新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题21 空间向量与立体几何（含解析）

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专题21 空间向量与立体几何
【考纲要求】
1、理解空间向量的概念、运算、基本定理，理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；
2、会用待定系数法求平面的法向量，能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系；
3、体会向量方法在研究几何问题中的作用，掌握利用向量法法求空间角的方法。
一、空间向量及其运算
【思维导图】


1、空间向量的有关概念
空间向量：空间中，既有大小又有方向的量；
空间向量的表示：一种是用有向线段表示，叫作起点，叫作终点；
一种是用小写字母（印刷体）表示，也可以用（而手写体）表示．
向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或．
向量的夹角：过空间任意一点作向量的相等向量和，则叫作向量的夹角，记作，规定．如图：

零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0．规定：0与任意向量平行．
单位向量：长度为1的空间向量，即．
相等向量：方向相同且模相等的向量．
相反向量：方向相反但模相等的向量．
共线向量（平行向量）：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合．
平行于记作，此时．=0或=p．
共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
要点诠释：
（1）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关． 只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移；
（2）当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．
（3）对于任意一个非零向量，我们把叫作向量的单位向量，记作．与同向．
（4）当=0或p时，向量平行于，记作；当 =时，向量垂直，记作．
2、空间向量的基本运算
空间向量的基本运算：
运算类型
几何方法

运算性质
向
量
的
加
法
1平行四边形法则：


加法交换率：

加法结合率：





2三角形法则：


向
量
的
减
法
三角形法则：



向
量
的
乘
法
是一个向量，满足：
>0时，与同向；
<0时，与异向；
=0时， =0




∥
向
量
的
数
量
积
1．是一个数：；
2．，或
=0．









二、空间向量基本定理
【思维导图】

共线定理：两个空间向量、（≠），//的充要条件是存在唯一的实数，使．
共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的一对实数，使．
要点诠释：
（1）可以用共线定理来判定两条直线平行（进而证线面平行）或证明三点共线．
（2）可以用共面向量定理证明线面平行（进而证面面平行）或证明四点共面．
空间向量分解定理：
如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使.
要点诠释：
（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；
（2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量0．
（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
三、空间向量的直角坐标运算
【思维导图】


空间向量的直角坐标运算
空间两点的距离公式
若，，则
①；
②；
③ 的中点坐标为．
空间向量运算的的坐标运算
设，，则
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ ，；
⑥ ．
空间向量平行和垂直的条件
若，，则
①，，；
②．

要点诠释：
（1）空间任一点的坐标的确定：
过作面的垂线，垂足为，在面中，过分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，则．如图：
（２）夹角公式可以根据数量积的定义推出：
，其中θ的范围是．
（３）与任意空间向量平行或垂直．
四、空间向量的应用
【思维导图】


用向量方法讨论垂直与平行


图示
向量证明方法
线线平行
（//）

//
（分别为直线的方向向量）
线线垂直
（）


（分别为直线的方向向量）
线面平行
（//）

，即
（是直线的方向向量，是平面的法向量）．
线面垂直
（）

//
（是直线的方向向量，是平面的法向量）
面面平行
（//）


（分别是平面，的法向量）
面面垂直
（）

，即
（，分别是平面，的法向量）
用向量方法求角

图示
向量证明方法
异面直线所成的角


（，是直线上不同的两点，，是直线上不同的两点）
直线和平面的夹角


（其中直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为）
二面角


（平面与的法向量分别为和，平面与的夹角为）
用向量方法求距离

图示
向量证明方法
点到平面的距离


（为平面的法向量）
与平面平行的直线到平面的距离


（是平面的公共法向量）
两平行平面间的距离


（是平面，的一个公共法向量）
【题型汇编】
题型一：空间向量及其运算
题型二：空间向量的应用
【题型讲解】
题型一：空间向量及其运算
一、单选题
1．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学一模（理））如图，在三棱锥S—ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足，若，，，则（       ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用空间向量的加、减运算即可求解.
【详解】
由题意可得

.
故选：D
2．（2022·北京昌平·二模）如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（       ）

A．//
B．
C．//平面
D．平面
【答案】B
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析、判断作答.
【详解】
在正四棱柱中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

令，是底面的中心，分别是的中点，
则，，，
对于A，显然与不共线，即与不平行，A不正确；
对于B，因，则，即，B正确；
对于C，设平面的法向量为，则，令，得，
，因此与不垂直，即不平行于平面，C不正确；
对于D，由选项C知，与不共线，即不垂直于平面，D不正确.
故选：B
3．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（理））在三棱锥中，，，，则（       ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知条件，由，利用向量数量积的定义及运算律即可求解.
【详解】
解：因为三棱锥中，，，，

所以，
故选：A.
4．（2022·天津三中三模）在棱长为的正方体中，是棱的中点，在线段上，且，则三棱锥的体积为（     ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
如图，建立空间直角坐标系，设，然后根据，列方程求出的值，从而可确定出点的位置，进而可求出三棱锥的体积
【详解】
如图，以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则
，所以，
设，则，所以，
所以，
因为，所以，
所以，解得，
所以，
所以点到平面的距离为，
所以


故选：C

5．（2022·江西新余·二模（文））已知长方体，，，M是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（       ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
先构造和平面平行的截面，再根据空间向量共面确定点的轨迹形状，再求其长度.
【详解】
如图所示，E，F，G，H，N分别为，，，DA，AB的中点，

则，，
所以平面平面，
所以动点P的轨迹是六边形MEFGHN及其内部.
又因为，所以点在侧面，
所以点的轨迹为线段，
因为AB=AD=2，，
所以.
故选：A.
二、多选题
1．（2022·山东枣庄·一模）如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（       ）

A．
B．
C．四边形的面积为
D．平行六面体的体积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】
A、B选项通过空间向量的模长及数量积进行判断即可；C选项通过空间向量求出，进而求出面积即可；D选项作出平行六面体的高，求出相关边长，即可求出体积.
【详解】
，则，故，A正确；
，，，故，B正确；

连接，则，，即，同理，故四边形为矩形，
面积为，C错误；

过作面，易知在直线上，过作于，连接，由得面，易得，故，，，故平行六面体的体积为，
D正确.
故选：ABD.
题型二：空间向量的应用
一、单选题
1．（2022·广西南宁·一模（理））在正方体中O为面的中心，为面的中心.若E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与所成角的余弦值.
【详解】
设正方体的边长为，建立如图所示空间直角坐标系，
，
，
设异面直线与所成角为，
则.
故选：B

2．（2022·贵州毕节·三模（理））在正四棱锥中，底面边长为，侧棱长为，点P是底面ABCD内一动点，且，则当A，P两点间距离最小时，直线BP与直线SC所成角的余弦值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
如图所示，连接交于点，连接，得到底面，根据，求得，得到两点间距离最小为，以分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，求得，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】
如图所示，连接交于点，连接，
因为四棱锥为正四棱锥，可得底面，
由底面边长为，可得，所以，
在直角中，，可得，
又由，在直角中，可得，
即点在以为圆心，以为半径的圆上，
所以当圆与的交点时，此时两点间距离最小，最小值为，
以分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
可得，
则，可得，
所以直线与直线所成角的余弦值为.
故选：A.

3．（2022·北京·二模）如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（       ）


A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用坐标法，设，可得动点P到直线的距离为，然后利用二次函数的性质即得.
【详解】
如图建立空间直角坐标系，则，

设，则，
∴动点P到直线的距离为

，当时取等号，
即线段上的动点P到直线的距离的最小值为.
故选：D.
4．（2022·江西上饶·二模（理））如图，在长方体中，，，，是棱上靠近的三等分点，分别为的中点，是底面内一动点，若直线与平面垂直，则三棱锥的外接球的表面积是（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，利用线面垂直的向量证明方法可构造方程组求得点与重合，可知所求外接球即为长方体的外接球，可知外接球半径为长方体体对角线长的一半，由球的表面积公式可得结果.
【详解】
以为坐标原点，的正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，
设，，，，
平面，，解得：，
与重合，
三棱锥的外接球即为长方体的外接球，
外接球，外接球表面积.
故选：B.
5．（2022·山西临汾·二模（文））如图，在圆锥中，，点C在圆O上，当直线与所成角为60°时，直线与所成角为（       ）

A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【解析】
【分析】
以点O为坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示，设，，根据空间向量的数量积运算求得点C的坐标，再由异面直线的空间向量求解方法可求得答案．
【详解】
解：以点O为坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示，设，
则，，
所以，，
因为直线与所成角为60°，所以，
又因为点C在圆O上，所以，所以解得，所以，点，
所以，
则，
又直线与所成角的范围为，所以直线与所成的角60°，
故选：C．
   

6．（2022·四川雅安·二模）如图，长方体中，点E，F分别是棱，上的动点（异于所在棱的端点）.给出以下结论：①在F运动的过程中，直线能与AE平行；②直线与EF必然异面；③设直线AE，AF分别与平面相交于点P，Q，则点可能在直线PQ上.其中所有正确结论的序号是（       ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【解析】
【分析】
当点E，F分别是棱，中点时，可证明四边形是平行四边形，故可判断①②；建立空间直角坐标系，当点E，F分别是棱，中点，且长方体为正方体时，利用空间向量证明三点共线
【详解】
长方体中，，连接，，当点E，F分别是棱，中点时，由勾股定理得：，故，同理可得：，故四边形是平行四边形，所以在F运动的过程中，直线能与AE平行，与EF相交，①正确，②错误；

以为坐标原点，，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则当点E，F分别是棱，中点且长方体为正方体时，设棱长为2，则，，，则，，则，又两向量有公共点，所以三点共线，故则点可能在直线PQ上，③正确.

故选：B
二、多选题
1．（2022·广东汕头·二模）如图，在正方体中，点P在线段上运动，则（       ）

A．直线平面
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线AP与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
【答案】AB
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直的坐标表示公式、空间向量夹角公式、三棱锥的体积性质逐一判断即可.
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，


，
设，设，
即.
A：，
因为，
所以，
而平面，
所以直线平面，因此本选项结论正确；
B：侧面的对角线交点为，所以，，
而平面，平面，
所以，而平面，
所以平面，
为定值，因此本选项结论正确；
C：，
设异面直线AP与所成角为，
则有，
当时，；
当时，，
因为，所以，
因此，
，即，所以，
综上所述：，所以本选项结论不正确；
D：设平面的法向量为，，
所以有，
直线与平面所成角的正弦值为：
因为，所以当时，有最小值，最小值为，
所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为，因此本选项结论不正确，
故选：AB
【点睛】
关键点睛：利用空间向量夹角公式是解题的关键.
2．（2022·广东梅州·二模）在长方体中，，，动点在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（       ）

A．当为中点时，为锐角
B．存在点，使得平面
C．的最小值
D．顶点到平面的最大距离为
【答案】ABD
【解析】
【分析】
如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设，当为中点时，根据判断得符号即可判断A；当平面，则，则有，求出，即可判断B；当时，取得最小值，结合B即可判断C；利用向量法求出点到平面的距离，分析即可判断D.
【详解】
解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
设，
则，
则，故，
则，
，
对于A，当为中点时，
则，，
则，，
所以，
所以为锐角，故A正确；
当平面，
因为平面，所以，
则，解得，
故存在点，使得平面，故B正确；
对于C，当时，取得最小值，
由B得，此时，
则，，
所以，
即的最小值为，故C错误；
对于D，，
设平面的法向量，
则有，
可取，
则点到平面的距离为，
当时，点到平面的距离为0，
当时，
，
当且仅当时，取等号，
所以点到平面的最大距离为，故D正确.
故选：ABD.

三、解答题
1．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知底面ABCD为菱形的直四棱柱，被平面AEFG所截几何体如图所示.

(1)若，求证：；
(2)若，，三棱锥GACD的体积为，直线AF与底面ABCD所成角的正切值为，求锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意可证平面BDG，可得，得证平面ACE，得，再根据面面平行的性质可证；（2）根据题意可得，，利用空间向量求二面角．
(1)
连接BD，交AC于点O，底面ABCD为菱形，∴，
由直四棱柱得底面ABCD，又平面ABCD，∴，
又，BD，平面BDG，
∴平面BDG，因为平面BDG，
∴
已知，又，AC，平面ACE，
∴平面ACE，
因为平面BDG，∴
∵平面平面CFGD
平面平面，平面平面，
∴，则
(2)
已知，，可求，
由，则
在直四棱柱中，底面ABCD，
所以为直线AF与底面ABCD所成角，，则
在平面ACF内作，可知底面ABCD，如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，，

则
设平面BCE的法向量为，
则
取，得，，得，
由（1）知平面ACE，所以平面ACE的一个法向量为
则，
所以锐二面角的余弦值为

2．（2022·天津·耀华中学二模）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，E为棱上的点，且.

(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求点E到平面的距离.
【答案】(1)证明过程见解析；
(2)；
(3).
【解析】
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的运算性质，结合线面垂直的判定定理进行计算证明即可；
（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可；
（3）利用空间向量夹角公式，结合锐角三角函数定义进行求解即可.
(1)
因为平面，平面，
所以，而，因此可以建立如下图所示的空间直角坐标系，
则有，
，，，
因为，
所以，而平面，
所以平面；

(2)
设平面的法向量为，
，
则有，
由（1）可知平面的法向量为，
所以有，
由图知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为；
(3)
由（2）可知：平面的法向量为，
，所以可得：
，
所以点E到平面的距离为.