，
故选：B．
2．（2022·广西南宁·二模（文））已知函数，，则函数的最大值是（ ）
A． B． C．-1 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
直接求导确定函数的单调性，进而求出最大值.
【详解】
依题意函数，，则函数在上递增，在上递减．
因此在上，．
故选：B．
3．（2022·江西萍乡·三模（理））已知定义在上的函数，对任意，当时，都有，若存在，使不等式成立，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
依题意可得在上单调递增，则不等式等价于，即，令，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最大值，从而得解；
【详解】
解：因为对任意，当时，都有，所以在上单调递增，
则等价于，即，
令，，，
因为，所以，，所以，所以在上单调递减，
所以，即，所以的最大值为；
故选：B
4．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））设直线与函数的图像分别交于点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
列出的表达式，利用导数方法，分析其单调性求最小值即可．
【详解】
由题意，，
所以，令，则，
当时，，当时，，所以，
即的最小值为，
故选：A.
5．（2022·山西晋城·三模（理））已知函数，若对任意，，恒成立，则m的最大值为（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．e
【答案】C
【解析】
【分析】
对任意，恒成立等价于对任意，恒成立；可换元，设，令，则，即在恒成立，求导由单调性即可求出最值.
【详解】
由题知对任意，恒成立，
等价于，即，即对任意，恒成立，
不妨设，令，则，
则原式等价于，即在恒成立，
设，，则，
所以在上为增函数，所以，
所以，即m的最大值为，当且仅当，即时取得最大值，
故选：C.
二、解答题
1．（2022·天津·二模）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)当时，求函数在区间 上的最小值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据导数的几何意义求解
（2）转化为讨论导数的符号
（3）利用（2），讨论极值点与定区间的关系，再数形结合得最小值
(1)
当时，
，
故切线方程为：
(2)
，
① 当时， ，仅有单调递增区间，其为：
② 当时，，当时，；当时，
的单调递增区间为： ，单调递减区间为：
③ 当时，，当时；当时
的单调递增区间为：，单调递减区间为：
综上所述：当时，仅有单调递增区间，单调递增区间为：
当时， 的单调递增区间为： ，单调递减区间为：
当时，的单调递增区间为：，单调递减区间为：
(3)
当时，由（2）中③知在上单调单调递减，在上单调递增，
∴①当，即时，在上单调递增，，
②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，∴，
③当，即时，在上单调递减，∴.．
【点睛】
本题考查导数的几何意义，导数研究函数的单调性，导数研究函数的最值，分类讨论思想，属中档题
2．（2022·北京房山·二模）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求函数在上的最小值.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）利用导数的几何意义，求切线方程；
（2）首先求函数的导数，化简为，再讨论和两种情况讨论函数的单调性，再求函数的最值.
(1)
当时，
所以.
所以曲线在处的切线方程为：.
(2)
.
①当时，.
所以时，.
所以在上是增函数.所以.
②当时，令，解得（舍）
1°当，即时，时，.
所以在上是增函数.所以.
2°当，即时，
x
-
0
+
减函数
极小值
增函数
所以.
3°当，即时，时，.
所以在上是减函数.所以.
综上，当时，；
当时，.
当时，.
题型四：导数中的极值点偏移问题
一、解答题
1．（2022·天津河东·二模）已知函数（且）．
(1)，求函数在处的切线方程．
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数有两个零点，且，证明：．
【答案】(1)；
(2)答案见解析；
(3)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用导数求出切线的斜率，利用点斜式写出切线方程；
（2）求出导函数，对a分类讨论： a<0和a>0分别讨论单调性；
（3）本题属于极值点偏移，利用分析法转化为只要证明f(2e- x2)>0，由构造函数，利用导数证明出g(t)在(e，2e)上是递增的，得到g(t)>g(e)=0即为f(2e- x2)>0.
(1)
当时，，所以.
，所以.
所以函数在处的切线方程为，即.
(2)
的定义域为(0，+∞)， .
当a<0时， 恒成立，所以在(0，+∞)上单调递减；
当a>0时， .在上，，所以单调递减；在上，，所以单调递增.
(3)
当，.由(2)知， 在上单调递减，在上单调递增.
由题意可得：.由及得：.
欲证x1+x2>2e，只要x1>2e- x2，注意到f(x)在(0，e)上单调递减，且f(x1)=0，只要证明f(2e- x2)>0即可.
由得 .所以
令则，则g(t)在(e，2e)上是递增的，∴g(t)>g(e)=0即f(2e- x2)>0.
综上x1+x2>2e.
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
(4)利用导数判断单调性，证明不等式．
2．（2022·天津·二模）设函数为的导函数.
(1)求的单调区间；
(2)讨论零点的个数；
(3)若有两个极值点且，证明：.
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为．
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求出的导函数，即可得到的解析式，再求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间；
（2）由（1）得，，再对分三种情况讨论结合零点存在性定理，分别得到函数的零点个数；
（3）由（2）可得且，依题意可得，利用导数证明，即可得到，从而得证；
(1)
解：因为，
所以．
即，，则．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以的单调递增区间为，的单调递减区间为．
(2)
解：由（1）得，．
当时，，则在上无零点．
当时，，则在上有一个零点．
当时，，因为，，，
所以，，，
故在上有两个零点．
综上，当时，在上无零点；
当时，在上有一个零点；
当时，在上有两个零点．
(3)
证明：由（2）及有两个极值点，且，
可得， 在上有两个零点，且．
所以，
两式相减得，即．
因为，所以．
下面证明，即证．
令，则即证．
令，，则，
所以在上单调递增，所以，
故．
又，
所以，
故．
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
3．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））已知.
(1)讨论的单调性；
(2)设、为两个不相等的正数，且，其中.“以直代曲”是微积分的基本思想和重要方法.请你在①、②两种方法中选择一种（也可以同时选择①②）来证明：.
①用直线代替曲线在之间的部分；②用曲线在处的切线代替其在之间的部分.
【答案】(1)增区间为，减区间为
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求得，分别解不等式、可得出函数的增区间和减区间；
（2）分析可知，，
选①，证明出，，令与的交点为，点的横坐标，则，可得出，构造函数，，可得出，即可得出；
选②，求出在处的切线为，证明出，，令与的交点为，点的横坐标，可得出，构造函数，，可得出，即可证得结论成立；
选①②，证明出则，，，，令与的交点为，点的横坐标，则，令与的交点为，点的横坐标，则，可得，数形结合可证得结论成立.
(1)
解：函数的定义域为，.
由可得，由可得.
所以，函数的增区间为，减区间为.
(2)
证明：由（1）可知，，
由可得，
因为函数的增区间为，减区间为，
由可知，，
若选①，当时，，则，则，，
令与的交点为，点的横坐标，则，
由可得，，
令，，即，，
当时，，在上单调递增，
所以，；
选②，，，所以，在处的切线为.
令，其中，
，所以，函数在上单调递增，则，
所以，，，
令与的交点为，点的横坐标，则，
可得，
所以，，，
，，即，，
由知，，所以；
若选①②，当时，，则，则，，
，，所以，在处的切线为.
令，其中，
，所以，函数在上单调递增，则，
所以，，，
令与的交点为，点的横坐标，则，
令与的交点为，点的横坐标，则，
可得，
则，
由可得.
【点睛】
方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
专题10 利用导数研究函数的单调性、极值和最值
【考纲要求】
1、 了解函数的单调性与导数的关系；
2、能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
3、了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；
4、会求闭区间上函数的最大值、最小值
一、利用导数研究函数的单调性
【思维导图】
【考点总结】
1．函数的导数与单调性的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导，则
(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增。
(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减。
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数。
二、利用导数研究函数的极值与最值
【思维导图】
【考点总结】
1、函数的极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则x＝a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值。
2、函数的极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则x＝b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，极大值和极小值统称为极值。
3、函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：
一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。
(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为：
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
三、利用导数研究零点与不等式恒成立问题
【思维导图】
【题型汇编】
题型一：利用导数研究函数的单调性
题型二：利用导数研究函数的极值
题型三：利用导数研究函数的最值
题型四：导数中的极值点偏移问题
【题型讲解】
题型一：利用导数研究函数的单调性
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
2．（2022·江西赣州·二模（理））已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
构造函数，令，利用导数讨论其单调性，进而可求解
【详解】
令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，取得极大值，则，，
故．
故选：D
3．（2022·上海松江·二模）下列函数中，与函数的奇偶性和单调性都一致的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据初等函数的奇偶性与单调性，再结合导数即可判断答案.
【详解】
容易判断是奇函数，且在R上是增函数，而是偶函数，在R上不是增函数，所以排除A,C,D.
对B，函数是奇函数，且，则函数在R上是增函数.
故选：B.
4．（2022·四川省泸县第一中学二模（文））下列函数中为奇函数且在单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由函数的解析式对选项进行逐一判断是否为奇函数，利用导数判断其单调性可得答案.
【详解】
选项A. 函数为偶函数，故不满足题意.
选项B. 由
当时，，函数单调递减，不满足题意.
选项C. 函数为奇函数，且在上恒成立，
所以函数在上单调递增，满足题意.
选项D. ,当时，，故函数不为奇函数，不满足题意.
故选：C
5．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性和单调性的定义以及导数分别判断四个选项即可得出答案.
【详解】
对于A，函数的定义域为R，关于原点对称，
且，所以函数为偶函数，
当时，函数单调递增，故A不符合题意；
对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，
且，所以函数为奇函数，
由幂函数的性质知函数在R上单调递增，
所以函数在R上单调递减，故B不符合题意；
对于C，函数的定义域为R，关于原点对称，
且，所以函数为偶函数，
当时，又，
所以函数在上单调递减，故C符合题意；
对于D，函数的定义域为，关于原点对称，
且，
所以是奇函数，又，
令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，故D不符合题意.
故选：C.
5．（2022·江西师大附中三模（理））下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性和单调性的定义以及导数分别判断四个选项即可得出答案.
【详解】
对于A，函数的定义域为，关于原点对称，
且，所以函数为奇函数，
又，所以在上单调递增，
在上单调递增，故A不符合题意；
对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，
且，所以函数为偶函数，
又，令，令，
所以在上单调递减，在上单调递减，故B不符合题意；
对于C，函数的定义域为(Z)，关于原点对称，
且，所以函数为奇函数，
又，
所以在上单调递增，故C不符合题意；
对于D，函数的定义域为R，关于原点对称，
且，
所以是奇函数，又，
令，则为增函数，又函数为增函数，
所以在R上单调递增，故D符合题意.
故选：D.
6．（2022·云南曲靖·二模（文））设是函数的导函数，是函数的导函数，若对任意恒成立，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据导函数与函数的单调性及导数的几何意义判断即可；
【详解】
解：因为对任意，，恒成立，
所以在上单调递增，且在上单调递减，即的图象增长得越来越慢，从图象上来看函数是上凸递增的，所以，
又，表示点与点的连线的斜率，
由图可知
即，
故选：A
二、多选题
1．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知，若（为自然对数的底数），则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
由可得，利用作差法即可判断A；令，根据导数可判断函数在上递增，结合A及指数函数的单调性可判断B；根据指数函数的单调性结合基本不等式可判断C；结合B根据对数函数的单调性可判断D.
【详解】
解：因为，
所以，即，
对于A，因为，
所以，故A正确；
对于B，令，则，
所以在上单调递增，
因为，所以，
所以，即，所以，故B错误；
对于C，因为，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以，故C正确；
对于D，因为，所以，故D正确.
故选：ACD.
三、解答题
1．（2022·北京·高考真题）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，讨论函数在上的单调性；
【答案】(1)
(2)在上单调递增.
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；
（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；
（3）令，，即证，由第二问结论可知在[0,+∞）上单调递增，即得证.
(1)
解：因为，所以，
即切点坐标为，
又，
∴切线斜率
∴切线方程为：
(2)
解：因为，
所以，
令，
则，
∴在上单调递增，
∴
∴在上恒成立，
∴在上单调递增.
2．（2022·浙江·高考真题）设函数．
(1)求的单调区间；
【答案】(1)的减区间为，增区间为.
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.
（2）（ⅰ）由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程有3个不同的解可证明不等式成立，（ⅱ） ，，则题设不等式可转化为，结合零点满足的方程进一步转化为，利用导数可证该不等式成立.
(1)
，
当，；当，，
故的减区间为，的增区间为.
题型二：利用导数研究函数的极值
一、单选题
1．（2022·陕西商洛·一模（文））已知函数，则的极大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用导数可判断函数的单调性，进而可得函数的极大值.
【详解】
函数的定义域为，
,
令，解得或，
故
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以的极大值为，
故选：B.
2．（2022·甘肃平凉·二模（文））已知函数的导函数的图象如图所示，则的极值点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
含导函数图象确定的极值点个数，要保证导函数的零点左右两边导函数函数值一正一负.
【详解】
因为在左、右两边的导数值均为负数，所以0不是极值点，故由图可知只有2个极值点.
故选：C
3．（2022·陕西西安·二模（理））函数的定义域为，其导函数的图像如图所示，则函数极值点的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
根据给定的导函数的图象，结合函数的极值的定义，即可求解.
【详解】
如图所示，设导函数的图象与轴的交点分别为，
根据函数的极值的定义可知在该点处的左右两侧的导数符号相反，
可得为函数的极大值点，为函数的极小值点，
所以函数极值点的个数为4个.
故选：C.
4．（2022·宁夏·吴忠中学三模（理））下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用基本初等函数的奇偶性及函数的极值与导数的关系可判断各选项.
【详解】
对于A选项，函数为奇函数，且该函数在上单调递增，A项不满足条件；
对于B选项，函数的定义域为，该函数为非奇非偶函数，B选项不满足条件；
对于C选项，函数的导数为，该函数在上单调递增，C选项不满足条件；
对于D选项，令，该函数的定义域为，
，即函数为奇函数，
，当时，，当时，，
所以，为函数的极小值点，D选项满足条件.
故选：D.
5．（2022·内蒙古包头·一模（理））设 ，若为函数的极小值点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
对函数 求导后，根据导数的性质判断即可.
【详解】
，
若 ， 是开口向下的抛物线，x=m是极小值点，
必有 ，即 ，
若 ， 是开口向上的抛物线，x=m是极小值点，
必有，即；
故选：C.
6．（2022·内蒙古呼伦贝尔·二模（文））已知是函数的极值点，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求导，根据是的极值点，由求解.
【详解】
因为，
所以．
又是的极值点，
所以，
解得，经检验知不符合条件．
故选：A
7．（2022·江西南昌·一模（理））已知函数，若不等式的解集为，且，则函数的极大值为（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三次函数的图象特征，确定大致图象，进而设出，利用导函数求出极大值点，进而求出极大值.
【详解】
为三次函数，其图象可能情况有如下5种：
不等式的解集为，且，故其具体图象为图1类，如下图：
，由于为的二重根，故可设，
，
令，解得：，或，且当或上，，当，，故是的极大值点，故极大值为.
故选：B
二、多选题
1．（2022·重庆八中模拟预测）设函数的定义域为，是的极小值点，以下结论一定正确的是（ ）
A．是的最小值点
B．是的极大值点
C．是的极大值点
D．是的极大值点
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据极值的定义、极值的性质和图象变换逐项判断后可得正确的选项.
【详解】
对A，是的极小值点，不一定是最小值点，故A错误；
对B，因函数与函数的图象关于x轴对称，故应是的极大值点，故B正确；
对C，因函数与函数的图象关于y轴对称，故应是的极小值点，故C错误；
对D，因函数与函数的图象关于原点对称，故是的极大值点，故D正确.
故选：BD.
2．（2022·湖南怀化·一模）下列函数中，存在极值点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】
逐项利用导数与函数极值的关系判断即可得结果.
【详解】
由题意函数，则，
所以函数在内单调递增，没有极值点；
函数，根据指数函数的图象与性质可得，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以函数在处取得极小值；
函数，则，所以函数在上单调递减，没有极值点；
函数，则 ，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，函数取得极小值，
故选：BD.
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的极值，掌握极值的概念是解题的关键，属于中档题.
三、解答题
1．（2022·天津·耀华中学二模）已知函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若存在两个极小值点，求实数的取值范围.
【答案】(1)递减区间为，递增区间为
(2)
【解析】
【分析】
（1）当时，求得，令，利用导数求得，进而求得函数的单调区间；
（2）求得，令，结合单调性得到，进而得到，分和，两种情况分类讨论，结合单调性与极值点的概念，即可求解.
(1)
解：当时，函数，
可得，
令，可得，所以函数单调递增，
因为，所以，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
即函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)
解：由函数，
可得，
令，可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，
当时，可得，所以，
①当时，，此时当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数的极小值为，无极大值；
②当时，，
又由在上单调递增，所以在上有唯一的零点，且，
因为当时，令，可得，
又因为，所以，即，所以，
所以，，
因为在上单调递减，所以在上有唯一的零点，且，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数有两个极小值点，故实数的取值范围为.
2．（2022·北京市第十二中学三模）已知函数.
(1)当时，求函数的单调递增区间；
(2)设函数，若在上存在极值，求a的取值范围.
【答案】(1)减区间为，增区间为.
(2)
【解析】
【分析】
（1）当时，求得，结合导数的符号，即可求得函数的单调区间；
（2）求得，设，得到，求得的单调性，结合，根据题意，列出不等式组或，即可求解.
(1)
解：当时，函数，其定义域为 ，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)
解：由，
可得，
设，则，
令，即，解得，
当时，；当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上，单调递减，
且，
显然，
若在上存在极值，则满足或，解得，
综上可得，当时，在上存在极值，
所以实数的取值范围为.
题型三：利用导数研究函数的最值
一、单选题
1．（2022·河南郑州·三模（文））在区间上的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求导函数，分析其导函数的符号，得出原函数的单调性，从而可求得最小值．
【详解】
因为，所以，令，解得，
所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以函数在上的最小值为，
故选：B．
2．（2022·广西南宁·二模（文））已知函数，，则函数的最大值是（ ）
A． B． C．-1 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
直接求导确定函数的单调性，进而求出最大值.
【详解】
依题意函数，，则函数在上递增，在上递减．
因此在上，．
故选：B．
3．（2022·江西萍乡·三模（理））已知定义在上的函数，对任意，当时，都有，若存在，使不等式成立，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
依题意可得在上单调递增，则不等式等价于，即，令，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最大值，从而得解；
【详解】
解：因为对任意，当时，都有，所以在上单调递增，
则等价于，即，
令，，，
因为，所以，，所以，所以在上单调递减，
所以，即，所以的最大值为；
故选：B
4．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））设直线与函数的图像分别交于点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
列出的表达式，利用导数方法，分析其单调性求最小值即可．
【详解】
由题意，，
所以，令，则，
当时，，当时，，所以，
即的最小值为，
故选：A.
5．（2022·山西晋城·三模（理））已知函数，若对任意，，恒成立，则m的最大值为（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．e
【答案】C
【解析】
【分析】
对任意，恒成立等价于对任意，恒成立；可换元，设，令，则，即在恒成立，求导由单调性即可求出最值.
【详解】
由题知对任意，恒成立，
等价于，即，即对任意，恒成立，
不妨设，令，则，
则原式等价于，即在恒成立，
设，，则，
所以在上为增函数，所以，
所以，即m的最大值为，当且仅当，即时取得最大值，
故选：C.
二、解答题
1．（2022·天津·二模）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)当时，求函数在区间 上的最小值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据导数的几何意义求解
（2）转化为讨论导数的符号
（3）利用（2），讨论极值点与定区间的关系，再数形结合得最小值
(1)
当时，
，
故切线方程为：
(2)
，
① 当时， ，仅有单调递增区间，其为：
② 当时，，当时，；当时，
的单调递增区间为： ，单调递减区间为：
③ 当时，，当时；当时
的单调递增区间为：，单调递减区间为：
综上所述：当时，仅有单调递增区间，单调递增区间为：
当时， 的单调递增区间为： ，单调递减区间为：
当时，的单调递增区间为：，单调递减区间为：
(3)
当时，由（2）中③知在上单调单调递减，在上单调递增，
∴①当，即时，在上单调递增，，
②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，∴，
③当，即时，在上单调递减，∴.．
【点睛】
本题考查导数的几何意义，导数研究函数的单调性，导数研究函数的最值，分类讨论思想，属中档题
2．（2022·北京房山·二模）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求函数在上的最小值.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）利用导数的几何意义，求切线方程；
（2）首先求函数的导数，化简为，再讨论和两种情况讨论函数的单调性，再求函数的最值.
(1)
当时，
所以.
所以曲线在处的切线方程为：.
(2)
.
①当时，.
所以时，.
所以在上是增函数.所以.
②当时，令，解得（舍）
1°当，即时，时，.
所以在上是增函数.所以.
2°当，即时，
x
-
0
+
减函数
极小值
增函数
所以.
3°当，即时，时，.
所以在上是减函数.所以.
综上，当时，；
当时，.
当时，.
题型四：导数中的极值点偏移问题
一、解答题
1．（2022·天津河东·二模）已知函数（且）．
(1)，求函数在处的切线方程．
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数有两个零点，且，证明：．
【答案】(1)；
(2)答案见解析；
(3)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用导数求出切线的斜率，利用点斜式写出切线方程；
（2）求出导函数，对a分类讨论： a<0和a>0分别讨论单调性；
（3）本题属于极值点偏移，利用分析法转化为只要证明f(2e- x2)>0，由构造函数，利用导数证明出g(t)在(e，2e)上是递增的，得到g(t)>g(e)=0即为f(2e- x2)>0.
(1)
当时，，所以.
，所以.
所以函数在处的切线方程为，即.
(2)
的定义域为(0，+∞)， .
当a<0时， 恒成立，所以在(0，+∞)上单调递减；
当a>0时， .在上，，所以单调递减；在上，，所以单调递增.
(3)
当，.由(2)知， 在上单调递减，在上单调递增.
由题意可得：.由及得：.
欲证x1+x2>2e，只要x1>2e- x2，注意到f(x)在(0，e)上单调递减，且f(x1)=0，只要证明f(2e- x2)>0即可.
由得 .所以
令则，则g(t)在(e，2e)上是递增的，∴g(t)>g(e)=0即f(2e- x2)>0.
综上x1+x2>2e.
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
(4)利用导数判断单调性，证明不等式．
2．（2022·天津·二模）设函数为的导函数.
(1)求的单调区间；
(2)讨论零点的个数；
(3)若有两个极值点且，证明：.
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为．
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求出的导函数，即可得到的解析式，再求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间；
（2）由（1）得，，再对分三种情况讨论结合零点存在性定理，分别得到函数的零点个数；
（3）由（2）可得且，依题意可得，利用导数证明，即可得到，从而得证；
(1)
解：因为，
所以．
即，，则．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以的单调递增区间为，的单调递减区间为．
(2)
解：由（1）得，．
当时，，则在上无零点．
当时，，则在上有一个零点．
当时，，因为，，，
所以，，，
故在上有两个零点．
综上，当时，在上无零点；
当时，在上有一个零点；
当时，在上有两个零点．
(3)
证明：由（2）及有两个极值点，且，
可得， 在上有两个零点，且．
所以，
两式相减得，即．
因为，所以．
下面证明，即证．
令，则即证．
令，，则，
所以在上单调递增，所以，
故．
又，
所以，
故．
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
3．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））已知.
(1)讨论的单调性；
(2)设、为两个不相等的正数，且，其中.“以直代曲”是微积分的基本思想和重要方法.请你在①、②两种方法中选择一种（也可以同时选择①②）来证明：.
①用直线代替曲线在之间的部分；②用曲线在处的切线代替其在之间的部分.
【答案】(1)增区间为，减区间为
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求得，分别解不等式、可得出函数的增区间和减区间；
（2）分析可知，，
选①，证明出，，令与的交点为，点的横坐标，则，可得出，构造函数，，可得出，即可得出；
选②，求出在处的切线为，证明出，，令与的交点为，点的横坐标，可得出，构造函数，，可得出，即可证得结论成立；
选①②，证明出则，，，，令与的交点为，点的横坐标，则，令与的交点为，点的横坐标，则，可得，数形结合可证得结论成立.
(1)
解：函数的定义域为，.
由可得，由可得.
所以，函数的增区间为，减区间为.
(2)
证明：由（1）可知，，
由可得，
因为函数的增区间为，减区间为，
由可知，，
若选①，当时，，则，则，，
令与的交点为，点的横坐标，则，
由可得，，
令，，即，，
当时，，在上单调递增，
所以，；
选②，，，所以，在处的切线为.
令，其中，
，所以，函数在上单调递增，则，
所以，，，
令与的交点为，点的横坐标，则，
可得，
所以，，，
，，即，，
由知，，所以；
若选①②，当时，，则，则，，
，，所以，在处的切线为.
令，其中，
，所以，函数在上单调递增，则，
所以，，，
令与的交点为，点的横坐标，则，
令与的交点为，点的横坐标，则，
可得，
则，
由可得.
【点睛】
方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
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