广东省 深圳外国语学校2023-2024学年 九年级上学期10月数学试题

2023－2024学年初三第一次月考

数学试卷

命题人：初三备课组    审题人：初三备课组

一、选择题（共10小题3×10＝30分）

1．如图是一根空心方管，它的俯视图是（     ）

A． B． C． D．

2．下列说法错误的是（     ）

A．了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查

B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率

C．一组数据x1，x2，x3，x4的平均数是3，方差是2，则新数据x1＋2，x2＋2，x3＋2，x4＋2的平均数是5，方差是4

D．“367人中至少有2人的生日是同一天”是必然事件

3．若关于x的方程(m－1)x²＋x－1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（     ）

A．m≠1 B．m＝1 C．m≥1 D．m≠0

4．已知反比例函数y＝经过点(1，4)，下列说法正确的是（     ）

A．这个函数的图象位于第二、四象限 B．当x＞0时，y随x的增大而减小

C．当x＜0时，y随x的增大而增大 D．该反比例函数图象会经过点(－4，1)

5．若点A(x1，－2)，B(x2，1)，C(x3，2)都在反比例函数y＝的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（     ）

A．x3＜x2＜x1 B．x2＜x1＜x3 C．x1＜x3＜x2 D．x2＜x3＜x1

6．已知：矩形OABC∽矩形OA'B'C'，B'(10，5)，AA'＝1，则CC'的长是（     ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．某学校组织艺术摄影展，上交的作品要求如下：七寸照片（长7英寸，宽5英寸）；将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的3倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（     ）

A．(7＋x)(5＋x)×3＝7×5 B．(7＋x)(5＋x)＝3×7×5

C．(7＋2x)(5＋2x)×3＝7×5 D．(7＋2x)(5＋2x)＝3×7×5

8．已知：x＝2是关于x的方程x²－(m＋1)x＋m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（     ）

A．6 B．4 C．5 D．4或5

9．将反比例函数y＝的图象绕坐标原点O逆时针旋转30°，得到如上图的新曲线，与过点A(－3，3)，B(，)的直线相交于点C、D，则△OCD的面积为（     ）

A．8 B．3

C． D．

10．如图，OABC是平行四边形，对角线OB在y轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y＝和y＝的一个分支上，分别过点A、C作x轴的垂线段，垂足分别为点M和N，则以下结论：

①＝||；②阴影部分面积是(k1＋k2)；

③当∠AOC＝90°时，|k1|＝|k2|；④若OABC是菱形，则k1＋k2＝0．

其中正确结论的个数是（     ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（共5小题3×5＝15分）

11．如图，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，且BC＝BE，则∠BEC＝          ．

12．已知关于x的一元二次方程mx²－3x＋1＝0有两个实数根，则m的取值范围是          ．

13．在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有a个白球和2个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则a的值约为          ．

14．如图，A是反比例函数y＝(x＞0)图象上一动点，作AB⊥x轴于B，作AC⊥y轴于C，D，E分别是OB，OC的中点，连接AD并延长交y轴于点F，连接AE并延长交x 轴于点G，连接FG，若△AGF是直角三角形，则A的坐标是          ．

15．已知如图，正方形ABCD的边长为4，取AB边上的中点E，连接CE，过点B作BF⊥CE于点F，连接DF．过点A作AH⊥DF于点H，交CE于点M，交BC于点N，则MN＝          ．

             第14题图                                          第15题图 

三、解答题（共7小题）

16．计算：sin45°＋cos²30°－．（5分）

17．（8分）为扎实推进“多彩校园”活动，我市某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、围棋和足球四个社团活动，每个学生只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下表格和扇形统计图．

参加四个社团活动人数统计表： 参加四个社团活动人数扇形统计图

请根据以上信息，回答下列问题：（每空1分）

（1）抽取的学生共有          人，其中参加篮球社团的有          人；

（2）若该校有3200人，请估算该校参加舞蹈社团的学生人数；（2分）

（3）该校某班有3男2女共5名学生参加足球社，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，请用树状图或列表法求恰好抽到一男一女的概率．（4分）

18．（8分）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．

（1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；

（2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客．经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？

19．（8分）如图，在ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，DE，且BE＝DE．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若AB＝10，tan∠BAC＝2，求四边形ABCD的面积．

20．（6分）如图，直线AD：y＝3x＋3与坐标轴交于A、D两点，以AD为边在AD右侧作正方形ABCD，过C作CG⊥y轴于G点．过点C的反比例函数y＝(k≠0)与直线AD交于E、F两点．

（1）求E、F两点坐标；

（2）填空：不等式3x＋3＞的取值范围是          ．

21．（8分）如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接FC(AB＞AE)．

（1）求证：△AEF∽△DCE；

（2）＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，

证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由．

22．（12分）如图，直线AB经过点B(0，－2)，并与反比例函数y＝交于点A(3，－1)．

（1）求直线AB和反比例函数的表达式；

（2）点M为反比例函数图象第二象限上一点，记点M到直线AB的距离为d，当d最小时，求出此时点M的坐标；

（3）点C是点B关于原点的对称点，Q为线段AC（不含端点）上一动点，过点Q作QP∥y轴交反比例函数于点P，点D为线段QP的中点，点E为x轴上一点，点F为平面内一点，当D，C，E，F四点构成的四边形为正方形时，直接写出点Q的坐标．