中考数学专项训练（26）专题　隐圆模型－－－－－定点定长含解析答案

中考数学专项训练（26）专题 　隐圆模型－－－－－定点定长

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一、填空题

1．如图，已知⊙C的半径为3，圆外一点O满足OC＝5，点P为⊙C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA＝OB，∠APB＝90°，l不经过点C，则AB的最小值为     ．

2．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将沿MN所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是     ．

二、解答题

3．如图，已知OC＝3，点A、B分别是平面内的动点，且OA＝2，BC＝4，请在平面内画出点A、B的运动轨迹．

4．如图，已知四边形ABCD是矩形，，，若，且点E在矩形ABCD的内部，求∠ABE的取值范围．

5．如图，已知等边△ABC 的边长为8，点 P 是 AB 边上的一个动点（与点 A、B 不重合）．直线 l 是经过点 P 的一条直线，把△ABC 沿直线 l 折叠，点 B 的对应点是点B'．当 PB＝6 时，在直线 l 变化过程中，求△ACB'面积的最大值．

6．如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c.

（1）求线段BG的长；

（2）求证：DG平分∠EDF;

（3）连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG.

参考答案：

1．4．

【详解】解：如图，连接OP，OC，PC，则有OP≥OC－PC．

当O、P、C三点共线时，OP=OC－PC．

∵∠APB=90°，OA=OB，

∴点P在以AB为直径的圆上，

∴⊙O与⊙C相切时，OP取到最小值．

设⊙O与⊙C的切点为P′，则OP′=OC－CP′=2，

∴此时AB=2OP′=4．

故答案为4．

2．

【分析】根据题意，在点N的运动过程中，点在以M为圆心、AD为直径的圆上的上运动，当取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、、C三点共线，得出的位置，进而利用勾股定理进行求解即可．

【详解】解：如图所示：

∵、MC是定值，当在MC上时，长度取最小值，

过点M作MF⊥DC于点F，

∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M为AD中点，

∴2MD＝AD＝CD＝2，∠FDM＝60°，

∴AM=MD=MA′=1，∠FMD＝30°，

∴，

∴，CF=CD+DF=

∴，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题考查翻折变换、菱形的性质、锐角三角函数、折叠的性质．找到当点A′在MC上时A′C 的长度最小是本题的关键．

3．见解析

【分析】分别以、为圆心，、为半径作圆即可得．

【详解】如解图，点的运动轨迹为，点的运动轨迹为.

【点睛】本题考查圆的定义，掌握由圆的定义进行作图是解题的关键.

4．

【分析】以为圆心，为半径作弧，由此得出的取值范围．

【详解】

如图所示，以为圆心，为半径作弧，

当与相切时，最大，即最小，此时，

，

，

，

点在矩形内，

，

．

【点睛】本题考查圆的切线问题，由题作出图形是解题的关键．

5．

【分析】如图，过点作，当，，共线时，的面积最大，求出的长即可解决问题．

【详解】解：如图，过点P作PH⊥AC，

由题可得，在以为圆心，半径长为6的圆上运动，

当的延长线交圆于点时面积最大，

在中，，，

，

是等边三角形，

，

，，

，

的最大值为．

【点睛】本题考查圆与三角形综合问题，根据题意构造出图形是解题的关键．

6．（1）；（2）见解析；（3）见解析

【分析】（1）由△BDG与四边形ACDG的周长相等与D、E、F分别为三边的中点，易得BG=AC+AG，又由BG=AB－AG即可得BG=．

（2）由点D、F分别是BC、AB的中点，利用三角形中位线的性质，易得DF=FG，又由DE∥AB，即可求得∠FDG=∠EDG．

（3）由△BDG与△DFG相似和（2）得DG=BD=CD，可得B、G、C三点在以BC为直径的圆周上，由圆周角定理，即可得BG⊥C．

【详解】（1）∵D、C、F分别是△ABC三边中点，

∴DEAB，DFAC．

又∵△BDG与四边形ACDG周长相等，即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG，

∴BG=AC+AG．

∵BG=AB－AG，

∴BG=．

（2）证明：BG=，FG=BG－BF=，

∴FG=DF．

∴∠FDG=∠FGD．

又∵DE∥AB，

∴∠EDG=∠FGD．

∴∠FDG=∠EDG．

∴DG平分∠EDF．

（3）在△DFG中，∠FDG=∠FGD，

∴△DFG是等腰三角形．

∵△BDG与△DFG相似，

∴△BDG是等腰三角形．

∴∠B=∠BGD．

∴BD=DG．

∴CD= BD=DG．

∴B、G、C三点共圆．

∴∠BGC=90°．

∴BG⊥CG．