四川省射洪中学2022-2023学年高二数学（文）下学期期中试题（Word版附解析）

射洪中学高2021级2023年上期半期考试

数学试题（文科）

第Ⅰ卷（选择题）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上.

1. 命题p：，，则是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确答案.

【详解】原命题是全称量词命题，

其否定是存在量词命题，

注意到是否定结论，不否定条件，所以D选项正确.

故选：D

2. 设，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据二次不等式解法解出，再根据充分条件和必要条件的概念即可判断．

【详解】或，

则，，

所以“”是“”的必要不充分条件．

故选：B．

3. 设是双曲线左支上的动点，分别为左右焦点，则（    ）

A.  B.  C. 4 D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用双曲线的方程的特点和双曲线的定义即可求解.

【详解】由，得解得．

因为是双曲线左支上的动点，

所以.

由双曲线的定义可知．

故选：A.

4. 已知抛物线上的点到其焦点的距离为2，则的横坐标是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

求出抛物线的准线方程，设点的横坐标，利用抛物线的定义，即可求解.

【详解】抛物线焦点，准线方程为，

设点的横坐标为，根据抛物线的定义，

.

故选:C

【点睛】本题考查抛物线定义在解题中的应用，属于基础题.

5. 若，则等于（    ）

A 2 B. 0 C. -2 D. -4

【答案】D

【解析】

【分析】先求导，算出，然后即可求出

【详解】因为，所以

所以，得

所以，所以

故选：D

【点睛】本题考查的是导数的计算，较简单.

6. 若曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用导数的几何意义即可求解

【详解】设，，

因为曲线在点处的切线平行于直线，

，

所以点的坐标为，

故选：C

7. 已知函数图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先利用函数的图象求得函数的单调区间，进而得到正确选项.

【详解】由题给函数的图象，可得

当时，，则，则单调递增；

当时，，则，则单调递减；

当时，，则，则单调递减；

当时，，则，则单调递增；

则单调递增区间为，；单调递减区间为

故仅选项C符合要求.

故选：C

8. 已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是　(　　)

A. (2,3)

B. (3,+∞)

C. (2,+∞)

D. (-∞,3)

【答案】B

【解析】

【详解】f′(x)=6x2+2ax+36,

因为f(x)在x=2处有极值,

所以f′(2)=0,

解得a=-15.

令f′(x)>0得x>3或x<2.

所以从选项看函数的一个递增区间是(3,+∞).

点睛：本题考查的是利用导数研究函数的单调性和极值问题：（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同；（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．

9. 已知，是椭圆C的两个焦点，P为C上一点，，若C的离心率为，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理、椭圆离心率的公式进行求解即可.

【详解】解：记，，由，及，得，，又由余弦定理知，得.

由，得，从而，∴.

∵，∴.

故选:B

10 已知直线与抛物线相交于、两点（其中位于第一象限），若，则（         ）

A.  B.  C. -1 D.

【答案】A

【解析】

【分析】过作准线的垂线，垂足为，利用抛物线定义及得，利用三角形知识求出倾斜角，进一步求出直线斜率即可

【详解】由题意知，直线过抛物线的焦点，

准线方程为，分别过作准线的垂线，垂足为，过A作的垂线，垂足为M，

如图，

设，因为，所以，

则，所以，

即直线的倾斜角等于，可得直线的斜率为.

故选：A.

11. 已知函数（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意得，令，求导求最值即可.

【详解】若在上恒成立，则在上恒成立等价于

在上恒成立，令，则，

令，解得，令，解得，

故在上单调递减，在上单调递增，故，

故.

故选：B.

12. 已知椭圆:的左右焦点为，，过的直线与圆相切于点，并与椭圆交于不同的两点，，如图，若，为线段的三等分点，则椭圆的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】连接，由题知，，所以，再结合椭圆的定义得，进而在中结合勾股定理得，最后根据离心率的公式求解即可.

【详解】如图,连接,因为，为线段的三等分点,

所以在中,为中点，为中点，

所以，

又因为过的直线与圆相切于点，

所以，

因为圆的半径为，

所以，由椭圆的定义得： ，

所以，

所以在中， ，即，

整理得：，即：，

所以.

故选：C

    【点睛】本题考查椭圆的离心率的求解，考查运算求解能力，数形结合思想，是中档题.本题解题的关键在于证明，，进而根据椭圆的定义得，再结合勾股定理得.

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 曲线在点处的切线方程为______.

【答案】

【解析】

【分析】求出导函数，利用导数的几何意义求解切线斜率，代入点斜式方程即可求解.

【详解】因为，所以，则切线斜率，

又，则切点为，所以切线方程为，化简得：.

故答案为：.

14. 已知命题“∈[1，2]， ”是真命题，则实数a的取值范围为______．

【答案】

【解析】

【分析】由题意可得2a＜x0在[1，2]的最大值，运用对勾函数的单调性可得最大值，即可得到所求a的范围．

【详解】命题“∃x0∈[1，2]，x02﹣2ax0+1＞0”是真命题，

即有2a＜x0在[1，2]的最大值，

由x0在[1，2]递增，可得x0＝2取得最大值，

则2a，可得a，

则实数a的取值范围为（﹣∞，）．

故答案为（﹣∞，）．

【点睛】本题考查存在性命题的真假问题解法，注意运用分离参数法，运用对勾函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．

15. 已知函数，若在区间上是增函数，则实数的取值范围为_________．

【答案】

【解析】

【详解】由题意知f ′(x)＝x＋2a−≥0在上恒成立，即2a≥−x＋在上恒成立，

∵＝，∴2a≥，即a≥.

16. 已知函数，若，则的最小值为______.

【答案】

【解析】

【分析】令，则，求导，利用导数研究函数的最小值即可.

【详解】设，即，解得，

所以，令，则，令，解得，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以的最小值为，所以的最小值为.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：对于双变量的范围问题，往往转化为一个变量（解方程、主元法等），构造函数后利用导数研究函数的单调性，进一步求出函数的值域即可.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题10分，其余每题12分.

17. 已知命题，命题有意义．

（1）若为真命题，求实数的取值范围；

（2）若为假命题，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）首先分别求两个命题表示的的取值范围，再求交集，即可求解；

（2）由题意可知，与都为假命题，即与都为真命题，求与表示集合的交集.

【小问1详解】

由题知，解得，

即，

要使有意义，只需，解得或，

即或，

若为真，则有，解得：，

实数取值范围是；

【小问2详解】

由（1）知或，

若为假命题，则与都为假命题，即与都为真命题，

或，

只需，解得或．

则实数的取值范围：或．

18. 已知函数在点处切线斜率为，且．

（1）求和；

（2）试确定函数的单调区间．

【答案】（1）   

（2）单调递增区间为，单调递减区间为

【解析】

【分析】（1）求导，利用导数的几何意义，结合，进行求解即可；

（2）求导，利用导函数的符号变化确定函数的单调区间.

【小问1详解】

函数，求导，

由，得

解得：．

【小问2详解】

由（1）得，求导，

令，得，

当或时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

的单调递增区间为，单调递减区间为．

19. 已知双曲线的焦点为，，且该双曲线过点．

（1）求双曲线的标准方程；

（2）过左焦点作斜率为的弦AB，求AB的长；

（3）求的周长．

【答案】（1）   

（2）25    （3）54

【解析】

【分析】（1）双曲线的焦点在轴上，设出双曲线方程，把已知条件代入解方程组即可；

（2）写出直线AB的方程，与双曲线方程联立，得出韦达定理，根据弦长公式求得；

（3）由双曲线的定义及弦长AB得出的周长．

【小问1详解】

因为双曲线的焦点在轴上，设双曲线方程为，

由题意得，解得，所以双曲线方程为.

【小问2详解】

依题意得直线AB的方程为，设，.

联立，得，

，且，

所以.

【小问3详解】

由（2）知A，B两点都在双曲线左支上，且，

由双曲线定义，，

从而，

的周长为．

20. 直线交抛物线于、两点，线段中点的横坐标为，抛物线的焦点到轴的距离为.

（1）求抛物线方程；

（2）设抛物线与轴交于点，求的面积.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据抛物线的焦点到轴的距离求出的值，即可得出抛物线的方程；

（2）分析可知，将直线与抛物线的方程联立，根据求出的取值范围，根据线段中点的横坐标为求出的值，列出韦达定理，利用弦长公式可求得的值，求出点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得的面积.

【小问1详解】

解：抛物线的焦点为，

因为抛物线的焦点到轴的距离为，则，可得，

所以，抛物线的方程为.

【小问2详解】

解：若，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，则，

设点、，联立，可得，

，解得，

因为线段中点的横坐标为，则，整理可得，

又因为，解得，

易知抛物线交轴于点，则有，可得，

由韦达定理可得，，

由弦长公式可得，

原点到直线的距离为，

所以，.

21. 已知函数

（1）当时，求函数的极值

（2）若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围

【答案】（1）极大值，无极小值   

（2）

【解析】

【分析】（1）首先利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值；（2）首先分和两种情况讨论函数的单调性，再根据函数的零点个数，列不等式求实数的取值范围.

【小问1详解】

当时，，，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以当时，取得极大值，极大值为，无极小值.

【小问2详解】

，，

当时，恒成立，在单调递增，所以最多只有1个零点，不成立，

当时，，，单调递增，当时，，单调递减，

若函数在上有且仅有2个零点，则，解得：，

且，解得：，

且，解得：，

综上可知，，

所以实数的取值范围是.

22. 已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆E过，直线与椭圆E交于A、B．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）设直线TA、TB的斜率分别为，，证明：；

（3）直线是过点T的椭圆E的切线，且与直线l交于点P，定义为椭圆E的弦切角，为弦TB对应的椭圆周角，探究椭圆E的弦切角与弦TB对应的椭圆周角的关系，并证明你的论．

【答案】（1）   

（2）证明见解析    （3），证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据题意可得，，解出a、b即可求解；

（2）设，将直线l方程联立椭圆方程，利用韦达定理表示、，结合两点表示斜率公式对化简计算，即可求解；

（3）设切线方程，由直线与椭圆的位置关系求出k，得出倾斜角，可得，由，得，结合三角形的外角和即可下结论.

【小问1详解】

由题意知，，所以，

又椭圆经过T（2,1），所以，

解得，，所以椭圆方程为；

【小问2详解】

联立直线与椭圆方程，得，

所以，∴，

则，解得，

设，则，，

所以

，

即；

【小问3详解】

椭圆E的弦切角与弦TB对应的椭圆周角相等.证明如下：

设切线方程为，即，

由，得，

所以，

，解得，

则，又，所以，所以，

设切线与x轴交点为Q，TA、TB分别与x交于C，D，

因为，所以，又，

，，

所以.

【点睛】求定值问题常见的方法有两种：

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．