中考数学专项训练(23)专题隐圆模型---四点共圆含解析答案
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一、单选题
1.如图,圆上有、、、四点,其中,若弧、弧的长度分别为、,则弧的长度为( )
A. B. C. D.
二、填空题
2.如图,△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8,O为AC的中点,过O作OE⊥OF,OE、OF分别交射线AB、BC于E、F,则EF的最小值为 .
3.如图,在中,,AB=AC=5,点在上,且,点E是AB上的动点,连结,点,G分别是BC,DE的中点,连接,,当AG=FG时,线段长为
4.如图,将绕点顺时针旋转25°得到,EF交BC于点N,连接AN,若,则 .
5.如图,已知在扇形中,,半径.P为弧上的动点,过点P作于点M,于点N,点M,N分别在半径上,连接.点D是的外心,则点D运动的路径长为 .
三、解答题
6.如图,四边形内接于,对角线,垂足为,于点,直线与直线于点.
(1)若点在内,如图1,求证:和关于直线对称;
(2)连接,若,且与相切,如图2,求的度数.
7.我们知道:有一内角为直角的三角形叫做直角三角形.类似地我们定义:有一内角为45°的三角形叫做半直角三角形.如图,在平面直角坐标系中,O为原点,A(4,0),B(-4,0),D是y轴上的一个动点,∠ADC=90°(A、D、C按顺时针方向排列), BC与经过A、B、D三点的⊙M交于点E,DE平分∠ADC,连结AE,BD.显然ΔDCE、ΔDEF、ΔDAE是半直角三角形.
(1)求证:ΔABC是半直角三角形;
(2)求证:∠DEC=∠DEA;
(3)若点D的坐标为(0,8),求AE的长;
(4)BC交y轴于点N,问的值是否发生变化?若不发生变化,请求出其值;若发生变化,请说明理由.
8.如图,为等边三角形,点是线段上一动点(点不与,重合),连接,过点作直线的垂线段,垂足为点,将线段绕点逆时针旋转得到线段,连接,.
(1)求证:;
(2)延长交于点,求证:为的中点;
(3)在(2)的条件下,若的边长为1,直接写出的最大值.
参考答案:
1.C
【分析】先求出圆的周长,再根据圆内接四边形的性质可得,然后根据圆周角定理可得弧所对圆心角的度数,最后根据弧长的定义即可得.
【详解】弧、弧的长度分别为、
圆的周长为
(圆内接四边形的对角互补)
弧所对圆心角的度数为
则弧的长度为
故选:C.
【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长的定义、圆内接四边形的性质,熟记圆的相关定理与性质是解题关键.
2.5
【分析】首先过点O作OM⊥AB于点M,作ON⊥BC于点N,易得四边形OMBN是矩形,OM∥BC,ON∥AB,又由AB=6,BC=8,O为AC的中点,可求得OM与ON的长,然后由勾股定理求得MN的长,又由垂线段最短,可得当OE与OM重合,即EF与MN重合时,EF最短,求得答案.
【详解】过点O作OM⊥AB于点M,作ON⊥BC于点N,
∵∠ABC=90°,
∴四边形OMBN是矩形,
∴OM∥BC,ON∥AB,
∴△AOM∽△ACB,△CON∽△CAB,
∴OM:BC=OA:AC,ON:AB=OC:AC,
∵O为AC的中点,
∴OM=BC=×8=4,ON=AB=×6=3,
∴MN==5,
由垂线段最短,可得当OE与OM重合,即EF与MN重合时,EF最短,
∴EF的最小值为5.
故答案为:5.
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理以及垂线段最短的知识.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
3.
【分析】连接DF,EF,过点F作,,结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点A、D、F、E四点共圆,,然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得AE的长度,从而求解.
【详解】解:如图,连接DF,EF,过点F作,.
∵在中,,点G是DE中点,
∴.
∵AG=FG,
∴A、D、F、E四点共圆,G点为圆心,DE为直径,
∴.
∵在中,,
∴.
又∵点F是BC中点,
∴,.
∴四边形AMFN是正方形,
∴.
∵,,
∴.
∴在和中,
∴,
∴,
∴,
∴在中,.
故答案为:.
【点睛】本题考查直角三角形的性质,圆周角定理,四点共圆,正方形的判定和性质,全等三角形的判定和性质以及勾股定理,综合性强,较难.正确的作出辅助线是解答本题的关键.
4.102.5°
【分析】先根据旋转的性质得到,,得到点A、N、F、C共圆,再利用,根据平角的性质即可得到答案;
【详解】解:如图,AF与CB相交于点O,连接CF,
根据旋转的性质得到:
AC=AF,,,,
∴点A、N、F、C共圆,
∴,
又∵点A、N、F、C共圆,
∴,
∴(平角的性质),
故答案为:102.5°
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、平角的性质、点共圆的判定,掌握平移的性质是解题的关键;
5..
【分析】根据点在弧上运动,其路径也是一段弧,由题意可得,点运动路径所对的圆心角是,连接,取的中点,连接,,根据在和中,点是斜边的中点,可证得点,,,四点均在同一个圆,即上,过点作,垂足为点,由垂径定理,,,可求得,再根据点和点重合,得到点运动路径所对的圆心角是,根据弧长公式可求解.
【详解】解:点在弧上运动,其路径也是一段弧,由题意可知,
当点与点重合时,,
当点与点重合时,,
点运动路径所对的圆心角是,
如图,连接,取的中点,连接,,
在和中,点是斜边的中点,
,
根据圆的定义可知,点,,,四点均在同一个圆,即上,
又,,
,,
过点作,垂足为点,
由垂径定理得,,
在中,,,则,
,
∵是的外接圆的圆心,
即:点和点重合,如图2
,
点是以点为圆心为半径,
点运动路径所对的圆心角是,
点运动路径所对的圆心角是,
点运动的路径长为.
故答案是:.
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角,弧长公式,三角形的外心的性质,理解题意熟悉公式是解题的关键.
6.(1)见解析;(2)
【分析】(1)根据垂直及同弧所对圆周角相等性质,可得,可证与全等,得到,进一步即可证点和关于直线成轴对称;
(2)作出相应辅助线如解析图,可得与全等,利用全等三角形的性质及切线的性质,可得,根据平行线的性质及三角形内角和即可得出答案.
【详解】解:(1)证明:∵,,
∴,
∵,
∴,
又∵同弧所对圆周角相等,
∴,
∴,
在与中,
∴,
∴,
又,
∴点和关于直线成轴对称;
(2)如图,延长交于点,连接,,,,
∵,,
∴、、、四点共圆,、、、四点共圆,
∴,,
在与中,
,
∴,
∴,
∴为等腰直角三角形,
∴,
∴,
又,
∴,
∵与相切,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴.
【点睛】题目主要考查圆的有关性质、三角形全等、成轴对称、平行线性质等,作出相应辅助线及对各知识点的熟练运用是解题的关键.
7.(1)见解析;(2)见解析;(3);(4)不变,为 .
【分析】(1)先求得∠ADE=45°,由同弧所对的圆周角可知:∠ABE=∠ADE=45°,根据定义得:△ABC是半直角三角形;
(2)根据垂直平分线的性质得:AD=BD,由等角对等边得:∠DAB=∠DBA,由D、B、A、E四点共圆,
则∠DBA+∠DEA=180°,可得结论;
(3)设⊙M的半径为r,根据勾股定理列方程为:(8-r)2+42=r2,可得⊙M 的半径为5,由同弧所对的圆心角和圆周角的关系可得∠EMA=2∠ABE=90°,根据勾股定理可得结论;
(4)过点C作CH⊥DO于H,过点C作CQ⊥BA于Q,通过证明Rt△HDC≌Rt△ADO,推出HC=OD,DH=OA,推出CQ= BQ,得出∠CBQ=45°,推出△HCN为等腰直角三角形即可.
【详解】解:(1)∵∠ADC=90°,DE平分∠ADC,
∴∠ABE=∠ADE=45〫
∴ΔABC是半直角三角形
(2))∵OM⊥AB,OA=OB,
∴AD=BD,
∴∠DAB=∠DBA,
∵∠DEB=∠DAB,
∴∠DBA=∠DEB,
∵D、B、A、E四点共圆,
∴∠DBA+∠DEA=180°,
∵∠DEB+∠DEC=180°,
∴∠DEA=∠DEC;
(3))①如图,连接AM,ME,设⊙M的半径为r,
∵点D的坐标为(0,8)∴OM=8-r
由得解得r=5 ∴⊙M 的半径为5
∵∠ABE=45°
∴∠EMA=2∠ABE=90°,
∴EA2=MA2+ME2=52+52=50
∴
(4)不变,为
过点C作CH⊥DO于H,过点C作CQ⊥BA于Q,
∵∠CDH+∠ODA=90°,∠CDH+∠CDH=90°,
∴∠ODA=∠CDA,
在△HDC和△ADO中,
∴Rt△HDC≌Rt△ADO(AAS),
∴HC=OD,DH=OA,
又∵BO=AO,
∴HO=DH+DO=OB+CH,
而CH=OQ,HO=CQ,
∴CQ=OB+OQ=BQ,
∴∠CBQ=45°,
又∵CH∥BA,
∴∠HCN=45°,
∴△HCN为等腰直角三角形,
∴
∴=
【点睛】本题考查圆综合题、圆的有关性质、等腰直角三角形的性质,三角形全等的性质和判定,等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题,学会设未知数列方程解决问题,属于中考压轴题.
8.(1)见解析;(2)见解析;(3)1
【分析】(1)由等边三角形的性质及旋转的性质可证明,从而可得结论;
(2)过点作,交的延长线于点,易得GC=CE证明即可解决;
(3)连接,则由等边三角形三线合一的性质可得AF⊥BC,从而有点,点,点,点四点在以为直径的圆上,则当EF是圆的直径时最长,从而可求得此时EF的值.
【详解】(1)将线段绕点逆时针旋转得到线段,
,
是等边三角形
为等边三角形
,
,且,
(2)如图,过点作,交的延长线于点,
,
,
,
,
,且,
点是中点
(3)如图,连接,
是等边三角形,
点,点,点,点四点在以为直径的圆上,
最大为直径,
即最大值为1
【点睛】本题是三角形的综合题,考查了等边三角形的性质,旋转的性质,全等三角形的判定与性质,圆的性质等知识,熟练掌握这些知识并灵活运用是关键.
中考数学几何模型专项复习 模型36 圆——四点共圆模型-(原卷版+解析): 这是一份中考数学几何模型专项复习 模型36 圆——四点共圆模型-(原卷版+解析),共17页。
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