北师大版数学九年级上册第1章特殊平行四边形（单元测试培优卷）含解析答案

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第1章 特殊平行四边形（单元测试�培优卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．如图，在四边形中，，，且，则下列说法错误的是（    ）

A．四边形是平行四边形 B．
C．平分 D．若，则四边形的面积为48
2．四边形中，，点P，Q是对角线BD上不同的两点，若四边形是菱形，则下列说法中不正确的是 （    ）
A． B． C． D．
3．如图，矩形的对角线，交于点，若，，则（   ）

A．6 B．8 C． D．
4．下列四个命题中正确的是（    ）
A．对角线相等的平行四边形是正方形 B．有两边相等的平行四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是矩形
5．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D为AB的中点，点E在边BC（包括点B、C）上，将△BDE沿着直线DE翻折得到△B′DE，设∠BDE为α，当α为（      ）度时，以点A、C、B′、D为顶点的四边形为菱形．

A．60° B．30° C．30°或120° D．45°或60°
6．如图，四边形中，，．点从点A出发，以的速度向点D运动；点从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒，下列结论错误的是（    ）
  
A．当时， B．当时，
C．当或时， D．当时，四边形的最大面积为
7．如图，点E、F分别为矩形边、上的两点，连接、相交于点G，且，连接，则下列结论一定正确的是（      ）
  
A． B． C． D．平分
8．矩形与正方形的形状有差异，我们将矩形与正方形的接近程度称为矩形的“接近度”，已知矩形的对角线，相交于点O，我们将矩形的“接近度”定义为，若时，则矩形的“接近度”为（    ）

A． B． C． D．
9．边长为的正方形中，点E、F是对角线、上的两点，、的延长线交于点M．若，，则（    ）
  
A． B． C． D．2
10．如图，四边形是边长为的正方形，曲线是由多段的圆心角所对的弧组成的，的圆心为A，半径为，的圆心为B，半径为，的圆心为C，半径为，的圆心为D，半径为的圆心依次为循环，则弧的长是（    ）
  
A． B． C． D．

二、填空题
11．如图，在菱形中，对角线，交于点，于点，，，则的长为

12．如图，在平面直角坐标系中，的斜边在第一象限，过点A作轴于点B，若，，点E为的中点，则 ．
  
13．如图，在边长为4cm的正方形中，点Q是边的中点，点P是边上的一点，连接，且，则线段的长为 cm．

14．如图，已知平面直角坐标系中有一点，且一次函数与x轴相交于点B，与y轴相交于点C，在直线上存在一动点M，连接，，当点M运动到最短时，的长度是 ．

15．如图，将一副三角板放置在盒子中，已知的斜边恰好与盒子的长度相等，可以左右移动，，则线段的长度的取值范围是 ．
  

16．如图，平行四边形的活动框架，当时，面积为，将从扭动到，则四边形面积为 ．
  
17．如图，在矩形中，是边上的中点，是边上的一动点．连接，特沿折叠，点的对应点为点，连接．当为直角三角形时，的长为 ．
  
18．如图，边长为2的正方形的对角线相交于点O，点E是边上的动点，连接并延长交的延长线于点P，过点O作交于点F，交延长线于点Q，连接．若点恰好是中点时，则 ．


三、解答题
19．如图，四边形为平行四边形，对角线和交于点O，E是延长线上的动点，点F在上，连接，满足．

(1)求作点F；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)连接，在点E的运动过程中，是否存在四边形为菱形的情形？若存在，探究平行四边形的边与角需满足的条件，并说明此时点E的位置；若不存在，请说明理由．
20．如图，和是不全等的等边三角形，过点作交的延长线于点，连接，延长交的延长线于点．
  
(1)求证：；
(2)若，求证：；
(3)若是直角三角形，试求的值．
21．如图，已知四边形为菱形，点B在x轴上，过点C的直线交x轴于点D．其中直线的解析式为，点B的坐标为，连接交x轴于点E．
  
(1)求的长；
(2)点P为x轴下方直线上一点，若的面积为菱形的面积一半，求点P的坐标．
22．在正方形中，P是边上一动点（不与点B、C重合）连接．
  
(1)如图①，过点B作垂足为点O，交于点Q，求证：；
(2)如图②，E是上的一点，过点E作，分别交于点M，N．求证：．
23．在四边形中，，，．
  
(1)如图1，求证：四边形是矩形；
(2)如图2，点E为矩形内一点，，连接，点F为的中点，连接，，求证：垂直平分；
(3)如图3，在（2）的条件下，与交于点G，连接，若的面积为，，求三角形的面积．
24．如图 ，点 是正方形 的对角线 上一动点，连接 ，过 作 交 于点 ．
  
(1)求证：；小明给出的思路为：过点 作 的平行线，分别交 于 ，请完善小明的证明过程；
(2)若正方形 的边长为 ，当 时，求 的长度；
(3)探索，如图 ，在平面直角坐标系中，点 坐标 ，点 坐标 ，在平面直角坐标系中找一点 ，使得 为等腰直角三角形，且 ，直接写出点 的坐标．

参考答案：
1．D
【分析】根据平行四边形判定可知A正确；根据菱形判定与性质可知B正确；根据菱形性质可知C正确；根据菱形面积公式，由对角线长为可知D错误，从而得到答案
【详解】解：A、在四边形中，，，
四边形是平行四边形，该选项正确，不符合题意；
B、四边形是平行四边形，且，
是菱形，
，该选项正确，不符合题意；
C、是菱形，
平分，该选项正确，不符合题意；
D、是菱形，若，
四边形的面积为，该选项错误，符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查平行四边形的判定、菱形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定、菱形的判定与性质及菱形面积公式是解决问题的关键．
2．D
【分析】连接AC，由平行线的性质和菱形的性质易证，即可证明四边形ABCD是平行四边形．再由，即证明平行四边形ABCD是菱形．根据其性质逐项判断即可．
【详解】如图，连接AC，
∵，
∴，．
∵四边形APCQ是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴AD=BC，，故A正确，不符合题意．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵，
∴平行四边形ABCD是菱形．
∴，，故B、C正确，不符合题意．
∵当AP=BP时，，
∴D选项不一定成立，故该选项符合题意．

故选D．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的性质．作出辅助线是解答本题的关键．
3．C
【分析】根据矩形的性质，易证是等边三角形，得到，再根据三角形内角和定理，求得，进而得到，最后利用勾股定理，即可求出的长．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
在中，，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，30度角所对的直角边等于斜边一半，勾股定理，灵活运用相关知识点解决问题是解题关键．
4．C
【分析】根据正方形、矩形、菱形的判定定理逐项判定即可．
【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故A选项错误；
B、邻边相等的平行四边形是菱形，故B选项错误；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项正确；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识、正方形、矩形、菱形的判定等知识点，掌握平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法是解题的关键．
5．C
【分析】分为菱形点对角线，菱形的边长两种情况讨论即可
【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D为AB的中点，
∴，
是等边三角形
折叠

①如图，当为菱形的边长时，


，则

②当为菱形的对角线时，此时与重合，如图

同理可得，则
故选C
【点睛】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，折叠的性质，确定是等边三角形是解题的关键．
6．C
【分析】根据点、点的速度及、的长，分别用表示出、、、的长，根据值，利用平行四边形及矩形的判定定理可判断、选项正确，利用选项的结论、矩形的性质及勾股定理可判断选项错误，根据梯形的面积公式及一次函数的性质可判断选项正确，即可得答案．
【详解】∵点的速度为，点的速度为，，
∴，，，，
当时，，，
∴，
∵，即，
∴四边形是平行四边形，
∴，故选项正确，不符合题意，
如图，过点作于，
  
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
当时，，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，故选项正确，不符合题意，
由选项可知：当时，四边形是平行四边形，
∴，
如图，当时，过点作于，
  
∴，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，故选项错误，符合题意，
∵，，
∴，
，，
∵其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，
∴，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，四边形的面积最大，最大面积为，故选项正确，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查四边形中的动点问题、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理及一次函数的性质，正确表示出各线段的长，熟练掌握平行四边形、矩形的判定定理及一次函数的性质是解题关键．
7．D
【分析】根据全等三角形的判定和性质分析推理A，B，C，根据面积法和角平分线的判定分析推理D．
【详解】解：在矩形中，，但，
∴即便也无法证明Rt与Rt全等，
∴无法证明，故选项A不符合题意；
无法证明，
∴无法证明，故选项B不符合题意；
连接，
  
仅有，，无法证明与全等，
∴无法证明，故选项C不符合题意；
过点D作，，连接，
  
在矩形中，，
∴，
又∵，
∴，即平分，故选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，掌握相关性质定理，准确添加辅助线是解题关键．
8．B
【分析】作，与交于点E，设，根据矩形的性质，结合已知条件得出，求出，最后求出即可．
【详解】解：作，与交于点E，如图所示：

则，设，
∵四边形为矩形，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握等腰三角形的性质和判定．
9．B
【分析】当点在线段上时，如图，过点作于，过点作交的延长线于，连接．求出，，可得结论．
【详解】解：如图，过点作于，过点作交的延长线于，连接．
  
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
，
，
∴点F到的距离和点F到的距离相等，
设中边上的高为，
∵，且，
，
．
故选B．
【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题解决问题，属于中考常考题型．
10．A
【分析】根据正方形的性质及圆的基本性质可知曲线是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径加，进而可得弧的半径为即可解答．
【详解】解：∵四边形是边长为的正方形，
∴，
∴，
∴弧所对的半径为，
∴，
∴弧所对的半径为，
同理可知：弧的所对的半径为，弧的所对的半径为，
∴曲线是由一段段度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径加，
∴弧的半径为，弧的半径为，弧的半径为，
∴弧的半径为,
∴弧的半径为,
∴弧的长为，
故选；
【点睛】本题考查了正方形的性质，圆的基本性质，弧长公式，图形变化类问题，掌握正方形的性质及圆的基本性质是解题的关键．
11．
【分析】根据菱形的性质可知，，，，再根据勾股定理，最后利用菱形的面积即可解答．
【详解】解：∵在菱形中，
∴，，，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，菱形的面积，掌握菱形的性质是解题的关键．
12．
【分析】先根据勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可．
【详解】解：∵轴，
∴．
∵，，
∴．
∵点E是的斜边的中点，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出是解答本题的关键．
13．
【分析】根据正方形的性质证明，可得cm，，进而由勾股定理可求解．
【详解】解：如图，延长交于点H，

设cm，
∵四边形是正方形，
∴cm，，
∵点Q是边的中点，
∴cm，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴cm，
∵，
∴cm，
∴cm，
∵，
∴，
∴或（舍），
∴cm，
故答案为：．

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
14．
【分析】连接，由可知，当O，M，A三点共线时最短，即此时最短，然后分别求出和的长即可．
【详解】解：连接，交于点．
∵，
∴当O，M，A三点共线时最短，即此时最短．
当时，，
当时，，即，
∴，
∴．
∴，
∴点A在的角平分线上，，
∴，
∴．
故答案为：．

【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形三条边的关系，勾股定理，坐标与图形的性质，判断出当O，M，A三点共线时最短，即此时最短是解答本题的关键．
15．
【分析】依题意可知，当点B与点E重合时，线段的长度最小；当点A与点F重合时，线段的长度最大，分别求出两个最值即可得解．
【详解】解：将矩形盒子作如下标记∶
  
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
又∵，
∴，，
在中，，，，
设，则，
∵，即
解得：
∴，
∴
依题意得：当点B与点E重合时，的长度最小，作图如下：
  
∵，，
∴
∴，
∴
即
当点A与点F重合时，线段的长度最大，作图如下：
  
同理可得：
∴
即
综上所示：线段的长度的取值范围是：
【点睛】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，正确找出取最值得情况是解题的关键．
16．
【分析】根据题意可得，，作，交于点，则，从而即可得到．
【详解】解：当时，面积为，
，
将从扭动到，
，
作，交于点，如图所示，
  ，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，含有角的直角三角形的性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
17．5或
【分析】根据直角的不同可分两种情况讨论：①当时，则，根据折叠的性质和矩形的性质可推出，以此得到，即可求解；②当时，可得M，E，C三点共线，设，则，根据勾股定理可得，则，再根据勾股定理，列出方程，求解即可．
【详解】解：①如图，当时，
  
∴，
根据折叠的性质可知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如图，当时，
  
根据折叠的性质可知，，，，
∴M，E，C三点共线，
设，则，
在中，
，
∴，
在中，
由勾股定理得，
即，
解得：，
∴；
综上，的长为5或．
故答案为：5或．
【点睛】本题考查翻折变换、勾股定理、矩形的性质，解题关键是根据题意对不同的直角进行分情况讨论，再分别利用勾股定理和翻折的性质解答．
18．
【分析】作于H，由正方形的性质可以证明得到，因此是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质及直角三角形斜边上中线等于斜边的一半求出，的长，由勾股定理求出的长，即可得到的长．
【详解】解：作于，连接，

∵四边形是正方形，
∴和是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，点是中点
∴，，，
∴，则，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，关键是证明，得到是等腰直角三角形．
19．(1)见解析
(2)在点E的运动过程中，存在四边形为菱形的情形，平行四边形的边满足，角满足°时，当四边形为菱形，此时点E在延长线上且

【分析】（1）根据得到，故过点C作即可．
（2）根据菱形的判定和性质，勾股定理计算即可．
【详解】（1）如图，

则点F即为所求.
（2）在点E的运动过程中，存在四边形为菱形的情形，平行四边形的边满足，角满足°时，当四边形为菱形，此时点E在延长线上且.理由如下：
∵，
∴在中， ，
∴，即是直角三角形．
∵四边形为平行四边形，对角线和交于点O，
∴．    
∵四边形为菱形，
则．
∵在F中，O是中点，

∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴．
∵，
在中，，
∴，
∴．
由上可知，都为等边三角形，
∴，
∴，
∴.
∴在点E的运动过程中，存在四边形为菱形的情形，平行四边形的边满足，角满足°时，当四边形为菱形，此时点E在延长线上且.
【点睛】本题考查了尺规作图，勾股定理及其逆定理，平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的判定，熟练掌握勾股定理及其逆定理，平行四边形的性质，菱形的性质是解题的关键.
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)

【分析】（1）证明四边形是平行四边形，推出，即，利用即可证明；
（2）利用四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，即可证明结论成立；
（3）证明四边形是矩形，推出是含30度角的直角三角形，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形，
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，，
∴；
（2）证明：由（1）得四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（3）解：是直角三角形，则只有，
由（1）得四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
∴是直角三角形，
由（1）得，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，证明四边形是平行四边形是解题的关键．
21．(1)
(2)点的坐标为

【分析】（1）首先根据菱形的性质得到，，，然后由得到点的横坐标为1，代入求解即可；
（2）过点作轴于点，首先求出，然后根据的面积为菱形的面积一半列方程求出，然后得到点的纵坐标为，代入求解即可．
【详解】（1）∵OABC四边形为菱形
∴，，
∵，
∴
∴，即点的横坐标为1
将代入中，得：
∴点的坐标为，
∴；
（2）如图，过点作轴于点
  
将代入中，得：
∴点的坐标为
∴
∴

∵
又∵
∴，解得：
∵点在第三象限
∴点的纵坐标为．
将代入中，得：
∴点的坐标为
【点睛】此题考查了一次函数和几何综合题，菱形的性质，坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
22．(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）四边形是正方形，则，，由得到，利用同角的余角相等即可得到，利用即可证明；
（2）过点N作于点Q，则，由四边形是正方形得到，，即可证明四边形是矩形，则，得到，由得到，根据证明，即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵垂足为点O，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：过点N作于点Q，则，
  
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵,，
∴，
∴．
【点睛】此考查了正方形性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)

【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明即可证明结论；
（2）先证明点F在线段的垂直平分线上可得，再说明即可证明结论；
（3）如图：过点D作垂直交的延长线于点M，过点A作垂直交的延长线于点H，的延长线交于点N.先证明可得、进而得到，进而再证可得、，根据的面积为可得，再运用勾股定理可得、，，再证明，最后运用三角形的面积公式求得三角形的面积．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵，点F为的中点.
∴，
∴点F在线段的垂直平分线上，
∵，设，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点D在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分．
（3）解：如图：过点D作垂直交的延长线于点M，过点A作垂直交的延长线于点H，的延长线交于点N.
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵的面积为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，
在中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，，，
∵，，，
∴，
∵三角形的面积为，
∴三角形的面积为．
  
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识并掌握数形结合思想是解答本题的关键
24．(1)见解析
(2)
(3) 或

【分析】（1）由 是等腰直角三角形，四边形 是矩形，可得，等量代换得，再证明即可；
（2）连接 ，先证明连接 ，由三线合一得，从而，再证明 是等腰直角三角形，然后利用勾股定理即可求解；
（3）分两种情况画出图形求解即可．
【详解】（1） 四边形 是正方形，
，，，
，
，
是等腰直角三角形，四边形 是矩形，
，
，
，
，
在 和 中，

，
．
（2）连接 ，如图 所示：
  
由（）得：，四边形 是矩形，
，
由正方形的对称性得：，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
．
（3）过点作轴于点E，作于点F，设．
∵点 坐标 ，点 坐标 ，
∴，，，．
由（1）可知，，
∴，
∴，
解得，
∴；
同理可求：．
  
综上可知，点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，坐标与图形的性质等知识，熟练掌握“一线三垂直”模型是解答本题的关键．