新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题19 空间几何体（含解析）

专题19 空间几何体

【考纲要求】

1、通过考查棱柱、棱锥或不规则几何体的特征及体积与表面积的计算。

2、通过考查几何体体积和表面积的计算，考查棱柱、棱锥或不规则几何体的特征及体积与表面积的计算。

一、空间几何体

【思维导图】

【考点总结】

一、多面体的结构特征

二、旋转体的结构特征

三、简单组合体

简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．

二、空间几何体的表面积和体积

【思维导图】

【考点总结】

一、几何体的表面积

圆柱的侧面积 

圆柱的表面积 

圆锥的侧面积 

圆锥的表面积 

圆台的侧面积 

圆台的表面积 

球体的表面积 

柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.

把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.

二、几何体的体积

圆柱的体积 

圆锥的体积 

圆台的体积 

球体的体积 

正方体的体积   

正方体的体积   

三、常用结论

多面体的内切球与外接球常用的结论

(1)设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r＝，外接球半径R＝.

(2)设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R＝.

(3)设正四面体的棱长为a，则它的高为H＝，内切球半径r＝H＝，外接球半径R＝H＝.

【题型汇编】

题型一：空间几何体的结构

题型二：空间几何体的表面积与体积

【题型讲解】

题型一：空间几何体的结构

一、单选题

1．（2022·河南开封·三模（文））已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（       ）

A． B． C．2 D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据弧长公式可求出结果.

【详解】

依题意可知，半圆的弧长为，圆心角的弧度数为，

由弧长公式可得该圆锥的母线长为.

故选：C

2．（2022·河北秦皇岛·二模）如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

应用等体积法求到平面的距离，结合的长，即可求直线与平面所成角的正弦值.

【详解】

由题设，且到平面的距离为.

又，，故到上高为，所以.

设到平面的距离为，由得：，解得，

故直线与平面所成角的正弦值为.

故选：D

3．（2022·新疆·一模（理））斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵，鹦鹉螺等．如图为该螺旋线的前一部分，若用接下来的一段圆弧所对应的扇形作圆锥的侧面，则该圆锥的母线与底面所形成角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据斐波那契数的规律，求出下一个圆弧的半径和弧长，可得圆锥的母线长及底面半径，即求．

【详解】

由斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和，

即接下来的圆弧对应的圆面半径是，

圆锥的母线长为13，

对应的弧长是，

设圆锥底面半径为，则，解得，

所以该圆锥的母线与底面所形成角的余弦值为.

故选：D．

4．（2022·山西临汾·一模（理））如图，该模具是一个各棱长都为2的正四棱锥，要将两个同样的模具装在一个球形包装盒内，则包装盒的最小直径为（　　）

A．2 B．2 C．4 D．4

【答案】B

【解析】

【分析】

由正四棱锥的性质可得底面的中心为其外接球的球心，即求.

【详解】

如图正四棱锥，设为底面的中心，

因为正四棱锥的各棱长都为2，

所以，即为正四棱锥的外接球的球心，

故包装盒的最小直径为.

故选：B.

5．（2022·河南·南阳中学三模（文））如图，在棱长为2的正方体中，点P是棱AB上的动点，过，P三点作正方体的截面，若截面把正方体分成体积之比为7：25的两部分，则该截面的周长为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

如图所示，过点作,交于点,则四边形就是过点的截面，设，，根据已知求出即得解.

【详解】

解：如图所示，过点作,交于点,则四边形就是过点的截面，设，，

则台体的体积，

解之得，

所以,,

所以截面的周长为.

故选：D

二、多选题

1．（2022·广东·华南师大附中三模）已知圆锥的顶点为P，母线长为2，底面圆直径为，A，B，C为底面圆周上的三个不同的动点，M为母线PC上一点，则下列说法正确的是（       ）

A．当A，B为底面圆直径的两个端点时，

B．△PAB面积的最大值为

C．当△PAB面积最大值时，三棱锥C-PAB的体积最大值为

D．当AB为直径且C为弧AB的中点时，的最小值为

【答案】ACD

【解析】

【分析】

对于A，利用已知条件和圆锥的性质判断即可，对于B，由三角形的面积公式结合正弦函数的性质判断，对于C，当△PAB面积最大值时，，从而可求出点C到AB的距离的最大值，进而可求出三棱锥C-PAB的体积最大值，对于D，由题意可得△PAC和△PBC全等，在△PAC中求出，从而可求出PC边上的高，则可求出的最小值

【详解】

对于A，记圆锥底面圆心为O，，所以，所以，故A正确；

对于B，设，则截面三角形的面积，故B不正确；

对于C，由选项B中推理可知，此时，所以点C到AB的距离的最大值为，从而可知三棱锥C-PAB的体积最大值为，故C选项正确；

对于D，由题意可得△PAC和△PBC全等，在△PAC中，，，所以，进而，

记PC边上的高为h（垂足为Q），则，所以，当M与Q重合时取等号，故D选项正确；

故选：ACD．

2．（2022·广东广州·三模）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则（       ）

A．该圆台的高为

B．该圆台轴截面面积为

C．该圆台的体积为

D．一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为

【答案】BCD

【解析】

【分析】

由勾股定理即可求得圆台的高，即可判断A选项；由梯形面积公式即可判断B选项；由圆台体积公式即可判断C选项；由圆台侧面展开图结合勾股定理即可判断D选项.

【详解】

如图，作交于，易得，则，则圆台的高为，A错误；

圆台的轴截面面积为，B正确；圆台的体积为，C正确；

将圆台一半侧面展开，如下图中，设为中点，圆台对应的圆锥一半侧面展开为扇形，

由可得，则，，又，则，

即点到的中点所经过的最短路程为，D正确.

故选：BCD.

题型二：空间几何体的表面积与体积

一、单选题

1．（2022·北京·101中学三模）一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为，则该四棱柱的高为（       ）

A． B．2 C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据球的表面积公式，可算出，由正四棱柱的顶点在同一球面上，可得正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，即可得到答案

【详解】

设球的半径为，则 ，解得

设四棱柱的高为 ，则 ，解得

故选：C

2．（2022·辽宁·二模）如图所示直三棱柱容器中，且，把容器装满水(容器厚度忽略不计)，将底面BCFE平放在桌面上，放水过程中当水面高度为AB的一半时，剩余水量与原来水量之比的比值为(       )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据柱体体积计算公式分析即可得答案．

【详解】

如图，柱体体积公式是底面积乘高，高没变，没有水的部分底面积变为原来的，

故放出水量是原来水量的，剩余水量是原来水量的．

故选：A．

3．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（理））金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的如图所示的正八面体.若某金刚石的棱长为2，则它的表面积为（       ）

A．8 B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

求出一个等边三角形的面积求解即可.

【详解】

根据题意，设等边三角形的高为，所以，

所以每个边长为2等边三角形的面积为：，

所以正八面体的表面积为：.

故答案为：C.

4．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（文））攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖．通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑．如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知其轴截面(过圆锥旋转轴的截面)是底边长为6 m，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的侧面积约为(       )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意作出圆锥轴截面图像，根据图像求出圆锥底面半径r和母线l，根据侧面积公式πrl即可求解.

【详解】

如图所示为该圆锥轴截面，

由题意，底面圆半径为，母线，侧面积πrl＝π×3×＝6﹒

故选：B.

5．（2022·山东淄博·三模）若球的半径为，一个内接圆台的两底面半径分别为和（球心在圆台的两底面之间），则圆台的体积为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

由已知求出圆台的高，然后代入圆台体积公式得答案．

【详解】

解：如图，

由题意可知，，，，

则，

，

圆台的高为，

圆台体积为．

故选：A．

6．（2022·广西·贵港市高级中学三模（理））《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，在如图所示的堑堵中，，，，则在堑堵中截掉阳马后的几何体的外接球的体积与阳马的体积比为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意将三棱锥放入长方体中，长方体的外接球为三棱锥的外接球，求出长方体外接球半径，即可求出外接球体积；再由“堑堵”的性质求剩余四棱锥的体积即可.

【详解】

由题知：剩余的几何体为三棱锥，平面，．

将三棱锥放入长方体，长方体的外接球为三棱锥的外接球，如图所示：

外接球半径，所以外接球体积，

阳马—的体积为．．

故选：B．

二、多选题

1．（2022·山东日照·二模）传说古希腊科学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径与圆柱的高相等.因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他在几何上最为得意的发现，于是留下遗言：他去世后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，若，则（       ）

A． B．的展开式中的的系数为56

C．的展开式中的各项系数之和为0 D．，其中i为虚数单位

【答案】AC

【解析】

【分析】

根据圆柱和球的表面积公式和体积公式，求得的值，得到，得出，再结合复数的运算和二项式定理的通项及性质，逐项判定，即可求解.

【详解】

对于A，设内切球的半径为r，则圆柱的高为，

∴，，A正确；

从而可知，∴；

对于B，展开式通项公式为：，

令，解得，∴的展开式中的的系数为，B错误；

对于C，，即展开式的各项系数之和为0，C正确；

对于D，，D错误.

故选：AC.

2．（2022·广东茂名·二模）某一时段内，从天空降落到地面上的液态或固态的水，未经蒸发，而在水平面上积聚的深度称为这段时间的降雨量．24h降雨量的等级划分如下：

在一次暴雨降雨过程中，小明用一个大容量烧杯（如图，瓶身直径大于瓶口直径，瓶身高度为50cm，瓶口高度为3cm）收集雨水，容器内雨水的高度可能是（　　）

A．20cm B．22cm C．25cm D．29cm

【答案】CD

【解析】

【分析】

设降雨量为x，容器内雨水高度为h,根据雨水的体积相等关系可得到h,x之间的关系，结合题意可得，由此判断出答案.

【详解】

设降雨量为x，容器内雨水高度为h,

根据体积相等关系可得：，

解得 ，

由于 ，故，

故

故选：CD．

3．（2022·辽宁沈阳·三模）如图，四棱锥，平面平面ABCD，侧面PAD是边长为的正三角形，底面ABCD为矩形，，点Q是PD的中点，则下列结论正确的有（       ）

A．平面PAD B．直线QC与PB是异面直线

C．三棱锥的体积为 D．四棱锥外接球的内接正四面体的表面积为

【答案】BD

【解析】

【分析】

取的中点，的中点，连结，，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，看其是否与共线，从而可判断选项A；易知直线QC与PB不相交，再说明直线QC与PB不共线，从而可判断选项B；根据可求出体积，可判定选项C；将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，求出正四面体的棱长，从而可求出正四面体的表面积，可判定选项D．

【详解】

解：取的中点，的中点，连结，，

因为三角形为等边三角形，所以，

因为平面平面，所以平面，

因为，所以，，两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示，

则，

，

因为点时的中点，所以，

平面的一个法向量为，

显然与不共线，

所以与平面不垂直，故选项A不正确；

，

则不共线，故直线QC与PB不共线，

由图可知直线QC与PB不相交，

所以直线QC与PB是异面直线，所以B正确；

三棱锥的体积为，所以C不正确；

设四棱锥外接球的球心为，，，则，

所以，

解得，即，，为矩形对角线的交点，

所以四棱锥外接球的半径为3，

设四棱锥外接球的内接正四面体的棱长为，

将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，

故正方体的棱长为，所以，得，

所以正四面体的表面积为，所以D正确．

故选：BD．

【点睛】

本题主要考查了线面垂直，异面直线的定义，棱锥的体积以及棱锥的外接球等知识，综合性强，同时考查了转化能力和运算求解能力．