中考数学专项训练（19）专题阿氏圆含解析答案

这是一份中考数学专项训练（19）专题阿氏圆含解析答案，共36页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

中考数学专项训练（19）专题�阿氏圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则的最小值为 ．

2．如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD＋PC的最小值为 ；PD＋4PC的最小值为 ．

3．如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为 ．

4．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋的最小值为 ，PD﹣的最大值为 ．
（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋的最小值为 ，PD﹣的最大值为 ．

5．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的圆O上运动，则的最小值为 ．
  
6．如图，点C坐标为（2，5），点A的坐标为（7，0），⊙C的半径为，点B在⊙C上一动点，的最小值为 ．

7．如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为 ．

8．如图，等边△ABC的边长为6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PB＋2PC的最小值为 ．


二、解答题
9．如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：

①，
②，
③，
④的最小值．
10．如图，点A、B在上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD＝4，动点P在上．求2PC＋PD的最小值．

11．如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为上一动点，求PC＋PD的最小值．

12．如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线AB交于A(-4，-4)，B(0，4)两点，直线AC：y=-x-6交y轴与点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G.
（1）求抛物线y=-x2+bx+c的表达式；
（2）连接GB、EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；
（3）①在y轴上存在一点H，连接EH、HF，当点E运动到什么位置时，以A、E、F、H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E、H的坐标；
②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM的最小值.

13．如图1，抛物线y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若，求m的值；
（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A＋E′B的最小值．

14．如图，在RT△ABC中，∠B＝90°，AB＝CB＝2，以点B为圆心作圆与AC相切，圆C的半径为，点P为圆B上的一动点，求的最小值．

15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝3，CB＝4，的半径为2，点P是上的一动点，则的最小值为？

16．如图，在平面直角坐标系中，，，，，P是△AOB外部第一象限内的一动点，且∠BPA＝135°，则的最小值是多少？

17．如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝，连接AF，BD

（1）求证：△BDC≌△AFC
（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD＋AD的值；
（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD＋AD的最小值．
18．问题提出：
（1）如图①，在△ABC，AB=AC，BD时AC边上的中线，请用尺规作图做出AB边上的中线CE，并证明BD=CE；
问题探究：
（2）如图②，已知点P是边长为6的正方形ABCD内部一动点，PA=3，求PC+PD最小值．
问题解决：
（3）如图③，在矩形ABCD中，AB=18，BC=25，点M是矩形内部一动点，MA=15，当MC+MD最小时，画出点M的位置，并求出MC+MD最小值．


参考答案：
1．
【分析】取CD的中点N，得AD=CD=2，CN=DN=1，连接PN，PC，BN可证明得，再根据两点之间线段最短可得结论．
【详解】解：取CD的中点N，

∵AC=4，CD=2
∴AD=CD=2，CN=DN=1
连接PN，PC，BN
∵
∴
又
∴
∴
∴
∴
当点P在BN上有最小值，且最小值为BN
∵
∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查了最短距离问题，证明得出是解答本题的关键．
2． 5
【分析】连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1，连接PE，DE，根据PB2＝4，BE•BC＝4得PB2＝BE•BC，即，根据∠PBE＝∠CBP，得△PBE∽△CBP，则，即，因为PE+PD≤DE，根据勾股定理得DE=5，即可得；②连接DB，PB，在BD上取一点E，使得，连接EC，作EF⊥BC于F，根据BP2＝BE•BD得，根据∠PBE＝∠PBD得△PBE∽△DBP，根据相似三角形的性质得，则，，因为PE+PC≥EC，所以根据勾股定理得，即可得
【详解】解：①如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1，连接PE，DE，

∵PB2＝4，BE•BC＝4，
∴PB2＝BE•BC，
∴，
∵∠PBE＝∠CBP，
∴△PBE∽△CBP，
∴，
∴，
∵PE+PD≤DE，
在Rt△DCE中，，
∴的最小值为5．
②连接DB，PB，在BD上取一点E，使得，连接EC，作EF⊥BC于F，

∵，，
∴BP2＝BE•BD，
∴，
∵∠PBE＝∠PBD，
∴△PBE∽△DBP，
∴，
∴，
∴，
∵PE+PC≥EC，
在Rt△EFC中，，，根据勾股定理得，
∴，
∴的最小值为：，
故答案为5，．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．
3．
【分析】如图，连接，在上取一点，使得，进而证明,则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，在△PDM中，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，勾股定理即可求得．
【详解】如图，连接，在上取一点，使得，

，






在△PDM中，PD-PM＜DM，
当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，

四边形是正方形

在中，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造是解题的关键．
4．
【分析】（1）如图3中，在上取一点，使得，先证明，得到，所以，而（当且仅当、、共线时取等号），从而计算出得到的最小值，，而（当且仅当、、共线时取等号），从而计算出得到的最大值；
（2）如图4中，在上取一点，使得，作交于点，解法同（1）．
【详解】（1）

如图3中，在上取一点，使得，
，，，
，
，
，
，
（当且仅当、、共线时取等号），
的最小值为，
的最小值为，
，
的最大值为，
故答案为：，；
（2）

如图4中，在上取一点，使得，作交于点，
，，，
，
，
，
，
（当且仅当、、共线时取等号），
的最小值为，
的最小值为，
在中，，，
，，
在中，，
的最小值为，
，
的最大值为，
故答案为：，．
【点睛】本题考查圆的综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是学会构建相似三角形解决问题．
5．5
【分析】如图，取点K（1，0），连接OP、PK、BK．由△POK∽△AOP，可得，推出PK=PA，在△PBK中，PB+PK≥BK，推出PB+PA=PB+PK的最小值为BK的长，计算即可．
【详解】如图，取点K（1，0），连接OP、PK、BK．
  
∵OP=2，OA=4，OK=1，
∴ ，∵∠POK=∠AOP，
∴△POK∽△AOP，
∴，
∴PK=PA，
∴PB+PA=PB+PK，
在△PBK中，PB+PK≥BK，
∴PB+PA=PB+PK的最小值为BK的长，
∵B（4，4），K（1，0），
∴BK==5．
故答案为5．
【点睛】此题考查坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的三边关系、两点之间的距离公式，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题.
6．5
【分析】在AC上取点P，使∠CBP=∠BAC，可得△CBP∽△CAB，从而得到，根据两点间的距离，可得，可得到 ， ，则有，进而当O、B、P三点共线，且B位于O、P两点之间时，OB+BP有最小值，最小值为OP，然后求出直线AC的解析式为 ，可设 ，从而得到，可得点 ，即可求解．
【详解】解：如图，在AC上取点P，使∠CBP=∠BAC，

∴△CBP∽△CAB，
∴ ，
∵点C坐标为（2，5），点A的坐标为（7，0），
∴ ，
∵⊙C的半径为，
∴,
∴，解得： ，
∴，
∴ ，
∴，
∴当点运动至AC的下方时，OB+BP有最小值，
∵OB+BP≥OP，
∴当O、B、P三点共线，且B位于O、P两点之间时，OB+BP有最小值，最小值为OP，
设直线AC的解析式为 ，把点C（2，5），A（7，0）代入，得：
，解得： ，
∴直线AC的解析式为 ，
可设 ，
∵ ，
∴ ，解得： 或-1（舍去），
∴ ，
∴点 ，
∴
∴的最小值为5．
故答案为：5
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，两点间的距离，一次函数的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理，两点间的距离公式是解题的关键．
7．
【分析】PA＋PB＝（PA＋PB），利用相似三角形构造PB即可解答．
【详解】解：设⊙O半径为r，

OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，
取OB的中点I，连接PI，
∴OI＝IB＝，
∵， ，
∴ ，∠O是公共角，
∴△BOP∽△POI，
∴，
∴PI＝PB，
∴AP＋PB＝AP＋PI，
∴当A、P、I在一条直线上时，AP＋PB最小，
作IE⊥AB于E，
∵∠ABO＝45°，
∴IE＝BE＝BI＝1，
∴AE＝AB−BE＝3，
∴AI＝，
∴AP＋PB最小值＝AI＝，
∵PA＋PB＝（PA＋PB），
∴PA＋PB的最小值是AI＝．
故答案是．
【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形．
8．
【分析】如图，连接交于点，延长交于点，取的中点，连接，，，，首先证明，得到，所以，而（当且仅当、P、共线时取等号），从而计算出得到的最小值．
【详解】
如图，连接交于点，延长交于点，取的中点，连接，，，，
为的内切圆，
，
是等边三角形，
，，
，
在中，，
，
，，，
，
，
，
，
，
的最小值为的长度，
的最小值为的长度，
，，
，
的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质、等边三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是利用相似比确定线段．
9．①；②；③；④．
【分析】①在CB上取点D，使，连接CP、DP、AD．根据作图结合题意易证，即可得出，从而推出，说明当A、P、D三点共线时，最小，最小值即为长．最后在中，利用勾股定理求出AD的长即可；
②由，即可求出结果；
③在CA上取点E，使，连接CP、EP、BE．根据作图结合题意易证，即可得出，从而推出，说明当B、P、E三点共线时，最小，最小值即为长．最后在中，利用勾股定理求出BE的长即可；
④由，即可求出结果．
【详解】解：①如图，在CB上取点D，使，连接CP、DP、AD．

∵，，，
∴．
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴当A、P、D三点共线时，最小，最小值即为长．
∵在中，．
∴的最小值为；
②∵，
∴的最小值为；
③如图，在CA上取点E，使，连接CP、EP、BE．

∵，，，
∴．
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴当B、P、E三点共线时，最小，最小值即为长．
∵在中，．
∴的最小值为；
④∵，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．正确的作出辅助线，并且理解三点共线时线段最短是解答本题的关键．
10．
【分析】连接OP，在射线OA上截取AE=6，连接PE．由题意易证，即得出，从而得出，由此可知当P、D、E三点共线时，最小，最小值为DE的长，最后在中利用勾股定理求出DE的长即可．
【详解】如图，连接OP，在射线OA上截取AE=6，连接PE．

∵C是OA的中点，
∴．
∴在△OPC和△OEP中，，
∴，
∴，即，
∴，.
∴当P、D、E三点共线时，最小，最小值即为DE的长，如图，

在中， ，
∴ 的最小值为．
【点睛】本题考查同圆半径相等、三角形相似的判定和性质和勾股定理等知识．正确作出辅助线并理解当P、D、E三点共线时，最小，最小值为DE的长是解答本题的关键．
11．
【分析】取CO中点M，利用相似三角形的判定和性质推出，利用勾股定理即可计算求解．
【详解】解：连接CO、OP，取CO中点M，连接DM，PM，
∵OA=AC=1，AC是切线，
∴∠CAO=90°，
∴CO=，

∴OM=，
∴，∠POM=∠COP，
∴，
∴，
∴，
∴，
过M作MH⊥BD于H，MN⊥AB于N，
∴，MN=，
∴，
∵BD是切线，BD=2，
∴∠ABD=90°，
∴四边形MNBH为矩形，
∴，BH= MN=，
，
∴
∴，即最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质、正方形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是取CO中点M，利用相似三角形的性质求解．
12．（1）y=-x2-2x+4；（2）G(-2，4)；（3）①H(0，-1)；②
【详解】分析：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式，进而利用平行四边形的对边相等建立方程求解即可；
（3）①先判断出要以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，只有EF为对角线，利用中点坐标公式建立方程即可；
②先取EG的中点P进而判断出△PEM∽△MEA即可得出PM=AM，连接CP交圆E于M，再求出点P的坐标即可得出结论．
详解：（1）（1）∵点A（-4，-4），B（0，4）在抛物线y=-x2+bx+c上，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+4；
（2）设直线AB的表达式为y=kx+b
∵直线AB过点A(-4，-4)，B(0，4)，
∴，解得，
∴y=2x+4
设E(m，2m+4)，则G(m，-m2-2m+4)
∵四边形GEOB是平行四边形，
∴GE=OB=4，
∴-m2-2m+4-2m-4=4，解得m=-2
∴G(-2，4)
（3）①设E(m，2m+4)，则F(m，-m-6)
过A作AN⊥EG，过H作HQ⊥EG
四边形AFHE是矩形，∴△PFN≌△HEQ，∴AN=QH，∴m+4=-m，解得m=-2，E(-2，0)
EQ=FN=-4+m+6=1
∴H(0，-1)

②由题意可得，E(-2，0)，H(0，-1),∴EH=，即⊙E的半径为，
∵M点在⊙E上，∴EM=
∵A(-4，-4)，E(-2，0)，∴AE=2
在AE上截取EP=EM，则EP=，连接PM，
在ΔEPM与ΔEMA中，∵====，∠PEM=∠MEA，∴ΔEPM∽ΔEMA∴PM=AM
∴线段PC的长即为AM+CM的最小值
由EP=EM=AE=×2=，AP=AE-PE= , AC=2  ∴PC=
即AM+CM的最小值为.
点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，中点坐标公式，极值的确定，解（1）的关键是掌握待定系数法，解（2）的关键是利用平行四边形的对边相等建立方程求解，解（3）①的关键是利用中点坐标公式建立方程求解，解（3）②的关键是构造相似三角形，是一道中等难度的题目．
13．（1）a＝﹣；y＝﹣x+3；（2）2；（3）
【分析】（1）将点代入抛物线解析式，可求得，设设直线AB解析式为y＝kx+b，求解即可；
（2）通过相似三角形可得，分别求得的长，代入求解即可；
（3）在y轴上 取一点M′使得，连接AM′，在AM′上取一点E′使得，通过相似三角形的判定，可得，
【详解】解：（1）将点代入抛物线，得
，解得，此时抛物线解析式为
∴
∵A（4，0），B（0，3），
设直线AB解析式为y＝kx+b，则，解得，
∴直线AB解析式为．
（2）由题意可得：，，则，
如图1中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，
∴∠PMN＝∠AEN，
∵∠PNM＝∠ANE，
∴△PNM∽△ANE，
∴，
∵NE∥OB，
∴

∴，∴，
∵抛物线解析式为，
∴，
∴，解得．
（3）如图2中，在y轴上 取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．

∵OE′＝2，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，当A、M′、E′共线时，最小，为，
由勾股定理可得
即最小值为
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式，解题的关键是灵活运用所学知识，作辅助线，构造出相似三角形．
14．
【分析】作于，取的中点，连接，，，根据切线的性质得为的半径，接着证明，得到，所以，而（当且仅当、、共线时取等号），从而计算出得到的最小值．
【详解】解：

如图所示，作于，取的中点，连接，，，
为切线，
为的半径，
，
，，
而，
，
，
，
，
而（当且仅当、、共线时取等号），
而，
∴的最小值为，
即的最小值为．
【点睛】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是利用相似比确定线段．
15．
【分析】在BC上取点D，使 ，连接AD，PC，可得 ，从而得到△PCD∽△BCP，可得到 ，从而，进而的最小值为AD，即可求解．
【详解】解：如图，在BC上取点D，使 ，连接AD，PC，

由题意得：PC=2，
∵CD=1，BC=4，
∴ ，
∵∠PCB=∠PCD，
∴△PCD∽△BCP，
∴ ，
∴ ，
∴，
∵AP+PD≥AD，
∴的最小值为AD，
∵ ，
∴的最小值为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
16．
【分析】如图，取一点T（1，0），连接OP，PT，TD．首先利用四点共圆证明OP=2，再利用相似三角形的性质证明PT=PC，推出2PD+PC=2（PD+PC）=2（PD+PT），根据PD+PT≥DT，求出DT即可解决问题．
【详解】解：如图，取一点T（1，0），连接OP，PT，TD．

∵A（2，0），B（0，2），C（4，0），
∴OA=OB=2，OC=4，
以O为圆心OA为半径作⊙O，在优弧AB上取一点Q，连接QB，QA，
∵∠Q=∠AOB=45°，∠APB=135°，
∴∠Q+∠APB=180°，
∴A，P，B，Q四点共圆，
∴OP=OA=2，
∵OP=2，OT=1，OC=4，
∴OP2=OC•OT，
∴，
∵∠POT=∠POC，
∴△POT∽△COP，
∴，
∴PT=PC，
∴2PD+PC=2（PD+PC）=2（PD+PT），
∵PD+PT≥DT，DT=，
∴2PD+PC≥，  
∴2PD+PC的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查几何问题的最值，相似三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
17．（1）见解析；（2）或 ；（3）
【分析】（1）利用SAS，即可证明△FCA≌△DCB；
（2）分两种情况当点D，E在AB边上时和当点E，F在边AB上时，讨论即可求解；
（3）取AC的中点M．连接DM，BM．则CM＝1，可证得△DCM∽△ACD，可得DM＝AD，从而得到当B，D，M共线时，BD+AD的值最小，即可求解．
【详解】（1）证明： ∵四边形CDEF是正方形，
∴CF＝CD，∠DCF＝∠ACB＝90°，
∴∠ACF＝∠DCB，
∵AC＝CB，
∴△FCA≌△DCB（SAS）；
（2）解：①如图2中，当点D，E在AB边上时，

∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，
∴，
∵CD⊥AB，
∴AD＝BD＝，
∴BD+AD＝；
②如图3中，当点E，F在边AB上时．

BD＝CF＝，
AD＝＝，
∴BD+AD＝，
综上所述，BD＋AD的值或；
（3）如图4中．取AC的中点M．连接DM，BM．则CM＝1，

∵CD＝，CM＝1，CA＝2，
∴CD2＝CM•CA，
∴＝，
∵∠DCM＝∠ACD，
∴△DCM∽△ACD，
∴＝＝，
∴DM＝AD，
∴BD+AD＝BD+DM，
∴当B，D，M共线时，BD+AD的值最小，
最小值．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角函数，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
18．(1)见解析;(2);(3)2 .
【分析】（1）如图1中，作线段AB的垂直平分线MN交AB于点E，连接EC．线段EC即为所求，再根据SAS证明△BAD≌△CAE即可解决问题；
（2）如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝ ．首先证明△PAE∽△DAP，推出 ，可得，推出PC＋PD＝PC＋PE，利用三角形的三边关系即可解决问题；
（3）如图3中，如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝9．由△MAE∽△DAM，推出
，可得ME＝MD，推出MC＋MD＝MC＋ME，利用三角形的三边关系即可解决问题；
【详解】解：（1）如图1中，作线段AB的垂直平分线MN交AB于点E，连接EC．线段EC即为所求；

∵AB＝AC，AE＝EC，AD＝CD，
∴AE＝AD，
∵AB＝AC，∠A＝∠A，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE．
（2）如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝．



∵∠PAE＝∠DAP，
∴△PAE∽△DAP，
∴，
∴PE＝PD，
∴PC＋PD＝PC＋PE，
∵PC＋PE≥EC，
∴PC＋PD的最小值为EC的长，
在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝6，DE＝，
∴EC＝，
∴PC＋PD的最小值为 ．
（3）如图3中，如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝9．

∵，AE•AD＝9×25＝225，
∴，
∴ ，∵∠MAE＝∠DAM，
∴△MAE∽△DAM，
∴，
∴ME＝MD，
∴MC＋MD＝MC＋ME，
∵MC＋ME≥EC，
∴MC＋MD的最小值为EC的长，
在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝18，DE＝16，
∴EC＝ ,
∴MC＋MD的最小值为 ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系，最短问题等知识，解题的关键是运用数形结合的思想解决问题，添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．