新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题27 复数的概念与运算（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题27 复数的概念与运算（含解析），共22页。

专题27 复数的概念与运算
【考纲要求】
一、复数的概念
【思维导图】

【考点总结】
1．数系的扩充与复数的相关概念
(1)复数的引入
为了解决+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定：
①=-1，即i是方程+1=0的根；
②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立.
在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果
记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中.
(2)复数的概念
我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫
做复数集.这样，方程+1=0在复数集C中就有解x=i了.
(3)复数的表示
复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
(4)复数的分类
对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.
显然，实数集R是复数集C的真子集，即RC.
复数z=a+bi可以分类如下：
复数，
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示.

2．复数相等
在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当
a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等.
3．复数的几何意义
(1)复平面
根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面
直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.
如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来
表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.

(2)复数的几何意义——与点对应
由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一
的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义.
(3) 复数的几何意义——与向量对应
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一
对应的.这样就可以用平面向量来表示复数.
如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.
因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义.

4．复数的模
向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它
的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R).
5．共轭复数
(1)定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0
的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身.
(2)几何意义
互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复
平面内所对应的点重合，且在实轴上.

(3)性质
①=z.
②实数的共轭复数是它本身，即z=z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数.
6．复数的模的几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数
的模的几何意义.
(2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以
原点为圆心，r为半径的圆，|z|r表示圆的外部.










二、复数的四则运算

1．复数的加法运算及其几何意义
(1)复数的加法法则
设=a+bi，=c+di(a,b,c,dR)是任意两个复数，那么+=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
(2)复数的加法满足的运算律
对任意,,∈C，有
①交换律：+=+；
②结合律：(+)+=+(+).
(3)复数加法的几何意义
在复平面内，设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=+=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量.

2．复数的减法运算及其几何意义
(1)复数的减法法则
类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数
x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di).
根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di)
=(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则.
(2)复数减法的几何意义
两个复数=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复数的差
-对应的向量是-，即向量.
如果作=，那么点Z对应的复数就是-(如图所示).
这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向
量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.

3．复数的乘法运算
(1)复数的乘法法则
设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+
=(ac-bd)+(ad+bc)i.
可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把换成-1，并且把实部与
虚部分别合并即可.
(2)复数乘法的运算律
对于任意,,∈C，有
①交换律：=；
②结合律：()=()；
③分配律：(+)=+.
在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，,和正整数m,n，有=，
=，=.
4．复数的除法
(1)定义
我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除
以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).
(1)复数的除法法则
(a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且
c+di≠0).
由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数.


【题型汇编】
题型一：复数的概念
题型二：复数的四则运算
【题型讲解】
题型一：复数的概念
一、单选题
1．（2023·湖南·长郡中学高三阶段练习）若（为虚数单位）是纯虚数，则（    ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据复数的除法运算化简复数，进而根据纯虚数实部为0，虚部不为0即可求解.
【详解】，
由于为纯虚数，因此且，故，
故选：C
2．（2023·全国·高三专题练习）设复数z满足条件 ，那么的最大值是（　　）
A．3 B．
C． D．4
【答案】D
【分析】 表示复数z在复平面上所表示的点在单位圆上，不妨假设 ，
再利用复数模的定义，结合三角函数的恒等变形和性质求解即可.
【详解】表示单位圆上的点，设 ，
则
，其中 ，
故 的最大值为4,
故选：D.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知为纯虚数，则实数m的值为（    ）
A．1 B． C．1或 D．或0
【答案】A
【分析】根据纯虚数的定义建立方程即可求出.
【详解】因为是纯虚数，所以，解得.
故选：A.
4．（2023·全国·高三专题练习）设，则在复平面内对应的点位于（       ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】通过对应的点为，确定对应点所在象限
【详解】复数对应的点为，在第二象限.
故选：B
5．（2022·江苏苏州·高三阶段练习）若，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据复数的运算法则求出和，由几何意义即可得结果.
【详解】，
故复数在复平面内对应的点为，位于第二象限，
故选：B.
6．（2022·北京实验学校平谷校区高三阶段练习）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由复数的几何意义得到复数，结合复数乘法运算得到结果.
【详解】∵复数对应的点的坐标为，
∴，∴，
故选：A

二、多选题
7．（2023·全国·高三专题练习）已知复数对应的向量为，复数对应的向量为，则（    ）
A．若，则
B．若，则
C．若与在复平面上对应的点关于实轴对称，则
D．若，则
【答案】ABC
【分析】利用向量数量积的运算法则及复数的几何意义即可求解.
【详解】因为 ，所以，
则，即，则，故选项正确；
因为，所以，
即，则，故选项正确；
设，因为与在复平面上对应的点关于实轴对称，
则，所以，，则，
故选项正确；
若，满足，而，故选项错误；
故选：ABC.
8．（2022·湖南·长沙市麓山滨江实验学校高三开学考试）18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离.下列说法正确的是（    ）
A．若，则或
B．复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为9+i
C．若点的坐标为，则对应的点在第三象限
D．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为
【答案】BCD
【分析】由复数的几何意义对四个选项依次判断即可．
【详解】对于选项A，设，只需即可，故错误；
对于选项B，复数与分别表示向量与，
表示向量的复数为，故正确；
对于选项C，点的坐标为，则对应的点为，在第三象限，故正确；
对于选项D，若复数满足，则复数对应的点在以原点为圆心，内圆半径为1，外圆半径为的圆环上，故所构成的图形面积为，故正确；
故选：BCD．
9．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知复数，则下列说法正确的是（    ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BD
【分析】对于A，举例判断，对于B，由复数相等的条件和复数的模的计算分析判断，对于C，两个虚数无大小关系，对于D，对已知的式子化简变形即可
【详解】对于A，若，则满足，而不满足，所以A错误，
对于B，由，得，
所以或，所以或，所以，所以B正确，
对于C，因为两个虚数的模可以比较大小，而两个虚数不能比较大小，所以C错误，
对于D，由，得，所以，所以D正确，
故选：BD

三、解答题
10．（2022·全国·高三专题练习）已知复数，，其中R，问m为何值时．
【答案】.
【分析】由题可得，即得.
【详解】∵复数，，又因为，
则,
解得，
故当时，有．
11．（2022·全国·高三专题练习）已知复数，.
(1)求；
(2)复数，对应的向量分别是，，其中为坐标原点，当时，求的值.
【答案】(1)29；
(2)-3.

【分析】（1）求出，再利用复数乘法运算计算作答.
（2）根据给定条件，求出，的坐标，再利用向量数量积的坐标表示计算作答.
(1)
因复数，则，
所以.
(2)
依题意，，当时，，
所以.
12．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x的方程有实数根.
(1)求实数a的值；
(2)设，求的值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由已知，方程有实数解，可列出关于和方程组，解方程即可完成求解；
（2）将第（1）问计算出的带入中，然后直接计算即可.
（1）
由，整理得，
则，解得.
所以实数a的值为.
（2）
由（1）可得.
.
13．（2023·全国·高三专题练习）（1）已知复数z在复平面内对应的点在第二象限，，且，求z；
（2）已知复数为纯虚数，求实数m的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据模长公式以及复数的加法运算，结合对应的象限得出z；
（2）根据复数的四则运算以及纯虚数的定义得出m的值.
【详解】解：（1）设，由题意每，
解得，，
∵复数z在复平面内对应的点在第二象限，∴，∴.
（2）
，
由题意得，解得
14．（2023·全国·高三专题练习）已知复数．
(1)若，求m的值；
(2)若z是纯虚数，求的值．
【答案】(1)
(2)4或100

【分析】（1）根据复数，可知z为实数，列出方程，解得答案；
（2）根据z是纯虚数，列出相应的方程或不等式，再结合共轭复数的概念以及复数的乘法运算，求得答案.
（1）
因为，所以，所以，所以或．
①当时，，符合题意；
②当时，，舍去．
综上可知：．
（2）
因为z是纯虚数，所以，所以或,
所以，或,
所以或,
所以或100．
题型二：复数的四则运算
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则（　　）
A．0 B． C．1 D．
【答案】B
【分析】利用复数乘法化简复数，根据其对应点在实轴上有，即可得答案.
【详解】∵复数在复平面内对应的点位于实轴上，
∴，即．
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】先对复数化简，再求其在复平面对应的点，从而可求得答案.
【详解】因为，
所以复数z在复平面内对应的点是，位于第三象限．
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是（     ）
A．若，，则
B．若复数，满足，则
C．若复数为纯虚数，则
D．若复数满足，则复数的虚部为
【答案】D
【分析】根据复数代数形式的运算法则计算可得.
【详解】解：由，，，令，，
，则，，
得，，．即．故A错误．
设，，则，显然，则B错误．
设，，，，，故C错误．
由复数满足，，，
，
，则复数的虚部为，故D正确．
故选：D．
4．（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））已知，，则（    ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】利用复数的运算及复数相等的概念求解即可.
【详解】解:因为，所以，则，．
故选: A.
5．（2023·全国·模拟预测）若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由共轭复数的概念与复数的四则运算法则求解即可
【详解】因为，
所以，
所以，
故选：A
6．（2023·山西大同·高三阶段练习）若复数z满足，其中是虚数单位，则（    ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据，解得，再由复数模的定义得答案.
【详解】由，得，所以.
故选：D.
7．（2023·湖北·高三阶段练习）若复数满足，则的虚部为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出即得解.
【详解】由，得，
所以的虚部为．
故选：B．
8．（2022·湖北孝感·高三阶段练习）若，则=（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据共轭复数和复数的模即可求解.
【详解】，
，，
所以.
故选：B
9．（2022·湖南·高三阶段练习）若复数（是虚数单位）是纯虚数，则等于（   ）
A．2 B． C．4 D．8
【答案】B
【分析】利用复数的除法化简，结合纯虚数的定义求解可得，利用复数的模的定义求解即可
【详解】由题意可得：，
由题意可得：，解得，则.
故选：B
10．（2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习）设，则的虚部为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意，根据复数的除法和乘法运算，结合共轭复数的定义，可得答案.
【详解】因为，所以，虚部为.
故选：C.
11．（2022·广东·盐田高中高三阶段练习）若复数（i为虚数单位，a，且）为纯虚数，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的除法运算化简，根据其为纯虚数可得且，即可求得答案.
【详解】由题意得
,
∵为纯虚数
∴且，∴，
另解：设（），则，
即，，
∴，
故选：D.
12．（2023·福建漳州·三模）若复数z满足，则z=（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，则，，根据复数相等运算求解．
【详解】设，
则，
∵，即
可得，解得
即
故选：C．

二、多选题
13．（2023·全国·高三专题练习）已知复数满足方程，则（    ）
A．可能为纯虚数 B．该方程共有两个虚根
C．可能为 D．该方程的各根之和为2
【答案】ACD
【分析】依题意可得或，即或，从而求出，即可判断；
【详解】解：由，得或，即或，
解得或，
即方程的根分别为、、、，
所以
故选：ACD.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知不相等的复数，则下列说法正确的是（    ）
A．若是实数，则与不一定相等
B．若，则
C．若，则在复平面内对应的点关于实轴对称
D．若，则
【答案】AC
【分析】通过举例可判断A,B,D；由共轭复数的的概念判断C.
【详解】取，，此时是实数，但共轭复数不相等，故A正确；
取，，满足，但，故B错误；
若，则的实部相等，虚部互为相反数，则在复平面内对应的点关于实轴对称，故C正确；
取，，此时，，
满足，但与不能比较大小，故D错误.
故选：AC.
【点睛】本题考查复数的运算与复数模的求法，考查运算求解能力，是基础题.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知复数满足，且复数对应的点在第一象限，则下列结论正确的是（    ）
A．复数的虚部为
B．
C．
D．复数的共轭复数为
【答案】BCD
【分析】先求出复数z，再对四个选项一一验证：
对于A：直接求出复数z的虚部，即可判断；
对于B：直接求出，即可判断；
对于C：直接求出和，即可判断；
对于D：直接求出复数z的共轭复数，即可判断.
【详解】设复数.
因为，且复数z对应的点在第一象限，
所以，解得：，即.
对于A：复数z的虚部为.故A错误；
对于B：.故B正确；
对于C：因为，所以.故C正确；
对于D：复数z的共轭复数为.故D正确.
故选：BCD

三、解答题
16．（2023·全国·高三专题练习）已知复数.
(1)若对应复平面上的点在第四象限，求m的范围；
(2)当时，且（表示的共轭复数），若，求z.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据复数的几何意义建立不等式即可求解；
（2）将复数、代入中化简即可求解.
(1)
若对应复平面上的点在第四象限，则，解得.
(2)
当时，，则.
∴，∴.
17．（2023·全国·高三专题练习）已知复数，其中，i为虚数单位．
(1)若z为实数，求m的值；
(2)若z为纯虚数，求的虚部．
【答案】(1)
(2)8

【分析】（1）由题意得，求解即可；
（2）先由题意求得，再根据复数的除法法则化简复数，由此可求得答案.
(1)
解：若z为实数，则，解得．
(2)
解：由题意得解得，
∴，故，
∴的虚部为8．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知复数（是虚数单位）．
(1)若z是实数，求实数m的值；
(2)设是z的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第一象限，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据除法运算化简，再由复数为实数建立方程求解即可；
（2）根据共轭复数的概念化简复数，再由复数对应的点在第一象限建立不等式求解即可.
(1)
，
因为z为实数，
所以，解得.
(2)
因为是z的共轭复数，所以，
所以
因为复数在复平面上对应的点位于第一象限，
所以，同时解得.
19．（2023·全国·高三专题练习）设复数、满足.
(1)若、满足，求、；
(2)若，则是否存在常数，使得等式恒成立？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)、或、
(2)存在，

【分析】（1）原方程可化为，再设（），代入前者化简后可求的值，从而可求、；
（2）由题设可有，根据其模为结合复数的运算性质可得，从而可求.
（1）
由可得：，代入已知方程得，
即，
令（），∴，即，
∴，解得或，
∴、或、；
（2）
由已知得，又，∴，
∴，
∴，
整理得即，
所以，故，∴，
即，∴存在常数，使得等式恒成立.