重庆市长寿中学2022-2023学年高二数学上学期期末试题（Word版附解析）

重庆市长寿中学校2022-2023学年高二上·期末考试

数学试题

试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上.

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.

3.答非选择题时，必须使用毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上.

4.考试结束后，将答题卷交回.

一.单选题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案请涂写在机读卡上

1. 已知直线l过、两点，则直线l的倾斜角的大小为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由两点坐标求出斜率，即可得出倾斜角

【详解】直线过、两点，则直线的斜率，∴直线的倾斜角为．

故选：A．

2. 已知圆和圆，则圆与圆的位置关系为（    ）

A. 内含 B. 外切 C. 相交 D. 相离

【答案】A

【解析】

【分析】根据两圆标准方程可知圆心坐标和半径大小，只需比较圆心距与两圆半径之差以及两圆半径之和的大小即可得出两圆位置关系.

【详解】由题意可知，圆的圆心为，半径；

圆的圆心为，半径；

两圆心距离为，此时

所以，圆与圆的位置关系为内含.

故选：A.

3. 三棱柱中，为棱的中点，若，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用空间向量的线性运算法则与空间向量基本定理，求解即可．

【详解】．

故选：D．

4. 双曲线上的点到上焦点的距离为12，则到下焦点的距离为（    ）

A. 22 B. 2 C. 2或22 D. 24

【答案】A

【解析】

【分析】设的上、下焦点分别为，根据双曲线的定义求出或，再根据可得.

【详解】设的上、下焦点分别为，则．

因为,,所以，，则，

由双曲线的定义可知，，即，

解得或，

当时，，不符合题意；

当时，，符合题意.

综上所述：.

故选：A

5. 设等差数列的前项和为，若，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由等差数列片段和的性质可得出、、、成等差数列，即可求得的值.

【详解】解：由等差数列的性质可知，、、、成等差数列，

且该数列的公差为，则，

所以，，

因此，.

故选：D.

6. 已知点P是圆C：的动点，直线l：上存在两点A，B，使得恒成立，则线段长度的最小值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】结合点到直线的距离公式以及圆的几何性质求得正确答案.

【详解】圆，圆心为，半径为.

依题意，是圆上任意一点，直线上存在两点，使得恒成立，

故以为直径的圆的半径的最小值是到直线距离的最大值，

即，

所以的最小值是.

故选：A

7. 设拋物线的焦点是，直线与抛物线相交于两点，且，线段的中点到拋物线的准线的距离为，则的最小值为（    ）

A.  B.  C. 3 D.

【答案】C

【解析】

【分析】设出线段的长度，用余弦定理求得的长度，利用抛物线的定义以及梯形的中位线长度的计算，从而转化为的关系式，再结合不等式即可求得其最小值.

【详解】设，，

过点，分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，，如下所示：

则，，

因为点为线段的中点，根据梯形中位线定理可得，点到抛物线的准线的距离为，

因为，所以在中，由余弦定理得，

所以，

又因为，所以，当且仅当时，等号成立，（显然存在），

所以，则的最小值为.

故选：C.

【点睛】关键点睛：本题考查抛物线中的最值问题，处理问题的关键是充分利用抛物线的定义，还要注意到不等式的应用。

8. 已知点P是椭圆C：上一点，点、是椭圆C的左、右焦点，若的内切圆半径的最大值为，若椭圆的长轴长为4，则的面积的最大值为（    ）

A. 2 B. 2 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】设的内切圆半径为，则，结合

，，，，可得，再由即可求解.

【详解】由题意可得：，，

设的内切圆半径为，

所以，

因为的内切圆半径的最大值为，

所以

因为，所以，可得，

又椭圆的长轴长为4，即，

由，求得，所以的面积的

故选：A

二.多选题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列说法中，正确的有（    ）

A. 直线在y轴上的截距是2

B. 直线经过第一、二、三象限

C. 过点，且倾斜角为90°的直线方程为

D. 过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为

【答案】BC

【解析】

【分析】根据直线相关概念一一对答案进行核对即可。

【详解】对于A:令时，，故在y轴上的截距是2，A错.

对于B:直线的斜率为2，在轴上的截距分别为，故直线经过第一、二、三象限，B对.对于C:过点，倾斜角为90°的直线方程为，故C对.对于D:当直线的截距不为0时，设直线的方程为：，把点代人直线得，所以直线方程为：，当截距为0时，设直线方程为：，把点代人直线得，直线方程为：，故D错.

故选：BC

10. 已知直线，下列命题中正确的是（    ）

A. 若，则

B. 若，则或

C. 当时，是直线的方向向量

D. 原点到直线的最大距离为

【答案】AD

【解析】

【分析】根据垂直关系计算得到A正确；当时，两条直线重合，B错误；计算斜率得到C错误；过定点，最大距离为，计算得到D正确，得到答案.

【详解】对选项A：，则，解得，正确；

对选项B：当时，两条直线重合，错误；

对选项C：时，，斜率为，的方向向量是，错误；

对选项D：过定点，故原点到直线的最大距离为，正确.

故选：AD

11. （多选）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面ABCD，底面是正方形，且，E，F分别为PD，PB的中点，则（    ）

A. 平面PAC B. 平面EFC

C. 点F到直线CD的距离为 D. 点A到平面EFC的距离为

【答案】AD

【解析】

【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标及平面EFC的法向量，利用向量垂直条件及线面垂直的判定定理及线面平行的向量关系，结合点到直线的距离及点到面的距离的向量公式即可求解.

【详解】解：以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空直角坐标系，如图所示

由题意可知，，，，，，，

所以，，，.

因为，所以，即

，所以，即.又，

所以平面PAC，故A正确；

设平面EFC的法向量为，则

，即，令，则，所以.

因为，所以，故B不正确；

设点F到直线CD的距离为h，，，则，即，所以点F到直线CD的距离为，故C不正确；

设点A到平面EFC的距离为d，，则

，所以点A到平面EFC的距离为，故D正确.

故选：AD.

12. 已知数列中，，，则关于数列的说法正确的是（    ）

A.

B. 数列为递增数列

C.

D. 数列的前n项和小于

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据递推关系求得数列的通项公式，从而对选项ABC一一判断即可；利用裂项相消法求数列的前n项和，即可判断D.

【详解】由，

得，即，又，

所以是以2为首项，1为公差的等差数列，

所以，即，

所以，故A错误，C正确；

，所以为递增数列，故B正确；

，

所以数列的前n项和为

，故D正确.

故选：BCD．

三.填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在题中的横线上.

13. 已知等差数列满足,则___________.

【答案】

【解析】

【分析】利用等差数列的基本量运算可得首项和公差,进而求得结果.

【详解】设等差数列的公差为,

由题意知:,

解得:

所以.

故答案为:.

14. 正项等比数列中，，则的值是________.

【答案】20

【解析】

【分析】根据等比数列的性质求解即可.

【详解】在等比数列中，，

，

故答案为:20.

15. 已知关于的方程有两个不同的实数根，则实数的范围______.

【答案】

【解析】

【分析】画出和的图像，数形结合得出实数的范围.

【详解】设，，图像如图所示，

当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离，即，

解得：（舍），或

当直线过点时，可求得直线的斜率，

则利用图像得：实数的范围为

故答案为：

16. 已知是椭圆和双曲线的交点，，是，的公共焦点，，分别为，的离心率，若，则的取值范围为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据椭圆与双曲线的定义把用来表示，然后在中用余弦定理求出的关系，然后再用函数求解.

【详解】设

因为点在椭圆上，所以①

又因为点在双曲线上，所以②

则①②得；①②

在中由余弦定理得：

即

即，即即

所以，

令，则

所以.

故答案：.

四.解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，.

（1）求圆A的标准方程；

（2）求直线l的方程.

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）计算出圆A的半径，可得出圆A的标准方程；

（2）利用勾股定理计算出圆心A到直线的距离为，然后对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线轴时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数值，综合可得出直线的方程.

【小问1详解】

设圆A半径为R，由圆与直线相切，

则点到直线的距离等于半径，

得，

∴圆A的标准方程为.

【小问2详解】

由（1）知，，，

则圆心A到直线的距离

.

当直线l与x轴垂直时，即，

此时圆心A到直线的距离为，符合题意；

当直线l不与x轴垂直时，

设方程为，即，

， 解得，

∴直线l为：.

综上所述，直线l的方程为或.

18. 在数列中，，，．

（1）设，求证：数列是等比数列；

（2）求数列的前项和．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用，化简可知，进而可知数列是首项为、公比为的等比数列；

（2）通过可知，进而利用分组求和法计算即得结论．

小问1详解】

证明：

又

数列是首项为、公比为的等比数列；

【小问2详解】

由（1）可知，即，

.

19. 三棱台的底面是正三角形，平面，，，，E是的中点，平面交平面于直线l．

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）由三棱台的性质得到//，再利用线面平行的判定定理和性质定理进行证明；

（2）在平面内作，建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，再利用线面角的向量公式进行求解.

【小问1详解】

在三棱台中，//，

又平面，平面，

则//平面，

又平面，平面平面，

所以//.

【小问2详解】

因为平面，在平面内作，

以为原点，分别为轴，轴建立空间直角坐标系，

则，，，

，，，

，，

设平面的一个法向量为，

则，

令，则，

设直线与平面所成角为，

则，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

20. 如图，在三棱锥中，，为的中点，.

（1）证明：平面平面；

（2）若是边长为的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）由等腰三角形三线合一性质可得；利用线面垂直判定可证得平面，由面面垂直的判定可得结论；

（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，利用二面角的向量求法可构造方程求得的值，利用棱锥体积公式可求得结果.

【小问1详解】

，为中点，，

又，，平面，平面，

平面，平面平面.

【小问2详解】

以为坐标原点，正方向为轴，过作垂直于的直线为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

设，则，，，

，，

设平面的法向量，

则，令，解得：，，；

轴平面，平面的一个法向量；

二面角的大小为，

，解得：；

，.

21. 抛物线，抛物线的焦点是双曲线的右顶点，过点作直线与交于两点

（1）求方程．

（2）若的一条弦经过的焦点，且直线与直线平行，试问是否存在常数，使得成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）   

（2）存在，

【解析】

【分析】（1）根据双曲线与抛物线的性质得，进而得答案；

（2）设直线方程为：，，直线方程为：，，进而分别与抛物线方程联立并结合弦长公式，韦达定理得，，进而得答案.

【小问1详解】

解： 将双曲线的方程化为标准形式得：，

所以，其右顶点为，即为抛物线的焦点，

所以，，解得，

所以，的方程为．

【小问2详解】

解：设直线方程为：，

直线方程为：，

，得，所以

，得，所以，

所以，

所以，假设存在，使得，则

所以，存在常数，使得成立，.

22. 已知点与，动点满足直线，的斜率之积为，则点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）若点在直线上，直线，分别与曲线交于点，，求与面积之比的最大值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意列出方程，整理后得到曲线的方程，去掉不合要求的点；

（2）设出直线的方程，联立椭圆方程，得到点横坐标，同理设出直线的方程，联立椭圆方程，得到点横坐标，利用三角形面积公式及边的比例关系得到，利用基本不等式求出结果.

【小问1详解】

，

，

化简得，

当位于轴上时，此时直线，的斜率均不存在，不合题意，舍去

故曲线的方程为；

【小问2详解】

设，则直线的方程为，

联立得：，

，

直线的方程为，

联立，得，

.

故

，

当且仅当时等号成立.

最大值为.