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第三章 位置与坐标（压轴精选33题）-2023-2024学年八年级数学上册《重难点题型•高分突破》（北师大版）
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这是一份第三章 位置与坐标（压轴精选33题）-2023-2024学年八年级数学上册《重难点题型•高分突破》（北师大版），文件包含第三章位置与坐标压轴精选33题原卷版docx、第三章位置与坐标压轴精选33题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共51页， 欢迎下载使用。
第3单元 位置与坐标压轴精选33题
一．选择题（共2小题）
1．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m，n），规定以下两种变换：
①f（m，n）＝（m，﹣n），如f（2，1）＝（2，﹣1）；
②g（m，n）＝（﹣m，﹣n），如g（2，1）＝（﹣2，﹣1）．
按照以上变换有：f[g（3，4）]＝f（﹣3，﹣4）＝（﹣3，4），那么g[f（﹣3，2）]等于（ ）
A．（3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣3，2） D．（﹣3，﹣2）
【答案】A
【解答】解：∵f（﹣3，2）＝（﹣3，﹣2），
∴g[f（﹣3，2）]＝g（﹣3，﹣2）＝（3，2），
故选：A．
2．如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2）．把一条长为2012个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A﹣…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2）
【答案】B
【解答】解：∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），
∴AB＝1﹣（﹣1）＝2，BC＝1﹣（﹣2）＝3，CD＝1﹣（﹣1）＝2，DA＝1﹣（﹣2）＝3，
∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3＝10，
2012÷10＝201…2，
∴细线另一端在绕四边形第202圈的第2个单位长度的位置，
即点B的位置，点的坐标为（﹣1，1）．
故选：B．
二．填空题（共9小题）
3．设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳动1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方案共有 5 种．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：共有如下方案：
①可先向负方向跳动一次再连续向正方向跳动4次；
②向正方向跳动1次，再向负方向跳动1次，再向正方向跳动3次；
③向正方向跳动2次后，再向负方向跳动1次，再向正方向跳动2；
④向正方向跳动3次后，再向负方向跳动1次，再向正方向跳动1次；
⑤向正方向跳动4次后，再向负方向跳动1次．
∴质点不同的运动方案共有5种．故答案填：5．
4．如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3m，到达A1点，再向正北走6m到达A2点，再向正西走9m到达A3点，再向正南走12m，到达A4点，再向正东方向走15m到达A5点，按如此规律走下去，当机器人走到A6点时，A6点的坐标是 （9，12） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：依题意得A1点坐标为（3，0），
A2点坐标为（3，0+6）即（3，6），
A3点坐标为（3﹣9，6）即（﹣6，6），
A4点坐标为（﹣6，6﹣12）即（﹣6，﹣6），
A5点坐标为（﹣6+15，﹣6）即（9，﹣6），
∴A6点坐标为（9，12）．
5．如图，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A′OB′．若点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为 （﹣b，a） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由图易知A′B′＝AB＝b，OB′＝OB＝a，∠A′B′O＝∠ABO＝90°，
∵点A'在第二象限，
∴A'的坐标为（﹣b，a）．
6．一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是 （5，0） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：质点运动的速度是每秒运动一个单位长度，（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）用的秒数分别是1秒，2秒，3秒，到（2，0）用4秒，到（2，2）用6秒，到（0，2）用8秒，到（0，3）用9秒，到（3，3）用12秒，到（4，0）用16秒，依此类推，到（5，0）用35秒．
故第35秒时质点所在位置的坐标是（5，0）．
7．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，2）表示实数9，则表示实数17的有序实数对是 （6，5） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：观察图表可知：每排的数字个数就是排数；且奇数排从左到右，从小到大，而偶数排从左到右，从大到小．
实数15＝1+2+3+4+5，
则17在第6排，第5个位置，即其坐标为（6，5）．
故答案为：（6，5）．
8．如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3米到达A1点，再向正北方向走6米到达A2点，再向正西方向走9米到达A3点，再向正南方向走12米到达A4点，再向正东方向走15米到达A5点、按如此规律走下去，当机器人走到A6点时，离O点的距离是 15 米．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意可知：OA1＝3；A1A2＝3×2；A2A3＝3×3；可得规律：An﹣1An＝3n，
当机器人走到A6点时，A5A6＝18米，点A6的坐标是（9，12）；
所以当机器人走到A6点时，离O点的距离是＝15米．
故答案为：15．
9．如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，…，（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1，A2，A3，A4；A5，A6，A7，A8；A9，A10，A11，A12；…）的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6…，则顶点A20的坐标为 （5，﹣5） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵＝5，
∴A20在第四象限，
∵A4所在正方形的边长为2，
A4的坐标为（1，﹣1），
同理可得：A8的坐标为（2，﹣2），A12的坐标为（3，﹣3），
∴A20的坐标为（5，﹣5），
故答案为：（5，﹣5）．
10．如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1（﹣1，1），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），…，依此规律跳动下去，点A第100次跳动至点A100的坐标是 （51，50） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），
第4次跳动至点的坐标是（3，2），
第6次跳动至点的坐标是（4，3），
第8次跳动至点的坐标是（5，4），
…
第2n次跳动至点的坐标是（n+1，n），
∴第100次跳动至点的坐标是（51，50）．
故答案为：（51，50）．
11．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2013次运动后，动点P的坐标是 （2013，1） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），
第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），
∴第4次运动到点（4，0），第5次接着运动到点（5，1），…，
∴横坐标为运动次数，经过第2013次运动后，动点P的横坐标为2013，
纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮，
∴经过第2013次运动后，动点P的纵坐标为：2013÷4＝503余1，
故纵坐标为四个数中第一个，即为1，
∴经过第2013次运动后，动点P的坐标是：（2013，1），
故答案为：（2013，1）．
三．解答题（共22小题）
12．如图，奥运福娃在5×5的方格（每小格边长为1m）上沿着网格线运动．贝贝从A处出发去寻找B、C、D处的其它福娃，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A⇒B（+1，+4），从B到A记为：B⇒A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中
（1）A⇒C（ 3 ， 4 ），B⇒C（ 2 ， 0 ），C⇒ A （﹣3，﹣4）；
（2）若贝贝的行走路线为A⇒B⇒C⇒D，请计算贝贝走过的路程；
（3）若贝贝从A处去寻找妮妮的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出妮妮的位置E点；
（4）在（3）中贝贝若每走1m需消耗1.5焦耳的能量，则贝贝寻找妮妮过程中共需消耗多少焦耳的能量？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）（+3，+4），（+2，0），A；
（2）贝贝走过的路程A→B→C→D，即5+2+2+1＝10；
（3）如图所示：E点即为所求．
（4）在（3）中，贝贝走过的路程为2+2+2+1+2+3+1+2＝15，
且1m需消耗1.5焦耳的能量，则共需消耗15×1.5＝22.5焦耳的能量．
13．在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．
（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，0），B（﹣1，0），C（﹣1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；
（2）如果点P的坐标是（﹣a，0），其中a＞0，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）△A2B2C2的三个顶点的坐标分别是A2（4，0），B2（5，0），C2（5，2）；
（2）如图1，当0＜a≤3时，∵P与P1关于y轴对称，P（﹣a，0），
∴P1（a，0），
又∵P1与P2关于l：直线x＝3对称，
设P2（x，0），可得：＝3，即x＝6﹣a，
∴P2（6﹣a，0），
则PP2＝6﹣a﹣（﹣a）＝6﹣a+a＝6．
如图2，当a＞3时，
∵P与P1关于y轴对称，P（﹣a，0），
∴P1（a，0），
又∵P1与P2关于l：直线x＝3对称，
设P2（x，0），可得：＝3，即x＝6﹣a，
∴P2（6﹣a，0），
则PP2＝6﹣a﹣（﹣a）＝6﹣a+a＝6．
14．如图所示，在直角坐标系中，四边形ABCD各个顶点的坐标分别是A（0，0），B（3，6），C（14，8），D（16，0），确定这个四边形的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：分别过B、C作x轴的垂线BE、CG，垂足为E，G．
所以SABCD＝S△ABE+S梯形BEGC+S△CGD＝×3×6+×（6+8）×11+×2×8＝94．
15．如图：在直角坐标系中，第一次将△AOB变换成△OA1B1，第二次将三角形变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2，变换成△OA3B3，已知A（1，3），A1（3，3），A2（5，3），A3（7，3）；B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．
（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标是 （9，3） ，B4的坐标是 （32，0） ．
（2）若按（1）找到的规律将△OAB进行了n次变换，得到△OAnBn，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测An的坐标是 （2n+1，3） ，Bn的坐标是 （2n+1，0） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）已知A（1，3），A1（3，3），A2（5，3），A3（7，3）；
对于A1，A2，An坐标找规律比较从而发现An的横坐标为2n+1，而纵坐标都是3；
同理B1，B2，Bn也一样找规律，规律为Bn的横坐标为2n+1，纵坐标为0．
由上规律可知：（1）A4的坐标是（9，3），B4的坐标是（32，0）；
（2）An的坐标是（2n+1，3），Bn的坐标是（2n+1，0）
16．如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a，b满足|a+2|+＝0，点C的坐标为（0，3）．
（1）求a，b的值及S△ABC；
（2）若点M在x轴上，且S△ACM＝S△ABC，试求点M的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵|a+2|+＝0，
∴a+2＝0，b﹣4＝0，
∴a＝﹣2，b＝4，
∴点A（﹣2，0），点B（4，0）．
又∵点C（0，3），
∴AB＝|﹣2﹣4|＝6，CO＝3，
∴S△ABC＝AB•CO＝×6×3＝9．
（2）设点M的坐标为（x，0），则AM＝|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，
又∵S△ACM＝S△ABC，
∴AM•OC＝×9，
∴|x+2|×3＝3，
∴|x+2|＝2，
即x+2＝±2，
解得：x＝0或﹣4，
故点M的坐标为（0，0）或（﹣4，0）．
17．如图在直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0）C（3，c）三点，若a，b，c满足关系式：|a﹣2|+（b﹣3）2+＝0．
（1）求a，b，c的值．
（2）求四边形AOBC的面积．
（3）是否存在点P（x，﹣x），使△AOP的面积为四边形AOBC的面积的两倍？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵|a﹣2|+（b﹣3）2+＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，c﹣4＝0，
∴a＝2，b＝3，c＝4；
（2）∵A（0，2），O（0，0），B（3，0），C（3，4）；
∴四边形AOBC为直角梯形，且OA＝2，BC＝4，OB＝3，
∴四边形AOBC的面积＝×（OA+BC）×OB＝×（2+4）×3＝9；
（3）设存在点P（x，﹣x），使△AOP的面积为四边形AOBC的面积的两倍．
∵△AOP的面积＝×2×|x|＝|x|，
∴|x|＝2×9，
∴x＝±18
∴存在点P（18，﹣9）或（﹣18，9），
使△AOP的面积为四边形AOBC的面积的两倍．
18．如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC、OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足+|b﹣2|＝0．
（1）则C点的坐标为 （2，0） ；A点的坐标为 （0，4） ．
（2）已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点Q到达A点整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是（1，2），设运动时间为t（t＞0）秒．问：是否存在这样的t，使S△ODP＝S△ODQ？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由
（3）点F是线段AC上一点，满足∠FOC＝∠FCO，点G是第二象限中一点，连OG，使得∠AOG＝∠AOF．点E是线段OA上一动点，连CE交OF于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵+|b﹣2|＝0，
∴a﹣2b＝0，b﹣2＝0，
解得a＝4，b＝2，
∴A（0，4），C（2，0）；
（2）由条件可知：P点从C点运动到O点时间为2秒，Q点从O点运动到A点时间为2秒，
∴0＜t≤2时，点Q在线段AO上，
即 CP＝t，OP＝2﹣t，OQ＝2t，AQ＝4﹣2t，
∴，，
∵S△ODP＝S△ODQ，
∴2﹣t＝t，
∴t＝1；
（3）的值不变，其值为2．
∵∠2+∠3＝90°，
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠FCO，
∴∠GOC+∠ACO＝180°，
∴OG∥AC，
∴∠1＝∠CAO，
∴∠OEC＝∠CAO+∠4＝∠1+∠4，
如图，过H点作AC的平行线，交x轴于P，则∠4＝∠PHC，PH∥OG，
∴∠PHO＝∠GOF＝∠1+∠2，
∴∠OHC＝∠OHP+∠PHC＝∠GOF+∠4＝∠1+∠2+∠4，
∴．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知A，B，C三点的坐标分别为（0，a）（b，0）（b，c）（如图所示），其中a，b，c满足关系式（a﹣2）2+＝0，|c﹣4|≤0．
（1）求a，b，c的值；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，1），请用含m的代数式表示△AOP的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使△AOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵（a﹣2）2+＝0，
∴a＝2，b＝3，
∵|c﹣4|≤0，
∴c＝4；
（2）由（1）得A（0，2），
∵点P（m，1）在第二象限，
∴P到线段AO的距离为|m|，
∴S△AOP＝×2•|m|＝|m|，
∵m＜0，
∴S△AOP＝﹣m；
（3）存在点P（﹣6，1），使△AOP的面积与△ABC的面积相等，
理由如下：由（1）得，B（3，0），C（3，4），
∴|BC|＝4，点A到BC的距离为3，
∴S△ABC＝×3×4＝6，
∵△AOP的面积与△ABC的面积相等，
∴﹣m＝6，解得m＝﹣6，
∴存在点P（﹣6，1），使△AOP的面积与△ABC的面积相等．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），其中a，b满足|a﹣2|+（b﹣3）2＝0．
（1）求a，b的值；
（2）如果在第二象限内有一点M（m，1），请用含m的式子表示四边形ABOM的面积；
（3）在（2）条件下，当m＝﹣时，在坐标轴的负半轴上是否存在点N，使得四边形ABOM的面积与△ABN的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵a，b满足|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，
解得a＝2，b＝3．
故a的值是2，b的值是3；
（2）过点M作MN⊥y轴于点N．
四边形AMOB面积＝S△AMO+S△AOB
＝MN•OA+OA•OB
＝×（﹣m）×2+×2×3
＝﹣m+3；
（3）当m＝﹣时，四边形ABOM的面积＝4.5．
∴S△ABN＝4.5，
①当N在x轴负半轴上时，
设N（x，0），则
S△ABN＝AO•NB＝×2×（3﹣x）＝4.5，
解得x＝﹣1.5；
②当N在y轴负半轴上时，
设N（0，y），则
S△ABN＝BO•AN＝×3×（2﹣y）＝4.5，
解得y＝﹣1．
∴N（0，﹣1）或N（﹣1.5，0）．
21．如图，已知在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B、C在x轴上，S△ABO＝8，OA＝OB，BC＝10，点P的坐标是（﹣6，a），
（1）求△ABC三个顶点A、B、C的坐标；
（2）连接PA、PB，并用含字母a的式子表示△PAB的面积（a≠2）；
（3）在（2）问的条件下，是否存在点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵S△ABO＝OA•OB，
∵OA＝OB，
∴OA2＝8，解得OA＝4，
∴OB＝OA＝4，
∴OC＝BC﹣OB＝10﹣4＝6，
∴A（0，﹣4），B（﹣4，0），C（6，0）；
（2）当点P在第二象限，直线AB的上方，即a＞2，作PH⊥y轴于H，如图，
S△PAB＝S△AOB+S梯形BOHP﹣S△PBH＝8+（4+6）•a﹣•6•（a+4）＝2a﹣4；
当点P在直线AB下方，即a＜2，作PH⊥x轴于H，如图，
S△PAB＝S梯形OHPA﹣S△PBH﹣S△OAB＝（﹣a+4）•6﹣•（6﹣4）•（﹣a）﹣8＝4﹣2a；
（3）S△ABC＝×10×4＝20，
当2a﹣4＝20，
解得a＝12．
此时P点坐标为（﹣6，12）；
当4﹣2a＝20，
解得a＝﹣8．
此时P点坐标为（﹣6，﹣8）．
综上所述，点P的坐标为（﹣6，12）或（﹣6，﹣8）．
22．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），C（0，6），点B在第一象限内，点P从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着长方形OABC移动一周（即：沿着O→A→B→C→O的路线移动）．
（1）写出B点的坐标（ （4，6） ）；
（2）当点P移动了4秒时，描出此时P点的位置，并求出点P的坐标；
（3）在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由矩形的性质，得
CB＝OA＝4，AB＝OC＝6，
B（4，6）；
故答案为：（4，6）；
（2）由每秒2个单位长度的速度沿着长方形OABC移动一周（即：沿着O→A→B→C→O的路线移动），
点P移动了4秒，得P点移动了8个单位，即OA+AP＝8，
P点在AB上且距A点4个单位，
P（4，4）；
（3）第一次距x轴5个单位时AP＝5，即OA+AP＝9＝2t，
解得t＝，
第二次距x轴5个单位时，OP＝5，即 OA+AB+BC+CP＝4+6+4+6﹣5＝2t，解得t＝，
综上所述：t＝秒，或t＝秒时，点P到x轴的距离为5个单位长度．
23．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），且满足（a+2）2+＝0，过C作CB⊥x轴于B．
（1）求三角形ABC的面积．
（2）若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，如图2，求∠AED的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：∵（a+2）2+＝0，
∴a+2＝0，b﹣2＝0，
∴a＝﹣2，b＝2，
∵CB⊥AB，
∴A（﹣2，0），B（2，0），C（2，2），
∴AB＝2+2＝4，BC＝2，
∴S△ABC＝AB•BC＝×4×2＝4；
（2）解：∵BD∥AC，
∴∠ABD＝∠BAC，
∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，
∴∠CAE+∠BDE＝（∠BAC+∠BDO）＝（∠ABD+∠BDO）＝×90°＝45°，
过点E作EF∥AC，
则∠CAE＝∠AEF，∠BDE＝∠DEF，
∴∠AED＝∠AEF+∠DEF＝∠CAE+∠BDE＝45°．
24．已知点A（a，0）、B（b，0），且+|b﹣2|＝0．
（1）求a、b的值．
（2）在y轴的正半轴上找一点C，使得三角形ABC的面积是15，求出点C的坐标．
（3）过（2）中的点C作直线MN∥x轴，在直线MN上是否存在点D，使得三角形ACD的面积是三角形ABC面积的？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵（a+4）2+|b﹣2|＝0，
∴a+4＝0，b﹣2＝0，
∴a＝﹣4，b＝2；
（2）如图1，
∵A（﹣4，0）、B（2，0），
∴AB＝6，
∵三角形ABC的面积是15，
∴AB•OC＝15，
∴OC＝5，
∴C（0，5）；
（3）存在，如图2，
∵三角形ABC的面积是15，
∴S△ACD＝CD•OC＝15，
∴CD×5＝×15，
∴CD＝3，
∴D（3，5）或（﹣3，5）．
25．根据题意，解答下列问题：
（1）如图①，已知直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，求线段AB的长；
（2）如图②，类比（1）的求解过程，请你通过构造直角三角形的方法，求出两点M（3，4），N（﹣2，﹣1）之间的距离；
（3）如图③，P1（x1，y1），P2（x1，y2）是平面直角坐标系内的两点．求证：．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：由y＝0，得x＝﹣2，所以点A的坐标为（﹣2，0），故OA＝2．
同理可得OB＝4．
所以在Rt△AOB中，AB＝；
（2）解：作MP⊥x轴，NP⊥y轴，MP交NP于点P．
则MP⊥NP，P点坐标为（3，﹣1）．
故PM＝4﹣（﹣1）＝5，PN＝3﹣（﹣2）＝5．
所以在Rt△MPN中，MN＝；
（注：若直接运用了（3）的结论不得分．）
（3）证明：作P2P⊥x轴，P1P⊥y轴，P2P交P1P于点P．
则P2P⊥P1P，点P的坐标为（x2，y1）．
故P2P＝y2﹣y1，P1P＝x2﹣x1．（不加绝对值符号此处不扣分）
所以在Rt△P2P1P中，．
26．如图，在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．
（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，0），B（﹣1，0），C（﹣1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；
（2）如果点P的坐标是（﹣a，0），其中0＜a＜3，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）△A2B2C2的三个顶点的坐标分别是A2（4，0），B2（5，0），C2（5，2）；
（2）如图1，当0＜a＜3时，∵P与P1关于y轴对称，P（﹣a，0），
∴P1（a，0），
又∵P1与P2关于l：直线x＝3对称，
设P2（x，0），可得：＝3，即x＝6﹣a，
∴P2（6﹣a，0），
则PP2＝6﹣a﹣（﹣a）＝6﹣a+a＝6．
27．在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．下图中的P，Q两点即为“等距点”．
（1）已知点A的坐标为（﹣3，1），
①在点E（0，3），F（3，﹣3），G（2，﹣5）中，为点A的“等距点”的是 E、F ；
②若点B的坐标为B（m，m+6），且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为 （﹣3，3） ；
（2）若T1（﹣1，﹣k﹣3），T2（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①∵点A（﹣3，1）到x、y轴的距离中最大值为3，
∴与A点是“等距点”的点是E、F．
②当点B坐标中到x、y轴距离其中至少有一个为3的点有（3，9）、（﹣3，3）、（﹣9，﹣3），
这些点中与A符合“等距点”的是（﹣3，3）．
故答案为①E、F；②（﹣3，3）；
（2）T1（﹣1，﹣k﹣3），T2（4，4k﹣3）两点为“等距点”，
①若|4k﹣3|≤4时，则4＝﹣k﹣3或﹣4＝﹣k﹣3
解得k＝﹣7（舍去）或k＝1．
②若|4k﹣3|＞4时，则|4k﹣3|＝|﹣k﹣3|
解得k＝2或k＝0（舍去）．
根据“等距点”的定义知，k＝1或k＝2符合题意．
即k的值是1或2．
28．已知：如图①，直线MN⊥直线PQ，垂足为O，点A在射线OP上，点B在射线OQ上（A、B不与O点重合），点C在射线ON上且OC＝2，过点C作直线l∥PQ，点D在点C的左边且CD＝3．
（1）直接写出△BCD的面积．
（2）如图②，若AC⊥BC，作∠CBA的平分线交OC于E，交AC于F，求证：∠CEF＝∠CFE．
（3）如图③，若∠ADC＝∠DAC，点B在射线OQ上运动，∠ACB的平分线交DA的延长线于点H，在点B运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，求出变化范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）S△BCD＝CD•OC＝×3×2＝3．
（2）如图②，
∵AC⊥BC，
∴∠BCF＝90°，
∴∠CFE+∠CBF＝90°，
∵直线MN⊥直线PQ，
∴∠BOC＝∠OBE+∠OEB＝90°，
∵BF是∠CBA的平分线，
∴∠CBF＝∠OBE，
∵∠CEF＝∠OEB，
∴∠CFE+∠CBF＝∠CEF+∠OBE，
∴∠CEF＝∠CFE．
（3）如图③，
∵直线l∥PQ，
∴∠ADC＝∠PAD，
∵∠ADC＝∠DAC
∴∠CAP＝2∠DAC，
∵∠ABC+∠ACB＝∠CAP，
∴∠ABC+∠ACB＝2∠DAC，
∵∠H+∠HCA＝∠DAC，
∴∠ABC+∠ACB＝2∠H+2∠HCA
∵CH是，∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠HCA，
∴∠ABC＝2∠H，
∴＝．
29．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点A（8，6）分别作x轴、y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，点P是从点B出发，沿B→A→C以2个单位长度/秒的速度向终点C运动的一个动点，运动时间为t（秒）．
（1）直接写出点B和点C的坐标B（ 0 ， 6 ）、C（ 8 ， 0 ）；
（2）当点P运动时，用含t的式子表示线段AP的长，并写出t的取值范围；
（3）点D（2，0），连接PD、AD，在（2）条件下是否存在这样的t值，使S△APD＝S四边形ABOC，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）B（0，6），C（8，0），
故答案为：0、6，8、0；
（2）当点P在线段BA上时，
由A（8，6），B（0，6），C（8，0）可得：AB＝8，AC＝6
∵AP＝AB﹣BP，BP＝2t，
∴AP＝8﹣2t（0≤t＜4）；
当点P在线段AC上时，
∴AP＝点P走过的路程﹣AB＝2t﹣8（4≤t≤7）．
（3）存在两个符合条件的t值，
当点P在线段BA上时
∵S△APD＝AP•AC S四边形ABOC＝AB•AC，S△APD＝S四边形ABOC，
∴（8﹣2t）×6＝×8×6，
解得：t＝3＜4，
当点P在线段AC上时，
∵S△APD＝AP•CD CD＝8﹣2＝6，
∴（2t﹣8）×6＝×8×6，
解得：t＝5．
综上所述：当t为3秒和5秒时S△APD＝S四边形ABOC，
30．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a、b满足a＝+﹣1，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC．
（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB＝S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）的值是否发生变化，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意得，3﹣b≥0且b﹣3≥0，
解得b≤3且b≥3，
∴b＝3，
a＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，
∴点C（0，2），D（4，2）；
∵AB＝3﹣（﹣1）＝3+1＝4，
∴S四边形ABDC＝4×2＝8；
（2）∵S△PAB＝S四边形ABDC，
∴×4•OP＝8，
解得OP＝4，
∴点P的坐标为（0，4）或（0，﹣4）；
（3）＝1，比值不变．
理由如下：由平移的性质可得AB∥CD，
如图，过点P作PE∥AB，则PE∥CD，
∴∠DCP＝∠CPE，∠BOP＝∠OPE，
∴∠CPO＝∠CPE+∠OPE＝∠DCP+∠BOP，
∴＝1，比值不变．
31．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）求点C，D的坐标；
（2）若在y轴上存在点 M，连接MA，MB，使S△MAB＝S平行四边形ABDC，求出点M的坐标．
（3）若点P在直线BD上运动，连接PC，PO．
①若P在线段BD之间时（不与B，D重合），求S△CDP+S△BOP的取值范围；
②若P在直线BD上运动，请直接写出∠CPO、∠DCP、∠BOP的数量关系．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由平移可知：C（0，2），D（4，2）；
（2）∵AB＝4，CO＝2，
∴S平行四边形ABOC＝AB•CO＝4×2＝8，
设M坐标为（0，m），
∴×4×|m|＝8，解得m＝±4
∴M点的坐标为（0，4）或（0，﹣4）；
（3）①S梯形OCDB＝×（3+4）×2＝7，
当点P运动到点B时，S△POC最小，S△POC的最小值＝×3×2＝3，S△CDP+S△BOP＜4，
当点P运动到点D时，S△POC最大，S△POC的最大值＝×4×2＝4，S△CDP+S△BOP＞3，
所以3＜S△CDP+S△BOP＜4；
②当点P在BD上，如图1，作PE∥CD，
∵CD∥AB，
∴CD∥PE∥AB，
∴∠DCP＝∠EPC，∠BOP＝∠EPO，
∴∠DCP+∠BOP＝∠EPC+∠EPO＝∠CPO；
当点P在线段BD的延长线上时，如图2，作PE∥CD，
∵CD∥AB，
∴CD∥PE∥AB，
∴∠DCP＝∠EPC，∠BOP＝∠EPO，
∴∠EPO﹣∠EPC＝∠BOP﹣∠DCP，
∴∠BOP﹣∠DCP＝∠CPO；
同理可得当点P在线段DB的延长线上时，∠DCP﹣∠BOP＝∠CPO．
32．如图，在平面直角坐标系中，AB∥CD∥x轴，BC∥DE∥y轴，且AB＝CD＝4cm，OA＝5cm，DE＝2cm，动点P从点A出发，沿A→B→C路线运动到点C停止；动点Q从点O出发，沿O→E→D→C路线运动到点C停止；若P、Q两点同时出发，且点P的运动速度为1cm/s，点Q的运动速度为2cm/s．
（1）直接写出B、C、D三个点的坐标；
（2）当P、Q两点出发s时，试求△PQC的面积；
（3）设两点运动的时间为t s，用t的式子表示运动过程中△OPQ的面积S．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）B（4，5），C（4，2），D（8，2）；
（2）当t＝s时，点P运动的路程为，
点Q运动的路程为×2＝11，
所以，P（4，），Q（7，2），
∴CP＝，CQ＝3，
∴S△CPQ＝CP•CQ＝××3＝；
（3）由题意得，
①当0≤t＜4时，（如图1）OA＝5，OQ＝2t，
S△OPQ＝OQ•OA＝×2t×5＝5t；
②当4≤t＜5时，（如图2）OE＝8，EM＝9﹣t，PM＝4，MQ＝17﹣3t，EQ＝2t﹣8，
S△OPQ＝S梯形OPME﹣S△PMQ﹣S△OEQ，
＝（4+8）×（9﹣t）﹣×4（17﹣3t）﹣×8（2t﹣8），
＝52﹣8t；
③当5≤t≤7时，（如图3）PF＝14﹣2t，FQ＝7﹣t，QG＝2，OG＝18﹣2t，FG＝9﹣t，
S△OPQ＝S梯形OPFG﹣S△PFQ﹣S△OGQ，
＝×（14﹣2t+18﹣2t）×（9﹣t）﹣×（14﹣2t）（7﹣t）﹣（18﹣2t）×2，
＝t2﹣18t+77，
综上所述，S＝．
33．如图1，在平面直角坐标系中，点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴上一点，C（0，a），D（b，a），其中a，b满足关系式|a+2|+（b﹣a+1）2＝0．
（1）a＝ ﹣2 ，b＝ ﹣3 ；
（2）如图2，若AC⊥BC，BQ平分∠ABC交AC于点Q，交OC于点P，求证：∠CPQ＝∠CQP；
（3）如图3，若点A、点B分别在x轴负半轴和正半轴上运动，∠ACB的角平分线交x轴于点M，点N在x轴上，且∠BCF＝∠DCN，请补全图形，探究的值的变化情况，并直接写出结论（不要求写出探究过程）．
【答案】（1）﹣2，﹣3；（2）见解析；（3）．
【解答】（1）解：如图1中，
∵|a+2|+（b﹣a+1）2＝0，
∴a＝﹣2，b＝﹣3，
故答案为：﹣2，﹣3；
（2）证明：如图2中，
∵BQ平分∠CBA，
∴∠OBP＝∠CBQ，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BOP＝∠BCQ＝90°，
∴∠BPO＝∠CQP，
∵∠CPQ＝∠BPO，
∴∠CQP＝∠CPQ；
（3）解：如图3，结论：定值＝．
理由：设∠DCN＝∠BCF＝x，∠ACD＝y，
∴∠ACB＝180°﹣x﹣y，∠ACN＝x﹣y，
∵CM平分∠ACB，
∴∠MCB＝（180°﹣x﹣y），
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCF＝x，
∴∠BCO＝90°﹣x，
∴∠OCM＝（180°﹣x﹣y）﹣（90°﹣x）＝
∴＝．
第3单元 位置与坐标压轴精选33题
一．选择题（共2小题）
1．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m，n），规定以下两种变换：
①f（m，n）＝（m，﹣n），如f（2，1）＝（2，﹣1）；
②g（m，n）＝（﹣m，﹣n），如g（2，1）＝（﹣2，﹣1）．
按照以上变换有：f[g（3，4）]＝f（﹣3，﹣4）＝（﹣3，4），那么g[f（﹣3，2）]等于（ ）
A．（3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣3，2） D．（﹣3，﹣2）
【答案】A
【解答】解：∵f（﹣3，2）＝（﹣3，﹣2），
∴g[f（﹣3，2）]＝g（﹣3，﹣2）＝（3，2），
故选：A．
2．如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2）．把一条长为2012个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A﹣…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2）
【答案】B
【解答】解：∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），
∴AB＝1﹣（﹣1）＝2，BC＝1﹣（﹣2）＝3，CD＝1﹣（﹣1）＝2，DA＝1﹣（﹣2）＝3，
∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3＝10，
2012÷10＝201…2，
∴细线另一端在绕四边形第202圈的第2个单位长度的位置，
即点B的位置，点的坐标为（﹣1，1）．
故选：B．
二．填空题（共9小题）
3．设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳动1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方案共有 5 种．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：共有如下方案：
①可先向负方向跳动一次再连续向正方向跳动4次；
②向正方向跳动1次，再向负方向跳动1次，再向正方向跳动3次；
③向正方向跳动2次后，再向负方向跳动1次，再向正方向跳动2；
④向正方向跳动3次后，再向负方向跳动1次，再向正方向跳动1次；
⑤向正方向跳动4次后，再向负方向跳动1次．
∴质点不同的运动方案共有5种．故答案填：5．
4．如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3m，到达A1点，再向正北走6m到达A2点，再向正西走9m到达A3点，再向正南走12m，到达A4点，再向正东方向走15m到达A5点，按如此规律走下去，当机器人走到A6点时，A6点的坐标是 （9，12） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：依题意得A1点坐标为（3，0），
A2点坐标为（3，0+6）即（3，6），
A3点坐标为（3﹣9，6）即（﹣6，6），
A4点坐标为（﹣6，6﹣12）即（﹣6，﹣6），
A5点坐标为（﹣6+15，﹣6）即（9，﹣6），
∴A6点坐标为（9，12）．
5．如图，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A′OB′．若点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为 （﹣b，a） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由图易知A′B′＝AB＝b，OB′＝OB＝a，∠A′B′O＝∠ABO＝90°，
∵点A'在第二象限，
∴A'的坐标为（﹣b，a）．
6．一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是 （5，0） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：质点运动的速度是每秒运动一个单位长度，（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）用的秒数分别是1秒，2秒，3秒，到（2，0）用4秒，到（2，2）用6秒，到（0，2）用8秒，到（0，3）用9秒，到（3，3）用12秒，到（4，0）用16秒，依此类推，到（5，0）用35秒．
故第35秒时质点所在位置的坐标是（5，0）．
7．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，2）表示实数9，则表示实数17的有序实数对是 （6，5） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：观察图表可知：每排的数字个数就是排数；且奇数排从左到右，从小到大，而偶数排从左到右，从大到小．
实数15＝1+2+3+4+5，
则17在第6排，第5个位置，即其坐标为（6，5）．
故答案为：（6，5）．
8．如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3米到达A1点，再向正北方向走6米到达A2点，再向正西方向走9米到达A3点，再向正南方向走12米到达A4点，再向正东方向走15米到达A5点、按如此规律走下去，当机器人走到A6点时，离O点的距离是 15 米．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意可知：OA1＝3；A1A2＝3×2；A2A3＝3×3；可得规律：An﹣1An＝3n，
当机器人走到A6点时，A5A6＝18米，点A6的坐标是（9，12）；
所以当机器人走到A6点时，离O点的距离是＝15米．
故答案为：15．
9．如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，…，（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1，A2，A3，A4；A5，A6，A7，A8；A9，A10，A11，A12；…）的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6…，则顶点A20的坐标为 （5，﹣5） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵＝5，
∴A20在第四象限，
∵A4所在正方形的边长为2，
A4的坐标为（1，﹣1），
同理可得：A8的坐标为（2，﹣2），A12的坐标为（3，﹣3），
∴A20的坐标为（5，﹣5），
故答案为：（5，﹣5）．
10．如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1（﹣1，1），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），…，依此规律跳动下去，点A第100次跳动至点A100的坐标是 （51，50） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），
第4次跳动至点的坐标是（3，2），
第6次跳动至点的坐标是（4，3），
第8次跳动至点的坐标是（5，4），
…
第2n次跳动至点的坐标是（n+1，n），
∴第100次跳动至点的坐标是（51，50）．
故答案为：（51，50）．
11．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2013次运动后，动点P的坐标是 （2013，1） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），
第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），
∴第4次运动到点（4，0），第5次接着运动到点（5，1），…，
∴横坐标为运动次数，经过第2013次运动后，动点P的横坐标为2013，
纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮，
∴经过第2013次运动后，动点P的纵坐标为：2013÷4＝503余1，
故纵坐标为四个数中第一个，即为1，
∴经过第2013次运动后，动点P的坐标是：（2013，1），
故答案为：（2013，1）．
三．解答题（共22小题）
12．如图，奥运福娃在5×5的方格（每小格边长为1m）上沿着网格线运动．贝贝从A处出发去寻找B、C、D处的其它福娃，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A⇒B（+1，+4），从B到A记为：B⇒A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中
（1）A⇒C（ 3 ， 4 ），B⇒C（ 2 ， 0 ），C⇒ A （﹣3，﹣4）；
（2）若贝贝的行走路线为A⇒B⇒C⇒D，请计算贝贝走过的路程；
（3）若贝贝从A处去寻找妮妮的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出妮妮的位置E点；
（4）在（3）中贝贝若每走1m需消耗1.5焦耳的能量，则贝贝寻找妮妮过程中共需消耗多少焦耳的能量？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）（+3，+4），（+2，0），A；
（2）贝贝走过的路程A→B→C→D，即5+2+2+1＝10；
（3）如图所示：E点即为所求．
（4）在（3）中，贝贝走过的路程为2+2+2+1+2+3+1+2＝15，
且1m需消耗1.5焦耳的能量，则共需消耗15×1.5＝22.5焦耳的能量．
13．在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．
（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，0），B（﹣1，0），C（﹣1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；
（2）如果点P的坐标是（﹣a，0），其中a＞0，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）△A2B2C2的三个顶点的坐标分别是A2（4，0），B2（5，0），C2（5，2）；
（2）如图1，当0＜a≤3时，∵P与P1关于y轴对称，P（﹣a，0），
∴P1（a，0），
又∵P1与P2关于l：直线x＝3对称，
设P2（x，0），可得：＝3，即x＝6﹣a，
∴P2（6﹣a，0），
则PP2＝6﹣a﹣（﹣a）＝6﹣a+a＝6．
如图2，当a＞3时，
∵P与P1关于y轴对称，P（﹣a，0），
∴P1（a，0），
又∵P1与P2关于l：直线x＝3对称，
设P2（x，0），可得：＝3，即x＝6﹣a，
∴P2（6﹣a，0），
则PP2＝6﹣a﹣（﹣a）＝6﹣a+a＝6．
14．如图所示，在直角坐标系中，四边形ABCD各个顶点的坐标分别是A（0，0），B（3，6），C（14，8），D（16，0），确定这个四边形的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：分别过B、C作x轴的垂线BE、CG，垂足为E，G．
所以SABCD＝S△ABE+S梯形BEGC+S△CGD＝×3×6+×（6+8）×11+×2×8＝94．
15．如图：在直角坐标系中，第一次将△AOB变换成△OA1B1，第二次将三角形变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2，变换成△OA3B3，已知A（1，3），A1（3，3），A2（5，3），A3（7，3）；B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．
（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标是 （9，3） ，B4的坐标是 （32，0） ．
（2）若按（1）找到的规律将△OAB进行了n次变换，得到△OAnBn，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测An的坐标是 （2n+1，3） ，Bn的坐标是 （2n+1，0） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）已知A（1，3），A1（3，3），A2（5，3），A3（7，3）；
对于A1，A2，An坐标找规律比较从而发现An的横坐标为2n+1，而纵坐标都是3；
同理B1，B2，Bn也一样找规律，规律为Bn的横坐标为2n+1，纵坐标为0．
由上规律可知：（1）A4的坐标是（9，3），B4的坐标是（32，0）；
（2）An的坐标是（2n+1，3），Bn的坐标是（2n+1，0）
16．如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a，b满足|a+2|+＝0，点C的坐标为（0，3）．
（1）求a，b的值及S△ABC；
（2）若点M在x轴上，且S△ACM＝S△ABC，试求点M的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵|a+2|+＝0，
∴a+2＝0，b﹣4＝0，
∴a＝﹣2，b＝4，
∴点A（﹣2，0），点B（4，0）．
又∵点C（0，3），
∴AB＝|﹣2﹣4|＝6，CO＝3，
∴S△ABC＝AB•CO＝×6×3＝9．
（2）设点M的坐标为（x，0），则AM＝|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，
又∵S△ACM＝S△ABC，
∴AM•OC＝×9，
∴|x+2|×3＝3，
∴|x+2|＝2，
即x+2＝±2，
解得：x＝0或﹣4，
故点M的坐标为（0，0）或（﹣4，0）．
17．如图在直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0）C（3，c）三点，若a，b，c满足关系式：|a﹣2|+（b﹣3）2+＝0．
（1）求a，b，c的值．
（2）求四边形AOBC的面积．
（3）是否存在点P（x，﹣x），使△AOP的面积为四边形AOBC的面积的两倍？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵|a﹣2|+（b﹣3）2+＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，c﹣4＝0，
∴a＝2，b＝3，c＝4；
（2）∵A（0，2），O（0，0），B（3，0），C（3，4）；
∴四边形AOBC为直角梯形，且OA＝2，BC＝4，OB＝3，
∴四边形AOBC的面积＝×（OA+BC）×OB＝×（2+4）×3＝9；
（3）设存在点P（x，﹣x），使△AOP的面积为四边形AOBC的面积的两倍．
∵△AOP的面积＝×2×|x|＝|x|，
∴|x|＝2×9，
∴x＝±18
∴存在点P（18，﹣9）或（﹣18，9），
使△AOP的面积为四边形AOBC的面积的两倍．
18．如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC、OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足+|b﹣2|＝0．
（1）则C点的坐标为 （2，0） ；A点的坐标为 （0，4） ．
（2）已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点Q到达A点整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是（1，2），设运动时间为t（t＞0）秒．问：是否存在这样的t，使S△ODP＝S△ODQ？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由
（3）点F是线段AC上一点，满足∠FOC＝∠FCO，点G是第二象限中一点，连OG，使得∠AOG＝∠AOF．点E是线段OA上一动点，连CE交OF于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵+|b﹣2|＝0，
∴a﹣2b＝0，b﹣2＝0，
解得a＝4，b＝2，
∴A（0，4），C（2，0）；
（2）由条件可知：P点从C点运动到O点时间为2秒，Q点从O点运动到A点时间为2秒，
∴0＜t≤2时，点Q在线段AO上，
即 CP＝t，OP＝2﹣t，OQ＝2t，AQ＝4﹣2t，
∴，，
∵S△ODP＝S△ODQ，
∴2﹣t＝t，
∴t＝1；
（3）的值不变，其值为2．
∵∠2+∠3＝90°，
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠FCO，
∴∠GOC+∠ACO＝180°，
∴OG∥AC，
∴∠1＝∠CAO，
∴∠OEC＝∠CAO+∠4＝∠1+∠4，
如图，过H点作AC的平行线，交x轴于P，则∠4＝∠PHC，PH∥OG，
∴∠PHO＝∠GOF＝∠1+∠2，
∴∠OHC＝∠OHP+∠PHC＝∠GOF+∠4＝∠1+∠2+∠4，
∴．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知A，B，C三点的坐标分别为（0，a）（b，0）（b，c）（如图所示），其中a，b，c满足关系式（a﹣2）2+＝0，|c﹣4|≤0．
（1）求a，b，c的值；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，1），请用含m的代数式表示△AOP的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使△AOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵（a﹣2）2+＝0，
∴a＝2，b＝3，
∵|c﹣4|≤0，
∴c＝4；
（2）由（1）得A（0，2），
∵点P（m，1）在第二象限，
∴P到线段AO的距离为|m|，
∴S△AOP＝×2•|m|＝|m|，
∵m＜0，
∴S△AOP＝﹣m；
（3）存在点P（﹣6，1），使△AOP的面积与△ABC的面积相等，
理由如下：由（1）得，B（3，0），C（3，4），
∴|BC|＝4，点A到BC的距离为3，
∴S△ABC＝×3×4＝6，
∵△AOP的面积与△ABC的面积相等，
∴﹣m＝6，解得m＝﹣6，
∴存在点P（﹣6，1），使△AOP的面积与△ABC的面积相等．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），其中a，b满足|a﹣2|+（b﹣3）2＝0．
（1）求a，b的值；
（2）如果在第二象限内有一点M（m，1），请用含m的式子表示四边形ABOM的面积；
（3）在（2）条件下，当m＝﹣时，在坐标轴的负半轴上是否存在点N，使得四边形ABOM的面积与△ABN的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵a，b满足|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，
解得a＝2，b＝3．
故a的值是2，b的值是3；
（2）过点M作MN⊥y轴于点N．
四边形AMOB面积＝S△AMO+S△AOB
＝MN•OA+OA•OB
＝×（﹣m）×2+×2×3
＝﹣m+3；
（3）当m＝﹣时，四边形ABOM的面积＝4.5．
∴S△ABN＝4.5，
①当N在x轴负半轴上时，
设N（x，0），则
S△ABN＝AO•NB＝×2×（3﹣x）＝4.5，
解得x＝﹣1.5；
②当N在y轴负半轴上时，
设N（0，y），则
S△ABN＝BO•AN＝×3×（2﹣y）＝4.5，
解得y＝﹣1．
∴N（0，﹣1）或N（﹣1.5，0）．
21．如图，已知在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B、C在x轴上，S△ABO＝8，OA＝OB，BC＝10，点P的坐标是（﹣6，a），
（1）求△ABC三个顶点A、B、C的坐标；
（2）连接PA、PB，并用含字母a的式子表示△PAB的面积（a≠2）；
（3）在（2）问的条件下，是否存在点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵S△ABO＝OA•OB，
∵OA＝OB，
∴OA2＝8，解得OA＝4，
∴OB＝OA＝4，
∴OC＝BC﹣OB＝10﹣4＝6，
∴A（0，﹣4），B（﹣4，0），C（6，0）；
（2）当点P在第二象限，直线AB的上方，即a＞2，作PH⊥y轴于H，如图，
S△PAB＝S△AOB+S梯形BOHP﹣S△PBH＝8+（4+6）•a﹣•6•（a+4）＝2a﹣4；
当点P在直线AB下方，即a＜2，作PH⊥x轴于H，如图，
S△PAB＝S梯形OHPA﹣S△PBH﹣S△OAB＝（﹣a+4）•6﹣•（6﹣4）•（﹣a）﹣8＝4﹣2a；
（3）S△ABC＝×10×4＝20，
当2a﹣4＝20，
解得a＝12．
此时P点坐标为（﹣6，12）；
当4﹣2a＝20，
解得a＝﹣8．
此时P点坐标为（﹣6，﹣8）．
综上所述，点P的坐标为（﹣6，12）或（﹣6，﹣8）．
22．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），C（0，6），点B在第一象限内，点P从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着长方形OABC移动一周（即：沿着O→A→B→C→O的路线移动）．
（1）写出B点的坐标（ （4，6） ）；
（2）当点P移动了4秒时，描出此时P点的位置，并求出点P的坐标；
（3）在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由矩形的性质，得
CB＝OA＝4，AB＝OC＝6，
B（4，6）；
故答案为：（4，6）；
（2）由每秒2个单位长度的速度沿着长方形OABC移动一周（即：沿着O→A→B→C→O的路线移动），
点P移动了4秒，得P点移动了8个单位，即OA+AP＝8，
P点在AB上且距A点4个单位，
P（4，4）；
（3）第一次距x轴5个单位时AP＝5，即OA+AP＝9＝2t，
解得t＝，
第二次距x轴5个单位时，OP＝5，即 OA+AB+BC+CP＝4+6+4+6﹣5＝2t，解得t＝，
综上所述：t＝秒，或t＝秒时，点P到x轴的距离为5个单位长度．
23．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），且满足（a+2）2+＝0，过C作CB⊥x轴于B．
（1）求三角形ABC的面积．
（2）若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，如图2，求∠AED的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：∵（a+2）2+＝0，
∴a+2＝0，b﹣2＝0，
∴a＝﹣2，b＝2，
∵CB⊥AB，
∴A（﹣2，0），B（2，0），C（2，2），
∴AB＝2+2＝4，BC＝2，
∴S△ABC＝AB•BC＝×4×2＝4；
（2）解：∵BD∥AC，
∴∠ABD＝∠BAC，
∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，
∴∠CAE+∠BDE＝（∠BAC+∠BDO）＝（∠ABD+∠BDO）＝×90°＝45°，
过点E作EF∥AC，
则∠CAE＝∠AEF，∠BDE＝∠DEF，
∴∠AED＝∠AEF+∠DEF＝∠CAE+∠BDE＝45°．
24．已知点A（a，0）、B（b，0），且+|b﹣2|＝0．
（1）求a、b的值．
（2）在y轴的正半轴上找一点C，使得三角形ABC的面积是15，求出点C的坐标．
（3）过（2）中的点C作直线MN∥x轴，在直线MN上是否存在点D，使得三角形ACD的面积是三角形ABC面积的？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵（a+4）2+|b﹣2|＝0，
∴a+4＝0，b﹣2＝0，
∴a＝﹣4，b＝2；
（2）如图1，
∵A（﹣4，0）、B（2，0），
∴AB＝6，
∵三角形ABC的面积是15，
∴AB•OC＝15，
∴OC＝5，
∴C（0，5）；
（3）存在，如图2，
∵三角形ABC的面积是15，
∴S△ACD＝CD•OC＝15，
∴CD×5＝×15，
∴CD＝3，
∴D（3，5）或（﹣3，5）．
25．根据题意，解答下列问题：
（1）如图①，已知直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，求线段AB的长；
（2）如图②，类比（1）的求解过程，请你通过构造直角三角形的方法，求出两点M（3，4），N（﹣2，﹣1）之间的距离；
（3）如图③，P1（x1，y1），P2（x1，y2）是平面直角坐标系内的两点．求证：．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：由y＝0，得x＝﹣2，所以点A的坐标为（﹣2，0），故OA＝2．
同理可得OB＝4．
所以在Rt△AOB中，AB＝；
（2）解：作MP⊥x轴，NP⊥y轴，MP交NP于点P．
则MP⊥NP，P点坐标为（3，﹣1）．
故PM＝4﹣（﹣1）＝5，PN＝3﹣（﹣2）＝5．
所以在Rt△MPN中，MN＝；
（注：若直接运用了（3）的结论不得分．）
（3）证明：作P2P⊥x轴，P1P⊥y轴，P2P交P1P于点P．
则P2P⊥P1P，点P的坐标为（x2，y1）．
故P2P＝y2﹣y1，P1P＝x2﹣x1．（不加绝对值符号此处不扣分）
所以在Rt△P2P1P中，．
26．如图，在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．
（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，0），B（﹣1，0），C（﹣1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；
（2）如果点P的坐标是（﹣a，0），其中0＜a＜3，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）△A2B2C2的三个顶点的坐标分别是A2（4，0），B2（5，0），C2（5，2）；
（2）如图1，当0＜a＜3时，∵P与P1关于y轴对称，P（﹣a，0），
∴P1（a，0），
又∵P1与P2关于l：直线x＝3对称，
设P2（x，0），可得：＝3，即x＝6﹣a，
∴P2（6﹣a，0），
则PP2＝6﹣a﹣（﹣a）＝6﹣a+a＝6．
27．在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．下图中的P，Q两点即为“等距点”．
（1）已知点A的坐标为（﹣3，1），
①在点E（0，3），F（3，﹣3），G（2，﹣5）中，为点A的“等距点”的是 E、F ；
②若点B的坐标为B（m，m+6），且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为 （﹣3，3） ；
（2）若T1（﹣1，﹣k﹣3），T2（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①∵点A（﹣3，1）到x、y轴的距离中最大值为3，
∴与A点是“等距点”的点是E、F．
②当点B坐标中到x、y轴距离其中至少有一个为3的点有（3，9）、（﹣3，3）、（﹣9，﹣3），
这些点中与A符合“等距点”的是（﹣3，3）．
故答案为①E、F；②（﹣3，3）；
（2）T1（﹣1，﹣k﹣3），T2（4，4k﹣3）两点为“等距点”，
①若|4k﹣3|≤4时，则4＝﹣k﹣3或﹣4＝﹣k﹣3
解得k＝﹣7（舍去）或k＝1．
②若|4k﹣3|＞4时，则|4k﹣3|＝|﹣k﹣3|
解得k＝2或k＝0（舍去）．
根据“等距点”的定义知，k＝1或k＝2符合题意．
即k的值是1或2．
28．已知：如图①，直线MN⊥直线PQ，垂足为O，点A在射线OP上，点B在射线OQ上（A、B不与O点重合），点C在射线ON上且OC＝2，过点C作直线l∥PQ，点D在点C的左边且CD＝3．
（1）直接写出△BCD的面积．
（2）如图②，若AC⊥BC，作∠CBA的平分线交OC于E，交AC于F，求证：∠CEF＝∠CFE．
（3）如图③，若∠ADC＝∠DAC，点B在射线OQ上运动，∠ACB的平分线交DA的延长线于点H，在点B运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，求出变化范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）S△BCD＝CD•OC＝×3×2＝3．
（2）如图②，
∵AC⊥BC，
∴∠BCF＝90°，
∴∠CFE+∠CBF＝90°，
∵直线MN⊥直线PQ，
∴∠BOC＝∠OBE+∠OEB＝90°，
∵BF是∠CBA的平分线，
∴∠CBF＝∠OBE，
∵∠CEF＝∠OEB，
∴∠CFE+∠CBF＝∠CEF+∠OBE，
∴∠CEF＝∠CFE．
（3）如图③，
∵直线l∥PQ，
∴∠ADC＝∠PAD，
∵∠ADC＝∠DAC
∴∠CAP＝2∠DAC，
∵∠ABC+∠ACB＝∠CAP，
∴∠ABC+∠ACB＝2∠DAC，
∵∠H+∠HCA＝∠DAC，
∴∠ABC+∠ACB＝2∠H+2∠HCA
∵CH是，∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠HCA，
∴∠ABC＝2∠H，
∴＝．
29．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点A（8，6）分别作x轴、y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，点P是从点B出发，沿B→A→C以2个单位长度/秒的速度向终点C运动的一个动点，运动时间为t（秒）．
（1）直接写出点B和点C的坐标B（ 0 ， 6 ）、C（ 8 ， 0 ）；
（2）当点P运动时，用含t的式子表示线段AP的长，并写出t的取值范围；
（3）点D（2，0），连接PD、AD，在（2）条件下是否存在这样的t值，使S△APD＝S四边形ABOC，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）B（0，6），C（8，0），
故答案为：0、6，8、0；
（2）当点P在线段BA上时，
由A（8，6），B（0，6），C（8，0）可得：AB＝8，AC＝6
∵AP＝AB﹣BP，BP＝2t，
∴AP＝8﹣2t（0≤t＜4）；
当点P在线段AC上时，
∴AP＝点P走过的路程﹣AB＝2t﹣8（4≤t≤7）．
（3）存在两个符合条件的t值，
当点P在线段BA上时
∵S△APD＝AP•AC S四边形ABOC＝AB•AC，S△APD＝S四边形ABOC，
∴（8﹣2t）×6＝×8×6，
解得：t＝3＜4，
当点P在线段AC上时，
∵S△APD＝AP•CD CD＝8﹣2＝6，
∴（2t﹣8）×6＝×8×6，
解得：t＝5．
综上所述：当t为3秒和5秒时S△APD＝S四边形ABOC，
30．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a、b满足a＝+﹣1，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC．
（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB＝S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）的值是否发生变化，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意得，3﹣b≥0且b﹣3≥0，
解得b≤3且b≥3，
∴b＝3，
a＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，
∴点C（0，2），D（4，2）；
∵AB＝3﹣（﹣1）＝3+1＝4，
∴S四边形ABDC＝4×2＝8；
（2）∵S△PAB＝S四边形ABDC，
∴×4•OP＝8，
解得OP＝4，
∴点P的坐标为（0，4）或（0，﹣4）；
（3）＝1，比值不变．
理由如下：由平移的性质可得AB∥CD，
如图，过点P作PE∥AB，则PE∥CD，
∴∠DCP＝∠CPE，∠BOP＝∠OPE，
∴∠CPO＝∠CPE+∠OPE＝∠DCP+∠BOP，
∴＝1，比值不变．
31．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）求点C，D的坐标；
（2）若在y轴上存在点 M，连接MA，MB，使S△MAB＝S平行四边形ABDC，求出点M的坐标．
（3）若点P在直线BD上运动，连接PC，PO．
①若P在线段BD之间时（不与B，D重合），求S△CDP+S△BOP的取值范围；
②若P在直线BD上运动，请直接写出∠CPO、∠DCP、∠BOP的数量关系．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由平移可知：C（0，2），D（4，2）；
（2）∵AB＝4，CO＝2，
∴S平行四边形ABOC＝AB•CO＝4×2＝8，
设M坐标为（0，m），
∴×4×|m|＝8，解得m＝±4
∴M点的坐标为（0，4）或（0，﹣4）；
（3）①S梯形OCDB＝×（3+4）×2＝7，
当点P运动到点B时，S△POC最小，S△POC的最小值＝×3×2＝3，S△CDP+S△BOP＜4，
当点P运动到点D时，S△POC最大，S△POC的最大值＝×4×2＝4，S△CDP+S△BOP＞3，
所以3＜S△CDP+S△BOP＜4；
②当点P在BD上，如图1，作PE∥CD，
∵CD∥AB，
∴CD∥PE∥AB，
∴∠DCP＝∠EPC，∠BOP＝∠EPO，
∴∠DCP+∠BOP＝∠EPC+∠EPO＝∠CPO；
当点P在线段BD的延长线上时，如图2，作PE∥CD，
∵CD∥AB，
∴CD∥PE∥AB，
∴∠DCP＝∠EPC，∠BOP＝∠EPO，
∴∠EPO﹣∠EPC＝∠BOP﹣∠DCP，
∴∠BOP﹣∠DCP＝∠CPO；
同理可得当点P在线段DB的延长线上时，∠DCP﹣∠BOP＝∠CPO．
32．如图，在平面直角坐标系中，AB∥CD∥x轴，BC∥DE∥y轴，且AB＝CD＝4cm，OA＝5cm，DE＝2cm，动点P从点A出发，沿A→B→C路线运动到点C停止；动点Q从点O出发，沿O→E→D→C路线运动到点C停止；若P、Q两点同时出发，且点P的运动速度为1cm/s，点Q的运动速度为2cm/s．
（1）直接写出B、C、D三个点的坐标；
（2）当P、Q两点出发s时，试求△PQC的面积；
（3）设两点运动的时间为t s，用t的式子表示运动过程中△OPQ的面积S．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）B（4，5），C（4，2），D（8，2）；
（2）当t＝s时，点P运动的路程为，
点Q运动的路程为×2＝11，
所以，P（4，），Q（7，2），
∴CP＝，CQ＝3，
∴S△CPQ＝CP•CQ＝××3＝；
（3）由题意得，
①当0≤t＜4时，（如图1）OA＝5，OQ＝2t，
S△OPQ＝OQ•OA＝×2t×5＝5t；
②当4≤t＜5时，（如图2）OE＝8，EM＝9﹣t，PM＝4，MQ＝17﹣3t，EQ＝2t﹣8，
S△OPQ＝S梯形OPME﹣S△PMQ﹣S△OEQ，
＝（4+8）×（9﹣t）﹣×4（17﹣3t）﹣×8（2t﹣8），
＝52﹣8t；
③当5≤t≤7时，（如图3）PF＝14﹣2t，FQ＝7﹣t，QG＝2，OG＝18﹣2t，FG＝9﹣t，
S△OPQ＝S梯形OPFG﹣S△PFQ﹣S△OGQ，
＝×（14﹣2t+18﹣2t）×（9﹣t）﹣×（14﹣2t）（7﹣t）﹣（18﹣2t）×2，
＝t2﹣18t+77，
综上所述，S＝．
33．如图1，在平面直角坐标系中，点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴上一点，C（0，a），D（b，a），其中a，b满足关系式|a+2|+（b﹣a+1）2＝0．
（1）a＝ ﹣2 ，b＝ ﹣3 ；
（2）如图2，若AC⊥BC，BQ平分∠ABC交AC于点Q，交OC于点P，求证：∠CPQ＝∠CQP；
（3）如图3，若点A、点B分别在x轴负半轴和正半轴上运动，∠ACB的角平分线交x轴于点M，点N在x轴上，且∠BCF＝∠DCN，请补全图形，探究的值的变化情况，并直接写出结论（不要求写出探究过程）．
【答案】（1）﹣2，﹣3；（2）见解析；（3）．
【解答】（1）解：如图1中，
∵|a+2|+（b﹣a+1）2＝0，
∴a＝﹣2，b＝﹣3，
故答案为：﹣2，﹣3；
（2）证明：如图2中，
∵BQ平分∠CBA，
∴∠OBP＝∠CBQ，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BOP＝∠BCQ＝90°，
∴∠BPO＝∠CQP，
∵∠CPQ＝∠BPO，
∴∠CQP＝∠CPQ；
（3）解：如图3，结论：定值＝．
理由：设∠DCN＝∠BCF＝x，∠ACD＝y，
∴∠ACB＝180°﹣x﹣y，∠ACN＝x﹣y，
∵CM平分∠ACB，
∴∠MCB＝（180°﹣x﹣y），
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCF＝x，
∴∠BCO＝90°﹣x，
∴∠OCM＝（180°﹣x﹣y）﹣（90°﹣x）＝
∴＝．
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