第一周 三角函数——2024届高考数学大单元每周拔高练【新高考版】

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第一周 三角函数——2024届高考数学大单元每周拔高练【新高考版】1.设函数，，，若在区间上单调，且，则的最小正周期为(   )A. B. C. D.2.已知函数的图象上相邻两个对称中心的距离为，若将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则函数的单调递增区间为(   )A.， B.，C.， D.，3.已知函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度后，所得到的函数的图象关于原点对称，则m的值可能为(   )A. B. C. D.4.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积与下列选项中最接近的是()(   )A.6平方米 B.9平方米 C.12平方米 D.15平方米5.已知函数（，）对任意实数x都有，且函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则的值等于(   )A. B. C.1 D.-16.将函数的图像向右平移个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，若为奇函数，则m的最小值为(   )A. B. C. D.7.在信息传递中多数是以波的形式进行传递，其中必然会存在干扰信号（形如，某种“信号净化器”可产生形如的波，只需要调整参数，就可以产生特定的波（与干扰波波峰相同，方向相反的波）来“对抗”干扰.现有波形信号的部分图像，想要通过“信号净化器”过滤得到标准的正弦波（标准正弦函数图像），应将波形净化器的参数分别调整为(   )A.，， B.，，C.，， D.，，8.已知函数的部分图像如图所示，且.将图像上所有点的横坐标缩小为原来的，再向上平移一个单位长度，得到的图像.若，，，则的最大值为(   )A.π B. C. D.9.（多选）已知函数（，），，，且在上单调.下列说法不正确的是(   )A.B.C.函数在上单调递增D.函数的图象关于点对称10.（多选）已知函数，则下列结论不正确的是(   )A.函数的图象关于直线对称B.函数在上单调递增C.若，则D.函数的最小值为-211.（多选）函数(，)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是(   )A.函数的最小正周期为B.C.函数在上不是单调函数D.函数在上是增函数12.（多选）已知函数（，），且对任意，恒成立，为奇函数，则下列说法正确的是(   )A.函数的图象关于原点对称B.函数的最小正周期为C.函数的图象关于直线对称 D.函数的单调递增区间为13.已知，则___________.14.若函数的最小正周期为π，将的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称，则的最小正值为___________.15.下图为2021年某市某天6时至14时的温度变化曲线，其近似满足函数的半个周期的图象，则该天8时的温度大约为____________.16.将函数的图像向左平移个单位长度后，得到函数的图像.若函数在区间上是单调递减函数，则实数的最大值为______.17.设函数的最小正周期为.(1)求；(2)若且，求的值；(3)求在区间上的最值并求取得最值时x的值.18.一半径为2 m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1 m.已知水轮按逆时针做匀速转动，每3 s转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间，以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系.（1）将点P距离水面的高度h（单位：m）表示为时间t（单位：s）的函数.（2）点P第一次到达最高点大约要多长时间？（3）记，求证：不论t为何值，是定值.19.已知函数满足，其中，将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象.(1)求；(2)求函数的解析式；(3)求在上的最值及相应的x值.20.如图，经过村庄A有两条互相垂直的笔直公路AB和AC，根据规划拟在两条公路围成的直角区域BAC内建一工厂P，为了仓库存储和运输方便，在两条公路边上分别建两个仓库M，N，（异于村庄A，将工厂P及仓库M，N近似看成点，且M，N分别在射线AB，AC上），要求，（单位：km），.(1)设，将工厂与村庄的距离PA表示为的函数，记为，求出函数的解析式及定义域；(2)当为何值时，有最大值?并求出该最大值.
答案以及解析1.答案：D解析：因为在区间上单调，，所以，所以.又因为，所以直线为图象的一条对称轴；因为，所以为图象的一个对称中心.因为，所以直线与为同一周期里相邻的对称轴和对称中心，所以.故选D.2.答案：A解析：依题意，，所以，所以，解得，所以.把的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，令，，解得，，所以函数的单调递增区间为，，故选A.3.答案：B解析：由题意得，，，，，又，，，，将的图象向右平移个单位长度后得到的函数解析式为，由题意可知，函数为奇函数，，，当时，，故选B.4.答案：B解析：由题意可得，，在中，可得，，，可得矢.由，可得弦.所以弧田面积(弦×矢+矢平方米.5.答案：D解析：，因为，所以，即的周期为，则，，将的图象向左平移个单位后得到，因为所得图象关于原点对称，所以，，因为，所以，，则，所以，故选D.6.答案：C解析：由题意知，将函数的图象向右平移个单位长度，得到，再将的图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，.为奇函数，，，解得，，，m的最小值为.故选C.7.答案：B解析：设干扰信号对应的函数解析式为.由题图得（T为干扰信号的周期，解得，.函数的最大值为，.将代入，解得，，，..欲消除的波需要选择相反的波，即，故选B.8.答案：D解析：设的最小正周期为T，则由题图可知，得，则，所以.又由题图可知图像的一个对称中心为点，故，，故，，因为，所以，所以.又因为，所以，所以.将图像上所有点的横坐标缩小为原来的，再向上平移一个单位长度，得到的图像.因为，所以，同时令取得最大值3.由，可得，.又，，要求的最大值，故令，得；令，得，所以的最大值为.故选D.9.答案：ABD解析：由五点法作图知，为五点法中的第二个零点，则①.又根据正弦函数的图象及已知条件知为靠近第二个零点的点，所以②.由①②解得，，所以，所以，故A，B错误；由，得，所以函数在上单调递增，故C正确；因为，所以函数的图象不关于点对称，故D错误，故选ABD.10.答案：BCD解析：A项，，所以函数的图象关于直线对称，故A项正确；B项，时，，所以，而在上先增后减，故B项错误；C项，当时，；当时，，所以不难发现，故若，则和都是的最值，此时不一定等于，例如，取，，容易验证满足，但，故C项错误；D项，，即，所以的最小值不是-2，故D项错误.11.答案：CD解析：对A选项，在同一周期内，函数在时取得最大值，时取得最小值，函数的最小正周期T满足，由此可得，故A错误；对B选项，，解得，得函数表达式为，又当时取得最大值2，，可得，，取，得，，则，故B错误；对C选项，，则，令，则原函数为，，由正弦函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增，故C正确；对D选项；令，，解得，，令，则其中一个单调增区间为，而，故D正确.故选CD.12.答案：BD解析：因为对任意，恒成立，所以，即，得①.，因为为奇函数，所以②.②-①得，即.又，所以，，则，得，所以，所以A不正确；的最小正周期，所以B正确；，所以C不正确；令，，得，，故函数的单调递增区间为，所以D正确.故选BD.13.答案：2解析：由，可得，则.14.答案：解析：因为函数的最小正周期为π，所以，故，其图象向左平移个单位长度后，得到的图象，因为所得图象关于y轴对称，所以，，即，，因此的最小正值为，故答案为.15.答案：13℃解析：由题意得，，，，，，将，代入得，即，，，，.当时，，即该天8时的温度大约为13℃.16.答案：解析由题意，将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，若函数在区间上是单调递减函数，因为，所以，所以，则，所以，则，取，则，则解得，所以实数的最大值为.17.答案：(1)(2)(3)时，y有最大值1，时，y有最小值解析：(1)函数的最小正周期为，，.(2)由(1)知，由得，，，.(3)由题意得，当时，，，当，即时，y有最大值1，当，即时，y有最小值.18.答案：（1）（2）点P第一次到达最高点大约要1 s的时间（3）证明见解析解析：（1）设，
则，，，，
，
，，，，
，，.（2）令，得.
，，点P第一次到达最高点大约要1 s的时间.
（3）由（1）知，，
，
，
，为定值.19.答案：(1)(2)(3)当时，取得最小值，当时，取得最大值解析：(1)函数.又，，，解得，又，.(2)由(1)知，函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数)的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到的图象，函数.(3)当时，，，由(2)知，所以当时，取得最小值，当时，取得最大值.20.答案：(1)，函数的定义域为(2)当时，有最大值，最大值为解析：(1)过点P作，垂足为D，连接PA.在中，，故，在中，，，，故，.在中，，所以，函数的定义域为.(2)由(1)可知，，即.又，故，所以当，即时，取最大值1，.即当时，有最大值，最大值为.